模p^2的一些同余结果

模p^2的一些同余结果
王佛生
【摘要】本文得到了模p^2的一些相互关联的同余结果,其中p是大于3的素数.这些问题的动机来自于<美国数学月刊>的征解问题.
【期刊名称】《绵阳师范学院学报》
【年(卷),期】2018(037)005
【总页数】5页(P4-7,47)
【关键词】同余;生成函数;等价性;单位根
【作者】王佛生
【作者单位】绵阳师范学院数理学院,四川绵阳 621000
【正文语种】中文
【中图分类】O156
1 问题介绍
在本文中的一个主要结果如下.
定理1 设p≥5是素数, 那么p2整除
这原是“American Mathematical Monthly”的11292号问题, 见[1]. 该刊随后给出了一个证明. 本文给出了另一种证明. 更准确的说, 本文将原问题分解为若干小问题, 对每一个问题应用生成函数和一些小技巧加以证明. 生成函数的基本方法和术语参考文献[2]、[6].以下文中固定p为素数.
将原问题分解为若干小问题的处理方式, 意味着原问题并非一个单一结论, 而是若干基本结论的组合. 正如解析几何可以将几何问题分解为基本计算一样, 本文章的证明方式也揭示出这样一种分解方法, 可以将复杂的同余问题(尤其是关于合数的同余)转化为更简单的同余式, 然后加以处理.
定理1的证明依赖下面几个引理.
引理1 设m,n是非负整数,n<p, 那么
引理2 设p≡v(mod6)是素数, 其中v=±1,那么
2 证明
本文在整数多项式环Z[x]上考虑问题. 所有整除和同余的说法均指该环上的情形. 对该环的一些性质介绍见[3][4].
首先约定生成函数的一些记号. 设f(x)=∑kckxk和g(x)=∑kdkxk是有限和式,用
f(x)≈g(x)表示c0=d0.≈是一种等价关系.一个常见结果是作为另一种等价关系, 采用
f(x)≅g(x)(modn)表示c0≅d0(modn). 这些符号便于使用等价性不断转化需要计算的式子, 直至结果足够简单. 比如下面的结果.
引理3 设m是非负整数, 那么
(1+x)mp≅(1-m)(1+xp)m+m(1+xp)m-1(1+x)p(modp2).
(1)
该引理是说, 当考虑模p2时, 可以用(1)的右端代替其左端. 注意右端事实上“更简单”, 因为m比mp小, 所以考虑模p2时,(1+xp)m的系数比(1+x)mp的系数更好约化. 该引理也是引理1和引理2的基础.
证明因为在Z[x]中被p整除[5]. 所以, 只要k≥2,((1+x)p-1-xp)k就会被p2整除.
这一点用在了下面的同余计算中.
(1+x)mp=((1+x)p)m
=((1+xp)+((1+x)p-1-xp))m
≅
=(1-m)(1+xp)m+m(1+xp)m-1(1+x)p.
证毕.
现在, 进一步证明上一节的引理.
引理1的证明使用一次引理3, 有
≅
(2)
注意n<p, 所以将(1+x)2n/xn展开后,x的次数在[-p+1,p-1]之间. 另一个事实是(1-2m)(1+xp)2m/xmp可以写成和式∑kckxk. (2)中的第一项因而可以换成
而不改变其常数项. 类似情况 (2)的第二项中,(1+x)2n+p/xn可以替换成
作为这两次替换的结果, 有
≅
证毕.
引理2的证明直接计算表明
(3)
记上面最后一式为f0(x),f0(x)中x的最低次数是-p+1. 所以f0(x)≈f0(x)(1-x3p). 从而
f0(x)≈f0(x)(1-x3p)
(4)
再次使用引理3, 有
(1+x)2p ≅-(1+xp)2+m(1+xp)(1+x)p(modp2)
=-1+2(1+x)p+x的高于p次的项
故
≅
(5)
显然,
(6)
总结一下(3), (4), (5), (6), 有
≅
记为进一步计算, 这里要用到关于单位根. 设w=exp(2πi/3)是三次单位根, 那么(1+w)6=(1+w2)6=1.
且
利用这两个结果, 有
≅
=-v+2(w-w2)((1+w2)p-(1+w)p)
=-v+2v=v.
这证明了引理2的一半. 另一半的证明方式是完全类似的.
最后, 设p≥5是素数, 那么有引理1和引理2, 有
参考文献：
[1] Callan D.11292[J].The American Mathematical Monthly,2007,114(5):451-451.
[2] 叶军.数学奥林匹克教程[M].长沙：湖南师范大学出版社,1998.
[3] Lang S.Algebra revised third edition[M].Berlin.Gemany:Springer-Verlag,2002.
[4] 刘绍学.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社,1999.
[5] 闵嗣鹤,严士健,数论,等.初等数论,第三版[M].北京:高等教育出版社,2003.
[6] 潘承洞,潘承彪.初等数论.2版[M].北京：北京大学出版社,2003.。