【精品】数列极限部分较难习题

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数列极限部分书后较难的作业解答:
一.( （书）第10题)证明数列
有极限
证明:(一) 因为
故单减.
(二) 由不等式
得
所以有
.
故有下界.因此根据单调有界原理知,有极限.
二.设常数,,证明: 收敛,且求.
解:(一)假设收敛,并记由已知得递推关系式:
,令,利用,得
,即解方程得.
又因为,故取.
即
(二)下面返证收敛.
1.由显然.归纳地设,则即单增.
2.再证有上界那么如何取呢?
既然单增且有极限,那么就应是的一个上界.下面仍然用归纳法证明是的上界.
事实上显然;设则
故单增且有上界,因此收敛.
注意:这里上界的找法似乎依赖于的极限值.为了使上述解法更符合逻辑,一般教科书往往先证(2),再求(1)的方法,不过(2)中的上界的选取实际上是事先计算出的极限.当然若为单减的,则事先计算出的极限值就是数列的一个下界了.
注意:同理可将上例推广到一般情形:
设则数列收敛且
其中
(1)当即或时,
(2)当即或时, 单增,且
为上界;
(3)当即或时, 单减,且以0或
为下界;
有趣的是数列的极限与其初值并无关系.这说明在一个收敛的迭代数列中,不管数列的初值如何选取,数列总收敛到相同的极限值,这也正是迭代算法的存在价值.
三.(第13题(3))设,数列由下式所确定:
证明它们有公共的极限.
证明:(一)由可知,
因而
显然对于，又因为，故
对于所以(1)
因此, 单调递增.
同理:因为, (2)
因此单调递减.
(二)由于因此有上界,且有下界,根据单调有界原理知, 数列均有极限. (三).设对两边取极限,得 于是,即
四.第12题设和已知实数,令
(1) 证明数列收敛且 证明:由(1)式, ; (2) (3) (4) 上述—相加,得:
故()()111111
1113232n n n x x b a b b a --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=----=----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
五. (294P 第13题(1))设()
()11310,1,2,3n n n
x x c x n x ++=>=
=+,证明数列
{}n x 收敛,
且lim n n x →∞
=
证明:(一) 显然()()
()1313103,
1,2,333n n n n n
x x x n x x +++<=
<==++
(二)由对于任何的2n ≥,
()()()
()()11111313163333n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+--++--=-=
++++ (1) (1)式说明1n n x x +-与1n n x x --同号.
如果1n n x x +-与1n n x x --均大于0,则说明{}n x 是单调增加的,且有上界3; 如果1n n x x +-与1n n x x --均小于0,则说明{}n x 是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知, {}n x 收敛.
(三) 设lim n n x a →∞
=,在()
1313n n n
x x x ++=
+两边取极限,得
()
313a a a
+=
+,解之,
有lim n n a x →∞==
六. (294P 第13题(2))设实数()2
110,,1,2,222
n
n x c c c x x n +≥==+
=,讨论
数列{}n x 敛、散性.
证明: (一)假设{}n x 收敛,并设lim n n x a →∞=,则由2
122
n
n x c x +=+
两边取极
限,得2
22
c a a =+
,即220a a c -+=,解得1a =
因此,当1c >时, {}n x 发散; (二)当01c ≤≤时,我们证明{}n x 是收敛的.
事实上,
(1)显然()01,2,n x n ≤=,且11;2c
x =≤下面利用归纳法证明
对于任何的2n ≥,有.n x c ≤
事实上,若假设1,k x ≤则有2
11
1.222
k k x c x +=+≤= 故对于任何的
2n ≥,有 1.n x ≤总之, 对于任何的1n ≥,有0 1.n x ≤≤
(2)因为()()
22
111122222n n n n n n n n x x x x x x c c x x ---+-+⎡⎤⎡⎤-=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
式说明1n n x x +-与1n n x x --同号.
如果1n n x x +-与1n n x x --均大于0,则说明{}n x 是单调增加的,且有上界1; 如果1n n x x +-与1n n x x --均小于0,则说明{}n x 是单调减少的,且有下
界0.总之,根据单调有界原理知, {}n x 收敛.且lim 1n n x →∞
=
七. (291P 第1题(3)、(4)) 求极限()
()
1.3.521lim
2.4.62n n n →∞-
解:(一) 因为()()()2
2221.214142n n n n n -+=-<= (1)
故 ()()2
222
1.3.5.721.21n n -+
()()()()
()()()()1.3.3.5 5.77.922212121n n n n =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(
()1)
()
2
2222.4.6.
2n < (2)
所以 ()()()()()2
2
2222222
1.3.521 1.3.5.721.211.
2.4.62212.4.62n n n n n n ⎡⎤--+=⎢⎥+⎣⎦
(()2
1
21
n <+ (3)
故
()()1.3.5212.4.62n n -<
(4) (二)由(4)式 ()()1.3.5210 2.4.62n n -<
<
,且0,n =故由夹逼准则知, (4)求()
()
1.3.521
2.4.62n n n -
解:取()21
1,2,n n x n n
-=
=,根据课堂上讲过例
26(注意到此题是用夹逼准则证明
的):设{}n x 是实数序列,()0n x n >
∀, lim 0,n n x a →∞
=>则
2
.n n x a =,有
另解:记()
()
1.3.521,1,2,
2.4.62n n x n n -=
=
则35
2111..
.242222n n x n n n -=≥
⇒≥-
(5) 又 由(3), ()()2
2
1.3.5211
2.4.6221n n x n n ⎡⎤-=<⎢⎥
+⎣⎦
2
121n x n
⇒<
⇒+
(6) 综合(5)、(6),得
<
因为1,n n ==所以,由夹逼准则知, 注: 上述另解中用到了结论，其证明方法lim 1n =如下. 证明:记
1,n x =则1,n x ≥我们有 由此,得 ()()2
10,2,3,2
n n n n x x n -≤≤
=且0.n =
因此由夹逼准则知, )
lim lim
10,n n n x →∞
→∞
==故1n =.
八. (第292页第2题).证明:若lim n n x →∞
=+∞,则也有
证明:因为lim n n x →∞
=+∞,故对于任给的0M >,存在N ,使当n N >时,有
n x M > (1)
令12n n s x x x =+++ (2)
则
12.1n N n N N N N n s s s s s x x x N n n n n n N
n ++-++
+⎛⎫
=+=+- ⎪-⎝
⎭
3.1N s N M n n ⎛⎫
>+- ⎪⎝
⎭ (3) 又因
()1
0,11,2
N s N n n n →-→>→∞故可取正整数,N N '>使当n N '>时,恒有
1,1.222
N N s s M M N n n n <⇒>--> (4)
于是,当n N '>时,恒有
13.13..22n N s s N M M M M n n n ⎛⎫
>+->-+= ⎪⎝
⎭ 即证明了, 对于任给的0M >,存在正整数,N N '>使当n N '>时,恒有
12.n
x x x M n
++
+>所以, 12lim
.n
n x x x n
→∞+++=+∞
九. (第292页第3题).设: lim ,lim ,n n n n x a y b →∞
→∞
==证明:
证明:记1211
n n n n x y x y x y z n
-+++=
,1,2,n =
因为lim ,lim ,n n n n x a y b →∞
→∞
==故我们有
,,n n n n x a y b αβ=+=+这里{}{},n n αβ为无穷小序列. 于是,
无穷小序列也是有界序列,可设 n M β≤ 对.n ∀ 因为
121211
.n
n n n M n
n
ααααβαβαβ-++
+++
+≤
所以1
2.n
M n ααα⎧+++⎫
⎨⎬⎩
⎭
无穷小序列. 又因为1,n b n αα++⎧⎫⎨⎬⎩⎭1n
a n ββ++⎧⎫
⎨
⎬⎩
⎭
也都是无穷小序列,所以, 十. (第292页第6题).证明著名的施笃兹(Stolz)定理: 若数列{}{},n n x y 满足条件: (1)121,n n y y y y -<<<<<
且 ()lim .n y n →∞
=+∞→+∞ →()n +∞→∞;
(2)有极限1
1
lim
;n n n n n x x y y -→∞
---
则也有极限lim
,n n n
x y →∞且lim n n n x y →∞=11lim .n n n n n x x y y -→∞---
证明: 假定1
1
lim
n n n n n x x a y y -→∞
--=-,由此,并注意到lim .n n y →∞=+∞,知
对于任给的0ε>,存在N ,使当n N >时,有
112n n n n x x a y y ε
----<- (且0n y >) (1)
于是,当n N >时
11,N N N N x x y y ++--21
21121
211,
,
,
N N n n n n
N N n n n n
x x x x x x y y y y y y ++---++--------- (2) 都包括在,22a a εε⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭之内,因为1n n y y +>,所以(2)式中那些分
数的分母都是正数,于是得
上述各式相加,得 即.2
2
n N n N x x a a y y ε
ε
--
<
<+-故当n N >时,有
2
n N n N x x a y y ε
--<- (2)
另外,我们有,当n N >时
1.n N N N n N
n n n n N x x ay y x x a a y y y y y ⎛⎫⎛⎫---=+-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
(3)
故
1.n N N N n N
n n n n N x x ay y x x a a y y y y y ⎛⎫---≤+-- ⎪-⎝⎭,注意到 11,.2
N n N n n N y x x a y y y ε
--
<-<-故有 .2n N N n n x x ay a y y ε--≤+ (4) 又注意到,对于上述的N ,因为lim n n y →∞
=+∞,所以,有
lim
0,N N
n n
x ay y →∞-=故可取()N N '>,使得当n N '>有
0.2
N N N N n n x ay x ay y y ε
--=-< (5) 于是,当n N '>时,有
.222n N N n n x x ay a y y εεεε--≤+<+=因此,依极限定义,知 十一.(293P 页第9题)求()lim sin 2!n n en π→∞
⎡⎤⎣⎦
解:由(见课本286287P -的推导) ()()()
()1111
11
1011!2!
!1!1!1n n e n n n n θθ++=+
+++
++<<+++ (1) 故()()()111
11
2!2!11!2!
!1!1!1n en n n n n n θππ+⎡⎤=+++
+
++⎢⎥+++⎣⎦
注意到sin 20,1,2,k k π==
故 ()()122sin 2!sin 11n en n n θππ+⎛⎫
=+ ⎪ ⎪++⎝⎭
于是
十二.(292P 页第4题)设()01,2,n y n >=且()1n n y y s n ++=→∞→∞.证明:
若有极限lim n n x →∞
,则也有极限
证明:设lim n n x c →∞
=,则,n n x c α=+其中()lim 0.1,2,
n n n α→∞
==
于是
11221
12.n
k
k
n n k n n
y x y x y x y c y y y s α=+++=+
+++∑ (1)
记1
n
k
k
k n n
y s α
β==
∑,为方便起见,
又记
()1,2,,.k
nk n
y t k n s == , 则
1
n
n k nk k t βα==∑ (2)
显然有对于任意给定的()1,lim 0nk n k k n t →∞
≤≤=;且1
1,.n
nk k t n ==∀∑ (3)
下面证明1
n
n k nk k t βα==∑为无穷小序列.
事实上,对于N m ∈∃>∀,0ε，使得，只要k m >,就有||2k αε< (4) 又因为对于任何给定的(),1,k k m ≤≤有lim 0.nk n t →∞
=,所以对这取定的m ,存在
k P N ∈,使当k n P >时,就有 ()
12,1,2,,.2nk m
t k m ε
ααα<=++
+
,又可取{}1max ,
,,m p P P =则当p n >时，有
11 2.n nm m t t ααε+< (5)
我们记{}p m N ,max =.于是，当N n >时，有 故1n
n k nk k t βα==∑为无穷小序列.,
所以, 112212lim
lim .n n
n n n n
x y x y x y c x y y y →∞→∞+++==+++
第一章 函数的极限
第二节 函数的极限
一．函数的极限的概念
(一)当∞→x 时函数的极限
1.引例：观察下述几个函数当x 无限增大时（即∞→x ）的取值规律. （1）.()1
f x x
=
； （2）.()1
1,0,11,0.x x
f x x x
⎧-<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩
（3）.();x x f = （4）..)(c x f ≡
大家注意到，这四个函数当∞→x 时，都有明显的取值规律：其中（1）x x f 1
)(=，无论→x +∞，还是-∞→x ，相应的函数值都无限的
接近同一常数0，这时，我们就称)(x f 当∞→x 时有极限0.记为：
.01
lim
=∞→x
x （要会背）.但（2）中，因为当→x +∞及-∞→x 时)(x f 虽分别无限接近于常数-1和1，但在“∞→x ”这个总体极限过程中不能稳定在同一常数附近，这时，仍称)(lim x f x ∞
→不存在.如果单独考察左、右
侧极限，它们却是分别存在的，分别为-1、1.记为：
.1)(lim ,1)(lim =-=+∞
→-∞
→x f x f x x 这里请大家务必区分开来.
至于（3），随x 无限增大，|)(|x f 也无限增大，)(x f 的取值永不
稳定，这时，
)(lim x f x ∞
→当然不存在.但为了强调|)(|x f 无限增大这一特点，形式地记∞=∞
→)(lim x f x .
1．A x f x =∞
→)(lim 的定义
（1）（描述性定义：设函数)(x f y =当x M >(其中0M >为常数) 时有定义，如果随x 无限增大时，相应的)(x f 的值就无限地接近某一常数A ，则称)(x f 当“∞→x ”时有极限A （或收敛于A ）.记为：
()A x f x =∞
→lim 或()()∞→→x A x f ,.
（2）（精确的数学定义）：设函数)(x f y =当x M >(其中0M >为常数)
时有定义，如果对0>∀ε,（无论它多小）都0X M ∃>>，使当x X >时，都有： ε<-|)(|A x f ,则称)(x f 当“∞→x ”时有极限A （或收敛于A ）.记为：()A x f x =∞
→lim 或()()f x A x →→∞.
注意：
（1）.请大家思考一下单侧极限 A x f A x f x x ==-∞
→+∞
→)(lim ,)(lim 应如何定义？
（2）.()A x f x =∞
→lim 的几何解释（作图说明）：对0>∀ε，在xoy 平面上
分别作两条平行直线εε+=-=A y A y ,，则必存在0X >,使当x X >时，函数)(x f y =的图形总位于这两条平行直线之间. （3）.由引例，显然有
定理1. ()()()lim ,lim lim .x x x f x A f x A f x A →-∞→∞→+∞
⎧=⎪=⇔⎨=⎪⎩
（4）.请记住：
例1．证明：11lim
=+∞→x x
x 证明：对0>∀ε，要使1|()||
1|1|1|
x f x A x x ε-=-=<++ 由.11
||1||1|1|11|||1|+≥⇒<-≤+⇒-≥+ε
εx x x x x 故取11
+=
ε
X ，则当X x >||时，就有()ε<-||A x f . 依定义：11
lim
=+∞
→x x
x . （二）当0x x →时函数的极限
1.引例：观察下述几个函数当0→x 时的取值规律 （1）x x f =)(；
（2）()1,0,
1,0.x x f x x x -<⎧=⎨+>⎩
（3）()x
x f 1=
.
2．0
lim ()x x f x A →=的定义
（1）（描述性的定义）设函数)(x f y =在0x 的某个去心邻域内有定义.如果当x 无限地接近于0x 时，相应地)(x f 的值就无限地接近某一个常
数A ，这时，就称函数在点0x 处有极限（或收敛于）A.记为：
()0
lim x x f x A →=或()()0,f x A x x →→.
（2）（精确的数学定义）：设函数)(x f y =在0x 的某个去心邻域0U x ∧
⎛⎫ ⎪⎝⎭
内有定义，如果对0>∀ε（无论它多小），都0>∃δ，使当00||x x δ<-<时
（即0x U x ∧
⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时）都有()ε<-||A x f ，这时，就称函数在点0x 处有极限（或收敛于）A.记为：()0
lim x x f x A →=或()()0,f x A x x →→.
注意：
（1）上述定义中为何要强调“去心邻域”？ （2）仿上述精确的数学定义，如何定义单侧极限
)(lim ),(lim 0
0x f x x f x x x +-→→？ （3）()0
lim x x f x A →=的几何解释：（作图说明）：对0>∀ε，在xoy 平面上
分别作两条平行直线εε+=-=A y A y ,，则必存在点0x 的-δ邻域,使这邻域内的全部点（除0x 所对应的函数|)(x f y =的图形总位于这两条平行直线之间.
（4）显然，有：
定理2.()()0
lim lim ,x x x x f x A f x A -→→=⇔=()0
lim x x f x A +
→=且. 例2．证明：0
0lim x x x x →=（其中0x 为常数，此结论要会背）.
证明：对0>∀ε，要使 0|()|||f x A x x ε-=-<，
只须取εδ=，则当00||x x δ<-<时，0|()|||f x A x x δε-=-<=. 依定义，0
0lim x x x x →=.
例3．证明：22
lim 4x x →=（请大家先猜猜极限值是多少？有何想法没有？）
证明：不妨设1|2|≤-x （为何能这样假设？）5331≤≤⇒≤≤⇒x x . 对0>∀ε，要使
故取⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=5,1min εδ，则当δ<-<|2|0x 时，有
例1.讨论x
x x |
|lim
0→ 解：因为;10lim ||0lim -=-=--→→x x x x x x 10lim ||0lim ==++→→x x
x
x x x ,
所以，x
x x |
|lim
0→不存在！（此结论要会背）. 二.函数极限的性质
注意到函数极限共有六种（哪六种？）形式，本节仅就最为常用的
lim ()x x f x A →=为例讲述。

对其他五种形式的极限也有相应的性质，只
不过在叙述或表现方式上要稍作调整. 1.局部有界性
定理4.如0
lim ()x x f x A →=，则必00,0M δ∃>∃>，使得，当000||x x δ<-<时，
有M x f ≤|)(|.
证明：因为0
lim ()x x f x A →=，所以对010,0,εδ=>∃>使当
000||x x δ<-<时，M A x f A x f A x f ∧
=+<⇒=<-≤-||1|)(|1|)(||||)(|ε 2.函数极限的唯一性
定理3设0
lim ()x x f x →存在，则它的极限一定唯一.
证明：（反证法）请同学们参考数列极限的唯一性的证法自证. 3.保序性
定理5.如()()0
lim ,lim .x x x x f x A g x B →→==且.B A <则00,δ∃>使当
000||x x δ<-<时，()()x g x f <. 证明：可仿定理3证之.
推论1.如()()0
lim ,lim .x x x x f x A g x B →→==且00,δ∃>使当
δ
0||0<-<x x 时，()()x g x f ≤，则B A ≤.
证明：（反证）
注意：即使()()x g x f <，仍可能有B A =.如：
推论2.（保号性）如()A x f x x =→0lim 且0>A （)0<，则00,δ∃>使
当000||x x δ<-<时，())0(0<>x f . 证明：定理5中，取()0≡x g 即可.
三.函数极限的四则运算的法则
定理6.若函数()()x g x f ,均在0x 处存在极限：
()()0
lim ,lim .x x x x f x A g x B →→==则
（1）()()()()0
lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x A B →→→+=+=+⎡⎤⎣⎦； （2）()()()()0
lim .lim .lim .x x x x x x f x g x f x g x A B →→→==⎡⎤⎣⎦；
（3）()()()()000
lim lim lim x x
x x x x f x f x A g x g x B →→→⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.（B )0≠ （4）若()0
lim
0x x
f x →=，且()x
g 在0x 处局部有界，则 ()()0
lim 0x x f x g x →=⎡⎤⎣⎦.
（不证，有兴趣的同学可作为课外练习自证.）
例1.求2221lim 345
x x x x x →∞++++.
例2.求221
lim
345
x x x x →∞+++.
例3.求()()()
20
30
502132lim 21x x x x →∞
--+.
例4.求2
sin lim
x x
x →∞.
例5.求211
lim 1
x x x →--.（比喻：以毒攻毒法）
例6.求1
1lim
1
-+→x x x .
例7.
求lim )x x →+∞
.
例8.求231
61lim 396x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝
⎭. 例9.()223,1,
,12,22, 2.x x x f x x x x x ⎧+-≤⎪
=<<⎨⎪-≥⎩
，求()()()x f x f x f x x x 1
21lim ,lim ,lim -→→→.
例10.已知2lim 01x x ax b x →∞⎛⎫
--= ⎪+⎝⎭
，b a ,为常数，求b a ,的值.
例11.324
lim (1
x x ax x b b x →∞--+=+为有限常数），求b a ,的值.
四．函数极限与数列极限的关系（Heine 定理）
定理7.()0
lim x x f x A →=⇔对任何数列{}0,n n x x x ≠，且0lim n n x x →∞
=，有
()lim n n f x A →∞
=.（注意其中的“任何”二字）
证明：⇒设()0
lim x x f x A →=，根据函数极限的定义，即
对0,0>∃>∀δε，使当00||x x δ<-<时，都有
()ε<-||A x f (1)
对上述的0>δ，由于已知任何数列{}0,n n x x x ≠, 0lim
n n x x →∞
= , 所以N ∃，使当N n >时，就有
00||n x x δ<-<成立. （2） 所以对0>∀ε，N ∃，使当N n >时，()||n f x A ε-<.所以，依数列极限的定义：()lim n n f x A →∞
=.
⇐（反证）假设()0
lim x x f x A →≠.根据函数极限的定义的否定叙述，则
00,ε∃>使对δ∀，即使00||x x δ<-<，都有 ()0||f x A ε-≥成立. （*） 在（*）式中分别取
11δ=，则1x ∃，使当1010||x x δ<-<，但()10||f x A ε-≥.
11
2δ=
，则2x ∃，使当2020||x x δ<-<，但()20||f x A ε-≥. 1
n n
δ=，则n x ∃，使当00||n n x x δ<-<，但()0||n f x A ε-≥.
于是，构造出一个数列{}0,n n x x x ≠ ，因为1
0n n
δ=→，所以
0lim n n x x →∞
=，但()lim n n f x A →∞
≠,与已知条件矛盾！
五.函数极限存在的判别法
1.定理8.（夹逼准则）设
（1）0,U x δ∧⎛⎫∃ ⎪⎝⎭，使当0,x U x δ∧⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()()()x h x f x g ≤≤； （2）()()0
lim lim x x x x g x h x A →→==.
则()0
lim x x f x A →=.（注意：其他形式的夹逼准则如何叙述？）
例17.证明：1cos lim 0
=→x x
证明：只须证明其等价结论：()0cos 1lim 0
=-→x x
事实上，当2
||0π
<
<x 时，
所以，由夹逼准则，知()0cos 1lim 0
=-→x x .
所以，()[]().001cos 1lim 1cos 11lim cos lim 0
=-=--=--=→→→x x x x x x
例18．1sin lim
0=→x
x
x
证明：因为()x x
x f sin =
为偶函数，故只须证明：1sin 0lim =+
→x
x x 事实上，不妨设2
0π
<
<x ，则x x x tan sin <<.
两边同除以x sin 得：x
x x cos 1
sin 1<<
. 又因为1cos 0
lim 1
cos 10lim ==++→→x
x x x .
所以，由由夹逼准则知，1sin 0lim =+
→x
x
x ，
所以 11
1
sin 0lim 1sin 10lim sin 0lim ====+
++→→→x
x x x x x x x x .
例19．证明：1lim 1x
x e x →∞
⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
证明：（一）先证1lim 1x
x e x →+∞
⎛⎫
+= ⎪⎝⎭，
不妨设1>x ，总有[][]1+<≤x x x 从而，有：
因为底大于1的幂函数是严格增加的，故有：
[][][][]1
1111111x x x
x x x +⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+<+<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
所以，
[][]
[]1
1
11111lim 1lim 111111x n n x n
n n e x n n n +-=→∞
→∞⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+=+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
且
[][][]1
1
11lim 1lim 1x n x n
x n e x n ++=→+∞→∞
⎛⎫⎛⎫
+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
.
所以，由夹逼准则知，1lim 1x
x e x →+∞
⎛⎫
+= ⎪⎝⎭.
（一）其次，证明：
事实上，当-∞→x 时，令x y -=
()111lim 1lim 1lim lim 1y
y
y
x
x y y y y y x y y y --→-∞
→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫
-⎛⎫
+=+==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎣⎦
=
1
111lim 1lim 11111y
y y y e y y y -→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=+=++= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 2．定理9.（单调有界原理）若函数()x f 在开区间()b a ,内单调增加且
有界，则极限()()lim ,lim x a
x b
f x f x +-
→→都存在. 六．两个重要极限
在前面，用夹逼准则分别得到的两个极限以后要经常用到，故特
单独提出来，冠以“两个重要极限”.它们是：
（1）1lim 1n
n e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或1lim 1x
x e x →∞
⎛⎫
+= ⎪⎝⎭；
（2）1sin lim
0=→x
x
x .
例20．21lim 1x
x x →∞
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭；
例21．2lim 1x
x x x →∞+⎛⎫
⎪+⎝⎭； 例22．()
2cot 2
lim sec x
x x →；
例23．1
0lim sin cos 22x
x x x →⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭；
例24．0sin 2lim x x
x →；
例25．x
x
x 5sin 3sin lim 0→；
例26．x x
x tan lim 0→；
例27．x x
x arcsin lim 0→；
例28．x x
x arctan lim 0→；
例29．2
01cos lim
2
x x
x →-；
例30．01
lim x x e x
→-.
注意：以上的例24至例30 的结论要会背.
第一章 函数的极限
第三节 无穷小与无穷大
一．无穷大
1．无穷大的概念
（1）定义1（描述性的定义）如果当0x x →或（∞→x ）时，()||x f 可以任意地大（即可以大于预先指定的任何很大的正数M ），这时，称()
x f
为“当0x x →”时（或“当∞→x ”时）的无穷大，记为：
()()0
lim (lim )x x x f x f x →→∞
=∞=∞.
（2）.定义1的 等价定义（数学定义）：如果对0>∀M （无论它多大），总)(0N ∃>∃δ，使当00||(||)x x x N δ<-<>时，都有：()M x f >||，这时，称()x f 为“当0x x →”时（或“当∞→x ”时）的无穷大，记为：
()())lim (lim 0
∞=∞=∞→→
x f x f x x x .
2．几点注意
（1）无穷大是一个函数，而非一个很大很大的数！ （2）同一个函数是否为无穷大要结合具体的极限过程. （3）()())lim (lim 0
∞=∞=∞→→x f x f x x x 只是形式记号，不是说，
()()0
lim (lim )x x x f x f x →→∞
存在，而恰恰相反，它是极限不存在的情形之一.
（4）代表无穷大的符号""∞不是实数，对它不能进行任何运算。

（5）试考虑以下的极限如何定义：()()0
lim (lim )x x x f x f x →→∞
=+∞=+∞或
()()0
lim (lim )x x x f x f x →→∞
=-∞=-∞？
二．无穷小
1．无穷小的概念
（1）定义2（描述性的定义）：如果当0x x →或（∞→x ）时，
()()0
lim 0(lim 0)x x x f x f x →→∞
==，则称()x f 为“当0x x →”时（或“当
∞→x ”时）的无穷小.
（2）定义2的等价定义（数学定义）：如果对0,0>∃>∀δε，使当00||x x δ<-<时（或N x N >∃||,时）
，有()ε<||x f ，这时称()x f 为“当0x x →”时（或“当∞→x ”时）的无穷小.
注意：
（1）无穷小其实就是本章第一节中讲过的极限为0的函数而已； （2）不可把无穷小理解为很小很小的数；
（3）同一函数是否无穷小还要结合具体的极限过程； （4）但()0≡x f 是任何极限过程中的无穷小. 2．无穷小与有极限函数间的关系
定理1.()()()()0
lim ,lim 0.x x x x f x A f x x A x αα→→=⇔=+=
三．无穷小与无穷大的关系
定理2.在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则
()
1
f x 为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，而且()0≠x f ，则
()
x f 1
为无穷大. 例1.求32
1
lim ;325
x x x x →∞+=∞++ 例2.求∞=-→1
lim
1
x x
x 四．无穷小的运算性质
定理3.设()()0
lim 0,lim 0.x x x x x x αβ→→==则
（1）()()0
lim 0;x x x x αβ→±=⎡⎤⎣⎦
（2）()()0
lim 0;x x x x αβ→=⎡⎤⎣⎦
（3）有界函数乘以无穷小还是无穷小；
推论：()0
lim 0.x x c x α→=⎡⎤⎣⎦
推广：有限个无穷小之和或乘积仍为无穷小。

注意：前面提到过的函数极限的四则运算法则可利用无穷小的性质及无穷小与有极限函数间的关系证明.
五．无穷小的比较
1．定义3.设()()0
lim 0,lim 0.x x x x x x αβ→→==且0x x ≠时，()0≠x β
（1）若()
()
lim
0,x x x x αβ→=则称()x α是()x β的高阶无穷小，计为()()()00()x x x x αβ=→；
（2）若()
()
lim 0x x x c x αβ→=≠，则称()x α是与()x β同阶的无穷小；
（3）若()
()
lim
1,x x x x αβ→=则称()x α是与()x β等价的无穷小，计为
()()()0~x x x x αβ→；
（4）若()
()
0lim
0k
x x x c x x α→=≠-（k 是正数），称()x α是0x x -的k 阶无穷小.
注意：（1）等价无穷小是同阶无穷小的特例；
（2）等价无穷小的三性质：反身性、对称性、传递性.
例如：2
0lim 0x x x
→=，则称2x 是x 的二阶无穷小.
2．几种常见的等价无穷小(0)x →
()
27.1cos ~;2
x x -(
)81~x n . 3．等价无穷小替换
定理4.设()()()()11,;,x x x x ααββ是同一极限过程中（设为0x x →）的四个无穷小，()()()()11~;~x x x x ααββ，且有()
()
11lim
x x x x βα→存在（或为∞）
，则()()0
lim x x x x βα→也存在（或为∞）,并且()()0
11lim x x x x βα→=()
()
11lim x x x x βα→.
例1.求200122
lim
lim sin 333
x x x e x x x →→-==； 例2.求;61
23lim 2arctan 11lim 03
0==-+→→x x x x x x
例3.求30tan sin lim x x x
x
→- 解法一：3300tan sin lim
lim 0x x x x x x
x x →→--== 解法二：()3300sin 1cos tan sin lim
lim cos x x x x x x
x x x
→→--=.
注意：解法二是对的而解法一是错误的，为何？
请大家自己思考：
()sin sin 00001sin lim lim lim lim 1sin sin sin x x x x x x x x x x x e e e e x x
e e x x x x x x -→→→→---====---. 练习：1.求20cos3cos5lim
;x x x x →- 2 求x x x βαcos ln cos ln lim 0→；3.求x
x
x cos 1lim 0-→.
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21文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 定理5.设()()()()11,;,x x x x ααββ是同一极限过程中（设为0x x →）的四个无穷小，()()()()11~;~x x x x ααββ，且有()()()011lim x x x f x x βα→存在（或为∞），则()()
()0lim x x x f x x βα→也存在（或为∞）.
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