镇江市2016—2017年度对口单招文化统考调研测数学试卷(一)

镇江市2016—2017年度对口单招文化统考调研测试卷（一）
数 学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求．
1．本试卷共4页，包含选择题（第1题~第10题，共10题）、非选择题（第11题~第23题，共13题）两部分．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对填写的姓名、考试证号与您本人是否相符．
4．作答选择题（第1题~第10题），必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置.
1.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U （ ） A ．{1,4} B ．{1,3,4} C. {23}x x x <≥或 D. {1234}x x x ≤<≤≤或
2.若复数z 满足(1)22(z i i i +=-为虚数单位），则||z =（ ） A.1 B.2 C.3 D.2 3．某项工程的流程图如图（1）所示(单位:天)，则关键路径是（ ） A ．A →E →F B ．B →G →E →F C ．C →D →F D ．A →B →C →D →E →F
图（1） 图（2）
4．观察图（2）所示的电路图，用逻辑变量A 、B 表示L ，其中正确的是（ ）
A ．L=A
B + B ．L=AB
C ．L=A B +
D ．L=AB
5．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调增的是（ ） A ．1y x =
B ．x y e -=
C ．．2
21y x =+ D ．12
log y x = 6．已知角α的终边经过点(4，－3)，那么sin(2)cos()παα-+-＝（ ） A ．75-
B ．15-
C ．15
D ．75
7．已知直线l 过抛物线2
8x y =的焦点，且与直线210x y ++=平行，则l 的方程是（ ）
A ．220x y +-=
B ．240x y +-=
C ．2+40x y -=
D ．220x y --= 8．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量是（ ）
A ．7
B ．15 C.25 D ．35 9．在正方体1111ABCD A B
C
D -中，则异面直线AC 与BD 1所成的角是（ ） A ．030 B ．045 C ．060 D ．090 10.设)(x f 是定义域在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=.若01x <≤时，
2()log f x x =，则(7.5)f 的值是（ ）
A ．0.5-
B ．1-
C ．0.5
D ．1
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卷相应横线上.
11.已知数组a =(-1,2,1)，b =(x ,-1,3)，若ab =0，则x = .
12.如图（3）是求222123+++2
…+100的值的程序框图，
则正整数n = ．
13.在区间[-1,2]内任取一个实数x ，若不等式211x -≤的解集为A ，则x A ∈的概率为 .
14.已知圆C 的圆心是直线()1x t
t y t =⎧⎨
=+⎩
为参数与x 轴的交点，
且圆C 与直线50x y ++=相切，则圆C 的方程为 . 15.若函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线
k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .
图（3）
三、解答题（本大题共8小题，共90分，要求写出必要的解题步骤和推理过程） 16．（本题满分8
分）求函数y =
的定义域.
17．（本题满分10分）已知二次函数()f x 的最小值为4-，不等式()0f x <的解集为(1,3)-．求：(1)二次函数()f x 的解析式；（2）函数()
()2f x g x =在区间[1,2]-上的
最大值与最小值.
18．（本题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
向量(,)m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(1)求A
；(2)若2a b ==，求ABC ∆的面积.
19.（本小题满分10分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率.
0.05万元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完.
（1）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？
21.（本题满分10分）某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有723
m ，第二种有563
m .假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利60元，生产一个衣柜可获利100元.那么木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少时，获得的利润最大？并求出最大利润.
22．（本题满分14分）给定椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，称圆心在坐标原点0，半
径为
的圆是椭圆C 的“准圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是
12(F F
，离心率为
3
（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；
（2）设点(,)P x y 是椭圆C
的“准圆”上的一个动点，求x 的最大值； （3）
过点2F 作直线l ，使得l 与椭圆C 的“准圆”相交于两点A 、B ，
若AB =求直线l 的方程.
23. （本题满分14分）已知数列{}n a 是首项11a =的等比数列，前n 项和为n S ，且
342,,S S S 成等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设12
2log 1n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和T n ；
（3）求满足23
1111013
(1)(1)(1)2013
n T T T ---
>的最大正整数n 的值.
2016—2017年度对口单招文化统考调研测试评分标准（一）
数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）
1.B
2.D
3.C
4.A
5.C
6.D
7. A
8.B
9.D 10.D 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11.1 12.100 13. 1
3 14. (x +1)2+y 2=8 15.1<k <3
三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. .解：由题意可得：12
log (23)0x ->
即112
2
log (23)log 1x -> ----------------------------------------------------------------2分
∴231230
x x -<⎧⎨->⎩ ----------------------------------------------------------------------------4分 ∴2
32
x x <⎧⎪
⎨>⎪⎩ ∴322x <<--------------------------------------------------------------7分
所以，函数的定义域为3
(,2)2
--------------------------------------------------------8分 17. .解：(1)
不等式()0f x <的解集为(1,3)-，∴二次函数()f x 的图象与x 轴的交点
为（-1,0）和（3,0），∴二次函数()f x 的对称轴为x =1，又二次函数()f x 的最小值为4-.
于是可设：2()=(1)4f x a x --，将点（3,0）代入解析式得1a =.
∴2()=23f x x x -- ---------------------------------------------------------------------------4分
(2) 由（1）知2()=(1)4f x x --，又[1,2]x ∈-,
∴max ()(1)0f x f =-=，min ()(1)4f x f ==-，
∴4()0f x -≤≤---------------------------------------------------------------------------8分 ∴0max ()21g x ==，4min 1
()216
g x -==
------------------------------------------12分
18.（1）因为//m n ，所以sin 3cos 0a B b A ，--------------------------------2分
由正弦定理，得sinAsinB 3sinBcos A 0-------------------------------------------4分 又sin 0B ≠，∴tan 3A
，0A π<<.
∴3
A π=
-------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）由余弦定理，得
2222cos a b c bc A =
+-，而2a b ==，3
A π
=
，
得2
742c c =+-，即2
230c c --=
因为0c >，所以3c =，-----------------------------------------------------------------10分 故ABC ∆
面积为
1sin 2bc A =分 19.解：（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个. 因此所求事件的概率为
1
3
.----------------------------------------------------------------------4分 （2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n ，其一切可能的结果（m ，n ）有：
（1,1）(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)(3,2), (3,3) (3,4),(4,1) （4,2），（4,3）（4,4），共16个，其中满足条件n ≥m+2的事件为（1,3）,（1,4）,（2,4）共3个,所以满足条件n ≥m+2 的事件的概率为13
16
p =
. 故满足条件n<m+2 的事件的概率为1313
111616
p p =-=-=-------------------------------10分
20.解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，所以x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元, 由题意得：
当070x <<时，2
2
11()0.051000(10)200402002
2
L x x x x x x =⨯-+-=-
+- 当70x ≥时，1000010000
()0.051000(51+1150)200950L x x x x x x
=⨯---=--+
所以，2
140200,(070)2
()10000950,(70)
x x x x N L x x x x N x ++
⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩
且且.-------------------------------6分
(2) 当070x <<时，2211
()40200=(40)60022
L x x x x =-
+---+ 所以，当=40x 时，max ()600L x =；------------------------------------------------------------8分 当70x ≥
时，10000()950950750L x x x =--
+≤-=
当且仅当
10000 x
x
=时，即100
x=时，
max
()750
L x=.--------------------------10分因为600<750.所以,当产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为750万元. ------------------------------------------------------------------------------------12分
21.解：设生产这种圆桌x张，衣柜y个，利润总额为z元，那么
0.180.0972
0.080.2856
,
x y
x y
x N y N
+≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪∈∈
⎩
，目标函数60100
z x y
=+．---------------------------------------------------------------------4分
作出以上不等式组表示的平面区域，即可行域如图所示：
作直线l：601000
x y
+=，即350
x y
+=，把直线l向上平移至l1的位置时，直线经过可行域上点M，此时60100
z x y
=+取得最大值．
解方程组
0.180.0972
0.080.2856
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
得点M(350，100)．---------------------------------------------8分由于350，100均为整数，所以点(350，100)是最优解．
此时max6035010010031000
z=⨯+⨯=.
即木器厂在现有木料条件下，生产圆桌350张，生产100个衣柜时，获得的利润最大且为31000元. --------------------------------------------------------------------------------------------------10分
22.解：（1）由题知，
6
2,
c
c e
a
===，解得22
3,1
a b a c
=-=
又.
所以，所求椭圆的方程为
2
21
3
x
y
+=22
+b2
a=--------------------------------------2分椭圆C的“准圆”方程为224
x y
+=．----------------------------------------------------4分（2）因为点(,)
P x y是椭圆C的“准圆”上的一个动点，设2cos,2sin.
x y
θθ
==
∴+32cos234sin()
6
x
π
θθθ
=+=+.
所以x的最大值为4. -------------------------------------------------------------------8分
（3）设直线l
的方程为(
y k x
=
，即0
kx y
-=
椭圆C的“准圆”的圆心（0,0）到直线l
的距离d=分
由AB===,解得1
k=±.
所以，所求直线l
的方程为y x y x
=+=-+分
23.解：（1）若
342
1,=3,=4,=2
q S S S
=则，显然
342
,,
S S S不成等差数列，
所以
342
1,,,
q S S S
≠又成等差数列，∴
432
2S S S
=+，即
432
111
(1)(1)(1)
2
111
a q a q a q
q q q
---
=+
---
，整理得2
210
q q
--=，解得
1
1
2
q q
==-
或
又
1
1
2
q q
≠∴=-
，,11
11
1()()
22
n n
n
a--
∴=⨯-=-.-----------------------------------------6分
(2)11
111
222
11
2log12log()12log()121121
22
n n
n n
b a n n
--
=+=-+=+=-+=-
（）
又
1
212(1)12
n n
b b n n
-
-=---+=为常数, 所以{}n b是以2为公差的等差数列.
2
(121)
T
2
n
n n
n n
+-
∴==
数列的前项和.---------------------------------------------10分
(3)
222
23
111111
(1)(1)(1)=(1)(1)(1)
23
n
T T T n
------
222
2222222
21311132435(1)(1)
=
23234
n n n
n n
---⨯⨯⨯⨯⨯-+
⋅=
⨯⨯⨯
1
2
n
n
+
=
令
11013
22013
n
n
+
>，解得
11
154
13
n<.
所以满足条件的最大正整数n的值为154. ---------------------------------------------14分。