【步步高】2013-2014学年高中数学 综合检测(一)基础过关训练 新人教A版选修1-1
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综合检测
一、选择题
1.如果命题(綈p)∨(綈q)是假命题，则在下列各结论中：
①命题p∧q是真命题；
②命题p∧q是假命题；
③命题p∨q是真命题；
④命题p∨q是假命题.
正确的为()
A.①③B.②④C.②③D.①④
2.某质点的运动方程是s＝t－(2t－1)2，则在t＝1 s时的瞬时速度为()
A.－1B.－3C.7D.13
6.已知f(x)＝sinx＋cosx＋，则f′等于()
A.－1＋B.＋1C.1D.－1
7.抛物线y＝x2的焦点到准线的距离是()
A.B.C.2D.4
8.抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于()
A.3B.2C.2D.
9.过点P(0,3)的直线与双曲线－＝1只有一个公共点，则这样的直线有()
3.“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于()
A.5B.5或8C.5或3D.20
5.下列命题中的假命题是()
A.∀x∈R,2x－1>0B.∀x∈N*，(x－1)2>0
C.∃x∈R，lgx<1D.∃x∈R，tanx＝2
11.把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为()
A.1∶πB.2∶πC.1∶2D.2∶1
12.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()
A.2B.3C.6D.9
二、填空题
13.命题“∀x∈R，x2＋1>0”的否定是________.
A.1条B.2条C.3条D.4条
10.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.且g(3)＝0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是()
A.(－3,0)∪(3，＋∞)
B.(－3,0)∪(0,3)
C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(0,3)
三、解答题
17.已知命题p：“椭圆＋＝1的焦点在y轴上”；命题q：f(x)＝x3－2mx2＋(4m－3)x－m在(－∞，＋∞)上单调递增，若綈p∧q为真，求m的取值范围.
18.已知抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx－3过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点间的距离.
∴f′(x)≤0对x∈[－1,2]恒成立，
即3x2－6ax－9a≤0对x∈[－1,2]恒成立.
∴f′(－1)≤0且f′(2)≤0，
即⇒⇒a≥1，
∴a的取值范围是a≥1.
20.解 设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝p·Q－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
14.若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则右焦点坐标为________.
15.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝10，则S△PF1F2＝________.
16.若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是________.
21.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
22.已知函数f(x)＝x2＋lnx.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大、最小值；
(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝18.
∵AB过焦点F，∴|AB|＝x1＋x2＋6＝24.
19.解(1)由题设可知：f′(x)＝3x2－6ax－b，f′(1)＝0且f(1)＝2，
即解得a＝，b＝－5.
(2)∵f′(x)＝3x2－6ax－b＝3x2－6ax－9a，
又f(x)在[－1,2]上为减函数，
19.已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数.
(1)若f(x)在x＝1处取得的极值为2，求a，b的值；
(2)若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，求a的取值范围.
20.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为每件p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为多少元时，毛利润L最大，并求出最大毛利润.(毛利润＝销售收入－进货支出)
解得b＝－>与b<矛盾.
如果b≥，则当y＝－时，
d2取得最大，即有()2＝4b2＋3.②
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去).
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30的左侧L′(p)>0，
右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，毛利润L最大，为23 000元.
21.解 设所求椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，
由e＝＝＝，得a＝2b.①
设椭圆上任一点M的坐标为(x，y)，点M到点P的距离为d，
则x2＝a2－，且
d2＝x2＋2
＝a2－y2＋2
＝－3y2－3y＋4b2＋
＝－32＋4b2＋3，
其中－b≤y≤b.
如果b<，则当y＝－b时，
d2取得最大值，
即有()2＝2，
答案
1.A2.B3.A4.C5.B6.D7.C 8.A 9.D10.D11.D12.D
13.∃x∈R，x2＋1≤014.(，0)
15.2416.k≤17.1≤m≤2.
18.(1)y2＝12x
(2)解 由(1)知F(3,0)，代入直线l的方程得k＝1.
∴l的方程为y＝x－3，联立方程
消去y得x2－18x＋9＝0.
一、选择题
1.如果命题(綈p)∨(綈q)是假命题，则在下列各结论中：
①命题p∧q是真命题；
②命题p∧q是假命题；
③命题p∨q是真命题；
④命题p∨q是假命题.
正确的为()
A.①③B.②④C.②③D.①④
2.某质点的运动方程是s＝t－(2t－1)2，则在t＝1 s时的瞬时速度为()
A.－1B.－3C.7D.13
6.已知f(x)＝sinx＋cosx＋，则f′等于()
A.－1＋B.＋1C.1D.－1
7.抛物线y＝x2的焦点到准线的距离是()
A.B.C.2D.4
8.抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于()
A.3B.2C.2D.
9.过点P(0,3)的直线与双曲线－＝1只有一个公共点，则这样的直线有()
3.“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于()
A.5B.5或8C.5或3D.20
5.下列命题中的假命题是()
A.∀x∈R,2x－1>0B.∀x∈N*，(x－1)2>0
C.∃x∈R，lgx<1D.∃x∈R，tanx＝2
11.把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为()
A.1∶πB.2∶πC.1∶2D.2∶1
12.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()
A.2B.3C.6D.9
二、填空题
13.命题“∀x∈R，x2＋1>0”的否定是________.
A.1条B.2条C.3条D.4条
10.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.且g(3)＝0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是()
A.(－3,0)∪(3，＋∞)
B.(－3,0)∪(0,3)
C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(0,3)
三、解答题
17.已知命题p：“椭圆＋＝1的焦点在y轴上”；命题q：f(x)＝x3－2mx2＋(4m－3)x－m在(－∞，＋∞)上单调递增，若綈p∧q为真，求m的取值范围.
18.已知抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx－3过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点间的距离.
∴f′(x)≤0对x∈[－1,2]恒成立，
即3x2－6ax－9a≤0对x∈[－1,2]恒成立.
∴f′(－1)≤0且f′(2)≤0，
即⇒⇒a≥1，
∴a的取值范围是a≥1.
20.解 设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝p·Q－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
14.若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则右焦点坐标为________.
15.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝10，则S△PF1F2＝________.
16.若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是________.
21.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
22.已知函数f(x)＝x2＋lnx.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大、最小值；
(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝18.
∵AB过焦点F，∴|AB|＝x1＋x2＋6＝24.
19.解(1)由题设可知：f′(x)＝3x2－6ax－b，f′(1)＝0且f(1)＝2，
即解得a＝，b＝－5.
(2)∵f′(x)＝3x2－6ax－b＝3x2－6ax－9a，
又f(x)在[－1,2]上为减函数，
19.已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数.
(1)若f(x)在x＝1处取得的极值为2，求a，b的值；
(2)若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，求a的取值范围.
20.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为每件p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为多少元时，毛利润L最大，并求出最大毛利润.(毛利润＝销售收入－进货支出)
解得b＝－>与b<矛盾.
如果b≥，则当y＝－时，
d2取得最大，即有()2＝4b2＋3.②
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去).
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30的左侧L′(p)>0，
右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，毛利润L最大，为23 000元.
21.解 设所求椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，
由e＝＝＝，得a＝2b.①
设椭圆上任一点M的坐标为(x，y)，点M到点P的距离为d，
则x2＝a2－，且
d2＝x2＋2
＝a2－y2＋2
＝－3y2－3y＋4b2＋
＝－32＋4b2＋3，
其中－b≤y≤b.
如果b<，则当y＝－b时，
d2取得最大值，
即有()2＝2，
答案
1.A2.B3.A4.C5.B6.D7.C 8.A 9.D10.D11.D12.D
13.∃x∈R，x2＋1≤014.(，0)
15.2416.k≤17.1≤m≤2.
18.(1)y2＝12x
(2)解 由(1)知F(3,0)，代入直线l的方程得k＝1.
∴l的方程为y＝x－3，联立方程
消去y得x2－18x＋9＝0.