苏教版高三数学三角函数的最值

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33
33
3
令sin(2x ) t则1 t 1, y 2 3t(1 t 1)
3
t 1,即2x ,即x 时，函数取最大值5
32
12
t 1,即2x ,即x 5 时，函数取最小值-1
32
12
1.对于求形如 y＝asinx＋b 或 y＝acosx＋b 的函数值域问题， 一般情况下只要注意到正弦、余弦函数的性质“有界性” 即可解决．注意当 x 有具体范围限制时，需考虑 sinx 或 cosx 的范围．
＝12－12×2cos1x＋1
令cosx t则1 t 1, y 1 1 • 1 (1 t 1且t 1)
2 2 2t 1
2
由1 t 1且t 1 得，1 2t 1 3且2t 1 0
2
1 1或 1 1
2t 1
2t 1 3
y (, 1)][1,),函数既无最大也无最小值 3
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33
2
令sin 2x t则 3 t 1, y 2 t( 3 t 1)
2
2
t 3 ,即x 时，函数取最大值 2 3
2
6
2
t 1,即x 时，函数取最小值 1
2
(4) y＝2－3sin(2x－π3)，x∈－π6，23π.

解：当x [ , 2 ]时，2x [ , 4 ],2x [ 2 , ],则-1 sin(2x ) 1
t 1 ,即x 2k 2 (k Z )时，函数取最小值- 3
2
3
2
t 1,即x 2k (k Z)时，函数取最大值 3
变式：求y 1- 2sin2 x 2 cosx(0 x )
2
(2) y＝2cocosxs＋x 1. 解：y＝12·2c2ocsoxs＋x 1＝1222ccoossxx＋ ＋11－2cos1x＋1
三角函数的最值
三角函数的最值
学习目标
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图 象等, 求三角函数的最大值和最小值.
2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值 和最小值.
复习引入 思考►►► 如何作正弦曲线和余弦曲线？
【解析】 利用“五点法”作出正弦、余弦函数在[0,2π]内 的图象后，再通过平移即可得到正弦、余弦曲线.
2. 求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其 系数的正负性质求解．
例 2 求下列函数的最值：
(1) y＝1－2sin2x＋2cosx；
解：y＝2cos2x＋2cosx－1＝2cosx＋122－32，
令cosx t则1 t 1, y 2(t 1)2 3 (1 t 1) 22
则 b∈32π，136π，则 b－a 的取值范围为23π，43π.故选 AD.
课堂小结
1.求形如 y＝asinx＋b 或 y＝acosx＋b 的函数最值问题. 2.求形如 y＝acos2x＋bsinx＋c 或 y＝asin2x＋bcosx＋c
的函数最值问题
例 1 求下列函数的最大值与最小值： (1) y＝3－2cosx
解：令 cos x t，则 1 t 1, y 3 2t(1 t 1).
t 1,即x 2k (k Z )时，函数取最大值 5. t 1,即x 2k (k Z)时，函数取最小值 1.
(2) y＝3－2cosx，x∈－π4，π4；
求函数 y＝cos2x＋2sinx－2，x∈－π4，π4的值域． 【解析】 y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.
因为－π4≤x≤π4，所以－ 22≤sinx≤
2 2
，
所以－
2 2
－1≤sinx－1≤
2 2
－1，
所以 0≤(sinx－1)2≤32＋ 2，
的函数最值问题，只要注意到 sin2x＋cos2x=1 即可解决．
转化为求关于 sinx 或 cosx 的二次函数在闭区间的最值。
注意二次函数的定义域．
2.对于
y a sin x b c sin x d
型的函数的最值问题，换元化成双曲函数的
值域问题，注意函数的定义域。
检测反馈
1.若函数 f(x)＝ 3cos12x，x∈0，π3，则函数 f(x)的 最小值为( )
所以－32－ 2≤y≤0，
故所求函数的值域为－32－
2，0.
求y 3sin x 1的值域。 sin x 2
解：令sin x t则1 t 1, y 3t 1 (1 t 1) t2
y [4, 2] 3
1.对于求形如 y＝acos2x＋bsinx＋c 或 y＝asin2x＋bcosx＋c
3
2
2
3
A. 2
B. 3
C. 2
D. 2
【解析】 因为 x∈0，π3，所以12x∈0，π6，
所以
3cos12x≥
3 2
×
3，即 f(x)min＝32.
2. (多选)已知函数 y＝sinx 的定义域为[a，b]，值域
为－1，12，则 b－a 的值不可能是(
)
π
2π
A. 3
B. 3
C. π
D. 2π
【解析】 画出函数 y＝sinx 的草图，可以取 a＝56π，
解：当x [ , ]时，cos x [ 2 ,1]
44
2
令 cos x t则 2 t 1,则y 3 2t( 2 t 1)
2
2
t 2 ,即x 时，函数取最大值 3 - 2
2
4
t 1,即x 0时，函数取最小值1
(3) y＝2－sin2x，x∈－π6，23π.
解：当x [ , 2 ]时，2x [ , 4 ], 则- 3 sin 2x 1