【创新设计】高三数学一轮复习 5-3等比数列随堂训练 文 苏教版

第3课时 等比数列
一、填空题
1． (江苏省高考命题研究专家原创卷)若实数m ，n 的等差中项是5，等比中项是4，则
椭圆x 2m ＋y 2
n
＝1的离心率为________．
解析：由m ＋n ＝10，mn ＝16，得m ＝8，n ＝2或m ＝2，n ＝8.所以a ＝22，c ＝ 6. 故离心率e ＝32
. 答案：
32
2． (江苏省高考命题研究专家原创卷)已知正项等比数列{a n }的前3项之积为8，则其前
3项之和S 3的最小值为________．
解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1·a 2·a 3＝8，a 1·a 3＝a 22，∴a 2＝2，∴S 3＝2
q ＋2q ＋2，∵q >0，
∴S 3≥22
q ×2q ＋2＝6，∴当q ＝1时，S 3取得最小值6.
答案：6
3． (江苏省高考名校联考信息优化卷)函数f (x )＝log 2x ，等比数列{a n }的各项大于0，首
项为1，若f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＋f (a 7)＋f (a 9)＝20，则f (a 1a 2a 3…a 10)＝________.
解析：设数列{a n }的公比为q ，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＋f (a 7)＋f (a 9)＝log 2a 1a 3a 5a 7a 9＝log 2q 20 ＝20，∴q ＝2，f (a 1a 2a 3…a 10)＝log 2a 1a 2a 3…a 10＝log 2245＝45. 答案：45
4． 在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100等于________．
解析：令a 9＋a 10＝b 1，a 19＋a 20＝b 2，…，a 99＋a 100＝b 10.它们构成以b a
为公比的等比数列．所
以a 99＋a 100＝a ·⎝⎛⎭⎫b a 9＝b 9
a
8. 答案：b 9
a
8
5． 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{a n }是公比为q 的无
穷等比数列，下列{a n }的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________ 组．(写出所有符合要求的组号)
①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n . (其中n 为大于1的整数，S n 为{a n }的前n 项和．)
解析：①∵a 1＝S 1，a 2＝S 2－S 1，q 确定，∴等比数列{a n }确定．
②由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2q ＋a 2＋a 2q ，q ＋1
q ＋1－S 3a 2＝0，即q 2＋(1－S 3a 2)q ＋1＝0.不能唯一
确定q ，从而该数列不能唯一确定．③q n －
1＝a n a 1，n 为奇数时，n －1为偶数，
q 不能唯一确定．④a 1＝a n
q n －1
唯一确定，即{a n }唯一确定． ∴①④满足题意． 答案：①④
6． 在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1)(n ≥2，n ∈N *)，这个数
列的通项公式是________． 解析：由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1① 当n ≥3时，a n －1＝2S n －2②
①－②整理得a n
a n －1＝3，(n ≥3)，又a 2＝2S 1＝2a 1＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1， n ＝1，2×3n －2， n ≥2. 答案：a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1， n ＝12×3n －2
， n ≥2 7．(2009·盐城调研)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝8，
则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n
＋1
＝________.
解析：设数列{a n }的公比为q ，则q 2
＝a 4a 2＝4，q ＝±2，a 21＝a 2
2
q
2＝1，
所以a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝a 2
1(q ＋q 3＋q 5＋…＋q 2n －
1)＝q ＋q 3＋…＋q 2n
－1
＝q (1－q 2n )1－q 2＝±23(1－4n )． 答案：±2
3(1－4n )
二、解答题
8．(2010·江苏通州市高三素质检测)已知等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d 为整数，
且满足a 1＋3<a 3，a 2＋5>a 4，数列{b n }满足b n ＝1
a n ·a n ＋1
，其前n 项和为S n ， (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若S 2为S 1，S m (m ∈N *)的等比中项，求正整数m 的值．
解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋3<a 1＋2d ，a 1＋d ＋5>a 1＋3d ，
解得32<d <5
2.
又d ∈Z ，∴d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. (2)∵b n ＝
1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝
⎛⎭⎫1
2n －1－12n ＋1，
∴S n ＝1
2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝
n 2n ＋1. ∵S 1＝13，S 2＝2
5，S m ＝m 2m ＋1，S 2为S 1，S m (m ∈N *)的等比中项，
∴S 2
2＝S m S 1，即⎝⎛⎭⎫252＝13·m 2m ＋1
，解得m ＝12. 9．(2010·武进高级中学第一学期期中考试)在各项为负数的数列{a n }中，
已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝
8
27
. (1)求证：{a n }是等比数列，并求出通项；
(2)试问－16
81是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理
由．
(1)证明：∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23∴数列{a n }是公比q ＝2
3的等比数列
又∵a 2·a 5＝
827，∴a 1q ·a 1q 4＝827
，即a 21·⎝⎛⎭⎫235＝827. ∵数列各项均为负数，∴a 1＝－32∴a n ＝－32×⎝⎛⎭
⎫23n －1＝－⎝⎛⎭⎫23n －2. (2)解：设a n ＝－1681，由(1)令－16
81＝－⎝⎛⎭⎫23n －2∴⎝⎛⎭⎫234＝⎝⎛⎭⎫23n －2，∴4＝n －2，即n ＝6 ∴－1681是数列{a n }的第六项，即a 6＝－1681
.
10．(2010·句容高级中学调研)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，
且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)．
(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *， a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．
(1)证明：由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得 a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.
又b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)解：由(1)a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －
2，(n ≥2)．
将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －
2(n ≥2)．
所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋1－q n －1
1－q ，q ≠1，n ，q ＝1.上式对n ＝1显然成立． (3)证明：由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1. 由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8， 由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①
整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2或q 3＝1(舍去)．于是q ＝－3
2.
另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋
2－q n －
11－q ＝q n －
11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －
1－q n ＋
51－q ＝q n －
1
1－q
(1－q 6)．
由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，n ∈N *.
1． 一正项等比数列前11项的几何平均数为25，从11项中抽去一项后所剩10项的几
何平均数仍是25，那么抽去的这一项是________项． 解析：根据已知条件
11
a 1a 2…a 11＝25，即a 1a 2…a 11＝255，即a 1q 5＝25，
假设抽去第n 项，则 10a 1a 2…a 11
a 1q
n －1＝25，∴a 1q n －1＝255250＝25，∴q 5＝q n －1.解得n ＝6. 答案：6
2．(2010·全国大联考江苏卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足关系式：(2＋t )S n ＋1－
tS n ＝2t ＋4(t ≠－2,0，n ∈N *)．
(1)当a 1为何值时，数列{a n }是等比数列？
(2)在(1)的条件下，设数列{a n }的公比为f (t )，数列{b n }满足b 1＝1，b n ＝f (b n －1)(n ＝ 2,3,4，…)，求b n ；
(3)在(2)条件下，如果对一切n ∈N *，不等式b n ＋b n ＋1<c
2n ＋1恒成立，
求实数c 的取值范围．
解：(1)(2＋t )S n ＋1－tS n ＝2t ＋4，n ≥2时，(2＋t )S n －tS n －1＝2t ＋4， 两式相减得(2＋t )(S n ＋1－S n )－t (S n －S n －1)＝0.
(2＋t )a n ＋1－ta n ＝0，a n ＋1a n ＝t 2＋t ，即n ≥2时，a n ＋1a n 为常数t
2＋t ，当n ＝1时，(2＋t )S 2－
tS 1＝2t ＋4，
(2＋t )(a 2＋a 1)－ta 1＝2t ＋4.解得a 2＝
2t ＋4－2a 1
2＋t
.
要使{a n }是等比数列，必须a 2a 1＝t 2＋t ，∴2t ＋4－2a 1(2＋t )a 1＝t
2＋t ，解得a 1＝2.
(2)由(1)得，f (t )＝
t
2＋t ，因此当n ≥2时，有b n ＝b n －12＋b n －1
， 即1b n ＝2b n －1＋1.整理得1
b n ＋1＝2⎝⎛⎭
⎫1b n －1＋1. 则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n ＋1是首项为1
b 1＋1＝2，公比为2的等比数列．
∴1b n
＋1＝2·2n －
1＝2n ⇒b n ＝12n －1.
(3)把b n ＝12n －1，b n ＋1＝12n ＋1－1代入得：12n －1＋1
2n ＋1－1<c 2n ＋1，即c >2n ＋12n －1＋2n ＋12n ＋1－1.
要使原不等式恒成立，c 必须比上式右边的最大值大，
而2n
＋12n －1＋2n
＋12n ＋1－1＝1＋22n －1＋12(2n ＋1－1)＋3
22n ＋1
－1
＝32＋22n －1＋3
2(2n ＋1－1). ∴2n ＋12n －1＋2n ＋1
2n ＋1－1的值随n 的增大而减小． 即当n ＝1时，2n ＋12n －1＋2n ＋1
2n ＋1－1取得最大值4.
∴实数c 的取值范围是c >4.。