高考数学突破圆锥曲线的综合问题2

a－b＝2 a－b＝－2 ∴a＋b＝12 或a＋b＝－12 (舍去)
∴a＋b＝12.
【答案】 B
2．已知 F1、F2 为椭圆x22＋y2＝1 的两个焦点，
过 F1 作倾斜角为π4的弦 AB，则△F2AB 的面积
为( )
23
4
A. 3
B.3
43 C. 3
4 D. 3
2－1
【解析】 直线 AB 为 y＝x－1 与椭圆方程x22＋ y2＝1 联立，消去 x 得 3y2＋2y－1＝0，解得 y1 ＝－1，y2＝13. S△F2AB＝12|F1F2|1＋13＝43. 【答案】 B
【解析】 设点 P 坐标为(x0，y0)． ∵x420－y20＝1，得 y0＝±12 x20－4，
∴点 M 的坐标为 xM＝x20，yM＝±14 x20－4.
两式联立消去 x0，得点 M 的轨迹方程为 x2－4y2＝1.
【答案】 x2－4y2＝1
5．若焦点是(0，±5 2)的椭圆截直线 3x －y－2＝0 所得弦的中点的横坐标是21，则 该椭圆的方程是________．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆xa22＋by22＝1(a＞b ＞0)上不同的两点，且 x1≠x2，x1＋x2≠0， M(x0，y0)为 AB 的中点，
则aaxx212222＋ ＋bbyy212222＝ ＝11
两 即式 _k_A_相B__减·xy_00_可＝__得－__：ba_22这xy11－－是yx一22·xy个11＋＋有yx用22＝的－关ba系22 式．
－233＜k＜233，且 k≠±1 时， 方程(*)有两解，方程组有两解，故直线与双曲 线有两个交点．
②由 Δ＝4(4－3k2)＝0，得 k＝±233时，方程 组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点， 此时直线与双曲线相切．
③由 Δ＝4(4－3k2)＜0 得 k＜－233或 k＞233 时，方程组无解，故直线与双曲线无交点．
• (4)参_数__法______：恰当引入参数，将动 点纵、横坐标用参数表示，再联立消 去参数得曲线方程．
1．若双曲线 x2－y2＝1 的右支上一点 P(a，b)
到直线 y＝x 的距离为 2，则 a＋b 的值为( )
A．－5
1 B.2
C．±21
D．±2
【解析】
|a－b|＝ 2
2⇒a－b＝±2
【答案】 2x52＋7y52 ＝1
直线与圆锥曲线的位置关系
• 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x －1)，讨论双曲线与直线的公共点个 数．
• 【思路点拨】
数
【自主解答】 联立方程组xy＝2－ky(2x＝－41) 消去 y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)
(1)当 1－k2＝0，即 k＝±1 时，方程(*)化为 2x ＝5. 方程组有一解，故直线与双曲线有一个公共点， 此时直线与双曲线的渐近线平行． (2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时， ①由 Δ＝4(4－3k2)＞0 得，
【解析】 设椭圆方程为ay22＋a2－x250＝1， 将此椭圆方程与直线方程 3x－y－2＝0 联 立消去 y 得 (10a2－450)x2－12x(a2－50)－a4＋54a2－ 200＝0.
又因为 x1＋x2＝2×12＝1，即1120·a(a2－2－45500) ＝1， 所以 a2＝75，故椭圆方程为2x52＋7y52 ＝1.
类似的可得圆锥曲线为双曲线 xa22－by22＝1 时，有_k_A_B_·x_y00_＝__ba_22_.
• 3．轨迹问题 •定求_义_轨_法_迹__方__程、代时入法常采用参的数方法直法接有法
__定__义_法___、_________、________等 ．
• (1) ________：分析题设几何条件，根 据圆
• 锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型 曲线，直接求出该曲线方程．
• (2直) _接__法_____：根据题设动点轨迹的几 何条件，列出含动点坐标(x，y)的解 析代式入．法
• (3) ________：相关点轨迹问题，主动 点Q在已知曲线f(x，y)＝0上运动，求 与之相关动点P的轨迹，找出Q、P两 点坐标间关系，再代入主动点Q所满 足的曲线f(x，y)＝0.
综上所述，当 k＝±1 或 k＝±233时，直线与双 曲线有一个公共点，当－233＜k＜－1 或－1＜ k＜1 或 1＜k＜233时，直线与双曲线有两个公 共点，
当 k＜－233或 k＞233时，直线与双曲线无公 共点．
• 直线与圆锥曲线的位置关系
• (1)从几何角度来看有三种：相离、相 交和相切．相离和相切时，直线与圆 锥曲线分别无公共点和有一个公共点 ；相交时，直线与椭圆有两个公共点 ，与双曲线、抛物线的公共点的个数 可能为一个或两个．
• ②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
• (ⅰ)当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交 于不同两点；
• (ⅱ)当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切 于一点；
• (ⅲ)当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有 公共点．
• 要注意数形结合思想的应用，做题时 ，最好先画出草图，注意观察、分析 图形的特征，将数与形结合起来．
• [教师选讲]直线l：y＝kx＋1，抛物线 C：y2＝4x，当k为何值时l与C有(1)一 个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公 共点．
解得 3－2 2＜λ＜3＋2 2. 又∵0＜λ＜1， ∴3－2 2＜λ＜1. ∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范 围是(3－2 2，1)．
• 解决圆锥曲线的最值与范围问题常见 的解法有两种：几何法和代数法．若 题目的条件和结论能明显体现几何特 征和意义，则考虑利用图形性质来解 决，这就是几何法．若题目的条件和 结论能体现一种明确的函数关系，则 可首先建立起目标函数，再求这个函 数的最值，这就是代数法．
【解析】 (1)直线 l：y＝kx＋ 2 代入椭圆的方程得，
(k2＋12)x2＋2 2kx＋1＝0. Δ＝(2 2k)2－4(k2＋21)＞0，
解得 k＞ 22或 k＜－ 22. ∴k 的取值范围为(－∞，－ 22)∪( 22， ＋∞)
(2)通过直线与圆锥曲线的方程研究 它们的位置关系．
设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆 锥曲线的方程为f(x，y)＝0.
由Af(xx＋ ，By)y＝＋0C＝0 ，消元 如消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0. ①若 a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛 物线时，直线 l 与抛物线的对称轴平行(或 重合)．
• 【思路点拨】 把面积比表示为坐标 之间的关系，然后根据根与系数的关 系，找出面积比与k2的关系，最后根 据k2的范围求面积比的范围．
【自主解答】 (1)设椭圆的方程为 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，
则 e＝ac＝ 22① ∵抛物线 x2＝4y 的焦点为(0,1)， ∴0a22＋1b22＝1② 由①②解得 a2＝2，b2＝1. ∴椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.
平行或重合
• 线的位置关系是_____________；若 为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴 的位置关系
• 是______________．
2．圆锥曲线的弦长、焦点弦 直线与圆锥曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线斜率为 k，一般弦长公式． |AB|＝ (1＋k2) [(x1＋x2)2－4x1x2] ＝___1_＋__k_2|_x_1－__x_2_| _
0. (1)当 a≠0 时，则有 Δ＞0，直线 l 与圆锥曲 线_相__交__于__不__同__两__点__；Δ＝0，直线 l 与圆锥曲 线__相__交__于__一__点___；Δ＜0，直线 l 与圆锥曲线 __没__有__公__共__点____．
• (2)当a＝0时，即得到一个一次方程， 则直
• 线l与圆锥曲线相交，且只有一个交点 ，此时，若为双平行曲或线重，合则直线l与双曲 线的渐近
• (2)当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公 共点，此时直线l与C相切；
• (3)当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点 ，此时直线l与C相离．
最值与范围问题
已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆， 离心率 e＝ 22，且经过抛物线 x2＝4y 的 焦点．
• (1)求椭圆的标准方程；
• (2)若过点B(2,0)的直线l(斜率不等于零 )与椭圆交于不同的两点E、F(E在B、 F之间)，试求△OBE与△OBF面积之 比的取值范围．
3．已知定点 A、B 且|AB|＝4，动点 |的最小值是( )
1
3
A.2
B.2
7 C.2
D．5
【解析】 由题作出示意图． 分析得出 P 在 P′点处|PA|min. ∴|AO|＝2，|OP′|＝23. ∴|PA|min＝2＋32＝72.
【答案】 C
4．设 P 为双曲线x42－y2＝1 上一动点， O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点， 则点 M 的轨迹方程是________．
• (5)利用函数的值域的求法，确定参数 的取值范围．
1．在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0， 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22＋y2＝1
有两个不同的交点 P 和 Q.
(1)求 k 的取值范围；
(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点 分别是 A、B，是否存在常数 k，使得向量O→P ＋O→Q与A→B共线？如果存在，求 k 的值；如 果不存在，请说明理由．
高考数学突破圆锥曲线的综合问题2
2020/12/31
• 1．直线和圆锥曲线位置关系 • 判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时
，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝ 0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线的方 程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得 到一个关于变量x(或变量y)的一元方 程．
即AFx(x＋，Byy)＋ ＝0C，＝0， 消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝
(2)如图，由题意知直线 l 的斜率存在且不 为零，设 l 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)③ 将③代入x22＋y2＝1 整理得 (2k2＋1)x2－8k2x＋(8k2－2)＝0，
由 Δ＞0 得 0＜k2＜12.
设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，
x1＋x2＝2k82k＋2 1
则x1·x2＝82kk22－ ＋21
＝ 1＋k12[(y1＋y2)2－4y1y2]＝ _____1_＋__k1_2 _|y_1__－____. 若y弦2| 过焦点，可用焦半径公式来表示弦长，简
化运算．
如xa22＋by22＝1(a＞b＞0) |AB|＝_2_a_－__e_(_x_1_＋__x_2)__ (过右焦点) |AB|＝__2_a_＋__e_(x_1_＋__x_2_)_ (过左焦点) 如抛物线 y2＝2px(p＞0) |AB|＝_x_1_＋__x_2_＋__p_____
④
令
λ＝SS△ △OOBBEF，则
→ λ＝|B→E|.
|BF|
由此可得B→E＝λB→F， ∴λ＝xx12－ －22且 0＜λ＜1. 由④知(x1－2)＋(x2－2)＝2k－2＋4 1， (x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4 ＝2k22＋1.
∴(1＋λ λ)2＝2k28＋1，即 k 2＝(1＋4λλ)2－12. ∵0＜k2＜12，∴0＜(1＋4λλ)2－12＜12.
【解析】 将 l 和 C 的方程联立
y＝kx＋1， y2＝4x.
消去 y 得
k2x2＋(2k－4)x＋1＝0①
当 k＝0 时，方程①只有一个解 x＝41，∴y ＝1.
∴直线 l 与 C 只有一个公共点14，1，此 时直线 l 平行于对称轴．
当 k≠0 时，方程①是一个一元二次方程， Δ ＝ (2k － 4)2 － 4k2 ＝ － 16k ＋ 16 ＝ － 16(k －1)． (1)当 Δ>0，即 k<1 且 k≠0 时，l 与 C 有 两个公共点，此时直线 l 与 C 相交；
• 在利用代数法解决最值与范围问题时 常从以下五个方面考虑：
• (1)利用判别式来构造不等关系，从而 确定参数的取值范围；
• (2)利用已知参数的范围，求新参数的 范围，解这类问题的核心是在两个参 数之间建立等量关系；
• (3)利用隐含的不等关系建立不等式， 从而求出参数的取值范围；
• (4)利用已知的不等关系构造不等式， 从而求出参数的取值范围；