高中数学 1.2.3 弦切角定理课件 北师大版选修41
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第十七页，共29页。
∴AADB＝DADE， ∴AD2＝AB·DE. ∵CD∥AB， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又知∠2＝∠4，∴∠1＝∠3，
∴
，∴AD＝BC，
∴BC2＝AB·DE.
第十八页，共29页。
(教材第 16 页练习第 2 题Байду номын сангаас已知：△ABC 内接 于⊙O，∠CAD＝∠B.
(1)AB 经过圆心 O(图(1))，求证：AD 是⊙O 的切线； (2)AB 不经过圆心 O(图(2))，求证：AD 是⊙O 的切线．
第二十六页，共29页。
3．如图 1－2－49 所示，已知直线 CD 与⊙O 相切于点 C， AB 为直径，若∠BCD＝40°，则∠ABC 的大小等于________．
图 1－2－49 【解析】 ∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠A＝∠BCD＝40°， ∴∠ABC＝90°－40°＝50°. 【答案】 50°
第二十九页，共29页。
第二十页，共29页。
【命题意图】 本题主要考查弦切角及圆的有关性质、 三角形全等及直角三角形性质等知识．
【证明】 (1)由直线 CD 与⊙O 相切，得∠CEB＝∠EAB. 由 AB 为⊙O 的直径，得 AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF ＝π2； 又 EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝2π. 从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB. (2)由 BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边， 得 Rt△BCE≌Rt△BFE，所以 BC＝BF.
求证：EC＝ED.
图 1－2－42
第十页，共29页。
【证明】 ∵PE 切⊙O 于点 E， ∴∠BEP＝∠A， ∵PC 平分∠APE，∴∠3＝∠4， 又∵∠1＝∠3＋∠A，∠2＝∠4＋∠BEP， ∴∠1＝∠2，∴EC＝ED.
第十一页，共29页。
弦切角定理(dìnglǐ)的综合应用
如图 1－2－43，PA、PB 是⊙O 的切线，点 C 在 上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为 D、E、 F，求证：CD2＝CE·CF.
夹角为 35°，过 C 点的切线 PC 与 AB 的延长线交于点 P，则
∠P 等于( )
A．15°
B．20°
C．25° D．30°
图 1－2－48
第二十五页，共29页。
【解析】 如图，连接 BC， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠PCB＝∠CAB＝35°. 又∠PBC＝∠CAB＋∠ACB ＝35°＋90°＝125°， ∴∠P＝180°－125°－35°＝20°. 【答案】 B
第五页，共29页。
2．如何正确使用弦切角定理？ 【提示】 要正确使用弦切角定理，第一步要找到弦切 角，弦切角的特点是：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3) 一边与圆相切，这三个条件缺一不可．第二步要准确地找到 弦切角所夹的弧，再看这段弧上的圆周角，再用弦切角定理 解题，如果没有圆周角，有这段弧所对的圆心角也行．
【自主解答】 连接 CD，∵AB 切圆于 D 点． ∴∠CDB＝∠DFC.
∵G 为 的中点， ∴∠CDB＝∠DFC＝2∠CFG. ∵D 为直角三角形 ACB 的斜边中点， ∴CD＝AD，∴∠CDB＝2∠DCE. ∵∠DCE＝∠EFD， ∴∠CFG＝∠EFD.
第八页，共29页。
1．本题在证明过程中，多次使用了角的转化，而转化的 依据是弦切角定理和圆周角定理．
第二十七页，共29页。
4．如图 1－2－50，在⊙O 中，AB 为弦，AC 为⊙O 的切 线，过 B 点作 BD⊥AC 于 D，BD 交⊙O 于 E 点，若 AE 平分 ∠BAD，则∠ABD＝________.
图 1－2－50
第二十八页，共29页。
【解析】 由题意知∠ABD＝∠DAE＝∠EAB， 又∵∠ABD＋∠DAE＋∠EAB＝90°， ∴∠ABD＝30°. 【答案】 30°
∠B＝( )
A．32°
B．42°
C．52°
D．48°
图 1－2－47
第二十三页，共29页。
【解析】 如图，连接 AC. ∵∠BCM＝38°， MN 是⊙O 的切线， ∴∠BAC＝38°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠B＝90°－38°＝52°. 【答案】 C
第二十四页，共29页。
2．如图 1－2－48 所示，已知⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的
2．利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角 所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运 用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的 弦切角．
第九页，共29页。
如图 1－2－42，⊙O 的弦 AB 的延长线和切线 EP 相交于 点 P，E 为切点，∠APE 的平分线和 AE、BE 分别相交于 C、 D.
图 1－2－39
第三页，共29页。
1．如图 1－2－40 所示，CE 是⊙O 的切线，切点为 C， 你能说出弦切角∠BCE 与弦切角∠ACE 所夹的弧吗？
图 1－2－40
第四页，共29页。
【提示】 弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对 的夹在弦切角内部的一条弧，如图所示，弦切角∠BCE 所夹 的弧是 ，弦切角∠ACE 所夹的弧是 .
2．3 弦切角定理
课 标 解 读
1.理解弦切角的定义． 2．掌握弦切角定理，并能解决与 弦切角有关的问题．
3．体会分类思想、运动变化思想 和化归思想.
第一页，共29页。
1．弦切角定义 顶点在 圆 上，一边和圆 相交(x，iān另gj一iāo边) 和圆 相切 的 角叫做弦切角．
第二页，共29页。
2．弦切角定理 (1)文字语言 弦切角等于它 所夹弧 所对的圆周角；弦切角的度数等 于它所夹弧的度数的 一半(yī．bàn) (2)图形语言 如图 1－2－39，AB 与⊙O 切于 A 点，则∠BAC＝ ∠ADC .
第六页，共29页。
弦切角定理的简单(jiǎndān)运用
如图 1－2－41，一圆过直角三角形 ABC 的直角 顶点 C，且与斜边 AB 相切于 D 点，AD＝DB，G 为 中点， F 为 上任一点，求证：∠CFG＝∠EFD.
图 1－2－41
第七页，共29页。
【思路探究】 解答本题可先添加辅助线 CD，构造弦切 角∠CDB.再利用弦切角定理及直角三角形的性质，求证结论 成立．
图 1－2－43
第十二页，共29页。
【思路探究】
第十三页，共29页。
【自主解答】 连接 CA、CB. ∵PA、PB 是⊙O 的切线． ∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB. 又 CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽Rt△CBD， Rt△CBF∽Rt△CAD，∴CCAB＝CCDE ，CCBA＝CCDF ， ∴CCDE＝CCDF，即 CD2＝CE·CF.
图 1－2－45
第十九页，共29页。
(2013·辽宁高考)如图 1－2－46，AB 为⊙O 的直 径，直线 CD 与⊙O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD 于 C，EF 垂直 AB 于 F，连接 AE，BE.
图 1－2－46 证明： (1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC.
第二十一页，共29页。
类似可证 Rt△ADE≌Rt△AFE， 得 AD＝AF. 又在 Rt△AEB 中，EF⊥AB， 故 EF2＝AF·BF， 所以 EF2＝AD·BC.
第二十二页，共29页。
1．如图 1－2－47，四边形 ABCD 是圆的内接四边形，
AB 是直径，MN 是切圆于 C 点的切线，若∠BCM＝38°，则
第十五页，共29页。
如图 1－2－44，AB 为⊙O 的直径，弦 CD∥AB，AE 切 ⊙O 于 A，交 CD 的延长线于 E.求证：BC2＝AB·DE.
图 1－2－44
第十六页，共29页。
【证明】 连接 BD、OD、OC， ∵AE 切⊙O 于 A， ∴∠EAD＝∠ABD，且 AE⊥AB. 又 AB∥CD， ∴AE⊥CE， ∴∠E＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠E＝∠ADB， ∴△ADE∽△BAD，
第十四页，共29页。
1．解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三 角形中，需用中间量过渡．
2．弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明， 然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中 证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．
3．弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它 们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通 常都作为辅助工具出现．
∴AADB＝DADE， ∴AD2＝AB·DE. ∵CD∥AB， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又知∠2＝∠4，∴∠1＝∠3，
∴
，∴AD＝BC，
∴BC2＝AB·DE.
第十八页，共29页。
(教材第 16 页练习第 2 题Байду номын сангаас已知：△ABC 内接 于⊙O，∠CAD＝∠B.
(1)AB 经过圆心 O(图(1))，求证：AD 是⊙O 的切线； (2)AB 不经过圆心 O(图(2))，求证：AD 是⊙O 的切线．
第二十六页，共29页。
3．如图 1－2－49 所示，已知直线 CD 与⊙O 相切于点 C， AB 为直径，若∠BCD＝40°，则∠ABC 的大小等于________．
图 1－2－49 【解析】 ∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠A＝∠BCD＝40°， ∴∠ABC＝90°－40°＝50°. 【答案】 50°
第二十九页，共29页。
第二十页，共29页。
【命题意图】 本题主要考查弦切角及圆的有关性质、 三角形全等及直角三角形性质等知识．
【证明】 (1)由直线 CD 与⊙O 相切，得∠CEB＝∠EAB. 由 AB 为⊙O 的直径，得 AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF ＝π2； 又 EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝2π. 从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB. (2)由 BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边， 得 Rt△BCE≌Rt△BFE，所以 BC＝BF.
求证：EC＝ED.
图 1－2－42
第十页，共29页。
【证明】 ∵PE 切⊙O 于点 E， ∴∠BEP＝∠A， ∵PC 平分∠APE，∴∠3＝∠4， 又∵∠1＝∠3＋∠A，∠2＝∠4＋∠BEP， ∴∠1＝∠2，∴EC＝ED.
第十一页，共29页。
弦切角定理(dìnglǐ)的综合应用
如图 1－2－43，PA、PB 是⊙O 的切线，点 C 在 上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为 D、E、 F，求证：CD2＝CE·CF.
夹角为 35°，过 C 点的切线 PC 与 AB 的延长线交于点 P，则
∠P 等于( )
A．15°
B．20°
C．25° D．30°
图 1－2－48
第二十五页，共29页。
【解析】 如图，连接 BC， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠PCB＝∠CAB＝35°. 又∠PBC＝∠CAB＋∠ACB ＝35°＋90°＝125°， ∴∠P＝180°－125°－35°＝20°. 【答案】 B
第五页，共29页。
2．如何正确使用弦切角定理？ 【提示】 要正确使用弦切角定理，第一步要找到弦切 角，弦切角的特点是：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3) 一边与圆相切，这三个条件缺一不可．第二步要准确地找到 弦切角所夹的弧，再看这段弧上的圆周角，再用弦切角定理 解题，如果没有圆周角，有这段弧所对的圆心角也行．
【自主解答】 连接 CD，∵AB 切圆于 D 点． ∴∠CDB＝∠DFC.
∵G 为 的中点， ∴∠CDB＝∠DFC＝2∠CFG. ∵D 为直角三角形 ACB 的斜边中点， ∴CD＝AD，∴∠CDB＝2∠DCE. ∵∠DCE＝∠EFD， ∴∠CFG＝∠EFD.
第八页，共29页。
1．本题在证明过程中，多次使用了角的转化，而转化的 依据是弦切角定理和圆周角定理．
第二十七页，共29页。
4．如图 1－2－50，在⊙O 中，AB 为弦，AC 为⊙O 的切 线，过 B 点作 BD⊥AC 于 D，BD 交⊙O 于 E 点，若 AE 平分 ∠BAD，则∠ABD＝________.
图 1－2－50
第二十八页，共29页。
【解析】 由题意知∠ABD＝∠DAE＝∠EAB， 又∵∠ABD＋∠DAE＋∠EAB＝90°， ∴∠ABD＝30°. 【答案】 30°
∠B＝( )
A．32°
B．42°
C．52°
D．48°
图 1－2－47
第二十三页，共29页。
【解析】 如图，连接 AC. ∵∠BCM＝38°， MN 是⊙O 的切线， ∴∠BAC＝38°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠B＝90°－38°＝52°. 【答案】 C
第二十四页，共29页。
2．如图 1－2－48 所示，已知⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的
2．利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角 所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运 用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的 弦切角．
第九页，共29页。
如图 1－2－42，⊙O 的弦 AB 的延长线和切线 EP 相交于 点 P，E 为切点，∠APE 的平分线和 AE、BE 分别相交于 C、 D.
图 1－2－39
第三页，共29页。
1．如图 1－2－40 所示，CE 是⊙O 的切线，切点为 C， 你能说出弦切角∠BCE 与弦切角∠ACE 所夹的弧吗？
图 1－2－40
第四页，共29页。
【提示】 弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对 的夹在弦切角内部的一条弧，如图所示，弦切角∠BCE 所夹 的弧是 ，弦切角∠ACE 所夹的弧是 .
2．3 弦切角定理
课 标 解 读
1.理解弦切角的定义． 2．掌握弦切角定理，并能解决与 弦切角有关的问题．
3．体会分类思想、运动变化思想 和化归思想.
第一页，共29页。
1．弦切角定义 顶点在 圆 上，一边和圆 相交(x，iān另gj一iāo边) 和圆 相切 的 角叫做弦切角．
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2．弦切角定理 (1)文字语言 弦切角等于它 所夹弧 所对的圆周角；弦切角的度数等 于它所夹弧的度数的 一半(yī．bàn) (2)图形语言 如图 1－2－39，AB 与⊙O 切于 A 点，则∠BAC＝ ∠ADC .
第六页，共29页。
弦切角定理的简单(jiǎndān)运用
如图 1－2－41，一圆过直角三角形 ABC 的直角 顶点 C，且与斜边 AB 相切于 D 点，AD＝DB，G 为 中点， F 为 上任一点，求证：∠CFG＝∠EFD.
图 1－2－41
第七页，共29页。
【思路探究】 解答本题可先添加辅助线 CD，构造弦切 角∠CDB.再利用弦切角定理及直角三角形的性质，求证结论 成立．
图 1－2－43
第十二页，共29页。
【思路探究】
第十三页，共29页。
【自主解答】 连接 CA、CB. ∵PA、PB 是⊙O 的切线． ∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB. 又 CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽Rt△CBD， Rt△CBF∽Rt△CAD，∴CCAB＝CCDE ，CCBA＝CCDF ， ∴CCDE＝CCDF，即 CD2＝CE·CF.
图 1－2－45
第十九页，共29页。
(2013·辽宁高考)如图 1－2－46，AB 为⊙O 的直 径，直线 CD 与⊙O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD 于 C，EF 垂直 AB 于 F，连接 AE，BE.
图 1－2－46 证明： (1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC.
第二十一页，共29页。
类似可证 Rt△ADE≌Rt△AFE， 得 AD＝AF. 又在 Rt△AEB 中，EF⊥AB， 故 EF2＝AF·BF， 所以 EF2＝AD·BC.
第二十二页，共29页。
1．如图 1－2－47，四边形 ABCD 是圆的内接四边形，
AB 是直径，MN 是切圆于 C 点的切线，若∠BCM＝38°，则
第十五页，共29页。
如图 1－2－44，AB 为⊙O 的直径，弦 CD∥AB，AE 切 ⊙O 于 A，交 CD 的延长线于 E.求证：BC2＝AB·DE.
图 1－2－44
第十六页，共29页。
【证明】 连接 BD、OD、OC， ∵AE 切⊙O 于 A， ∴∠EAD＝∠ABD，且 AE⊥AB. 又 AB∥CD， ∴AE⊥CE， ∴∠E＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠E＝∠ADB， ∴△ADE∽△BAD，
第十四页，共29页。
1．解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三 角形中，需用中间量过渡．
2．弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明， 然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中 证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．
3．弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它 们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通 常都作为辅助工具出现．