2017-2018学年高中数学 选修2-2教师用书：第3章 3-2

3.2复数的四则运算
第1课时复数的加减与乘法运算
1.掌握复数代数形式的加减运算.(重点)
2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.(重点、难点)
3.掌握共轭复数的概念及应用.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1复数的加减法
阅读教材P113，完成下列问题.
1.复数的加法、减法法则
(1)条件：z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(其中a，b，c，d均为实数).
(2)加法法则：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，减法法则：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.
2.运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
判断正误：
(1)复数与向量一一对应.()
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.()
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.()
【答案】(1)×(2)×(3)×
教材整理2复数的乘法与共轭复数
阅读教材P114例1以下至P115练习以上部分，完成下列问题.
1.复数的乘法
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
(1)定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z ＝a＋b i的共轭复数记作z，即z＝a－b i.
(2)关系：若z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数⇔a＝c且b＝－d.
(3)当复数z＝a＋b i的虚部b＝0时，z＝z，也就是说实数的共轭复数仍是它本身.
1.判断正误：
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()
(2)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.()
(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.()
【答案】(1)×(2)×(3)√
2.设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
【导学号：01580062】
【解析】 (1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i. ∵其对应点在实轴上， ∴a ＋1＝0，即a ＝－1. 【答案】 －1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43－32i ＝________.
(2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z .
【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i
＝1＋i. 【答案】 1＋i
(2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.
法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，又|z |＋z ＝1＋3i ，所以x 2＋y 2＋x
＋y i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎨⎧
x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，
解得⎩⎨⎧
x ＝－4，
y ＝3，所以z ＝－4＋3i.
1.复数加、减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)把i 看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项.
2.当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般要用待定系数法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).
[再练一题]
1.复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于________. 【解析】 ∵z －(1－i)＝2i ， ∴z ＝1－i ＋2i ＝1＋i. 【答案】 1＋i
(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位.若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2
＝_______.
(2)复数(3＋2i)i ＝________.
【精彩点拨】 (1)结合复数相等分别求出a ，b 的值，然后再做复数的乘法运算或直接运用完全平方公式进行运算.
(2)直接运用结合律复数的乘法运算.
【自主解答】 (1)∵a ＋i ＝2－b i ，∴a ＝2，b ＝－1， ∴(a ＋b i)2＝(2－i)2＝22－2×2×i ＋i 2＝3－4i. (2)(3＋2i)i ＝3i ＋2i 2＝－2＋3i. 【答案】(1)3－4i (2)－2＋3i
1.两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将i 2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，
化简为复数的代数形式.
2.常用公式
(1)(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2(a ，b ∈R )； (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )； (3)(1±i)2＝±2i.
[再练一题]
2.若|z 1|＝5，z 2＝3＋4i ，且z 1·z 2是纯虚数，则z 1＝________.
【导学号：01580063】
【解析】 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z 1|＝a 2＋b 2＝5，即a 2＋b 2＝25， z 1·z 2＝(a ＋b i)·(3＋4i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i. ∵z 1·z 2是纯虚数.
∴⎩⎨⎧
3a －4b ＝0，3b ＋4a ≠0，a 2＋b 2＝25，
解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧
a ＝－4，
b ＝－3.
∴z 1＝4＋3i 或z 1＝－4－3i. 【答案】 4＋3i 或－4－3i [探究共研型]
探究1 数吗？
【提示】 若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，则z ＋z ＝2a ∈R .因此，和一定是实数；而z －z ＝2b i.当b ＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b ≠0时，两共轭复数的差是纯虚数.
探究2 若z 1与z 2是共轭复数，则|z 1|与|z 2|之间有什么关系？ 【提示】 |z 1|＝|z 2|.
已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求
z .
【精彩点拨】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ；代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.
【自主解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，
则有⎩⎨⎧ a 2＋b 2
－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩
⎨⎧
a ＝－1，
b ＝3.
所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [再练一题]
3.已知复数z 1＝(－1＋i)(1＋b i)，z 2＝a ＋2i 1－i ，其中a ，b ∈R .若z 1与z 2互为共
轭复数，求a ，b 的值.
【解析】 z 1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i ＋i －b ＝(－b －1)＋(1－b )i ， z 2＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a ＋a i ＋2i －22＝a －22＋a ＋22i ，
由于z 1和z 2互为共轭复数，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧
a －2
2＝－b －1，a ＋22＝－(1－b )，
解得⎩⎨⎧
a ＝－2，
b ＝1.
1.(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝________.
【解析】 (5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. 【答案】 －11i
2. i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________. 【解析】 (3＋i)(1－2i)＝3－6i ＋i －2i 2＝5－5i. 【答案】 5－5i
3.若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为________.
【解析】 z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z 2＋z 2的虚部为0. 【答案】 0
4.已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝______.
【解析】 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i ，设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.
【答案】 4＋2i 5.计算：
(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i (1＋i)；(2)(2－i)2.
【解】 (1)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＋32i (1＋i)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
3－12＋
3＋12i (1＋i) ＝
3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2
＝－1＋3i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i
＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i
＝－1＋3i.
(2)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2＝3－4i.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________。