2022年天津市西青区中考数学一模试卷

2022年天津市西青区中考数学一模试卷（带答案解析）Math CL
题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 绝对值小于3的所有整数的积等于( )
A. −36
B. 4
C. 0
D. 6
2. 下列运算正确的是( )
A. sin60°=√22
B. a 6÷a 2=a 3
C. (−2)0=2
D. (2a 2b)3=8a 6b 3
3. 2017年10月18日上午9时，中国共产党第十九次全国代表大会在京开幕．“十九大”最受新闻网站
关注.据统计，关键词“十九大”在1.3万个网站中产生数据174，000条.将174，000用科学记数法表示应为( )
A. 17.4×105
B. 1.74×105
C. 17.4×104
D. 0.174×106
4. 下列语句错误的是( )
A. 等腰三角形至少有一条对称轴
B. 线段是轴对称图形
C. 角也是轴对称图形
D. 直线不是轴对称图形
5. 如图所示几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 估算√46的大小应在( )
A. 5.5−6.0之间
B. 6.0−6.5之间
C. 6.5−7.0之间
D. 7.0−7.5之间
7. 已知二元一次方程组{x −3y =4(1)
y =2x −1(2)
，把(2)代入(1)，整理，得( )
A. x −2x +1=4
B. x −2x −1=4
C. x −6x −3=6
D. x −6x +3=4
8. 矩形OABC 在平面直角坐标系中如图所示，已知AB =10，BC =8，E 是BC 上的一点，将沿AE
折叠，点B 刚好与OC 边上点D 重合，过点E 的反比例函数与AB 相交于点F ，则线段
AF 的长为( )
A.
B.
C. D.
9. 在公式1
R =1
R 1
+1
R 2
中，已知R 1=3，R 2=2，求R ，正确的是( )
A. R =5
B. R =1.5
C. R =1.2
D. R =1
10. 已知点(2,−1)在反比例函数y =k
x (k ≠0)的图象上，则这个函数图象一定经过点( )
A. (−2,−1)
B. (−√2,√2)
C. (6,−1
2)
D. (−√3,−1)
11. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =12，AD 平分∠BAC ，
点PQ 分别是AB ，AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
12. 如图是函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分，图象与x 轴正半轴交于点(3,0)，
对称轴为x =1.则下列结论：
①b 2>4ac ；
②当−1<x <3时，ax 2+bx +c >0；
③无论m 为何实数，a +b ≥m(ma +b)；
④若t 为方程ax 2+bx +c +1=0的一个根，则−1<t <3，
上述4个判断中，正确的是( )
A. ①
B. ②④
C. ①②③④
D. ①②③
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. .已知单项式3
与−
的和是单项式，那么 −m = ．
14. 观察下面的解题过程，然后化简：
(2+1)(22+1)(24+1) =(2−1)(2+1)(22+1)(24+1) =(22−1)(22+1)(24+1) =(24−1)(24+1) =28−1
化简：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)=______．
15. 在一个不透明的口袋中，装有A ，B ，C ，D ，4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随
机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是______．
16. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y =2x +3向下平移n 个单位长度后，与直线y =−x +2的交点在
第一象限，则n 的取值范围是______ ．
17. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠A =60°，点M 是AD 边的中点，
连接MC ，将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N ，则线段EC 的长为______．
18. 如图，点A ，B ，C 在圆O 上，∠ACB =54°，则∠ABO 的度数是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分） 19. 解方程组及不等式组
(1){3x −5y =7
4x +2y =5
；
(2){x −3(x −2)≥41+2x 3>x −1．
20. 为了丰富同学们的课余生活，某学校将举行“亲近大自然”户外活动．现随机抽取了部分学生进行主
题为“你最想去的景点是”的问卷调查，要求学生只能从“A(世博园)，B(劳动公园)，C(月牙岛公园)，D(赫图阿拉城)”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图： (1)本次共调查了多少名学生？ (2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，求B(劳动公园)部分所占的圆心角度数；
(4)若该学校共有3600名学生，试估计该校最想去月牙岛公园的学生人数．
21. 已知关于x 的一元二次方程x 2−mx +m −1=0．
(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个实数根．
(2)若平行四边形ABCD 的两边AB 、AD 的长是已知方程的两个实数根． ①若平行四边形ABCD 是矩形，且m =5时．求矩形的面积？ ②当m 取何值时？平行四边形ABCD 是菱形，并求菱形边长？
22.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛F，轮船沿正南方向航
行至B处，测得小岛F在南偏东45°方向上，接原方向再航行10海里至C处，
测得小岛F在正东方向上，求A，B之间的距离．(结果保留根号)
23.一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：
销售方式粗加工后销售精加工后销售
每吨获利(元)10002000
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．
(1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
(2)如果先进行精加工，然后进行粗加工．
①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多
少利润？此时如何分配加工时间？24.小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角
相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．
【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE=PC，连接PD得到PD=PA，同时∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、
D、E四点共线，故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE.在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个
顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A+P′B+P′C>PA+PB+PC，即点P到三个顶点距离之和最小．
【探究】(1)如图2，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，证明PA+PB+PC的值最小；
【拓展】(2)如图3，△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=30°，且点P为△ABC内一点，求点P到三个顶点的距离之和的最小值．
25.已知：抛物线y=a(x2−2mx−3m2)(m˃0)交x轴于A、B两点(其中A点在B点左侧)，交y轴于点C．
(1)若A点坐标为(−1,0)，则B点坐标为______．
(2)如图1，在(1)的条件下，且am=1，设点M在y轴上且满足∠OCA+∠AMO=∠ABC，试求点M
坐标．
(3)如图2，在y轴上有一点P(0,n)(点P在点C的下方)，直线PA、PB分别交抛物线于点E、F，若PA
PE =2
3
，
求PF
PB
的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了绝对值的定义，以及有理数的乘法法则，解答时不要漏了整数0.解题时，首先根据绝对值的定义，将绝对值小于3的所有整数都写出来，再求出它们的积，据此即可得解．
【解答】
解：绝对值小于3的所有整数有：−2，−1，0，1，2，
∴(−2)×(−1)×0×1×2=0．
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：∵sin60°=√3
2
，
∴选项A不符合题意；
∵a6÷a2=a4，
∴选项B不符合题意；
∵(−2)0=1，
∴选项C不符合题意；
∵(2a2b)3=8a6b3，
∴选项D符合题意．
故选：D．
根据同底数幂的除法，零指数幂的运算方法，特殊角的三角函数值，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．
此题主要考查了同底数幂的除法，零指数幂的运算方法，特殊角的三角函数值，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握．
3.【答案】B 【解析】
【分析】
本题考查的是科学记数法有关知识，利用科学记数法的表示方法进行解答即可．
【解答】
解：174000=1.74×105．
故选B．
4.【答案】D
【解析】解：A、底边与腰不相等的等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有一条对称轴，所以等腰三角形至少有一条对称轴，故本选项正确，不符合题意；
B、线段是轴对称图形，故本选项正确，不符合题意；
C、角也是轴对称图形，故本选项正确，不符合题意；
D、直线是轴对称图形，故本选项错误，符合题意；
故选D．
轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．依此求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5.【答案】A
【解析】解：从正面看可得到一个大矩形中间上边去掉一个小矩形的图形，故选A．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
6.【答案】C
【解析】解：由6.52=42.25，72=49；
可得6.5<√46<7；
故选：C．
由于6.52=42.25，72=49，由此可得√46的近似范围，然后析选项可得答案．
此题主要考查了无理数的估算能力．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
7.【答案】D
【解析】解：{x −3y =4(1)y =2x −1(2)，
把(2)代入(1)得：x −3(2x −1)=4， 整理，得：x −6x +3=4； 故选：D ．
由代入消元法即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的解法；熟练掌握代入消元法是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】求线段AF 的长只需要求得F 的坐标，代入反比例函数的一般形式求其解析式即可.由题意可知AB =AD =OC =10，OA =BC8，根据勾股定理求出OD 的长为6，而DE =BE =BC −EC ，DC =OC −OD =10−6=4，由勾股定理求得EC =3，所以点E 的坐标(10,3)，把它代入 ，求得k =30，进
而可得出反比例函数解析式，点F 的纵坐标为8，代入解析式求得横坐标为 ，所以线段AF 的长
.故
选B ．
9.【答案】C
【解析】解：把R 1=3，R 2=2代入得：1
R =1
3+1
2， 即1
R =5
6， 因而R =1.2． 故选：C ．
把R 1=3，R 2=2代入，即可得到关于R 的方程，即可解得R 的值． 本题考查了分式方程的解法，正确解方程是关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵点(2,−1)在反比例函数y =k
x (k ≠0)的图象上， ∴k =xy =−2， 只有−√2×√2=−2
∴图象一定过(−√2,√2)， 故选：B ．
点(2,−1)在反比例函数y =k
x (k ≠0)的图象上，可以确定k 的值，再验证哪个点的纵横坐标的积也等于k 即可．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，即点的纵横坐标满足关系式，这个点就在函数的图象上，否则不在，代入验证是常用的方法．
11.【答案】C
【解析】解：如图，作点P 关于直线AD 的对称点P′，连接QP′，
在△AQP 和△AQP′中， {AP =AP′
∠QAP =∠QAP′AQ =AQ
， ∴△AQP≌△AQP′(SAS)， ∴PQ =QP′，
∴欲求PQ +BQ 的最小值，只要求出BQ +QP′的最小值，
∴当BP′⊥AC 时，BQ +QP′的值最小，此时Q 与D 重合，P′与C 重合，最小值为BC 的长． 在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，AB =12，∠BAC =30°， ∴BC =1
2AB =6，
∴PQ +BQ 的最小值是6， 故选：C ．
作点P 关于直线AD 的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ =QP′，欲求PQ +BQ 的最小值，只要求出BQ +QP′的最小值，即当BP′⊥AC 时，BQ +QP′的值最小，此时Q 与D 重合，P′与C 重合，最小值为BC 的长．
本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P 、Q 的位置是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，对称轴为x=1，
与y轴交点在正半轴，与x轴有两个交点，
∴a<0，b>0，c>0，b2−4ac>0，
∴b2>4ac，选项①正确；
∵对称轴为x=1，图象与x轴的一个交点为(3,0)，
∴另一个交点是(−1,0)，
由图象可知当−1<x<3时，y>0，
∴ax2+bx+c>0，选项②正确；
∵当x=1时，函数有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m(ma+b)，故选项③正确；
∵图象与x轴的一个交点为(3,0)，(−1,0)
若t为方程ax2+bx+c+1=0的一个根，则t为抛物线与直线y=−1的交点横坐标，
由图象可知t<−1或t>3，故选项④错误，
则正确的序号有①②③三个．
故选D．
根据函数图象得出抛物线开口向下得到a小于0，且抛物线与x轴交于两个点，得出根的判别式大于0，即选项①正确；对称轴为x=1，图象与x轴的一个交点为(3,0)，得出另一个交点是(−1,0)，由图象可知当−1< x<3时，y>0，选项②正确；由图象x=1时对应的函数值最大，得出a+b+c≥am2+bm+c，整理得出a+b≥m(ma+b)，故选项③正确；由抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，根据对称轴为x=1，利用对称性得出另一个交点的横坐标为−1，从而得到t<−1或t>3，选项④错误，即可得出正确的选项序号．此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中a由抛物线的开口方向决定，a与b同号对称轴在y轴左边；a 与b异号对称轴在y轴右边，c的符合由抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线与x轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断．13.【答案】[解]∵单项式3 与−的和是单项式
∴单项式3 与−是同类项
∴m=4，n−1=2
∴m=4，n=3
∴n−m=3−4=−1故本题答案为：−1。

【解析】[解析]本题考察同类项的概念，两个单项式的和是单项式，必须是同类项可以合并，
由此知相同字母的指数必须相同，从而求出m和n ，也就可求得−m的值。

[类型题]单项式——确定单项式中字母指数中的字母的值
14.【答案】1
2
(316−1)
【解析】解：原式=1
2
(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)
=
1
2
(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)
=
1
2
(34−1)(34+1)(38+1)
=
1
2
(38−1)(38+1)
=1
2
(316−1)，
故答案为：1
2
(316−1)
原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
15.【答案】1
4
【解析】
【分析】
本题主要考查了概率，解决问题的关键是掌握树状图法，为中档题．
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= m
n
．
可以根据画树状图的方法，先画树状图，再求得两次摸到同一个小球的概率．
【解答】
解：画树状图如下：
∴P(两次摸到同一个小球)=4
16=1
4 故答案为：1
4．
16.【答案】1<n <7
【解析】解：直线y =2x +3向下平移n 个单位后可得：y =2x +3−n ， 联立两直线解析式得：{y =2x +3−n
y =−x +2，
解得：{x =n−1
3
y =7−n 3，
即交点坐标为(
n−13,
7−n 3
)，
∵交点在第一象限， ∴{n−1
3
>07−n 3>0
，
解得：1<n <7． 故答案为：1<n <7．
直线y =2x +3向下平移n 个单位长度可得：y =2x +3−n ，求出直线y =2x +3−n 与直线y =−x +2的交点，再由此点在第一象限可得出n 的取值范围．
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0．
17.【答案】2√7−2
【解析】解：如图所示：过点M 作MF ⊥CD 的延长线于点F ，
∵在边长为4的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 为AD 中点， ∴2MD =AD =CD =4，∠FDM =60°，
∴∠FMD =30°， ∴FD =1
2MD =1，
∴CF =5，
∴FM =DM ×cos30°=√3， ∴MC =√FM 2+CF 2=2√7，
∴EC =MC −ME =MC −AM =2√7−2． 故答案为：2√7−2．
此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质以及锐角三角函数定义等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
过点M 作MF ⊥CD 的延长线于点F ，根据在边长为4的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 为AD 中点，得到2MD =AD =CD =4，从而得到∠FDM =60°，∠FMD =30°，进而利用锐角三角函数关系，勾股定理与折叠的性质即可求出EC 的长．
18.【答案】36°
【解析】解：根据题意得∠AOB =2∠ACB =2×54°=108°， ∵OA =OB ， ∴∠ABO =∠BAO ，
∴∠ABO =1
2
(180°−∠AOB)=1
2
(180°−108°)=36°．
故答案为36°．
先利用圆周角定理得到∠AOB =2∠ACB =108°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABO 的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
19.【答案】解：(1){
3x −5y =7①
4x +2y =5②
，
①×2+②×5得：26x =39， 解得：x =1.5，
把x =1.5代入①得：4.5−5y =7， 解得：y =−0.5，
所以方程组的解是：{x =1.5
y =−0.5；
(2){x −3(x −2)≥4①1+2x 3>x −1②，
解不等式①得：x ≤1， 解不等式②得：x <4， ∴不等式组的解集是x ≤1．
【解析】(1)①×2+②×5得出26x =39，求出x ，再把x =1.5代入①求出y 即可； (2)先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解(1)的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解(2)的关键．
20.【答案】解：(1)本次共调查的学生数是：15÷25%=60(名)；
(2)选择C 的人数为：60−15−10−12=23(人)， 补全条形图如图：
(3)B(劳动公园)部分所占的圆心角度数是360°10
60=60°；
(4)根据题意得：
2360
×3600≈1380(人)．
答：估计该校最想去湿地公园的学生人数约有1380人．
【解析】(1)由A 的人数除以所占的百分比即可求出本次共调查的学生数； (2)根据各项目人数之和等于总数可得C 选项的人数，从而补全统计图； (3)用360°乘以B(劳动公园)部分所占的百分比即可；
(4)用样本中最想去月牙岛公园的学生人数占被调查人数的比例乘总人数即可．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】(1)证明：∵△=m 2−4(m −1)
=m 2−4m +4 =(m −2)2≥0，
∴无论m 取何值，方程总有两个实数根；
(2)解：①当m =5时，x 2−5x +4=0，解得x 1=1，x 2=4， 即AB 、AD 的长为1、4， ∴矩形的面积=1×4=4； ②∵平行四边形ABCD 是菱形， ∴AB =AD ，
∴△=0，即(m −2)2=0，解得m =2， 方程化为x 2−2x +1=0，解得x 1=x 2=1， ∴菱形的边长为1．
【解析】(1)计算判别式的值，然后利用非负数的性质得到△≥0，从而得到结论；
(2)①先解方程得到AB 、AD 的长，然后计算矩形的面积；
②根据菱形的性质得到AB =AD ，则△=0，从而得到m =2，然后解方程可确定菱形的边长．
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，则x 1+x 2=b
a ，
x 1x 2=c
a
.也考查了根的判别式和菱形的性质．
22.【答案】解：在Rt △BCF 中，∠BFC =45°，
∴CF =BC =10，
在Rt △ACF 中，tan∠CAF =CF
AC ，即10AC
=
√3
3
， 解得，AC =10√3，
∴AB =AC −BC =10(√3−1)， 答：A ，B 之间的距离为10(√3−1)海里．
【解析】根据等腰直角三角形的性质求出CF ，根据正切的定义求出AC ，结合图形计算，得到答案． 本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的
关键．
23.【答案】解：(1)设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工，
根据题意得{x +y =12
5x +15y =140，
解得{x =4y =8
，
答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工．
(2)①精加工m 吨，则粗加工(140−m)吨，根据题意得W =2000m +1000(140−m) =1000m +140000．
②∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完， ∴
m 5
+
140−m 15
≤10，解得m ≤5，
∴0≤m ≤5，
又∵在一次函数W =1000m +140000中，k =1000>0， ∴W 随m 的增大而增大，
∴当m =5时，W 最大=1000×5+140000=145000． ∴精加工天数为5÷5=1， 粗加工天数为(140−5)÷15=9．
∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元．
【解析】本题考查要点较多，分别要运用二元一次方程组的求解以及一元一次不等式的应用，解题关键在于看清题意，找到正确的等量关系，列出方程式，最后解出答案．
(1)本题等量关系为：精加工天数+粗加工天数=12，精加工吨数+粗加工吨数=140，列出方程组求解即可．
(2)①根据精加工吨数和粗加工吨数的等量关系，用精加工吨数m 来表示粗加工吨数，在列出W 与m 之间的关系，②根据题意要求先确定m 的取值范围，然后表示W 并求出W 最大值．
24.【答案】解：(1)如图1，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，
∴∠PAD =60°，△PAC≌△DAE ， ∴PA =DA 、PC =DE 、∠APC =∠ADE =120°， ∴△APD 为等边三角形，
∴PA =PD ，∠APD =∠ADP =60°，
∴∠APB +∠APD =120°+60°=180°，∠ADP +∠ADE =180°，即B 、P 、D 、E 四点共线， ∴PA +PB +PC =PD +PB +DE =BE ． ∴PA +PB +PC 的值最小．
(2)如图，分别以AB 、BC 为边在△ABC 外作等边三角形，连接CD 、AE 交于点P ，
∴AB =DB 、BE =BC =8、∠ABD =∠EBC =60°， ∴∠ABE =∠DBC ， 在△ABE 和△DBC 中， ∵{AB =DB
∠ABE =∠DBC BE =BC ， ∴△ABE≌△DBC(SAS)， ∴CD =AE 、∠BAE =∠BDC ， 又∵∠AOP =∠BOD ， ∴∠APO =∠OBD =60°，
在DO 上截取DQ =AP ，连接BQ ， 在△ABP 和△DBQ 中， ∵{AB =DB
∠BAP =∠BDQ AP =DQ ， ∴△ABP≌△DBQ(SAS)，
∴BP =BQ ，∠PBA =∠QBD ， 又∵∠QBD +∠QBA =60°，
∴∠PBA +∠QBA =60°，即∠PBQ =60°，
∴△PBQ 为等边三角形，
∴PB=PQ，
则PA+PB+PC=DQ+PQ+PC=CD=AE，
在Rt△ACE中，∵AC=6、CE=8，
∴AE=CD=10，
故点P到三个顶点的距离之和的最小值为10．
【解析】(1)将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，可得PC=DE，再证△APD为等边三角形得PA=PD、
∠APD=∠ADP=60°，由∠APB=∠BPC=120°知B、P、D、E四点共线，根据两点间线段最短即可得答案；
(2)分别以AB、BC为边在△ABC外作等边三角形，连接CD、AE交于点P，先证△ABE≌△DBC可得CD=AE、∠BAE=∠BDC，继而知∠APO=∠OBD=60°，在DO上截取DQ=AP，再证△ABP≌△DBQ可得BP=BQ、∠PBA=∠QBD，从而可证△PBQ为等边三角形，得PB=PQ，由PA+PB+PC=DQ+PQ+PC=CD=AE，Rt△ACE中根据勾股定理即可得AE的长，从而可得答案．
本题主要考查旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线
段的和通过旋转变换及全等三角形的性质转化为同一直线上的线段来求是解题的关键．
25.【答案】(3,0)
【解析】解：(1)将(−1,0)代入y=a(x2−2mx−3m2)得：1+2m−3m2=0，
解得：m=1或m=−1
3
(舍)，
∴y=a(x2−2mx−3m2)=a(x+1)(x−3)，
∴B(3,0)．
故答案为：(3,0)．
(2)当am=1时，抛物线解析式为y=x2−2x−3，
∴C(0,−3)
∴OB=OC=3，∠ABC=45°，
如图1，M在y轴负半轴上，在y轴负半轴上截取OG=OA=1，连AG，则∠AGO=45°=∠ABC，AG=√2，
∴∠OCA+∠AMO=45°，
又∵∠OCA+∠GAC=∠AGO=45°，
∴∠AMG=∠GAC，
又∵∠AGM=∠CGA，
∴△GMA∽△GAC，
∴AG2=MG⋅GC，
又GC=OC−OG=2，设M(0,a)
∴2=(−1−a)⋅2，
∴a=−2，
∴M的坐标为(0,−2)．
根据对称性可知(0,2)也符合要求．
综上所述，满足要求的M点的坐标有：(0,−2)、(0,2)．(3)由抛物线解析式可得：A(−m,0)，B(3m,0)．
∵PA
PE
=2
3
，
∴AE
AP
=1
2
，
如图2，作EG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，
则△EAG∽PAO，△PFH∽△PBO，
∴AG
AO =EG
PO
=AE
AP
=1
2
，
∴AG=1
2AO=1
2
m，OP=2EG，
∴x E=−3
2m，y E=9
4
am2，即EG=9
4
am2，
∴OP=9
2
am2，
∴P(0,−9
2
am2)，又∵B(3m,0)，
∴直线PB的解析式为：y=3
2amx−9
2
am2，
∴3
2amx−9
2
am2=a(x2−2mx−3m2)，
∴2x2−7mx+3m2=0，∴x1=3m(舍)，x2=1
2
m，
∴FH=1
2
m，
∴PF
PB =FH
BO
=
1
2
m
3m
=1
6
．
(1)将A点坐标代入抛物线解析式中求出m的值，然后可将抛物线解析式写成交点式即可知道B点坐标．
(2)先考虑M在y轴负半轴的情况，在y轴负半轴上截取OG=OA=1，连AG，可证△GMA∽△GAC，然后根据得出的等式列方程即可求出M点坐标，由对称性可直接写出另一种情况．
(3)作EG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，由△EAG∽PAO得到线段比例等式推出OP的长度，得出P点坐标，算出直线PB解析式，与抛物线解析式联立可求出F点横坐标，再由△PFH∽△PBO即可得到所求线段比．
本题为二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法、相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程等知识点．巧妙构造出相似三角形是解答的关键．。