北京十一学校奥数教程1

北京十一培训学校竞赛辅导——简单的面积问题
例1 已知△ABC 中三边长分别为，，，c b a 对应边上的高分别为354===c b a h h h ，，．求a ∶b ∶c ． 例2 E 、F 分别是□ABCD 的边AD 、AB 上的点，求证：△EBC 和△FCD 的面积相等．
F E
D C
B
A
例3 如图，□ABCD 的面积为64平方厘米，E 、F 分别为AB 、AD 的中点．求△CEF 的面积．
F
E D C
B
A
例4 如图，已知△ABC 的面积为1，且BD=21
DC ，AF=21FD ，CE=21
EF ．求△DEF 的面积．
F
E
D C
B A
例5 用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边．
F
E C
B A
例6 如图 在△ABC 中，E 是AB 的中点，D 是AC 上的一点，且AD ∶DC=2∶3，BD 与CE 交于F ，
S △ABC =40．求S AEFD ．
F
E D
C
B A
例7 如图 E ，F 分别是□ABCD 的边AD ，AB 上的点，且BE=DF ，BE 与DF 交于O ．求证：C 点到BE 的距离等于它到DF 的距离．
P F
E D C B A
练习题
1．如图 在△ABC 中，EF ∥BC ，且AE ∶EB=m ，求证：AF ∶FC=m ．
F
E C
B A
2．如图 在梯形 ABCD 中， AB ∥CD ．若△DCE 的面积是△DCB 的面积的
4
1，问：△DCE 的面积是△ABD 的面积的几分之几？ E
D
C B
A
3．如图 已知P 为△ABC 内一点，AP 、BP 、CP 分别与对边交于D 、E 、F ，把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC 的面积．
30354084P F
E
D C
B A
4．如图 P 为△ABC 内任意一点，三边c b a ，，的高分别为，，，c b a h h h 且P 到c b a ，，的距离分别为c b a t t t ，，．求证：1=++c
c b b a a h t h t h t ． P
C B A
5．如图 在梯形ABCD 中，两腰BA ，CD 的延长线相交于O ，OE ∥DB ，OF ∥AC 且分别交直线BC 于E 、F ．求证：BE=CF ．
O
F
E D
C B A
6．如图 E 是△ABC 的AC 边的中点，EF ⊥AC 交AB 延长线于F ，BD ⊥AC 于D ．求证： ABC ADF S S ∆∆=
21． F E D C
B A P D
C B A
7．平行四边形内任意一点和它的各顶点连线，将四边形分成四个三角形．求证：相对两个三角形面积和等于另两个三角形面积和．
8．E 是□ABCD 中BC 边的中点，AE 交BD 于G ，S △BEG =1．求□ABCD 的面积．
G
E D
C
B
A
9．如图，ABCD 、BEFG 是两个放在一起的正方形．请你证明ΔDEG 的面积等于大正方形BEFG 面积的一半．
G F
E
D
C B A
10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，EF ⊥AB 于F ．求证：S 梯形ABCD =AB ·EF ．
F
E D
C
B A
11．如图，已知在边长为a 的正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，P 是CE 的中点，F 是BP 的中点．求△BFD 的面积与正方形ABCD 的面积的之比．
P
E D C B A F
12．如图，正方形ABCD 中，AB=3，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30º，∠DAF=15º，求△AEF 的面积。

B
B
14．如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=2，AD=1，∠B=45º，动点E 在折线BA-AD-DC 上移动，过点E 作EP ⊥BC 于点P ，设BP=x ，请写出题中所有能用x 的代数式表示的图形的面积。