湖南省2020年中考数学三轮冲刺 名校模拟卷(教师版)

湖南省2020年中考数学三轮冲刺名校模拟卷
(本试卷满分150分，考试时间120分钟)
班级：________ 姓名：________ 得分：________
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．－2 020的绝对值的相反数是（ A ）
A．－2 020 B．2 020 C.1
2 020D．－
1
2 020
2．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ C ）
3．目前世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04 m，将0.000 000 04用科学记数法表示为4×10n，则n是（ B ）
A．8 B．－8 C．－9 D．－7
4．如图是由7个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数．这个几何体的左视图是（ C ）
5．下列计算正确的是（ D ）
A．2x2y＋3xy＝5x3y2B．(－2ab2)3＝－6a3b6
C．(3a＋b)2＝9a2＋b D．(3a＋b)(3a－b)＝9a2－b2
6．学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如下表：
售价3元4元5元6元
数目14本11本10本15本
下列说法正确的是（ A ）
A．该班级所售图书的总收入是226元
B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4
C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15
D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2
7．下列判定错误的是（ B ）
A．平行四边形的对边相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形
8．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD 交AG于F点，已知FG＝2，则线段AE的长度为（ D ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A，B型钢板共100块，并全部加工成C，D型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若童威公司将C，D型钢板全部出售，则获利最大的购买方案为（ A ）
A．购买A型钢板20块，B型钢板80块
B．购买A型钢板21块，B型钢板79块
C．购买A型钢板24块，B型钢板76块
D ．购买A 型钢板25块，B 型钢板75块
10．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋13>0，
3x ＋5a ＋4>4（x ＋1）＋3a 恰有三个整数解，则a 的取值范围是（ B ）
A ．1≤a<3
2
B ．1<a ≤3
2
C ．1<a<3
2
D ．a ≤1或a>3
2
第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
11．因式分解：x 3y ＋2x 2y ＋xy ＝ xy(x ＋1)2 .
12．关于x 的分式方程2x ＋3
x －a ＝0的解为x ＝4，则常数a 的值为10 .
13．若
（x －2）2＝2－x ，则x 的取值范围为 x ≤2 .
14．已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为s 2甲，s 2乙，则s 2甲 > (选填“>”
“＝”或“<”)s 2乙.
15．如图，以正方形ABCD 的AB 边向外作正六边形ABEFGH ，连接DH ，则∠ADH ＝ 15 度．
16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，AC 与
A ′
B ′相交于点P ，则CP 的最小值为 24
5
.
17．如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x>0)与y ＝－5
x
(x<0)的图象上，则
tan ∠BAO 的值为 5.
18．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，那么a 4＋a 11－2a 10＋10的值是 －24 . 三、解答题(本大题共8小题，共78分)
19．(8分)计算：2sin 30°－(π－2)0＋|
3－1|＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12－2.
解：原式＝2×1
2
－1＋
3－1＋4＝3＋
3.
20．(8分)先化简再求值⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －1－1÷2
a 2－1，然后从－2≤a<2中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值． 解：原式＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a a －1－1·（a ＋1）（a －1）
2 ＝a －a ＋1a －1·（a ＋1）（a －1）2＝a ＋1
2.
当a ＝－2时，原式＝－2＋12＝－12
.
21．(8分)如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为10海里．
(1)填空：∠BAC ＝ 度，∠C ＝ 度； (2)求观测站B 到AC 的距离BP(结果保留根号)．
解：(1)30；45；
(2)设BP ＝x 海里．由题意得BP ⊥AC ，
∴∠BPC ＝∠BPA ＝90°.
∵∠C ＝45°，∴∠CBP ＝∠C ＝45°，
∴CP ＝BP ＝x.在Rt △ABP 中，∠BAC ＝30°， ∴∠ABP ＝60°，∴AP ＝tan ∠ABP ·BP ＝tan 60°·BP ＝3x ，
∴
3x ＋x ＝10，解得x ＝5
3－5，∴BP ＝5
3－5.
答：观测站B 到AC 的距离BP 为(5 3－5)海里．
22．(10分)某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y(吨)与甲车间加工时间x(天)之间的关系如图①所示，未加工大米w(吨)与甲加工时间x(天)之间的关系如图②所示，请结合图象回答下列问题：
(1)甲车间每天加工大米 吨，a ＝ ；
(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y(吨)与x(天)之间的函数关系式；
(3)若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？
① ②
解：(1)20；15；
(2)设y ＝kx ＋b ，把(2，15)，(5，120)代入得
⎩⎪⎨⎪⎧15＝2k ＋b ，120＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝35，
b ＝－55，
∴y ＝35x －55(2≤x ≤5)． (3)①当0<x ≤1时，20＋15＝35<55(未装满)； ②当1<x ≤2时，20x ＋15＝55；
③当2<x ≤5时，20x ＋35x －55＝110，x ＝3，3－2＝1(天)．
∴加工2天可装满第一节车厢，再加工1天可装满第二节车厢．
23．(10分)(2019绵阳中考)如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O 出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．
（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；
（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠CAB=45°，
∴∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠DAC，
∴∠FDE=∠DFE=45°，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）设OE=t，连接OD，∴∠DOE=∠DAF=90°，∵∠OED=∠DFA，∴△DOE∽△DAF，
∴，∴t，
又∵∠AEF=∠ADG，∠EAF=∠DAG，
∴△AEF∽△ADG，∴，∴，又∵AE=OA+OE=2+t，
∴，∴EG=AE-AG=，
当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°，∴△ADF∽△BFH，
∴，∵AF∥CD，∴，∴，∴，
解得：t1=，t2=（舍去），∴EG=EH=；
（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG=，∵DE=EF，∠DEF=90°，
∴∠DEO=∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK=OE=t，∴S=．
24．(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；
（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；
（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，
∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，
∵∠PAE≠∠CAO，
∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，
此时，即：，
∴AE＝4PE，
设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，
∴OE＝4k﹣2，
将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：
k＝0或（舍去0），
则点P（，）；
（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，
∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，
∴，
∴S△PDF＝•S△BOC，
而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，
即当PD取得最大值时，S△PDF最大，
将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，
设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），
则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，
当m＝2时，PD的最大值为4，
故当PD ＝4时，∴S △PDF ＝PD 2＝．
25．(12分)为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸．在一天的抽检结束后，检测员将测得的15个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 尺寸/cm 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ 8.98
a
9.03
9.04
9.06
9.07
9.08
b
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸/cm 产品等次 8.97≤x ≤9.03 特等品 8.95≤x ≤9.05 优等品 8.90≤x ≤9.10 合格品 x<8.90或x>9.10
非合格品
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品(含特等品)计算在内． (1)已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．
(2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9 cm.①求a 的值；②将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9 cm ，另一组尺寸不大于9 cm ，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽取到的2件产品都是特等品的概率．
解：(1)∵抽检的合格率为80%，∴合格品有15×80%＝12(个)，∴非合格品有3个．而从编号①至编号⑭对应的产品中，只有编号①与编号②对应的产品为非合格品，∴编号为⑮的产品不是合格品．
(2)①从编号⑥到编号⑪对应的6个产品为优等品，中间两个产品的尺寸数据分别为8.98和a ，8.98＋a
2＝9，
∴a ＝9.02.
②在优等品当中，编号⑥，⑦，⑧对应的产品尺寸不大于9 cm ，分别记为A 1，A 2，A 3；编号⑨，⑩，⑪对应的产品尺寸大于9 cm ，分别记为B 1，B 2，B 3，其中的特等品为A 2，A 3，B 1，B 2.根据题意列表如下：
B 1 B 2
B 3
A 1 ()A 1，
B 1
()A 1，B 2
()A 1
，B 3
A 2 ()A 2
，B 1
()A 2
，B 2
()A 2
，B 3
A 3
()A 3
，B 1
()A 3
，B 2
()A 3
，B 3
∵由上表可知共有9种等可能的结果，其中2件产品都是特等品的结果有4种，∴抽取到的2件产品都是特等品的概率为4
9
.
26．(12分)(2019威海 中考)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝10cm ，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ，CE ，过E 点作EF ⊥AE ，交直线BC 于点F ．E 点从B 点出发，沿着BD 方向以每秒2cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止．设△BEF 的面积为ycm 2，E 点的运动时间为x 秒．
（1）求证：CE ＝EF ；
（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （3）求△BEF 面积的最大值．
【解答】（1）证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 于M ，交BC 于N ，
∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC ， ∴∠AME ＝∠FNE ＝90°＝∠NFE +∠FEN ，∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠AEM +∠FEN ＝90°， ∴∠AEM ＝∠NFE ，∵∠DBC ＝45°，∠BNE ＝90°，∴BN ＝EN ＝AM ，
∴△AEM ≌△EFN （AAS ），∴AE ＝EF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDE ， ∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CE ＝EF ； （2）解：在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD ＝＝10
，∴0≤x ≤5
，
由题意得：BE ＝2x ，∴BN ＝EN ＝
x ，由（1）知：△AEM ≌△EFN ，
∴ME＝FN，∵AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10﹣x，
∴BF＝FN﹣BN＝10﹣x﹣x＝10﹣2x，
∴y＝＝＝﹣2x2+5x（0≤x≤5）；（3）解：y＝﹣2x2+5x＝﹣2（x﹣）2+，∵﹣2＜0，∴当x＝时，y有最大值是；即△BEF面积的最大值是．。