北京密云第六中学2020年高三数学文测试题含解析

北京密云第六中学2020年高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
参考答案：
D 解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，
故函数是以8为周期的周期函数，
则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，
又因为f(x)在R上是奇函数，
f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，
而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，
又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，
所以f(1)＞f(0)＝0．
所以－f(1)＜0，
即f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D
2. 函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
3. 老师给出问题：“设函数f（x）的定义域是（0，1），且满足：①对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；②对于任意的x1，x2∈（0，1），恒有
≤2．请同学们对函数f（x）进行研究”．经观察，同学们提出以下几个猜想：
甲同学说：f（x）在上递减，在上递增；
乙同学说：f（x）在上递增，在上递减；
丙同学说：f（x）的图象关于直线x=对称；
丁同学说：f（x）肯定是常函数．
你认为他们的猜想中正确的猜想个数有( )
A．3个B．2个C．1个D．0个
参考答案：
C
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】函数思想；函数的性质及应用．
【分析】利用赋值法，结合基本不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：令x1=1﹣x2，
则不等式≤2等价为+≤2，
由①知对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；
则+≥2=2，
故+=2当且仅当==1即f（x2）=f（1﹣x2）时成立．
此时函数f（x）关于x=对称，
故丙猜想正确．其他不一定正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合基本不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
4. 已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
D
略
5. 在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）
A．B．C．D．1﹣
参考答案：
D
【考点】几何概型．
【分析】根据题意，求出满足条件的点P所组成的几何图形的体积是多少，
再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可．
【解答】解：符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，
且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外；
根据几何概型的概率计算公式得，
P==1﹣．
故选：D．
6. 在中，是BC的中点，且，则
（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
7. 给定下列结论：
①已知命题p：；命题q：则命题“”是假命题；
②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；
③命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；
④函数与函数互为反函数.
正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3
D．4
参考答案：
C
略
8. 设(i是虚数单位)，则=
(A)-i (B)i (C)0 (D)1
参考答案：
9. 设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是
A. B. C. D.
参考答案：
D
不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。

各点的坐标为,所以
,根据几何概型可知所求概率为,选
D.
10. 已知函数（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表
面积与该圆柱的侧面积之差是_________．
参考答案：
32π
如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积
＝，当时，S取最大值，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为．
12. 函数，，，若存在实数，使得
成立，则a的取值范围是______．
参考答案：
【分析】
由题意可得成立，可令，求得导数和单调性、极值和最小值，可令最小值小于0，即可得到所求范围．
【详解】函数，，，
若存在实数，使得成立，
可得成立，
可令，
，
由，时，，递增；
时，，递减，
可得处取得极小值，且为最小值，
可得，解得，
故a的范围是．
【点睛】本题考查不等式成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，考查导数的运用：判断单调性和求最值，考查运算能力，属于中档题．导数问题经常会遇见有解的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；
13. 已知对于任意的自然数n, 抛物线与轴相交于A n,B n两点，则
|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|…+|A2014B2014|=
参考答案：
14. 将编号为1到4的4个小球放入编号为1到4的4个盒子，每个盒子放1个球，记随机变量为小球编号与盒子编号不一致的数目，则的数学期望
是▲
参考答案：
15. 椭圆焦距为，则．
参考答案：
1
变成标准方程由焦距，得，于是，故．
16. 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，
输出的值为．
参考答案：
4
17. 设函数的根都在区间[-2，2]内，且函数
在区间（0，1）上单调递增，则b的取值范围是。

参考答案：
试题分析：因为函数（b为常数），所以的根都在区间[-2，2]内，所以；又因为函数在区间（0，1）上单调递增，所以在区间（0，1）上恒成立，所以
综上可得：。

考点：导数的应用.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 等差数列{a n}中，其前n项和为S n，且，等比数列{b n}中，其前n项和
为T n，且，（n∈N*）
（1）求a n，b n；
（2）求{a n b n}的前n项和M n．
参考答案：
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）法1：利用等差数列的前3项求出公差与首项，再利用通项公式即可得出．法2：利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．
（2）法1：利用分组求和即可得出．
法2：利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）法1：由，a1=1…
又，所以a2=3或﹣1
因为a2=﹣1时， =1，故a2=﹣1舍去…
所以等差数列{a n）的公差d=a2﹣a1=2∴a n=2n﹣1，…
同样可得b1=1，b2=3或﹣1
因为b2=3时，，故b2=3舍去
又{b n}为等比数列，所以…
法2：，a1=1…1分，，（n≥2）
（a n﹣a n﹣1）（a n+a n﹣1）﹣2（a n+a n﹣1）=0…
（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n+a n﹣1）=0，因为{a n}为等差数列，
所以a n﹣a n﹣1﹣2=0，又a1=1∴a n=2n﹣1，…
又{b n}为等比数列，所以易得…
（2）法一：M n=a1?b1+a2?b2+…+a n?b n=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）
若n为偶数，则M n=
所以M n=﹣n…
若n为奇数，则结合上边情况可得 M n=﹣（n﹣1）+（2n﹣1）=n
综上可得M n=（﹣1）n﹣1?n…
法二：M n=1×（﹣1）0+3×（﹣1）1+5×（﹣1）2+…+（2n﹣1）×（﹣1）n﹣1…①
﹣M n=1×（﹣1）1+3×（﹣1）2+5×（﹣1）3+…+（2n﹣1）×（﹣1）n…②
①﹣②得：
2M n=1+2×（﹣1）1+2×（﹣1）2+2×（﹣1）3+…+2×（﹣1）n﹣1﹣（2n﹣1）×（﹣1）n﹣﹣
2M n=M n=n×（﹣1）n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19. 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有两个极值点,且，求a取值范围．（其中e为自然对数的底数）．
参考答案：
(1) 单调递增区间为和，单调递减区间为；
(2)
试题分析：（1）求导，利用导数的符号确定函数的单调区间；（2）求导，利用导函数，将函数存在极值问题转化为导函数对应方程的根的分布情况进行求解.
试题解析：（1）的定义域为，
，
的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）因为，令
若有两个极值点，则方程g(x)=0有两个不等的正根，所以＞０,
即(舍)或时，且，．
又，于是，
.
，则恒成立，在
单调递减，，即，故
的取值范围为．
20. （本小题满分14分）
已知向量，函数，且图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，是角A、B、C所对的边，且满足，求角B 的大
小以及的取值范围.
参考答案：
21. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，其中a为实数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
参考答案：
解：（1）时，，
故，即不等式的解集是；
（2）时，，当时，，显然满足条件，此时为任意值；
当时，；当时，可得或，求得；
综上，.
22. 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?
参考答案：
略。