2020年北京密云县第四中学高三数学文月考试题含解析

2020年北京密云县第四中学高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在中，内角所对的边长分别是。

若，则的形状为（）
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、等腰或直角三角形
参考答案：
D
2. 若正数m，n满足，则的最小值为（）
A. B. C. D. 3
参考答案：
A
【分析】
由，利用基本不等式，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3. 已知动点满足线性条件，定点，则直线MN斜率的最大值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
参考答案：C
根据可行域，当取时，直线的斜率最大为3.故选 C.
4. 执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）
A．5 B．6 C．7 D．12
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；
故输出的n值为7，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
5. 下列对应不是A到B的映射是( )
A.A＝｛x｜x≥0｝，｛y｜y≥0｝，f:x→y＝x2
B.A＝｛x｜x＞0或x＜0｝，B＝｛１｝，f:x→y＝x0
C. A＝Ｒ，B＝R，f:x→y＝2x(以上x∈A，y∈B)
D. A＝｛2,3｝,B＝｛4,9｝，f:x→y(y是x的整数倍)
参考答案：
D
略
6. 已知函数，则下列结论正确的是（）
(A)函数在区间上为增函数
(B) 函数的最小正周期为
(C) 函数的图象关于直线对称
(D) 将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象
参考答案：
C
略7. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
参考答案：
A
8. 若，则的最大值为（）
A．1 B．2
C．3 D．4
参考答案：
A
试题分析：，
，∴，，当时，.故选A．考点：三角函数的最值．
9. 已知变量x，y满足的值范围是
参考答案：
A
10. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）
A． B． C． D． 2
参考答案： A 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 用
表示a ，b 两数中的最小值．若函数
的图象关于直线x =
对
称，则
t = 。

参考答案：
1 12. 已知点
在
的内部，且有，记
的面积分别为
．若，则
；若
，则
．
参考答案：
；
考点：平面向量的几何应用
若，则,以为邻边作平行四边形OAFB ，
OF 与AB 交于D ，OF=2OD ， 又所以OD=OC ，所以
同理：
所以1:1:1.
若，则
，
作以为邻边作平行四边形OEMF ，OM 交AB 于D, 则，因为,所以所以
所以
所以
,
同理：,
,
故
13. 设常数
，若
的二项展开式中
项的系数为
，则。

参考答案：
-2
14. 已知数列是等比数列，，，那么_______；记数列
的前项和为
，则
_______.
参考答案：
4，
15. 已知定义域为I 的函数f （x ），若存在开区间（a ，b ）?I 和正的常数c ，使得任意x∈（a ，b ）都有﹣c ＜f （x ）＜c ，且对任意x ?（a ，b ）都有|f （x ）|=c 恒成立，则称f （x ）为区间I 上的“Z
型”函数，给出下列函数：①f（x ）=
；②f（x ）=
；③f（x ）
=|sinx|；④f（x ）=x+cosx ，其中是区间I 上的“Z 型”函数的是 （只需写出序号即可）
参考答案：
①
【考点】函数的值．
【分析】①根据题中的定义，逐步判断即可；
②④在x取无穷大时，函数值也为无穷大，③根据函数的图象显然可判断．
【解答】解：①当x∈（1，3）时，f（x）=4﹣2x，则﹣2＜f（x）＜2；
当x∈[3，+∞）时，f（x）=﹣2，当x∈（﹣∞，1]时，f（x）=2，
∴|f（x）|=2；即满足对任意的x∈（1，3）都有﹣C＜f（x）＜C，
且对任意的x?（1，3）都有|f（x）|=C恒成立，
即①为R上的“Z型”函数，故正确；
②④在x取无穷大时，函数值也为无穷大，
故不存在对任意的x?（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，故不是“Z型”函数，错误；
③根据函数的图象知函数为周期函数，虽然有最值，但不符合题中的条件，
不满足对任意的x∈（a，b）都有﹣C＜f（x）＜C，且对任意的x?（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，故错误．
故答案为：①．
【点评】考查了对新定义函数的理解，紧扣定义，利用定义判断是否符合定义是关键．
16. 设是定义在上的偶函数,当时, (为自然对数的底数),则的
值为 .
参考答案：
略
17.
．已知双曲线的两个焦点分别为，该双曲线与抛物线有一个公共
的焦点，且两曲线的一个交点为，，则的大小为______．（结果用反三
角函数表示）
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 当前全世界人民越来越关注环境保护问题，某地某监测站点于2018年8月起连续n天监测空气质
量指数（AQI），数据统计如下表：
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；
（3）在空气质量指数分别为[0，50]和（50，100]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取6天，从中
任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率。

参考答案：
（1）见解析（2）平均数为95，中位数为（3）
【分析】
（1）由频率分布表求出n，m，由此能完成频率分布直方图．
（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数．
（3）由题意知在空气质量指数为[0，50]和（50，100]的监测天数中分别抽取2天和4天．在所抽取
的6天中，将空气质量指数为[0，50]的2天记为x，y，空气质量指数为（50，100]的4天记为a，b，
c，d，从中任取2天，利用列举法能求出事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率．
【详解】（1）.∵，.∴n=100.
∴20+40+m+10+5=100.∴m=25
;;;，
由此完成频率分布直方图如图.
（2）.由频率分布直方图得该组数据的平均数为
25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95，
∵[0，50]的频率为0.004×50=0.2，（50，100]的频率为0.008×50=0.4，
∴中位数为
（3）.由题意知在空气质量指数为[0，50]和（50，100]的监测天数中分别抽取2天和4天.
在所抽取的6天中，将空气质量指数为[0，50]的2天记为x，y，
空气质量指数为（50，100]的4天记为a，b，c，d，
则从中任取2天的基本事件为（x，y），（x，a），（x，b），（x，c），（x，d），（y，a），（y，b），（y，c），（y，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共计15个，
其中事件A“两天空气质量等级为良”包含的基本事件有6个，∴.
【点睛】本题考查频率、平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
19. 如图，在四棱锥中,为上一点，
平面，,,，
为上一点，且．
(Ⅰ) 求证:；（Ⅱ）若，
求二面角的大小．
参考答案：
(Ⅰ) 证明：连接AC交BE于点M，连接.
由，
，
……4分
……6分
(Ⅱ)连,在平面内过作于.
由于,故.
过作于,连.则,
即为二面角的平面角. ……10分
,,
,即二面角的大小为. ……14分
略
20. 已知向量．
(I)求函数的单调增区间；
(Ⅱ)已知锐角△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c．其面积，
求b+c的值．
参考答案：
略
21. （10分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。

某人一次种植了
n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为．
（1）求n,p的值并写出的分布列；
（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
参考答案：
解析：(1)由得,-----3分
从而，的分布列为
-----5分
(2)记”需要补种沙柳”为事件A,则得--10分
22. 已知函数
（Ⅰ）若在处的切线与直线平行，求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最小值.
参考答案：
解：（I）的定义域为
由在处的切线与直线平行，则….4分
此时令
与的情况如下：
（）
所以，的单调递减区间是（），单调递增区间是………………………7分(II)由
由及定义域为，令
①若在上，，在上单调递增，；
2若在上，，单调递减；在上，，单调递增，因此在上，；
3若在上，，在上单调递减，
综上，当时，当时，当时，
…………………………………………………………………..13分
略。