13行列式展开

13
111
(x2x1)(x3x1)(x4x1) x2 x3 x4 x22 x32 x22
11
1
(x2x1)(x3x1)(x4x1)0 x3x2
x4x2
0 x3(x3x2) x4(x4x2)
11 (x 2 x 1)(x 3 x 1)(x 4 x 1)(x 3 x 2)(x 4 x 2)x 3 x 4
A41+A42+2A43+3 A44＝0 两式相减得 2A41+2A42+3A43+4 A44＝D A41+A42+A43+A44＝D
0 6 1 0
0 0 1 1 6 1 0
D= 1 1
2
0 3
1
1 ＝(－6) (－1)＝6
0 1 2 0 0 1 2
二、行列式按某k行(列)展开(k=1的特例即是一)
3 4
解： 1
0 D
0 0
1
x2 x1 x2(x2 x1) x22(x2 x1)
1
x3 x1 x3(x3 x1) x32(x3 x1)
1
x4 x1 x4(x4 x1) x42(x4 x1)
111
(x2x1)(x3x1)(x4x1) x2 x3 x4 x22 x32 x22
2020/4/5
第一章 行列式
x
3 4
[分析]相邻两行元素较接近! 末行始, 后一行加上
其前行的(-x1)倍, a11下面元素都变为0,按首列展开
按首列展开后提取各列公因
1111
子得3阶范德蒙行列式。再从 末行始, 后一行加上其前行的
D
x1
x
2 1
x2
x
2 2
x3
x
2 3
x4
x
2 4
(－x2)倍, …
x
3 1
x
3 2
x
3 3
x
15 0
15 0
5
= (-1)3+1
3 r1 r2 1 9
0
＝57
14 3
14 3
利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一
般利用有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列
式,可将某行(列)化到只剩一非零元时降阶处理.
例： 1 4 1 4 r 1 4 r 2 7 0 1 7 8
21 4 D
i1 j1
a a i1 j1 i1 j1
MM
ai1n ai1n
M
ai1 j ai1 j
M
an1 L anj1 anj1 L ann anj
0L 0
0 L 0 aij
由①
＝(－1)i＋j aij Mnn＝(－1)i＋j aij Mij ＝aijAij
2020/4/5
第一章 行列式
5
③最后
a11 a12 L a1n
x 0 0L 0 0
1x
r1r2,r2r3,
(1)n1 0
L ,rn2rn1
M
x 1x
0L xL
00 00
M
0 = (－1)n+1x n-2
0 0 L 1x 1n1
1111
例3 计算4阶范德蒙 (Vandermonde)行列式
D
x1
x
2 1
x2
x
2 2
x3
x
2 3
x4
x
2 4
x
3 1
x
3 2
x
3 3
ki
A
kj
D 0
i j i j
1 5 1 3
例4 设D 1
1
1 1
34
1 1 ，计算A41+A42+A43+A44＝0
2 2 3 4 [=a31A41+a32A42+a33A43+a34 A44]
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第一章 行列式
17
12345
22211
例5 设 D 3 1 2 4 5 ，求(1) A31+A32+A33
M
M
Dai1 ai2 L ain ai10L0 0ai2L0 L 00Lain
M
M
an1 an2 L ann
ai1 0 L 00 ai2 L 0L0 0 L ain
由②
＝ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin 证毕
6
典型例题: 计算方法——
1 1 1 2
化上(下)三角形法; 降阶法.
例1.计算D 1 1 4 1
②次证 M
M
M
D 0 0 L aij L
M
M
0 aij Aij M
an1 an2 L anj L ann
i行逐一向下交换经n－i次至末行 D
j列逐一向右交换经n－j次至末列
a11 L M
a1 j1 M
a1 j1 L M
a1n a1 j MM
ai11 L (1)nin j ai11 L
M
a a L i1 j1
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2020/4/5
第一章 行列式
1
1.3 行列式的展开定理
设 D aij n
一、行列式按某行(列)展开
1. 两个概念
(的1)第元i素行a和ij的第余j列子元式素：，在得D到的ainj n-中1阶划行去列元式素。ai记j所M在ij
(2)元素aij的代数余子式：Aij＝(－1)i+jMij 例 a i j 4 :
M
MM
MM
MM
M
ak1 L c11 L M
akk 0 L c1k b11 L MM
0 ak1 L b1s 0 L MM
akk ck1 L 0 b11 L MM
cks b1s M
cs1 L csk bs1 L bss 0 L 0 bs1 L bss
a11 L a1k b11 L b1s
前一式按前k行展开 M
2(A31+A32+A33 ) +( A34+A35 ) ＝0
(A31+A32+A33 )+2( A34+A35 ) ＝0
A31+A32+A33= 0A34+A35 =0
1 5 1 3
例6
设D
1 1
1 1
3 2
4 3
，计算A41+A42+A43+A44
2 2 34
解: a31A41+a32A42+a33A43+a34 A44＝0 a41A41+a42A42+a43A43+a44 A44＝D
an11 an12 L an1n1 an1n
0 0 L 0 ann
定 义
D
(1) a a La a (j1j2Ljn1n) 1j1 2j2
n1jn1 nn
j1j2Ljn1n
ann
(1) a a La (j1j2Ljn1) 1j1 2j2
n1jn1
annM nnannAnn
j1j2Ljn1
a11 a12 L a1 j L a1n
1. 几个概念
(aij是行列式的一阶子式)
(1)k阶子式：任选k行k列 k阶行列式，记M
(2)k阶子式的余子式：划去k阶子式所在的k行k列
n－k阶行列式， 记M
(3)k阶子式的代数余子式:A(1)i1Likj1LjkM
2. 行列式按某k行(列)展开定理(拉普拉斯定理)：
行列式D中任意选定k行(1≤k≤n),这k行元素组成
展 开 32
1 13 3
1 1
1
3 (1)1223 3
5
2 3
1 1
＝1×(－3)＋(－15)(－1)(－4)＋(－9)(－8)＝9
2020/4/5
第一章 行列式
21
5 3 1 2 0
例8 计算行列式
1 7 2 52
D 0 2 3 1 0
0 4 1 4 0
0 2 3 50
解：法一. 按末三行展开
=(x2－x1)(x3－x1)(x4－x1)(x3－x2)(x4－x2)(x4－x3)
1111
D
x1
x
2 1
x2
x
2 2
x3
x
2 3
x 4
x
2 4
(xj xi )
1i j4
x
3 1
x
3 2
x
3 3
x
3 4
14
1111
D
x1
x
2 1
x2
x
2 2
x3
x
2 3
x 4
x
2 4
(xj xi )
1i j4
的所有k阶子式(共 t
C
k n
个)与各自的代数余子式
的乘积之和等于D. 即：
D＝M1 A1＋M2 A2＋…＋Mt At
(t
C
k n
)
21 3 0
例7 用拉普拉斯定理
3 2 3 0
计算行列式
D 3
1
2
5
解：
1 1 1 1
D 按 第 1 、 2 行 21 ( 1 ) 1 2 1 2 25 23 ( 1 ) 1 2 1 3 15
1 5 14
0
2 0 3 3 2 1
3 ＝57
57 14
法2(降阶法)
r2 r1 1 1 1 2
D r3 2 r1 0 0 5 3
r4 r1 0 2 4 3
01 5 0
1 1 1 2 1 1 4 1 D 2 4 6 1 1 2 42
0 5 3
0 5 3
= (-1)1+1 2 4 3 r2 2 r3 0 1 4 3
x
3 1
x

可以证明n阶“范德蒙行列式
” 1 1 1L 1
x1 x2
Dn x12
x22
M
x3 L x32 L
xn
xn2
(xj xi )
M 1i jn
x n1 1
x n1 2
x n1 3
L
x n1 n
2020/4/5
第一章 行列式
15
3.推论:行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)的
11122 43150
(2) A34+A35
[分析]注意到第二、四行元素的特点,利用行列式
按某行展开定理的推论,将A31+A32+A33与A34+A35 分别看成整体，列方程组求解。
解:
a21A31+a22A32+a23A33+a24 A34+ a25A35＝0 a41A31+a42A32+a43A33+a44 A34+ a45A35＝0
j1
(i 1,2,L ,n)
按 第
j列
a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
n
aij Aij
(j 1,2,L,n)
展开
i1
证明思路:先证特殊情形再证一般情形；
一般情形的证明通过转化为特殊情形完成.
证①先证 a11 a12 L a1n1 a1n
a21 a22 K a2n1 a2n
D M
M annAnn
D 1 x x 1 L n3
M
M
1 x x xL 2
1 x x xL 1
[分析] 首列元素全是1,第一行乘以(－1)加到下 面各行只能使下面元素变为0,其它元素却没有规 律利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行 加其下行的(－1)倍,按首列展开后再使用该手法
2020/4/5
第一章 行列式
10
对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
即 ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0 (i≠s)
理解：
a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0 (j≠t) a i1 A s1 a i2 A s2 L a in A sn
D a s 1 A s 1 a s 2 A s 2 L a s n A s n a 1 1
a11 a13 a14
a11 a12 a14
M32＝a 2 1 a 2 3 a 2 4
a 41 a 43 a 44
A23=(-1)2+3M23= a 31 a 32 a 34
a41 a42 a44
2. 行列式按某行(列)展开定理
D
按第
展
i行
开
ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
n
aij Aij
L
a 1n
a 11 L
a 1n
M
M
M
M
a i1 L
a in
a i1 L
a in
M
M
M
M
a i1 L
a i n 第s行
a s1 L
a s n 第s行
M
M
M
M
a n1 L
a nn
a n1 L
a nn
＝0
综合定理及推论得 “代数余子式的重要性
n
k 1
a ik
A
jk
D 质 i” :j
0
i j
n
k 1
a
2 3 1
2 3 1
D4
1
4(1)(345)(234) 5
0 10
0
7 2
12
2 35
0 66
首 列 7 20
2 ＝20×(－54)＝－1080
展开 6 6
法二. 按第五列展开后再按第一列展开
应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论:
a11 L a1k 0 L 0 a11 L a1k c11 L c1s
M M
M
后一式按前k列展开
ak1 L akk bs1 L bss
2020/4/5
第一章 行列式
23
作业——P32: 8(3)(6), 9，15.
预习——1.4、1.5
下课
2020/4/5
第一章 行列式
25
2 4 6 1
解:法1 (化上三角形法)
1 2 42
1
r2 r1 0
D
r
3 r4
2
r1 r1
0 0
11
r3 2 r2 0 1 00
00
1 1 2
1
?0 5 3
0
2 4 3 r2 r4 － 0
！1 5 0
0
11
1 5
2 0
r4
5 14
r3
0 0
1 0
14 3
5 3
00
1 1 15 2 4 0 5
解：
0 1 1 1L 1 1
0 1 x 1 1 L 1 1
0 r1r2 ,r2 r3,L ,
0
D
M rn2 rn1 ,rn1 rn
1 x 1 L
11 M
0 0 0 0 L 1 x 1
1 x x xL x 1 1 1 1L 1 1
1 x 1 1 L (1)n1 0 1 x 1 L
11 11
M