高中数学 第三章 概率 3 模拟方法——概率的应用教学案 北师大版必修3

3 模拟方法——概率的应用
预习课本P150～152，思考并完成以下问题 (1)几何概型的定义是什么？
(2)古典概型与几何概型有什么区别？
(3)几何概型的概率公式是什么？
[新知初探]
1．几何概型的定义
向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积
G 的面积
，则称这种模型为几
何概型．
几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
2．几何概型的特点
(1)无限性，在一次试验中，可能出现的结果有无限个，即有无限个不同的基本事件； (2)等可能性，每个基本事件发生的可能性(概率)是均等的．
因此，几何概型适用于试验结果有无限多个且各个结果等可能发生的概率模型，主要解决有关长度、面积、体积的概率问题．
[小试身手]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( )
(2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个．( ) (3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．取一根长度为4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m
的概率是________．
解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间2 m 时，两段绳子都不少于1 m ，故所求概率为P
＝24＝12
.
答案：12
3．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是________．
解析：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为12π×12
4＝π
8.
答案：π
8
与长度(角度)有关的几何概型
[典例] 在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．
[解] 以O 为起点作射线OC 是随机的，而射线落在∠AOB 内的任何位置是等可能的，作∠AOD ＝∠BOE ＝30°，则OC 落在∠DOE 内符合题目要求，OC 落在∠DOE 内只与∠DOE 的大小有关，符合几何概型的特点．设事件A 为“射线OC 落在∠DOE 内”．事件A 的度量是90°－30°－30°＝30°，试验的全部结果的度量是90°，由几何概型的概率公式得P (A )＝
30°90°＝13
.
如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种概率称为长度型的几何概型．可按下列公式来计算其概率：
P (A )＝
事件A 构成的区域长度角度
全部试验结果构成的区域长度角度
.
[活学活用]
某人欲从某车站乘车出差，已知该人能乘坐的车均为每小时一班，且车会在站内停留5 min 等待旅客上车．求此人等待时间不多于10 min 即可上车的概率．
解：设事件A 为“等待上车的时间不多于10 min”，设汽车在时刻60 min 时开走，则汽车在时刻55 min 时进站上人，所以此人只要在时刻45 min 之后到达车站即可．
所以此人到达车站的时刻位于[45,60]这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得
P (A )
＝
60－4560＝14，即此人等待上车时间不多于10 min 的概率为1
4
. 与面积有关的几何概型
[典例] 向面积为S 的矩形ABCD 内任投一点P ，试求△PBC 的面积小于S
4的概率．
[解] 如图所示，设△PBC 的边BC 上的高为PF ，线段PF 所在的直
线交AD 于点E ，当△PBC 的面积等于S 4时，即12BC ·PF ＝1
4
BC ·EF ，
所以PF ＝1
2EF ，过点P 作GH 平行于BC 交AB 于G ，交CD 于H ，所以
满足S △PBC ＝S
4
的点P 的轨迹是线段GH .
所以满足条件“△PBC 的面积小于S
4”的点P 应落在矩形区域GBCH 内．
设“△PBC 的面积小于S
4
”为事件A ，
所以由几何概型的概率公式得P (A )＝S
2S ＝1
2
.
所以△PBC 的面积小于S 4的概率是1
2
.
在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝
构成事件A 的区域面积
试验的全部结果构成的区域面积
计算事件的概率即可．
[活学活用]
设不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤x ≤2，
0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐
标原点的距离大于2的概率是( )
A.π
4 B.π－2
2 C.
π6
D.
4－π
4
解析：选D 画草图易知区域D 是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆的外部，所以所求的概率为2×2－14×π×2
2
2×2＝4－π
4
.
与体积有关的几何概型
[典例] 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
[解析] 先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12
×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V
半球
＝12×43π×13
＝23
π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：2
3π2π＝1
3，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1
－13＝23
. [答案] 2
3
在一个几何概型中，如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积
.
[活学活用]
已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，求使四棱锥M ­ABCD 的体积不超过1
6
(事件A )的概率．
解：设M 到平面ABCD 的距离为h ，则V M ­ABCD ＝13S 四边形ABCD ·h ≤1
6.又S 四边形ABCD ＝1，所以只
要h ≤12即可．所有满足h ≤12的点组成以四边形ABCD 为底面，12为高的长方体，其体积为1
2.
又正方体的体积为1，所以使四棱锥M ­ABCD 的体积不超过1
6(事件A )的概率为P (A )＝1
21＝12
.
[层级一 学业水平达标]
1．灰太狼和红太狼计划在某日12：00～18：00这个时间段内外出捉羊，则灰太狼和红太狼在14：00～15：00之间出发的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D.16
解析：选D P ＝15－1418－12＝1
6
.
2．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )
A ．0
B ．0.002
C ．0.004
D ．1 解析：选C 由几何概型公式得P ＝2
500
＝0.004.
3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形圆心角为90°)，在其内
部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．
解析：S 扇形＝14
×π×22
＝π，
S 阴影＝S 扇形－S △OAB ＝π－12
×2×2＝π－2，
∴P ＝π－2π＝1－2π.
答案：1－2
π
4．在区间[]－2，3上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． 解析：总长度为5，而满足条件的区间为[]－2，1，长度为3，故所求概率为3
5.
答案：35
[层级二 应试能力达标]
1．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为( )
A ．1
B.1
2
C.23
D.34
解析：选C 欲使f (x )＝log 2x ≥0，
则x ≥1，而x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，∴x 0∈[1,2]， 从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12
＝2
3.
2．已知正三棱锥S ­ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ­ABC <
1
2
V S ­ABC 的概率是( )
A.34
B.78
C.12
D.14
解析：选B 由V P ­ABC <1
2
V S ­ABC 知，P 点在三棱锥S ­ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－
VS ­A 0B 0C 0V S ­ABC ＝1－18＝7
8
. 3.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A ．1－π4
B.π
2－1 C ．2－π2
D.π4
解析：选A 由题意知，两个四分之一圆补成半圆，其面积为12×π×12
＝π2，矩形面积
为2，则所求概率为2－
π
22＝1－π
4
.
4．已知集合A ＝{}x |－1<x <5，B ＝{}x |2<x <3，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率为( )
A.1
6 B.13 C.23
D.45
解析：选A A ∩B ＝{}x |2<x <3，因为集合A 表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A ∩B 表示的区间长度为3－2＝1.故事件“x ∈A ∩B ”的概率为16
.
5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”．则小蜜蜂“安全飞行”的概率为________．
解析：棱长为3的正方体的体积为3×3×3＝27，而小蜜蜂若要“安全飞行”，则需控制在以原正方体中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为1×1×1＝1.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为1
27
.
答案：1
27
6．A 是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A ，B 两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为________．
解析：如图，当取点落在B 、C 两点时，弦长等于半径；当取点落在劣
弧
上时，弦长小于半径；当取点落在优弧
上时，弦长大于半径．所
以弦长超过半径的概率P ＝
360°－120°360°＝2
3
.
答案：2
3
7．如图所示，图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是1
4
，则此长方体的体积是________．
解析：设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝
2＋4h
h ＋h ＋
＝14，解得h ＝3或h ＝－1
2
(舍去)， 故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：3
8．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，在正方体内随机取点M . (1)求M 落在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内的概率； (2)求M 落在三棱锥B ­A 1B 1C 1内的概率；
(3)求M 与平面ABCD 的距离大于a
3
的概率；
(4)求M 与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a
3的概率．
解：V 正方体＝a 3
.
(1)∵V 三棱柱ABC ­A 1B 1C 1＝12a 2·a ＝12a 3
，
∴所求概率P 1＝1
2
.
(2)∵V 三棱锥B ­A 1B 1C 1＝13·S △A 1BB 1·B 1C 1＝13·12a 2·a ＝16a 3
，
∴所求概率P 2＝1
6
.
(3)P 3＝VE 1F 1G 1H 1­A 1B 1C 1D 1V 正方体＝23a
3a 3＝2
3.
(4)P 4＝
VE 1F 1G 1H 1­E 2F 2G 2H 2V 正方体＝1
3
.
9．已知圆C ：x 2＋y 2
＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；
(2)求圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率． 解：(1)由点到直线l 的距离公式可得d ＝
2542
＋3
2
＝5.
(2)由(1)可知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l 平行的直线为l 1，其方程为4x ＋3y ＝15.则符合题意的点应在l 1：4x ＋3y ＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l 1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.
故所求概率为P ＝60°360°＝1
6
.。