八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题专题强化试卷学能测试试题

一、选择题
1．下列计算正确的是( )
A =
B ．3=
C 2=
D 2．下列计算正确的是（ ）
A 2=±
B 3=-
C ．(2
5= D ．(2
3=-
3． ）
A B C D 4．下列运算中，正确的是( )
A =3
B ．=-1
C D ．3
5．下列各式中,正确的是（ ）
A B ．C
2= D =
- 4
6．已知m 、n m ，n ）为（ ） A ．（2，5） B ．（8，20）
C ．（2，5），（8，20）
D ．以上都不是
7．设1199++
S 的最大整数[S]等于( ) A ．98 B ．99
C ．100
D ．101
8．
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣9
D ．9
9．已知实数x 、y 满足2y =，则yx 值是（ ）
A ．﹣2
B ．4
C ．﹣4
D ．无法确定
10．下列运算一定正确的是( )
A a =
B =
C ．222()a b a b ⋅=⋅
D ()0n
a m
=
≥
二、填空题
11．设4 a,小数部分为 b.则1
a b
- = __________________________.
12．已知a ，b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对．
13．已知，-1，则x 2+xy +y 2=_____．
14．计算（π-3）0-2
1-2
（）
的结果为_____． 15．已知
x =
，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 16．若实数x ，y ，m 满足等式
()2
23x y m +-=m+4的算术平方根为
________．
17．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0=___________ 18．已知整数x ，y 满足
y =
，则y =__________．
19．化简：＝_____．
20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记
2
a b c
p ++=，那么三角形的面积S =ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题
21．阅读下面问题： 阅读理解：
==1；
==
2
=
=-．
应用计算：（1
（21
（n 为正整数）的值．
归纳拓展：（3
98+
+
【答案】应用计算：（12 归纳拓展：（3）9． 【分析】
由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（1
分母利用平方差公式计算即可，（2（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】
（1
（2
（3+
98+，
(
+
98+，
++99-
， =10-1， =9． 【点睛】
本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．
22．先阅读材料，再回答问题：
因为
)
1
11=1
=；因为1=，所以
=1==
（1
= ，
= ； （2
⋅⋅⋅+的值．
【答案】（12）9 【分析】
（1）仿照例子，由
1+=
的值；由
1+=1
的值；
（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】
解：（1）因为
1-=
；
因为
1=1
（2
⋅⋅⋅+
1=+⋅⋅⋅
1=
1019=-=．
【点睛】
本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．
23．阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式
a =，
)
1
11=
11互为有理化因式．
（1）1的有理化因式是 ；
（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
3==，
2
4
====
进行分母有理化．
（3）利用所需知识判断：若a=
，2
b=a
b
，的关系是．
（4
）直接写结果：)1
=
．【答案】（1）1；（2
）7-；（3）互为相反数；（4）2019
【分析】
（1
）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；
（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可；
（3
）将a
=
（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1
）∵()()
1111
=，
∴1
的有理化因式是1；
（2
2
2
7
-
==-
（
3
）∵
2
a===
，2
b=-，
∴a和b互为相反数；
（4
）)1
++⨯
=)
1
1
⨯
=)
11
=20201
-
=2019，
故原式的值为2019.
【点睛】
本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计
算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．
24．已知m ，n 满足m 4n=3+
.
【答案】12015
【解析】 【分析】
由43m n +=2
﹣2）﹣3＝0，将
，代入计算即可．
【详解】
解：∵4m n +＝3，
)22﹣2）﹣3＝0，
）2
﹣23＝0，
+13）＝0，
＝﹣13，
∴原式＝
3-23+2012＝1
2015
．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．
25．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：
当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有
22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有m
n 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；
（2）填空：13-( - 2；
（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.
【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46. 【解析】
试题分析：
（1）把等式)
2
a n +=
+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；
（2）由（1）中结论可得：22313
24
a m n
b mn ⎧=+=⎨==⎩ ，结合a b m n 、、、都为正整数可
得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；
（3）将()
2
a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合
a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.
试题解析：
（1）∵2a n =+)，
∴223a m n +=++， ∴2232a m n b mn =+=，；
（2）由（1）中结论可得：22313
24a m n b mn ⎧=+=⎨==⎩
，
∵a b m n 、、、都为正整数， ∴12m n =⎧⎨
=⎩
或2
1m n =⎧⎨=⎩ ，
∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1，
∴(2
131--；
（3）∵222()52a m m n +=+=++ ∴225a m n =+，62mn = ， 又∵a m n 、、为正整数， ∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，
∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =， 即a 的值为：46或14.
26．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．
【答案】(2x - 【分析】
先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】
解：4y x ⎛- ⎝ ((
=-
(
2x =-
∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时
原式(23=-==【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．
27．（1）计算：
（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14
a =
．
【答案】（1）2）82-a ，【分析】
（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；
（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】
（1）
=
=；
（2）(()8a a a a +--
2228a a a =--+
82a =-,
当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭．
【点睛】
本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
28．计算：（1）()2
2131)()
2
---+
（2
【答案】（1）12；（2） 【分析】
（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】
（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12
（2） 【点睛】
本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断. 【详解】
解：A
B 、
C 2÷=，故错误；
D ，故正确.
故选D. 【点睛】
本题考查了二次根式的四则运算.
2．C
解析：C 【分析】
直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案．
【详解】
解：A，故A选项错误；
B，故B选项错误；
C选项：2=5，故C选项正确；
D选项：2=3，故D选项错误，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据二次根式的性质把每一项都化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】
解：A＝
B
C不是同类二次根式，不合题意；
D
3
故选：A．
【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得．
【详解】
=+=，此项错误
A314
==-，此项错误
B、2
3
===⨯=，此项错误
C2428
=，此项正确
D、3
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟记二次根式的运算法则是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法逐项判断即可．
【详解】
A4
=，此项错误
B、4
=±，此项错误
==，此项正确
C
D==
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质分析即可得出答案．
【详解】
解：∵m、n是正整数，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．
7．B
解析：B
【分析】
1111
n n =+-+
，代入数值，求出
=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99．
【详解】
∵=
=
()
2
11n n n n ++=+ =111+1
n n -
+， ∴
=1111111+111223
99100-++-+++- =199+1100
- =100-1100
， ∴不大于
S 的最大整数为99．
故选B.
【点睛】 1111
n n =+-+是解答本题的基础． 8．B
解析：B
【分析】
利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
﹣3|=3.
故选B.
9．C
解析：C
【分析】
依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可．
【详解】
y=，
∵实数x、y满足2
∴x＝2，y＝﹣2，
-⨯＝-4．
∴yx＝22
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．
【详解】
A|a|，故此选项错误；
B．，则a，b均为非负数，故此选项错误；
C．a2•b2=（a•b）2，正确；
D m n a（a≥0），故此选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
二、填空题
11．【分析】
根据实数的估算求出a,b，再代入即可求解.
【详解】
∵1＜＜2，
∴-2＜-＜-1，
∴2＜＜3
∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-，
∴==
故填：.
【点睛】
此题主要考查无理
解析：1 【分析】
根据实数的估算求出a,b ，再代入1a b -
即可求解. 【详解】
∵1＜2，
∴-2＜＜-1，
∴2＜43
∴整数部分a=2,小数部分为4，
∴1a
b -=2222=-=12-
故填：1. 【点睛】
此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.
12．7
【解析】
解：∵=+，∴a 、b 的值为15，60，135，240，540．
①当a=15，b=15时，即=4；
②当a=60，b=60时，即=2；
③当a=15，b=60时，即=3；
④当a=60
解析：7
【解析】
解：∵2，∴a 、b 的值为15，60，135，240，540．
①当a =15，b =15时，即2=4；
②当a =60，b =60时，即2
=2；
③当a =15，b =60时，即2=3；
④当a =60，b =15时，即2=3；
⑤当a =240，b =240时，即2=1；
⑥当a =135，b =540时，即2=1；
⑦当a =540，b =135时，即2
=1； 故答案为：（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）．
所有满足条件的有序数对（a ，b ）共有 7对．故答案为：7．
点睛：本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a 、b 可能的取值．
13．10
【解析】
根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y ）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣
1）=12﹣2=10．
故答案为10．
解析：10
【解析】
根据完全平方式的特点，可得x 2+xy+y 2=（x+y ）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．
故答案为10．
14．﹣6
【解析】
根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6.
故答案为﹣6．
解析：﹣6
【解析】
根据零指数幂的性质0
1(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质
1
(0)p p a a a -=≠，可知（π-3）0-21-2
（）=1﹣（3﹣）﹣
4×2
﹣4=1﹣﹣﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．
15．【分析】
先把x 分母有理化求出x= ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．
【详解】
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．
解析：6【分析】
先把x 分母有理化求出2 ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．
【详解】
2
x =
== ∵23<<
∴425<< ∴4,242a b ==
-=
∴42)6a b -=-=【点睛】
本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值． 16．3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x+y 的值，再根据非负数的性质列出关于x ，y ，m 的方程组，求出m 的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：，解得：x=1，y=1，m ＝5，∴3
解析：3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x +y 的值，再根据非负数的性质列出关于x ，y ，m 的方程组，求出m 的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：3530230
2x y m x y m x y +--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩
，解得：x =1，y =1，m ＝5
，∴==3．
故答案为3．
【点睛】 本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
17．【解析】
根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b ＞0时，=；
当b ＜0时，=.
故答案为：.
解析：00b b 当时当时>⎨⎪<⎪⎩
【解析】
根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b ＞0
= 当b ＜0
=
故答案为：2020a b b b ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩
当时当时. 18．2018
【解析】
试题解析：
，
令，，
显然，
∴，
∴，
∵与奇偶数相同，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2018.
解析：2018
【解析】 试题解析：
y ==
=
令a =
b = 显然0a b >≥，
∴224036a b -=，
∴()()4036a b a b +-=，
∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，
∴20182a b a b +=⎧⎨-=⎩
， ∴10101008a b =⎧⎨
=⎩， ∴2018y a b =+=．
故答案为：2018.
19．【分析】
直接合并同类二次根式即可．
【详解】
解：．
故答案为
【点睛】
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变． 解析：
【分析】
直接合并同类二次根式即可．
【详解】
解：=．
故答案为【点睛】
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
20．【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝，然后将其代入三角形的面积S ＝求值即可．
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝＝＝8．
所以三角形的面积S ＝＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主
解析：
【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝2
a b c ++，然后将其代入三角形的面积S ＝
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝
2a b c ++＝4572++＝8．
所以三角形的面积S ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大． 三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无26．无27．无28．无。