四川省绵阳市第八中学2021年高三数学文月考试题含解析

四川省绵阳市第八中学2020-2021学年高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若
的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（）
A．2 B．4 C．6 D．8
参考答案：
B
2. 已知函数y=ax2+bx﹣1在（﹣∞，0]是单调函数，则y=2ax+b的图象不可能是( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】一次函数的性质与图象；二次函数的性质．
【专题】数形结合；分类讨论．
【分析】先由函数y=ax2+bx﹣1在（﹣∞，0]是单调函数求出a和b所能出现的情况，再对每一中情况求出对应的图象即可．（注意对二次项系数的讨论）．
【解答】解：因为函数y=ax2+bx﹣1在（﹣∞，0]是单调函数，
所以：①当a=0，y=2ax+b的图象可能是A；
②当a＞0时，﹣≥0?b≤0，y=2ax+b的图象可能是C；
③当a＜0时，﹣≤0?b≤0，y=2ax+b的图象可能是D．
故y=2ax+b的图象不可能是B．
故选 B．
【点评】本题主要考查函数的单调性以及一次函数的图象．是对基础知识的考查，属于基础踢．3. 函数y=f（x）的图象过原点且它的导函数y=f′（x）的图象是如图所示的一条直线，y=f （x）的图象的顶点在（）
A．第I象限 B．第II象限
C．第Ⅲ象限 D．第IV象限
参考答案：
A
4. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若，则△ABC的形状为（）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 等边三角形
参考答案：
A
【分析】
由已知结合正弦定理可得利用三角形的内角和及诱导公式可得，
整理可得从而有结合三角形的性质可求
【详解】解：是的一个内角，，
由正弦定理可得，
又，，即为钝角，故选：A。

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．
5. （5分）若直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，则a的值为（）
A． 3 B．﹣3 C． D．
参考答案：
B
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
专题：直线与圆．
分析：利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
解答：解：∵直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，∴，解得a=﹣3．故选：B．
点评：本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题．
6. “” 是“方程表示椭圆”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
A
7. 已知集合，则M的非空子集的个数是（）
A．15 B．16 C．7 D．8
参考答案：
C
8. 已知的三边分别为，满足，则此三角形的形状是（）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 等腰直角三角形参考答案：
9. 设偶函数，当时，，则 ( ）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
10. 等差数列{a n}满足a42＋a72＋2a4a7＝9，则其前10项之和为()．
A．－9 B．－15 C．15 D．±15参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 实数满足，则的最大值为
.
参考答案：
略
12. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x＝＿＿＿＿
参考答案：
3
13. 设是常数，若点是双曲线的一个焦点，则= .
参考答案：
略
14. 若直线被圆
所截得的弦长不小于，则的取值范围是_____.
参考答案：
略
15. 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(0)=
参考答案：
16. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=20，a n =54，S n =999，则公差d= ．
参考答案：
【考点】等差数列的前n 项和．
【分析】利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=20，a n =54，S n =999，
∴
，
解得n=27，d=．
故答案为：
．
17. 已知等比数列{a n }的公比为正数，a 2=1，
，则a 1
的值是
．
参考答案：
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知数据可得首项和公比的方程组，解方程组可得．
【解答】解：由题意设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∵a 2=1，a 3?a 9=2a 52， ∴a 1q=1，a 12?q 10=2（a 1q 4）2，
两式联立解得a 1=
，q=．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数
d 的最大值为2，
是集合
中的任意两个元素，且
的最小值为
.
（1）求函数
的解析式及其对称轴；
（2）若
，求的值.
参考答案：
解：（I ）
，
由题意知：……………………………………2分
由
最大值为2，故
，又
，
……………………………4分
……………………………………… …………………………5分令，解得的对称轴为------------7分（II）由，………………8分
……………………10分
………………………………………12分
略
19. （00全国卷理）（本小题满分14分）
如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围
参考答案：
解析：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则
CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称——2分
依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高
由定比分点坐标公式得
，
设双曲线的方程为，则离心率
由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得
，①
②
——7分
由①式得，③
将③式代入②式，整理得
，
故
——10分
由题设得，
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为——14分
20. （本小题满分12分）如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90o.（Ⅰ）证明：AB⊥PC；
（Ⅱ）若，且平面⊥平面，求三棱锥体积.参考答案：21. 在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ﹣2cosθ．
（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：
（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）由x=t，得t=x，将其代入y=3+t中，即可得出直线l的直角坐标方程．由
ρ=2cosθ+4sinθ，得ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ，把代入即可得出曲线C的直角坐标方程．
（2）分别求出P、A、B的坐标，根据两点之间的距离公式计算即可．
【解答】解：（1）由x=t，得t=x，将其代入y=3+t中得：y=x+3，
∴直线l的直角坐标方程为x﹣y+3=0．
由ρ=4sinθ﹣2cosθ，得ρ2=4ρsinθ﹣2ρcosθ，
∴x2+y2=4y﹣2x，即x2+y2+2x﹣4y=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2x﹣4y=0；
（2）由l：y=x+3，得P（0，3），
由，
解得或，
∴|PA||PB|=?=3．
22. 已知函数f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g
（x2）+m成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m，根据函数的单调性求出m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令2x2﹣x+a=0，△=1﹣8a
（1）当△=1﹣8a≤0，即时，2x2﹣x+a≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，
故函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）当△＞0，即时，由2x2﹣x+a=0解得或
i）当时，0＜x1＜x2，
所以当或时f′（x）＞0
当时f′（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（3）当a≤0时，
所以当时f′（x）＞0，当时f′（x）＜0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述：
当时，函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．
当时，函数f（x）的单增区间为和，
单减区间为．
当a≤0时，函数f（x）的单增区间为，单减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．
原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵，∵a∈（1，+∞），x∈[1，a]，
∴F′（x）＞0，∴F（x）在x∈[1，a]上单调递增，
∴F（x）≤F（x）max﹣F（x）min=F（a）﹣F（1）=alna﹣a+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即alna﹣a+1＞m对任意的a∈（1，+∞）恒成立，
令h（a）=alna﹣a+1，a∈（1，+∞），只需h（a）min＞m，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
h′（a）=lna，∵a∈（1，+∞），∴h′（a）＞0，∴h（a）在a∈（1，+∞）上单调递增，
∴h（a）＞h（1）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以m≤0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。