应力.应变
应力与应变
应力张量 i描j 绘了一点处的应力状态，即只要知道(zhī dào)
了 面一上点的的应应力力。张量ij
，就可以完全确定通过该点的各微分
证明：假想过物体内任意一点M作三个互相垂直的微分面，并
在点M附近作一个与坐标轴倾斜的任意微分面，这四个微分面
相交组成的四面体微元如图所示。
设斜截面上的应力 z C
3）任意微分面（斜截面）上的全应力及正应力和剪应力可通 过下式来计算
p
n
px2
p
2 y
pz2
p
n
l2 2
x1
l2 2
y2
l2 2
z3
2 xyl1l2
2 yzl2l3
2
zxl3l1
n
p2
2 n
（3.10)
其中(qízhōng)第2式 n
pili
ijlil j
(3.11)
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8 应力分量的坐标(zuòbiāo)变换规律
(qízhōng)的每一个量，称为应力张量的分量。
记应力张量为 ij
，并表示为
ij yxx
xy y
xz yz
(3.6)
zx zy z
后面的讨论将证明这9个量的各个分量在坐标旋转时，服从 (fúcóng)二阶张量的坐标表换规律，因此为二阶张量。
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7、一点处的应力(yìnglì)状态的描绘
l12 l22 l32 1 (3.22)
就可联立求解出分别与主应力对应的主方向。
可以证明：①若特征方程无重根，则它们相应的三个主方向
必两两相互垂直；②若特征方程有两个重根，
如③若1特征 2方程有3，三则个与重根3方，向则垂任直何的方任向何均方为向主都方是向主。方向；
区分应力与应变的概念
区分应力与应变的概念应力所谓“应力”，是在施加的外力的影响下物体内部产生的力。
如图1所示：在圆柱体的项部向其垂直施加外力P的时候，物体为了保持原形在内部产生抵抗外力的力——内力。
该内力被物体（这里是单位圆柱体）的截面积所除后得到的值即是“应力”，或者简单地可概括为单位截面积上的内力，单位为Pa（帕斯卡）或N/m2。
例如，圆柱体截面积为A(m2),所受外力为P(N牛顿)，由外力=内力可得，应力：（Pa或者N/m2）这里的截面积A与外力的方向垂直，所以得到的应力叫做垂直应力。
图1应变当单位圆柱体被拉伸的时候会产生伸长变形ΔL，那么圆柱体的长度则变为L+ΔL。
这里，由伸长量ΔL和原长L的比值所表示的伸长率（或压缩率）就叫做“应变”，记为ε。
与外力同方向的伸长(或压缩)方向上的应变称为“轴向应变”。
应变表示的是伸长率（或压缩率），属于无量纲数，没有单位。
由于量值很小(1×10-6百万分之一)，通常单位用“微应变”表示，或简单地用μE表示。
而单位圆柱体在被拉伸的状态下，变长的同时也会变细。
直径为d0的棒产生Δd的变形时，直径方向的应变如下式所示：这种与外力成直角方向上的应变称为“横向应变”。
轴向应变与横向应变的比称为泊松比，记为υ。
每种材料都有其固定的泊松比，且大部分材料的泊松比都在0.3左右。
应力与应变的关系各种材料的应变与应力的关系已经通过实验进行了测定。
图2所示为一种普通钢材（软铁）的应力与应变关系图。
根据胡克定律，在一定的比例极限范围内应力与应变成线性比例关系。
对应的最大应力称为比例极限。
图2或者应力与应变的比例常数 E 被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。
综上所述，虽然无法对应力进行直接的测量，但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。
2 第二章 应力和应变
第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。
现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。
虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。
三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。
应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。
2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。
平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。
在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。
在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。
t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。
在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。
上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。
图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。
应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。
弹性体的应力与应变
弹性体的应力与应变弹性体是一种在受力作用下可以发生形变，但当受力停止时，能够恢复原来形状和大小的材料。
了解弹性体的应力与应变关系对于工程设计和材料科学具有重要意义。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力与应变之间的关系，分析材料的弹性性质以及应力与应变的计算方法。
1. 应力的概念与计算方法应力是指单位面积上作用的力，合理地计算应力是分析弹性体性质的关键。
在计算应力时，常用到两种基本的力学概念：张力和压力。
张力是指沿一维方向的受力情况，通常用F表示，单位为牛顿。
而压力是指在一个平面上均匀分布的力，用P表示，单位是帕斯卡。
应力的计算公式如下：应力 = 受力 / 横截面积2. 应变的概念与计算方法应变是指材料在受力作用下发生的形变，一般用ΔL / L表示。
其中，ΔL是材料长度的变化量，L是材料的初始长度。
应变可以分为线性弹性应变和非线性应变。
线性弹性应变是指材料在受力作用下，形变与受力成正比的状态。
计算线性弹性应变的方法如下：应变 = 形变 / 初始长度而非线性应变则需要更复杂的计算方法来进行分析，涉及到材料的本构关系等。
3. 应力与应变的关系应力与应变之间存在一定的关系，即应力-应变曲线。
弹性体的应力-应变曲线通常可以分为三个阶段：弹性阶段、屈服点和塑性阶段。
在弹性阶段，材料受力时会产生应变，但当受力停止时，材料会完全恢复到原来的状态。
这是因为材料内部的原子或分子只发生了相对位移，而没有发生永久性的结构变化。
当应力超过材料的屈服点时，就进入了屈服点阶段。
在这个阶段中，材料开始发生塑性变形，不再能够完全恢复到原来的状态，具有一定的永久性形变。
塑性阶段是材料的应力与应变不再成正比，继续增加应力会导致更大的应变。
这是由于材料的内部结构发生了永久性的改变，无法恢复原状。
4. 弹性模量和刚度弹性模量是描述材料抵抗形变的能力，可以用来评估材料的刚度。
弹性模量越大，表示材料越难发生形变，具有较高的刚度。
常用的弹性模量有三种：杨氏模量、剪切模量和体积模量。
应变与应力的关系
应变与应力的关系
应变与应力的关系可以用胡克定律来描述。
胡克定律指出，在物体恒定温度下，其弹性变形所产生的应变与其所受的应力成正比。
换句话说，应变与应力之间的关系是线性的。
具体来说，该定律的数学表达式为：
应力 = 弹性模量 ×应变
其中，应力是物体所受的力除以其受力面积；弹性模量是物体材料对应力的敏感程度，也称为弹性系数；应变是物体长度、面积或体积的相对变化量。
因此，应变与应力之间的关系是密切相关的。
当施加的应力增加时，物体的应变也会随之增加；反之，当应力减小时，应变也会相应减小。
弹性力学-应力和应变
σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法： 采用张量下标记号的应力写法 写法： 把坐标轴x、 、 分别 把坐标轴 、y、z分别 表示， 用x1、x2、x3表示， 或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量： 应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。 有关。
四、等效应力 1.定义： 定义： 定义 相等的两个应力状态的力学效应相同， 如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义： 对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
三、等斜面上的应力 等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 坐标轴与三个应力主轴一致， 设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面： 八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成 满足（ 20）式的面共有八个， 一个八面体，如图所示。 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。 等斜面常也被叫做八面体面。 若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（ 若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3
工程力学中的应力和应变的计算方法
工程力学中的应力和应变的计算方法在工程力学这一领域中，应力和应变是两个极其重要的概念。
它们对于理解材料在受力情况下的行为以及结构的稳定性和安全性起着关键作用。
接下来，让我们深入探讨一下应力和应变的计算方法。
应力，简单来说，就是单位面积上所承受的内力。
想象一下，我们有一根杆子，在它的横截面上受到一个力的作用。
这个力除以横截面的面积，得到的值就是应力。
应力的单位通常是帕斯卡（Pa）。
在计算应力时，我们需要先明确受力的类型。
如果是拉伸或压缩力，应力的计算公式为：应力＝力／横截面面积。
例如，有一根横截面面积为 001 平方米的杆子，受到 1000 牛顿的拉力，那么应力＝ 1000／ 001 ＝ 100000 帕斯卡。
如果是剪切力，应力的计算就稍微复杂一些。
对于矩形截面，剪切应力＝剪力／（横截面面积 ×剪切面的距离）。
假设一个矩形截面的宽度为 b，高度为 h，受到的剪力为 V，那么剪切面上的平均剪切应力＝ 3V ／ 2bh 。
应变则是描述物体在受力时发生的变形程度。
它是相对变形量，没有单位。
应变分为线应变和角应变。
线应变是指物体在某一方向上长度的变化量与原始长度的比值。
如果一根杆子原来的长度是 L，受力后长度变成了 L'，那么线应变＝（L' L）／ L 。
角应变，也称为切应变，用于描述物体的角度变化。
例如，一个正方形在受力后变成了菱形，其角度的变化量就是角应变。
在实际工程中，应力和应变的关系通常通过材料的本构方程来描述。
对于线弹性材料，应力和应变之间存在线性关系，遵循胡克定律。
胡克定律在拉伸或压缩情况下可以表示为：应力＝弹性模量 ×应变。
这里的弹性模量是材料的一个固有属性，反映了材料抵抗变形的能力。
不同的材料具有不同的弹性模量。
例如，钢材的弹性模量通常较大，这意味着它在受力时相对不容易发生变形；而橡胶的弹性模量较小，受力时容易产生较大的变形。
除了简单的拉伸和压缩情况，对于复杂的受力状态，如弯曲、扭转等，应力和应变的计算就需要运用更复杂的理论和方法。
应力和应变速率
应力和应变速率
摘要：
1.应力和应变速率的定义
2.应力和应变速率对材料性能的影响
3.应力和应变速率对材料疲劳寿命的影响
4.应力和应变速率对材料蠕变行为的影响
5.总结
正文：
应力和应变速率是材料科学中两个重要的概念。
应力指的是材料内部单位面积上的力，通常用来描述材料在外力作用下的内部抵抗能力。
而应变速率则指的是材料在受到外力作用时，其形变速度与外力作用速度之间的比值，通常用来描述材料的塑性变形能力。
应力和应变速率对材料性能有着重要的影响。
在一定的应力范围内，材料的屈服强度和抗拉强度等性能指标都会随着应变速率的增加而提高。
这是因为随着应变速率的增加，材料的内部结构有更多的时间进行调整和变形，从而提高了其性能。
然而，如果应变速率过大，材料可能会因为无法及时变形而产生破裂，导致其性能下降。
应力和应变速率对材料的疲劳寿命也有重要影响。
疲劳寿命是指材料在反复应力作用下能够保持其性能和结构不变的时间。
如果应力和应变速率过大，会导致材料在反复应力作用下产生裂纹，并最终导致材料破裂，从而缩短其疲劳寿命。
此外，应力和应变速率也会影响材料的蠕变行为。
蠕变是指材料在长时间的应力作用下，其形状和尺寸发生的缓慢变化。
如果应力和应变速率过大，会加速材料的蠕变，导致其性能和结构发生改变。
总的来说，应力和应变速率是影响材料性能、疲劳寿命和蠕变行为的重要因素。
应力-应变
应力-应变
应力-应变关系是材料力学中的重要概念，用于描述材料在受到外力作用下的变形行为。
应力（stress）指单位面积上的力，通常用力（force）除以面积（area）来计算。
应变（strain）则指材料单位长度的变化量，通常用长度变化（change in length）除以初始长度（original length）来计算。
应力和应变之间的关系可以通过材料的应力-应变曲线表示。
在弹性阶段，应力与应变成正比，即呈线性关系，这称为胡克定律。
当超过弹性极限后，材料可能发生塑性变形，应力-应变曲线非线性上升。
最终，在断裂点达到时，材料会发生破坏。
值得注意的是，不同材料具有不同的应力-应变特性，因此需要使用适当的试验方法来确定每种材料的特定应力-应变曲线。
这些实验通常在材料力学测试机上进行，例如拉伸试验、压缩试验或剪切试验等。
总而言之，应力-应变关系是描述材料变形行为的重要概念，可以通过应力-应变曲线来了解材料的力学特性。
应变和应力的关系公式
应变和应力的关系公式应变和应力是力学中非常重要的概念，它们描述了物体在外力作用下的变形和反抗变形的能力。
应变是物体在外力作用下发生变形的程度，而应力是物体对外力的反抗程度。
应变和应力之间存在着一定的关系，下面将通过分析和解释来阐述这一关系。
我们来看一下应变的定义。
应变通常用来描述物体的形变程度。
当物体受到外力作用时，它的形状会发生改变，这种形变程度就是应变。
应变可以分为线性应变和非线性应变。
线性应变是指物体的形变与受力成正比，比如拉伸或压缩后物体的长度或体积的变化。
非线性应变则是指物体的形变与受力不成正比，比如物体的弯曲或扭转。
而应力则是物体对外力的反抗程度。
当物体受到外力作用时，它会产生内部的应力，以抵抗外力的作用。
应力可以分为正应力和剪应力。
正应力是指物体内部的应力沿着受力方向的成分，比如拉伸或压缩时物体内部的张力或压力。
剪应力则是指物体内部的应力与受力方向垂直的成分，比如物体发生弯曲或扭转时的切向应力。
应变和应力之间的关系可以通过胡克定律来描述。
胡克定律是力学中一个重要的定律，它描述了弹性体的应力和应变之间的线性关系。
根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体产生的应变与外力成正比，且比例常数为弹性模量。
弹性模量是描述物体抵抗形变能力的物理量，通常用符号E表示。
胡克定律的数学表达式为：应力=弹性模量×应变。
这个关系可以简洁地表示了应变和应力之间的关系。
根据这个关系，我们可以推导出应变和应力之间的其他关系。
比如，如果已知应变和弹性模量，可以通过应变乘以弹性模量来计算应力。
同样地，如果已知应力和弹性模量，可以通过应力除以弹性模量来计算应变。
除了胡克定律，还有其他的应变与应力之间的关系，比如柯西应变与柯西应力之间的关系、拉梅应变与拉梅应力之间的关系等。
这些关系都是通过实验和理论推导得到的，它们描述了不同应变与应力之间的关系，适用于不同的物体和力学问题。
总结起来，应变和应力之间存在着一定的关系，可以通过胡克定律或其他相关定律来描述。
应力和应变的关系
应力和应变的关系
应力与应变之间的关系可以用Hooke定律来描述：若一个物体由于外力的作用作了拉伸或挤压变形，那么它的应力与其变形的大小成正比。
一般地说，应力与应变是成正比的，这意味着物体变形的越大，其施加的应力就越大。
另外，应力也与物体材料的弹性模量有关，即物体受外力作用而变形后，产生的应力越大，则物体受外力作用而变形时，所需要的外力就越大。
因此，应力和应变之间的关系也可以通过物体的弹性模量来描述。
区分应力与应变的概念
区分应力与应变的概念应力所谓“应力”，是在施加的外力的影响下物体内部产生的力。
如图1所示：在圆柱体的项部向其垂直施加外力P的时候，物体为了保持原形在内部产生抵抗外力的力——内力。
该内力被物体（这里是单位圆柱体）的截面积所除后得到的值即是“应力”，或者简单地可概括为单位截面积上的内力，单位为Pa（帕斯卡）或N/m2。
例如，圆柱体截面积为A(m2),所受外力为P(N牛顿)，由外力=内力可得，应力：（Pa或者N/m2）这里的截面积A与外力的方向垂直，所以得到的应力叫做垂直应力。
图1应变当单位圆柱体被拉伸的时候会产生伸长变形ΔL，那么圆柱体的长度则变为L+ΔL。
这里，由伸长量ΔL和原长L的比值所表示的伸长率（或压缩率）就叫做“应变”，记为ε。
与外力同方向的伸长(或压缩)方向上的应变称为“轴向应变”。
应变表示的是伸长率（或压缩率），属于无量纲数，没有单位。
由于量值很小(1×10-6百万分之一)，通常单位用“微应变”表示，或简单地用μE表示。
而单位圆柱体在被拉伸的状态下，变长的同时也会变细。
直径为d0的棒产生Δd的变形时，直径方向的应变如下式所示：这种与外力成直角方向上的应变称为“横向应变”。
轴向应变与横向应变的比称为泊松比，记为υ。
每种材料都有其固定的泊松比，且大部分材料的泊松比都在0.3左右。
应力与应变的关系各种材料的应变与应力的关系已经通过实验进行了测定。
图2所示为一种普通钢材（软铁）的应力与应变关系图。
根据胡克定律，在一定的比例极限范围内应力与应变成线性比例关系。
对应的最大应力称为比例极限。
图2或者应力与应变的比例常数 E 被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。
综上所述，虽然无法对应力进行直接的测量，但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。
应力和应变之间的关系
应力和应变的关系曲线
描述
应力和应变的关系曲线是描述应力与应变之间关系的图形表示。
形状
在弹性范围内，曲线呈直线上升；超过弹性极限后，曲线出现弯曲。
应用
通过应力和应变的关系曲线，可以确定材料的弹性模量、屈服点和 极限强度等机械性能参数。
04
应力和应变的应用
弹性力学
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下 变形和内力的规律的科学。在弹性力学 中，应力和应变是描述物体变形和受力 状态的基本物理量。
公式
σ=Eεsigma = E varepsilonσ=Eε
解释
σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。 当应力增加时，应变也相应增加， 且两者成正比关系。
非线性关系
描述
当材料受到超过其弹性极限的应力时 ，应力与应变之间的关系不再是线性 的，而是呈现非线性关系。
特征
在非线性阶段，应变随应力的增加而 急剧增加，可能导致材料发生屈服或 断裂。
设计优化
优化结构设计
通过对应力和应变的分析，优化结构设计，提高结构的承载能力 和稳定性。
考虑材料特性
在设计过程中，充分考虑材料的力学特性和性能，合理选择和使 用材料，以降低应力和应变对结构的影响。
引入减震和隔震措施
通过引入减震和隔震措施，降低地震等外部载荷对结构产生的应 力和应变，提高结构的抗震性能。
时间
蠕变
在长期恒定应力作用下，材料会发生 缓慢的塑性变形，即蠕变。蠕变会影 响材料的应力和应变关系，特别是在 高温和长期载荷作用下。
时间依赖性
某些材料的力学性能会随时间发生变 化，对应力和应变的关系产生影响。 例如，疲劳和时效等现象会导致材料 性能随时间发生变化。
07
应力和应变在工程实践中的 注意事项
应力与应变间的关系
一、单向应力状态下应力与应变旳关系
1
1
E
σ1
σ1
E 为材料旳弹性模量，单位为N/m2.
横向线应变2,3与纵向线应变 1 成
正比，比值为泊松比γ，而符号相反。
2
3
1
二、纯剪切应力状态下应力与应变旳关系
G 或
G
τ γ γτ
G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
三、复杂应力状态下应力与应变旳关系
x y z x y y z z x
y
σy
上面
x y z x y y z z x
1、各向同性材料旳广义胡克定律 （1）符号要求
τ yx
τ τ yz
xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
x
o
压应力为负。 z
前面
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
P a
y
z
x
y 解：铜块上截面上旳压应力为
y
P A
300 103 0.12
y x
30MPa
x
(b) Z z
1 [ ( )] 0
xE x
y
z
由
1 [ ( )] 0
zE z
x
y
解得
x
z
(1 1 2
)
y
0.34(1 0.34) 1- 0.342
(30)
-15.5MPa
特例
在平面纯剪切应力状态下：σ 1 σ 3 τ xy
代入得
1 2
E
(1
2
3)
1 2
弹性力学 第四章 应力和应变关系.
第四章应力和应变关系知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系一、内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程,几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的,因此,必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的,有应力就有应变;反之,有应变则必有应力。
对于每一种材料,在一定的温度下,应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性,因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态,应力应变关系的实验测试是有困难的,因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理;具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式;各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二、重点1、应变能函数和格林公式;2、广义胡克定律的一般表达式;3、具有一个和两个弹性对称面的本构关系;4、各向同性材料的本构关系;5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形,因此外力在变形过程中作功。
同时,弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系,可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化,因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式,并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系,容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能,即应变能函数。
探讨应变能的全微分,可以得到格林公式,格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的,则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理,可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
应力应变概念
线段OA及OB之间旳夹角变化 OA与OA间旳夹角 =(v/x)dx/dx= v/x OB与OB间旳夹角= (u/y)dy/dy=u/y 线段OA及OB之间旳夹角降低了v/x +u/y， xz平面旳剪应变为:
xy= v/x +u/y （xy与yx)
同理能够得出其他两个剪切应变：
yz= v/z+w/y zx= w/x +u/z 结论：
C33=2.2 • 透辉石 CaMgSi2O6 C11=2.0 C22=1.8
C33=2.4 • 双链状硅酸盐 角闪石 • 一般角闪石(CaNaK)2-3(HgFeAl)5(SiAl)8O22(OH)2
C11=1.2 C22=1.8 C33=2.8
环状硅酸盐
(2) 温度
大部分固体，受热后渐渐开始变软，弹性常数随温度 升高而降低。
zz= w/z.
x u u O A O´ A´
x
（2）剪切应变
A点在x方向旳位移是：u+(u/x)dx， OA旳长 度增长(u/x)dx. O点在 y方向旳应变： v/x, A点在y方向旳位 移v +(v/x)dx, A点在y方向相对O点旳位移为： (v/x)dx, 同理：B点在x方向相对O点旳位移为：
一点旳应变状态能够用六个应变分量来决定，即 三个剪应变分量及三个正应变分量。
2.1.3 弹性形变 1. 广义虎克定律（应力与应变旳关系）
（1）各向同性体旳虎克定律
x
y z
x
b c
c
L
L
b
长方体在轴向旳相对伸长为：x=x/E
x 应力与应变之间为线性关系，E------弹性
模量，
对各向同性体，弹性模量为一常数。
应变和应力的计算公式
应变和应力的计算公式嘿，咱今儿来聊聊应变和应力的计算公式。
先来说说啥是应变和应力。
这俩家伙在物理学和工程学里可重要着呢！应变啊，简单说就是物体在受到外力作用时发生的形状变化程度。
比如说，你拉一根橡皮筋，它被拉长了，这拉长的程度跟原来长度的比值就是应变。
应力呢，则是物体内部为了抵抗外力产生的内力分布情况。
那应变的计算公式是啥呢？应变通常用ε 表示。
对于线应变，如果一个杆件原来的长度是 L₀，受力后长度变成了 L，那线应变ε 就等于（L - L₀）/ L₀。
这就好比一根铅笔，你用力掰它，它变长或者变短的那部分和原来长度的比例就是线应变。
再讲讲应力。
应力一般用σ 表示。
假如一个杆件受到一个拉力 F，横截面积是 A，那正应力σ 就等于 F / A 。
就像拔河的时候，绳子内部承受的力和绳子横截面积的比值就是应力。
我给您说个我曾经遇到的事儿。
有一回，我在工厂里看到师傅们在检测一批金属材料。
他们拿着各种仪器测量，嘴里还念叨着应变和应力的数值。
我好奇地凑过去，师傅看我一脸懵，就拿起一块材料给我比划。
他说：“你看啊，这材料被拉伸的时候，长度变了，咱们就得用应变公式算算变了多少。
然后根据受力大小和面积，用应力公式看看材料能不能承受得住。
”我当时似懂非懂地点点头，心里琢磨着这可真不简单。
回到这计算公式，应变和应力在实际生活中的应用那可太广泛了。
比如说造桥，工程师得精确计算桥梁在各种车辆通行时的应变和应力，确保桥不会因为受力过大而垮掉。
还有制造飞机的零部件，那要求更是严格，一点点的误差都可能导致严重后果。
在材料科学研究中，应变和应力的计算也是关键。
通过对不同材料进行实验，得到应变和应力的数据，就能判断材料的性能好坏，找到更适合的材料来满足各种需求。
总之，应变和应力的计算公式虽然看起来有点复杂，但搞清楚了它们，对于解决很多实际问题那可是大有用处。
咱可不能小瞧了这几个公式，它们背后可是有着大大的学问和实际价值呢！。
第五章 应力、应变测试
电阻应变片的特性及应用
零点漂移
零漂：对于已安装好的应变片，在一定温度下，不承受机械应 变时，其指示应变随时间的变化而变化的现象。
产生的原因：由于应变片的绝缘电阻过低及通过电流而产生热 量等原因造成。
工作电流大，输出信号也大，灵敏度就高。 但工作电流过大 会使应变片过热，灵敏系数产生变化，零漂及蠕变增加，甚至烧毁 应变片。
工作电流的选取要根据试件的导热性能及敏感栅形状和尺寸来 决定。通常静态测量时取25mA左右。 动态测量时可取75～ 100mA。
电阻应变片的特性及应用
灵敏度系数K
根据理论和实验，在一定应变范围内电阻的变化与应变的关系 满足下式 ：
应变片的粘贴
应变片粘贴质量检查
外观检查：用放大镜观察粘合层是否有气泡。 电阻值检查 绝缘电阻检查：
引出线的固定保护 应变片的防潮处理
应变片粘贴固化好之后要进行防潮处理，以免潮湿引起绝缘 电阻和粘合强度降低，影响测试精度。
电阻应变片的信号调理电路
电桥
由于将应变等机械量转换为电阻的变化，此变化的数量是微 弱的，因此必须采用高精度的测量电路—电桥测量电路。
电阻应变片在测量频率较高的动态应变时，应变是以应变波的形 式在材料中传播的，它的传播速度与声波相同，对于钢材v≈5000 m/s。
应变波由试件材料表面，经粘合层、基片传播到敏感栅。由于应 变片的敏感栅相对较长，当应变波在纵栅长度方向上传播时，只有在 应变波通过敏感栅全部长度后，应变片所反映的波形经过一定时间的 延迟，才能达到最大值。
R1 R0 R1——半桥单臂
Uy
U0
22R0
应力应变计算公式
应力应变计算公式应力和应变是材料力学中的重要参数，用于描述材料在外力作用下的变形和变形程度。
应力是单位面积上的力，通常用σ表示，单位为帕斯卡(Pa)；应变是物体的形状和尺寸发生变化时的相对变化程度，通常用ε表示，无单位。
应力和应变之间的关系可以通过应力应变计算公式来描述。
根据材料的特性和力学性质，有多种不同的计算公式。
1. 静态弹性模量 E静态弹性模量是描述材料在拉伸或压缩过程中的弹性变形能力的参数。
它定义了单位应力下的单位应变。
计算公式为：E = σ / ε其中，E代表静态弹性模量，σ代表应力，ε代表应变。
2. 杨氏模量 Y杨氏模量是描述材料在拉伸或压缩过程中的应力和应变之间关系的参数。
它表示单位面积上的应力增加量与相应的应变增加量之间的比例关系。
计算公式为：Y = σ / ε其中，Y代表杨氏模量，σ代表应力，ε代表应变。
3. 剪切模量 G剪切模量是描述材料在剪切过程中的应力和应变之间关系的参数。
它表示单位面积上的剪切应力与相应的剪切应变之间的比例关系。
计算公式为：G = τ / γ其中，G代表剪切模量，τ代表剪切应力，γ代表剪切应变。
4. 泊松比ν泊松比是描述材料在拉伸或压缩过程中横向应变与纵向应变之间关系的参数。
计算公式为：ν = -ε_lateral / ε_longitudinal其中，ν代表泊松比，ε_lateral代表横向应变，ε_longitudinal代表纵向应变。
以上是常用的几个应力应变计算公式，根据材料的特性和应力情况，可以选择合适的公式进行计算。
这些公式在工程设计、材料选用和结构分析等领域中具有重要的应用价值。
需要注意的是，在实际计算中，应力和应变的单位要保持一致，通常使用国际单位制进行计算。
此外，不同材料的力学性质不同，因此在计算时要根据具体材料的特性选择合适的计算公式。
应力应变计算公式是描述材料力学性质的重要工具，可以帮助工程师和科学家研究材料的性能和行为。
通过合理应用这些公式，可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计提供参考和指导。
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(3 2)
(3) 斜截面上的应力与应力张量的关系
在xj坐标系中，考虑一个法线为N的斜平面。 N是单位向量，其方向作弦为 l1 , l 2 , l 3 ,
则这个面上的应力向量SN的三个分量与应力张量 ij 之间的关系 x3
s N 1 11 12 13 l1 S N 2 21 22 23 l 2 S 32 33 l 3 N 3 31
(3 10) (3 11) (3 12)
应力偏张量Sij显然也是一种应力状态即J1=0的应力状态。 不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值 （称为主偏应力）为：
s j j m , ( j 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量：
(3 13)
J1 s1 s2 s3 1 2 3 3 M 0 1 2 2 2 ( s1s2 s2 s3 s3 s1 ) ( s1 s2 s3 ) J2 2 J 3 s1s2 s3
J1 kk , 1 J 2 ii kk ik ki , 2 J 3 ij .
当用主应力来表示不变量时
(3 10) (3 11) (3 12)
可以证明方程（3-9）有三个实根，即三个主应力 1、 2、 3
J1 1 2 3 , J 2 ( 1 2 2 3 3 1 ), J 3 1 2 3
xz xy y yx y yz x zx zy z
yx
zx
zy
yz
(2) 应力张量
定义：一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成 一个二阶对称张量，称为应力张量。
x xy xz xx xy xz xy y yz 或 xy yy yz z yz z xz yz zz
13 11 12 13 m 0 0 11 m 12 0 0 21 22 m 23 m 21 22 23 31 32 33 0 0 m 31 32 33 m
三点中的任意两点为直径端点， 可作出三个Mohr圆，如图3-3. 其半径为：
P P2 1 2 1 3, 2 2 P2 P3 2 3 1, 2 2 P3 P 1 3 1 2. 2 2
O P3
M P2
P 1
3
2
1
图 3-3
1、 2、 3 ——称为主剪应力 max ——最大剪应力
若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F8 ( 1l1 ) ( 2l2 ) ( 3l3 ) ( 1 2 3 ) (3 21) 3
八面体面素上的正应力为
2 2 2 8 1l12 2l2 3 l3 1 ( 1 2 3 ) m (3 22) 3
(3 - 3)
( 3 - 7)
2 2 l12 + l 2 + l 3 = 1,即l i l i = 1.
应有
ij ij 0,
11 12 13 21 22 23 0 31 32 33
(3 8)
或即
(3 8)
将这个行列式展开得到
；
（2）应力主向
所在的平面 —— 称为主平面； 主应力 所在平面的法线方向 —— 称为应力主向；
主应力
根据主平面的定义，SN与N重合。若SN的大小为 ，则它在各 坐标轴上的投影为 S Ni = li 代入（3-3）式
S Ni = ij l j
( ij - ij )l j = 0.
用张量符号表示： 其中：
ij m ij sij ,
(3 5)
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
1,当i j, ij 0,当i j,
(3 6)
或
应力球张量
——与单元体的体积变形有关
ห้องสมุดไป่ตู้
ij ——单位球张量 m ij ——应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力
8
(3 26)
说明：
这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效”（ 在
J
' 意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力 2
状态的“强度”作出定量的描述和比较。
五、三向Mohr圆和Lode应力参数 1.三向Mohr圆
在 平面上 P (1,0), P2 ( 2 ,0), P3 ( 3 ,0) 1
2.等效应力 的特点
与空间坐标轴的选取无关；
J2
意义下衡量的
各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力
状态）时 数值不变，即与应力球张量无关；
j ( j 1,2,3)全反号时 的数值不变。
3. S ij 空间
S ij 空间指的是以 S ij 的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间；
第三章 应力和应变
§3.1 应力分析 §3.2 应变分析
§3.1 应力分析
一、应力张量及其分解
(1) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： x , xy , xz y面的应力： z面的应力：
z
y , yx , yz
z , zx , zy
三、等斜面上的应力
等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 设在这一点取 x1 , x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 l2 l3 1 / 3
八面体面：
(3 20)
2
1
满足（3-20）式的面共有八个，构成 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。
八面体面素上的剪应力为
8 F8 82 1 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 . 3
2
8
说明：
2 3
J2 .
(3 23)
八面体面上的应力向量可分解为两个分量：
i)垂直于八面体面的分量，即正应力 8 m ，它与应力球张 量有关，或者说与 J1 有关； ii)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 8 2 J 2 ，与应力 偏张量的第二不变量 J 2 有关。
在静水压力作用下，应力—应变间服从弹性规律，且不会屈 服、不会产生塑性变形。
不产生塑性变形的部分 应力 产生塑性变形的部分
反映静水“压力”：
2.平均正应力：
1 1 m = ( 11 + 22 + 33 ) = kk 3 3 (3 - 4)
3.应力张量的分解：
应力张量可作如下分解：
2.Lode应力参数
[分析]
由图3-4可见，若在已知应力状态上 叠加一个静水压力，其效果仅使三 个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离 ，该距离等于所叠加的静水应力， 并不改变Mohr圆的大小。 [结论]
3 J12 J 2 J 3 0,
其中 J , 1 kk
(3 9)
(3 10) (3 11) (3 12)
1 J 2 ii kk ik ki , 2 J 3 ij .
2. 应力张量的不变量
当坐标轴方向改变时,应力张量的分量 ij均将改变,但主应力的 大小不应随坐标轴的选取而改变.因此,方程(3-9)的系数 J 1、J 2、J 3 的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量。
写法： 采用张量下标记号的应力写法 把坐标轴x、y、z分别 用x1、x2、x3表示， 或简记为xj (j=1,2,3),
(3 1)
上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法
11 12 13 22 23 ij ji , 21 31 32 33
N
O
SN
采用张量下标记号，可简写成
S Ni = ij l j
说明：
(3 - 3)
x1 i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于
j 1
3
,这称为求和约定；
x2
ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；
(4) 应力张量的分解
11 1.静水“压力”： = 22 = 33 =
而没有剪应力的状态。
应力偏张量
m m ij 0 0
0
m
0
0 0 m
S ij ——应力偏张量 12 13 11 m S ij 21 22 m 23 31 32 33 m
标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应 力）状态的距离或差别的大小。
联系到（3-17）式， J 2
1 sij sij 2
不难看出 代表 S ij 空间的中的广义距离
4. 等效剪应力
1 0, 2 0, 3 0,
J2
J2 2 或 联系到（3-19）式，可知
说明： 材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与 应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是 由应力偏张量引起的 。应力张量的这种分解在塑性力
学中有重要意义。
二、主应力和应力不变量
1. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力
力 若某一斜面上
N 称为该点一个主应力