八年级【几何模型三角形轴对称】试卷培优测试卷
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八年级【几何模型三角形轴对称】试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.如图,△ABC 中,AB=AC=BC,∠BDC=120°且BD=DC,现以D为顶点作一个60°角,使角两边分别交AB,AC边所在直线于M,N两点,连接MN,探究线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.
(1)如图1,若∠MDN的两边分别交AB,AC边于M,N两点.猜想:BM+NC=MN.延长AC到点E,使CE=BM,连接DE,再证明两次三角形全等可证.请你按照该思路写出完整的证明过程;
(2)如图2,若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点,其它条件不变,再探究线段BM,MN,NC之间的关系,请直接写出你的猜想(不用证明).
【答案】(1)过程见解析;(2)MN= NC﹣BM.
【解析】
【分析】
(1)延长AC至E,使得CE=BM并连接DE,根据△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,可以证得△MBD≌△ECD,可得MD=DE,∠BDM=∠CDE,再根据∠MDN
=60°,∠BDC=120°,可证∠MDN =∠NDE=60°,得出△DMN≌△DEN,进而得到
MN=BM+NC.
(2)在CA上截取CE=BM,利用(1)中的证明方法,先证△BMD≌△CED(SAS),再证△MDN≌△EDN(SAS),即可得出结论.
【详解】
解:(1)如图示,延长AC至E,使得CE=BM,并连接DE.
∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,又BD=DC,且∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,∴∠MBD=∠ECD=90°,
在△MBD与△ECD中,
∵BD CD
MBD ECD BM CE
,
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴MD=DE,∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,
∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°,即:∠MDN =∠NDE=60°,
在△DMN与△DEN中,
∵MD DE
MDN EDN DN DN
,
∴△DMN≌△DEN(SAS),
∴MN=NE=CE+NC=BM+NC.
(2)如图②中,结论:MN=NC﹣BM.
理由:在CA上截取CE=BM.∵△ABC是正三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
又∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠BCD=∠CBD=30°,
∴∠MBD=∠DCE=90°,
在△BMD和△CED中
∵BM CE
MBD ECD BD CD
,
∴△BMD≌△CED(SAS),
∴DM= DE,∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,
∴∠NDE=∠BDC-(∠BDN+∠CDE)=∠BDC-(∠BDN+∠BDM)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,
即:∠MDN =∠NDE=60°,
在△MDN和△EDN中
∵ND ND
EDN MDN ND ND
,
∴△MDN≌△EDN(SAS),
∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
2.如图1,等腰△ABC中,AC=BC=42∠ACB=45˚,AO是BC边上的高,D为线段AO上一动点,以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚,连结BE.
(1) 求证:△ACD≌△BCE;
(2) 如图2,在图1的基础上,延长BE至Q, P为BQ上一点,连结CP、CQ,若CP=CQ=5,求
PQ的长.
(3) 连接OE,直接写出线段OE的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)PQ=6;(3)OE=422
-
【解析】
试题分析:()1根据SAS即可证得ACD BCE
≌;
()2首先过点C作CH BQ
⊥于H,由等腰三角形的性质,即可求得45
DAC
∠=︒,则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长.
()3OE BQ
⊥时,OE取得最小值.
试题解析:()1证明:∵△ABC与△DCE是等腰三角形,
∴AC=BC,DC=EC,45
ACB DCE
∠=∠=,
45
ACD DCB ECB DCB
∴∠+∠=∠+∠=,
∴∠ACD=∠BCE;
在△ACD和△BCE中,
,
AC BC
ACD BCE
DC EC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
(SAS)
ACD BCE
∴≌;
()2首先过点C作CH BQ
⊥于H,
(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ,
∵△ABC 是等腰三角形,∠ACB=45˚,AO 是BC 边上的高,
45DAC ∴∠=,
ACD BCE ≌,
45PBC DAC ∴∠=∠=,
∴在Rt BHC 中,2242422
CH BC =⨯=⨯=, 54PC CQ CH ===,,
3PH QH ∴==,
6.PQ ∴=
()3OE BQ ⊥时,OE 取得最小值.
最小值为:42 2.OE =-
3.如图,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一动点,连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .
(1)若AB AC =,90BAC ∠=︒
①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系; ②当点D 在线段C 的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中面出相应的图形并说明理由;
(2)如图3,若AB AC ≠,90BAC ∠≠︒,45BCA ∠=︒,点D 在线段BC 上运动,试