构造辅助函数证明微分中值定理及应用
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
导，以ｏ）：以１）：ｏ，ｌ卸畔：１．求证：（１）存 例６设，（戈）在［０，１］上连续，在（０，１）内可 一（茗一告）２
在叩∈（专，１）使八叩）＝１７；（２）对任意实数Ａ，存
在拿∈（０，叩），使厂（ｅ）一Ａ［八乎）一手］＝１．
３８
成都纺织高等专科学校学报
２００７年４月
分析：（１）ｆＨ连续函数的零点定理，证明起来
比较直观．（２）目的是要证（厂（∈）一拿）７一Ａ（ｆ（车） 一车）＝０．由构造函数的待定因子法，令：
Ｆ（戈）＝Ｐ（石）（．厂（石）一菇），得：
∥（石）＝Ｐ’（ｚ）（厂（戈）一ｚ）＋尸（戈）（厂（戈）一戈）７
＝ｋ（（八戈）一菇）７一Ａ（／．（石）一戈））
分析：将结论中的车换成菇后，可得厂（戈）∥ （石）一ｇ（菇）厂（菇）＝Ｏ，对等式左端求积分可得一 簇函数Ｇ（戈），并令积分常数Ｃ＝０，即Ｇ（戈）＝』
嗽菇）矿（菇）一ｇ（茗）厂（戈）］ｄｘ＝厂（菇）９７（舅）一ｇ
（ｘ）ｆ（名），可得ｒ（ｘ）＝火ｘ）９７（戈）一ｇ（ｘ）厂（菇）． 证明令Ｆ（茹）＝“石）９７（并）一ｇ（茗）／（菇），
（名）戈一赢～＝Ｏ，对等式左端，，求积分可得一簇函 数Ｇ（石），并令积分常数Ｃ＝０，即Ｇ（戈）＝『［厂
（茗）戈一志一嘉彤髫）戈一忐一１］ｄ菇＝厂（茹）戈一去’，可
得Ｆ（石）＝．厂（茹）茹一赢～．
证明令Ｆ（ｘ）＝八ｘ）ｘ一赢～， 则Ｆ（石）在［口，６］上连续，在（口，ｂ）内可导，且：
Ｆ（口）＝Ｆ（ｂ）＝０． 由罗尔定理知，存在ｅ∈（口，ｂ），使得ｒ（拿）＝０， 另一方面：
构造辅助函数Ｆ（戈）：△型来试一试．
证明令Ｆ（茁）：丛型．
微分中值定理的证明及其应用
微分中值定理的证明及其应用[摘要摘要] ] ] 微分中值定理是微分学的基本理论微分中值定理是微分学的基本理论微分中值定理是微分学的基本理论,,也是微分学的理论基础。
数学分析中基础。
数学分析中,,介绍了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理。
本文主要探讨微分中值定理的几何意义及证明过程中辅助函数的构造辅助函数的构造,,结合教学过程中出现的问题结合教学过程中出现的问题,,通过具体实例探讨微分中值定理在函数性态各方面的应用。
微分中值定理在函数性态各方面的应用。
[关键词关键词] ] ] 中值定理中值定理中值定理 辅助函数辅助函数 根的存在性根的存在性 待定系数法待定系数法 数学分析中数学分析中,,一般在证明罗尔定理的基础上一般在证明罗尔定理的基础上,,通过构造辅助函数通过构造辅助函数,,然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件,,最后利用罗尔定理的结论得出拉格朗日定理的证明。
其关键是如何构造辅助函数结论得出拉格朗日定理的证明。
其关键是如何构造辅助函数,,一旦辅助函数构造出来辅助函数构造出来,,余下的问题便容易解决了。
余下的问题便容易解决了。
首先介绍微分中值定理的几何意义和辅助函数的构造及定理的证明。
证明。
一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨若函数在闭区间上连续若函数在闭区间上连续,,其图形是一段连续的曲线弧。
当在区间两个端点的函数值相等两个端点的函数值相等((即)时,线段ab 平行于轴平行于轴,,其斜率为零。
若函数在内每一点都可导函数在内每一点都可导,,对应曲线弧上每一点都有切线对应曲线弧上每一点都有切线,,此时此时,,从图可以看出可以看出,,在曲线弧上在曲线弧上,,至少可以找到一点m,m,弧在此点的切线与线弧在此点的切线与线段ab 平行平行,,即切线的斜率为零。
若记m,m,则切线则切线mt 的斜率为的斜率为,,且。
且。
上述的几何直观进行归纳上述的几何直观进行归纳,,得到如下定理得到如下定理: :定理1:(1:(罗尔定理罗尔定理罗尔定理) )若函数满足下列三个条件若函数满足下列三个条件: :(1)(1)在闭区间上连续在闭区间上连续在闭区间上连续;(2);(2);(2)在开区间内可导在开区间内可导在开区间内可导;(3);(3);(3)。
构造辅助函数证明微分中值定理及应用
构造辅助函数证明微分中值定理及应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一、它指出，如果函数在一些区间内连续，并且在该区间内可导的话，那么在该区间内至少存在一个点，对应的函数的导数等于函数在该区间的两个端点的函数值之差除以它们的自变量的差值。
为了证明微分中值定理，我们需要构造一个辅助函数来分析。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且可导。
我们构造一个辅助函数g(x) = f(x) - kx，其中k是待定的常数。
辅助函数g(x)在区间[a,b]上也是连续可导的。
现在我们来分析这个辅助函数g(x)。
首先，考虑端点a和b处的函数值。
根据辅助函数的定义，g(a) = f(a) - ka，g(b) = f(b) - kb。
如果我们选择k = (f(b) - f(a))/(b - a)，那么g(a) = 0，g(b) = 0。
也就是说，我们可以通过选择适当的k，使得辅助函数在区间[a,b]的两个端点处函数值为0。
接下来，我们考虑辅助函数的导数。
根据辅助函数的定义，g'(x)=f'(x)-k。
由于f(x)在区间[a,b]上可导，所以f'(x)也在该区间上连续。
因此，辅助函数g'(x)是一个连续函数。
同时，根据导数的定义，我们有g'(a)=f'(a)-k，g'(b)=f'(b)-k。
根据连续函数的介值性质，如果函数g'(x)在区间[a,b]内取到了正值和负值，那么一定存在一些点c，使得g'(c)=0。
根据导数的定义，这意味着f'(c)-k=0，即f'(c)=k。
现在我们回顾一下辅助函数的定义，g(x) = f(x) - kx。
如果f'(c) = k，那么g(x)在点x = c处的导数为0，也就是说g(x)在点x = c处取到了极值。
由于g(a) = 0，g(b) = 0，根据罗尔定理，我们知道在两个端点处对应的两个函数值相等，因此至少存在一个点d，使得g'(d) = 0。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。
遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。
文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法定理1（Rolle ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （iii ）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理2（Lagrange ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析一、微分中值定理的证明和应用1.拉格朗日中值定理的证明：拉格朗日中值定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理是根据泰勒展开式推导而来。
设函数f(x)在区间[a,b]上满足条件，则对于任意的x∈(a,b)，都可以将f(x)展开成泰勒级数，即：f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)其中c∈(a,b)。
因此，当x在(a,b)范围内变化时，根据泰勒展开式可知，存在至少一个c使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2.拉格朗日中值定理的应用：拉格朗日中值定理常用于证明函数的性质以及求解函数的近似值，如用于证明介值定理、判定函数单调性、证明零点存在等。
它也可以用于求解极值问题，通过求解函数的导数等于零的方程，找到函数的极值点。
此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明柯西中值定理。
3.柯西中值定理的证明：柯西中值定理是微分中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则存在至少一点c∈(a,b)使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的证明可以通过构造辅助函数来实现。
设辅助函数h(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]，然后根据辅助函数的性质，利用拉格朗日中值定理证明存在一些c，使得h'(c)=0。
进而，可以得到[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
4.柯西中值定理的应用：柯西中值定理常用于证明函数之间的关系以及求解函数的极值问题。
例如，可以用柯西中值定理来证明洛必达法则，即如果两个函数f(x)和g(x)在x->a时都趋于零，且g'(x)≠0，则f'(x)/g'(x)在x->a时也趋于零。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用
辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用以辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它建立了函数在某个区间内的导数与函数在该区间内的平均变化率之间的关系。
本文将介绍微分中值定理的证明方法以及其应用。
我们将利用辅助函数构造法来证明微分中值定理。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，并且f(a)≠f(b)，我们定义辅助函数g(x) = f(x) - [f(b) - f(a)]/(b-a)*(x-a)，其中[f(b) - f(a)]/(b-a)表示函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率。
辅助函数g(x)满足以下条件：1. g(x)在区间[a,b]上连续；2. g(a) = f(a) - [f(b) - f(a)] = f(b)；3. g(b) = f(b) - [f(b) - f(a)] = f(a)；根据介值定理，对于任意的y∈[f(a), f(b)]，存在c∈[a,b]，使得g(c) = y。
由于g(a) = f(b) > y，g(b) = f(a) < y，所以根据连续函数的介值定理，必然存在c∈(a,b)，使得g(c) = y。
由于g(x)是连续函数且可导，根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得g'(ξ) = 0。
由于g'(x) = f'(x) - [f(b) - f(a)]/(b-a)，所以f'(ξ) = [f(b) - f(a)]/(b-a)。
这样，我们就证明了微分中值定理：对于函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ) = [f(b) - f(a)]/(b-a)。
微分中值定理的证明通过构造辅助函数g(x)并利用介值定理和罗尔定理，建立了函数的导数与平均变化率之间的关系。
接下来，我们将介绍微分中值定理的应用。
微分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，下面我们将介绍其中的两个应用场景。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧构造辅助函数是应用微分中值定理的一种常用技巧，通过构造合适的辅助函数，可以简化定理的证明过程，使得结论更容易得到。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的技巧。
1.构造差商辅助函数：差商是在微积分中常用的一个概念，表示函数在一点附近的平均变化率。
通过构造差商辅助函数，可以将函数的变化率转化成差商的形式，从而应用差商的性质进行分析和证明。
具体来说，如果要证明一个函数在一些区间上的平均变化率等于两个点之间的差商，可以构造一个辅助函数，使得辅助函数的导数等于差商，从而可以利用微分中值定理得到所需的结果。
2.构造导函数辅助函数：导函数是函数在一点处的斜率，表示函数的变化速率。
通过构造导函数辅助函数，可以转化函数在区间上的斜率问题为导函数在特定点上的函数值问题。
具体来说，可以通过构造辅助函数的导函数等于原函数的导函数，再利用微分中值定理得到结论。
3.构造积分辅助函数：积分是函数的反导数，表示函数在一点处与坐标轴之间的面积。
通过构造积分辅助函数，可以将函数的积分转化为函数在区间上的平均值。
具体来说，可以通过构造辅助函数的积分等于原函数的积分，再利用微分中值定理得到所需的结论。
4.构造复合函数辅助函数：复合函数是两个或多个函数通过函数运算得到的新函数。
通过构造复合函数辅助函数，可以将定理的证明转化为复合函数的导数的证明。
具体来说，可以通过构造复合函数辅助函数使得辅助函数的导数等于复合函数的导数，再利用微分中值定理得到结论。
总之，构造辅助函数是证明微分中值定理的一种常见技巧，可以简化证明过程，使得结论更容易得到。
不同的辅助函数类型适用于不同的证明问题，具体的构造方法需要根据具体的问题进行选择。
在构造辅助函数时，需要充分发挥函数的性质和微积分的基本概念，灵活运用各种技巧，才能得到令人满意的结果。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
辅助函数的几种特殊用法在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。
因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。
为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。
(1)若题目中出现等式“'()()f kf ζζ-”时，一般可以考虑作辅助函数)()(x f e x F kx -=.例:设函数f 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ==证明：k R ∀∈，(,)a b ζ∃∈，使得'()()f kf ζζ=分析:要证'()()f kf ζζ=，即证'()()0f kf ζζ-=，也就是证ζ函数)()(x kf x f -'的零点.注意到[()]'['()()]kx kx f x e f x kf x e --=-，因此，只要检验函数()()kx F x f x e -=是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.证明:构造辅助函数()()kx F x f x e -=，(,)x a b ∈，则()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理条件，故(,)a b ζ∃∈，使得0)(='ζF ， 而[])()()()()(ζζζζζkf f e e x kf e x f F k x kxkx -'=-'='-=--，则['()()]0k e f kf ζζζ--=，即'()()f kf ζζ=.(2)若题目结论中出现等式“1'()n A f ζζ-=)0(≠A ”时，可考虑作副主函数()()F x f x =，()n G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈，使得：222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.证明: i ）若0(,)a b ∉作辅助函数()()F x f x =，2()G x x =，()F x ，()G x 均满足柯西中值定理条件 所以(,)a b ζ∃∈使得22()()'()2f b f a f b a ζζ-=-，即222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.ii ）若0(,)a b ∈，'(0)0,0f a b ≠+≠由i ）可类似得证. iii ）若0(,)a b ∈，'(0)0f ≠，取0ζ=，即证.(3)若题目结论中出现“()'()f f ζζζ-”时，可以考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=. 例:设函数f 在[,]a b 上连续)0(>a ，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈使得1()'()()()a b f f f a f b a b ζζζ=--,证明:因为2)()()(x x f x f x x x f -'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡, 考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=，显然F 与G 在[,]a b 上满足柯西中值 定理条件，所以必(,)a b ζ∃∈， 使得)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--即221)()(11)()(ζζζζζ--'=--f f a b a a f b b f [])()()()(1ζζζf f a bf b af b a '-=--⇒证毕.(4)若命题结论中出现式“()'()f f ζζζ+”时，可考虑作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：必有(,)a b ζ∈，使得()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-.分析:我们熟悉[])()()(x f x x f x xf '+='，因此作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =，且知()F x ，()G x 在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--，即()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-得证.(5)若题目中出现式“'()f ζζ”时，可考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =.例:设函数f 在[,]a b (0)a >上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ζ∈使得()()'()lnbf b f a f aζζ-= 证明:由我们熟悉的xx 1)(ln ='，考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =且)(),(x G x F 在给定的区间内均满足柯西中值定理条件，于是),(b a ∈∃ζ，使得()()'()1ln ln f b f a f b aζζ-=-，即()()'()lnbf b f a f aζζ-=，证毕.(6)若命题结论中出现等式“()()f kf ζζζ'-”的关系时，可考虑的辅助函数为).()(x f x x F k -=例:设)(x f 在[]b a ,上连续，)0(b a <<，在),(b a 内可导，且)()(a bf b af =，证明：),(b a ∈∃ζ使得)()(ζζζf f '=.证明:设)()(1x f x x -=ϕ，显然ϕ在[]b a ,上连续， 而2)()()(xx f x f x x -'='ϕ在在),(b a 内存在， 且)()()(11b f b a f a a --==ϕ，故ϕ在[]b a ,上满足罗尔中值定理条件， 于是必),(b a ∈∃ζ使得0)()(2=-'='ζζζζζϕf f ）（， 所以0)()(=-'ζζζf f ，而0>ζ，所以)()(ζζζf f '=.证毕.（7)若题目中出现等式“2f ff '''+”，的关系时，则往往考虑构造辅助函数)()(2x f x F =，因为)(x F 经过一次求导为)()(2)(x f x f x F '='，再次求导后，即[])()()(2)(x f x f x f x F ''+'=''.例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导，且0)()(==b f a f ，证明：),(b a ∈∃ζ，使得.0)()()(2=''+'ζζζf f f证明:设辅助函数),()(2x f x F =则)()(2)(x f x f x F '='， 因为)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导， 且0)()(2)()()(2)(='='='='b f b f b F a f a f a F ，所以由罗尔中值定理知：必),(b a ∈∃ζ使0)(=''ζF ，而[]0)()()(2)(2=''+'=''ζζζζf f f F ，即0)()()(2=''+'ζζζf f f .证毕.(8)若题目中出现等式“2ff f '''-的关系时，则需构造辅助函数)(ln )(x f x F =，因为)(x F 经过一次求导后为)()()(x f x f x F '='，再次求导后得到.)()()()()(2x f x f x f x f x F '-''='' 例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且[]b a x x f ,,0)(∈>，)()()()(b f a f a f b f '⋅='⋅，试证：必),(b a ∈∃ζ使得.0)()()(2='-''ζζζf f f证明：设)(ln )(x f x F =，得)()()(x f x f x F '='， 显然)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则)()()()()()(b F b f b f a f a f a F '='='='， 故满足罗尔中值定理条件，因此必),(b a ∈∃ζ使得0)(=''ζF ，而0)()()()()(22='-''=''=ζζx x f x f x f x f F ，即.0)()()(2='-''ζζζf f f证毕.(9)若题目结论中出现等式“0)()(0=+⎰ζζf dx x f ”，的关系时，则可考虑构造辅助函数.)()(0⎰=xx dt t f ex ϕ例：设f 在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且⎰=a dx x f 0.0)(证明：),0(a ∈∃ζ使得0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证明：作辅助函数⎰=xxdt t f e x 0)()(ϕ，显然)(x ϕ在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且)0(0)()(0ϕϕ===⎰aa dt t f e a ，故满足罗尔中值定理条件，因此，必),0(a ∈∃ζ使得0)(='ζϕ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+='⎰⎰)()()()()(00x f dt t f e x f e dt t f e x xx x x x ϕ，由于0≠ζe ， 故0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证毕.(10)若题目出现等式“()()f f ζζ''-”的关系时，则需两次构造辅助函数，第一次构造)()(x f e x g x =，第二次构造[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ.例:设设)(x f 在[]b a ,上可导，在),(b a 内二阶可导，0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，试证：),(b a ∈∃ζ，使得).()(ζζf f =''证明：因为0)()(>'⋅'b f a f ，所以)(a f '与)(b f '同号，设0)(>'a f ，即0)(lim _)()(lim >-=-++→→ax x f a x a f x f a x ax ，所以),,(,01δδ+∈∃>∃a a x 使得0)(1>x f ， 0)(lim )()(lim >-=----→→bx x f b x b f x f b x bx ，所以),(,02b b x δδ-∈∃>∃，使得.0)(2<x f 又因为f 在[]b a ,上可导，故f 在[]b a ,上连续，即f 在),(21x x 上连续, 而0)(,0)(21<>x f x f ，所以由介值定理（或零点定理），),(21x x ∈∃η使得.0)(=ηf再看，由题目结论，构造辅助函数),()(x f e x g x = 因为)()()(ηf b f a f ==，所以0)()()(===b g g a g η，故),(1ηηa ∈∃，使得,0)(1='ηg ),(2b ηη∈∃，使得.0)(2='ηg因为[])()()()()(x f x f e x f e x f e x g x x x '+='+='，由0)()(21='='ηηg g ，可得.0)()(,0)()(2211='+='+ηηηηf f f f令[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ， 所以有[]0)()()(1111='+=-ηηηϕηf f e ，[],0)()()(2222='+=-ηηηϕηf f e即0)()(21==ηϕηϕ，又因为)(x ϕ在[]21,ηη上连续可导， 所以),()(2,1b a ⊂∈∃ηηζ，使得0)(='ζϕ，即[]0)()()(=-''='=-ζζϕx x x f x f e ，而0≠-ζe ，故0)()(=-''ζζf f .证毕.涉及罗尔定理证明中值等式的命题罗尔定理:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且在区间端点的函数值相等，即()()f a f b =.那么在区间(,)a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零，0)('=ξf .题型一：设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，证明对任何实数k ，至少存在一点),(b a ∈ξ使)()(ξξkf f ='成立.分析：首先从结论看起，欲证)()(ξξkf f ='，即证0)()(=-'k f f ξξ，即0)()(=-'=ξx k x f x f .而要0)()(=-'=ξx k x f x f 就促使我们想到去构造辅助函数的思路，即构造的函数)(x F 应该满足在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b F a F =，k x f x f x F -'=')()()(，如果这样的话kx x f x F -=)(ln )(，但是)(x F 在点a 和点b 处都没有定义，所以不满足)()(b F a F =,从而kx x f x F -=)(ln )(不是我们所需要的辅助函数，但是注意到指数函数)(x F e 的特点，当对数运算和指数运算相互抵消后得到的新函数的定义域可能会扩大，从而)(x F e 可能成为我们找的辅助函数.若令)()()(x f e e x G kx x F -==，则)(x G 满足)(0)(b G a G ==以及罗尔定理的其他条件，所以，由罗尔定理得知：至少),(b a ∈∃ξ使得0)(='ξG ，而[])()()(x kf x f G -'='ξ，所以[]0)()()(=-'='-ξξξξkf f e G k ，而0>-kx e ，所以只能0)()(=-'ξξkf f ，即)()(ξξkf f ='成立，由此)(x G 就是我们所需构造的辅助函数.注意：在分析题目时，如果我们从不同的角度看它就可能会构造不同的辅助函数，也就是说，对于解决同一个题目，所构造的辅助函数可能是不唯一的.例:设)(x ϕ为[]c c ,-上的连续奇函数，且在()c c ,-内可导，又0)(=c ϕ，证明：对任何实数λ，都存在()c c ,-∈ζ使得0)()(=+'ζλϕζϕ.证法一:由题型一的结论可作辅助函数)()(x e x G x ϕλ=，则)(x G 在[]c c ,-上连续，又因为[])()()()()(x x e x e x e x G x x x ϕλϕϕϕλλλλ'+='+='在()c c ,-内存在，且0)()(==-c G c G ，（0)()(=--=c c ϕϕ），所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)(='ζG ，即0)()(=+'ζλϕζϕ.证毕.证法二:若设dt t x x G xc⎰-+=)()()(ϕλϕ，则)(x G 在[]c c ,-上连续，且)()()(x x x G λϕϕ+'='在()c c ,-内存在，又因为0)()()(=+=⎰-dt t c c G ccϕλϕ，0)()()()()(=-=-=+-=-⎰--c c dt t c c G ccϕϕϕλϕ，所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)()()(=+'='ζλϕζϕζG .证毕.题型二:证明),(b a ∈∃ζ，使得0)()()(='+'ζζζf g f .分析:仍然从结论入手，把0)()()(='+'ζζζf g f 变形，且将ζ变为x ，则有0)()()(='+'=ζx x g x f x f ，而)()()(x g x f x f '+'有一个原函数)()(ln )(x g x f x F +=，由题型一，最好将辅助函数)(x T 作为)()()(x f e x T x g =.例:取函数()f x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k f k f =-，试证明在),(k k -内至少存在η，使得)(2)(ηηηf f ='.分析:由该题型的辅助函数为可知，待证等式中的)(2ηηg '=-，从而得到2)(ηη-='g ，将ηζ改为x 即2()g x x =-，因此辅助函数2()()x F x e f x -=.证明:取辅助函数2()()x F x e f x -=.则()F x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k F k F =-，满足罗尔定理， 故必),(k k -∈∃η使得)(ηF '0=， 由于[])(2)()(2x xf x f e x F x -'='-，将η=x 带入上式，并去掉非零因子2η-e ，即得证原式成立.附注:读者可将题型二的()g x 取为x λ或2x λ带入'()'()()0f x g x f x +=将得到一系列的命题.题型三：证明存在(,)a b ξ∈使得1()'()0k k k f f ζζζζ-+=构造的辅助函数()()k F x x f x =例:设函数()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，1(1)2f =，(2)2f =，证明：存在(1,2)ζ∈，使得'()2()f f ζζζ=.分析:待证等式可变形为2()'()0f f ζζζ-=，即0)()(22='+-ζζζζf f .与题型二的一般形式进行比较可知k 为-2的情况，因此可作辅助函数()()x f x x F 2-=.证明:取辅助函数2()()F x x f x -=，则易知()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且(1)(2)0.5F F ==，由罗尔定理，至少存在一点(1,2)ζ∈使得'()0F ζ=， 由于12'()['()2()]F x x x f x xf x -=-，将x ζ=带入上式，即有 2()'()0f f ζζζ-=，故'()2()f f ζζζ=.证毕.附注:由题型三可以演变出一系列的题型.如：证明存在(,)a b ξ∈使'()''()()0kf f ζζζλ+-=，k R ∈，R λ∈ 构造的辅助函数()()'()k F x x f x λ=-例:设函数()f x 在[0,1]二阶可导，(0)(1)f f =，求证：存在(0,1)ζ∈，使得2'()''()(1)0f f ζζζ+-=.证明:取辅助函数2()(1)'()F x x f x =-.由于(0)(1)f f =，()f x 在[0,1]上二阶可导，对()f x 在[0,1]上应用罗尔定理， 则必存在(0,1)η∈使得'()0f η=，于是有()0F η=，因为(1)0F =且()F x 在[0,1]上可导，对()F x 在[,1]η上应用罗尔定理，必存在(,1)(0,1)ζη∈⊂使得'()0F ζ=， 由于2'()2(1)'()(1)''()F x x f x x f x =-+-，将x ζ=带入上式，并去掉非零因子1ζ-，即证得原式成立，证毕.题型四:证明存在)(b a ,∈η使得)()(2ηληf f =''，λ为常数.（注意:此题型需要构造两次辅助函数，第一次构造()()x F x e f x λ=；第二次构造2()'()x G x e F x λ-=）.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f x 在(,)a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，'()'()0f a f b >，求证：存在(,)a b ζ∈，使得''()4()f f ζζ=证明:由()()0>'⋅'b f a f ，不妨设'()0f a >，'()0f b >， 由导数的几何意义，在x a =的右领域中存在1B ,使得()()01=>a f B f ， 在x b =的左领域中存在2B ，使得()()02=<b f B f ，且令21B B <，则由应用零点定理可知存在()21B B B ，∈，使得 ()0=B f ，取2()()x F x e f x =，则()F x 在(,)a b 上可导，且()()()0===B F b F a F ，所以分别在][B a ,和][b B ,上应用罗尔定理，存在)(B a ,1∈∃η使得()01='ηF ；)(b B ,2∈∃η，使得()02='ηF . 因此11'()2()0f f ηη+=，12'()2()0f f ηη+=，令4()x G x e -=2'()['()2()]x F x e f x f x -=+， 则()G x 在(,)a b 内可导，由于12()()0G G ηη==在12[,]ηη上应用罗尔定理，存在12(,)(,)a b ζηη∈⊂， 使得'()0G ζ=，由于()2'()''()2'()2'()4()x G x e f x f x f x f x -=+-+⎡⎤⎣⎦，故有''()4()f f ζζ=，证毕.提示:其实在涉及一些利用罗尔中值定理证明一些等式的时候，一般都是先从题目的结论入手，把结论中的等式经过变形后，观察该式，看看什么样的函数经过求导后（一次或两次等）含有如结论中的式子作为因子，则我们一般就取这样的函数为我们需要找的辅助函数.但是需要强调一点，就是我们选取的辅助函数在题目给定区间要有意义，且满足罗尔定理的条件，这种就是前面所讲的原函数法.涉及拉格朗日中值定理证明中值等式的命题拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式))((')()(a b f a f b f -=-ξ成立.亦即)(')()(ξf ab a f b f =--成立.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导0a >，()()1f a f b ==，证明：存在ζ使得1(,)()'()n a b f f ηηηζζζζ-⎡⎤∈∍=+⎢⎥⎣⎦. 分析:先将等式变形，即有11()'()(*)n n n n n f f ηζζζζ--=+，通过观察，我们会发现等式(*)的右边是（1()()0k k k f f ζζζζ-+=，[()]'0k x f x =，()k x f x ）形式，因此构造的辅助函数()()n F x x f x =，再观察等式(*)左边可知1()'n n n ηη-=，从而得到辅助函数()n g x x =，通过拉格朗日中值定理寻找'()F x 与'()G x 的相同部分，得出待证结论.证明:取辅助函数()()n F x x f x =，易知()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件.则存在),(b a ∈ξ使得⇒--='ab a F b F F )()()(ξ1()()()'()n n n nb f b a f a n f f b a ζζζζ--+=- 又()()1f a f b ==， 所以1()'()n nn nb a n f f b aζζζζ--+=- （1）取 ()n g x x =，易知()g x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件， 则()()(,)'()n ng b g a b a a b g b a b aηη--∈∍==-- （2）比较（1）（2）可得11()()n n n n n f f ηζζζζ--=+， 即1()'()n f f ηζζζζη-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 证毕.。
如何构造辅助函数——浅谈中值定理及相关命题的证明
Ｊ ｎ．（ ２ ｕ ２Ｉ Ｏ
如 何 构 造 辅 助 函 数
浅谈 中值 定 理 及 相 关命 题 的证 明
丁 仰 彰
（ 州职业技 术学院基 础科学部 ， 江苏 泰 泰 州 ２５ ０ ） ２ ３０
摘 要 ： 明微分 中值 定理 及 相 关命 题 时 ， 何 构 造 辅 助 函数 ， 文作 了一 些探 讨 ， 出 了构 造 辅 证 如 本 提 助 函数 的 一般 思路 ， 对现 有教 材 中的方 法提 出了不 同意 见 。 关键 词 ： 助 函数 ； 辅 中值 定理 ； 关命 题 相
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第 ２卷第 ２期
２０ ０ ２年 ６月
泰 州 职 业 技 术 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａｚ ｏ ｏｙｅ ｈ ｉａ ｎ ｔ ｕ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＴ ｉ ｕ Ｐ ｌ ｔｃ ｎ ｃ ｌ ｓ ｔｔ ｈ Ｉ ｉ
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作 者 简 介 ： 仰 彰 ， １４ 一 ）男 ， 苏 泰 州 人 ， 师 丁 （９９ ， 江 讲
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微分中值定理的证明
微分中值定理的证明假设函数f(x)在闭区间[a,b]上满足连续性和可导性。
根据闭区间上连续函数的性质，函数f(x)在[a,b]上可得到最大值和最小值。
首先，我们观察在闭区间[a,b]上函数f(x)的最大值和最小值。
根据最大值和最小值的定义，存在两个点x1和x2，其中a≤x1≤b，a≤x2≤b，并且满足f(x1)≥f(x)≥f(x2)，对于任何x∈[a,b]。
接下来，我们按照下面的步骤来证明微分中值定理：步骤1：构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
这个辅助函数的目的是将原函数f(x)通过线性函数的方式转换到一个更便于证明的形式上。
根据辅助函数的构造，显然g(a)=0，g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)。
步骤2：证明辅助函数g(x)在闭区间[a,b]上可导。
首先，根据f(x)的可导性可知f(x)在闭区间[a,b]上连续，因此辅助函数g(x)也在该区间上连续。
其次，对于该辅助函数g(x)，我们可以计算它在闭区间[a,b]内的导数g'(x)。
根据导函数的定义以及线性函数导数的性质，我们有：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)。
由于f(x)在闭区间[a,b]上可导，所以g'(x)在闭区间[a,b]上也可导。
步骤3：证明辅助函数g(x)在闭区间[a,b]的特定点c处的导数值等于0。
根据罗尔定理，若函数g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导且g(a)=g(b)，则存在点c位于(a,b)内，使得g'(c)=0。
由于g(a)=g(b)=0，所以根据罗尔定理，我们可以得到存在特定点c 位于(a,b)内，使得g'(c)=0，即f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0。
整理上面的等式，我们可以得到f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
构造辅助函数在Lagrange和Cauchy中值定理中的应用
国内许多教材和文献给出了微分中值定理的许
多证 明方法 ， 其 价值 不 言 而喻 。Ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ定理 是 最基 本 的定 理 ， 笔者 从该 基本 定 理 出发 ， 利 用 构造 辅助 函数
ｌ ｉ ｍ
州
＋
ｌ ｉ ａ ｒ
州
一
巩
法给出 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 中值定理 和 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ中值定理一种
Байду номын сангаас应用 ：
例 １已知 函数 ）在 ［ ０ ， 口 ］ 上 连续 ， 在 （ ０ ， ａ ）
Ｇ （ ６ ）一Ｃ （ ａ ）＝ ６ ）一 ６一 ｆ （ ａ ）＋
内可 导 ， 且 口 ）＝０． 证 明在 （ ０， 口 ）内存 在一 点 ，
二 ２ 口
６ ）一 。 ）一 （ ６一位 ） ：０。
６ ）一 口 ） ＝厂（ ） （ ６一口 ）成立 。 分析 ： 将结 论 变形 为厂（ ）一 ＝ｏ，
如果 函数 ）满 足 （ １ ） 在 闭区间 ［ 口 ， ｂ ］上 连 续； （ ２ ） 在 开 区间 （ 口 ， ６ ）内 可导 ； （ ３ ） 在 区间 端 点 处
的函数值相等 ， 即 ａ ）＝ ｂ ）， 那 么在 （ ａ ， ６ ）内至 少有一点 （ ａ＜ ＜ｂ ）， 使得厂（ ）＝０ ． 证 明： 由于 ） 在闭区间 ［ 口 ， ｂ ］ 上连续 ， 根据
证 明： 构造辅 助 函数
ｃ （ ）＝ ）一 鱼
，
’
・
显然 Ｇ （ ） 在闭 区间 ［ ａ ， ｂ ］ 上连续 ， 在开 区间
（ 口 ， ６ ）内可导 ， 且
Ｇ （ 口 ）＝ 口 ）一 口， ｃ （ ６ ）＝ ６ ）一
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理构造辅助函数的方法中值定理是微积分中的重要定理之一，它在研究函数的性质、求解方程等问题中具有广泛的应用。
利用中值定理可以构造辅助函数来解决一些复杂的问题。
本文将介绍几种构造辅助函数的方法，以帮助读者更好地理解和运用中值定理。
1.构造辅助函数的基本原理在构造辅助函数之前，首先要明确辅助函数的目的。
一般来说，构造辅助函数的目的是通过引入一个与原函数相关的函数，利用其性质来简化问题或解决问题。
辅助函数可以是原函数的导函数、导函数的导函数、原函数与导函数之间的关系函数等。
2.1导函数作为辅助函数中值定理中最常用的辅助函数是原函数的导函数。
对于一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内可导，根据中值定理，存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
因此，我们可以构造辅助函数$g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，其中$a\leq x\leq b$。
当且仅当原函数$f(x)$满足中值定理的条件时，辅助函数$g(x)$在闭区间$[a,b]$内的其中一点$c$处的导数等于0。
这样一来，我们就可以通过求解$g'(x)=0$来找到中值点$c$。
2.2导函数的导函数作为辅助函数类似地，我们也可以利用导函数的导函数作为辅助函数，来解决一些问题。
假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$内可导，则中值定理告诉我们存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
如果我们进一步假设$f'(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么根据中值定理，存在一点$d\in(a,b)$，使得$f''(d)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$。
这样，我们就可以构造辅助函数$h(x)=f'(x)-f'(a)-\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}(x-a)$，其中$a\leq x\leq b$。
微分中值定理辅助函数构造
4 、常数k值法 此方法构造辅助函数的步骤分为以下四
点：
11〕将结论变形，使常数局部别离出来并令为． 22〕恒等变形使等式一端为a及f(a)构成的代数式，
另一端为b及f(b)构成的代数式． 33〕观察分析关于端点的表达式是否为对称
式．假设是，那么把其中一个端点设为x，相 应的函数值改为f(x)． 4〕端点换变量x的表达式即为辅助函数F(x)．
〔四〕、构造结论法
构造结论法，就是按照命题的条件和要 求构造出符合结论的数学对象，从而断 定命题正确性的证题方法．有些数学命 题是断言存在着具有某种性质的数学对 象，或者是断言某种数学对象具有某种 特定的性质，对于这种类型的数学命题， 证明的关键往往是构造出符合要求的数 学对象，用构造结论的方法对数学命题 作出证明，称为“构造性证明〞 。
由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系，使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方 法称为构造数学关系法．
通 过 几 何 图 形 考 查 两 函 数 在 区 间 端 点 处 分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出的条件和结论．
〔二〕、构造数学关系法
微分中值定理辅助函数构造
〔一〕、构造数学命题法
1．构造等价命题
如果遇到的数学问题直接证明有困难时， 可构造其等价命题，并通过证明其等价 命题成立从而使所论命题获证．
2．构造辅助命题
在解答某些数学问题时，如果缺乏现成的 根据，那么我们不妨构造一个辅助命题 作为根据，只要证明了辅助命题是真命 题，原问题就迎刃而解．
为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例．这个过程叫做构造反例．选择特殊值，极端情形，常常是 构造反例的关键．
微分中值定理应用中的辅助函数的构造方法
微分中值定理应用中的辅助函数的构造方法
1.微分中值定理介绍：
微分中值定理（Differential Mean Value Theorem）是求取极限内函数导数的一种数学定理。
它是物理学和工程学中常用的，用于推导和求解常微分方程的一种有用工具。
它描述的是随着函数值的变化，函数的导数值也可以发生改变，但在某一点上，函数的导数必定是一个确定的、固定的、线性变化的值。
2.辅助函数的构造方法：
（1）首先，我们要找到一个可以表达某一函数的函数的导数的函数，这个函数就是我们要构建的辅助函数，它可以帮助我们求取微分中值定理中函数的导数。
（2）然后，应用微分中值定理求取函数的导数，需要在该函数的极限点处计算微分，而极限点则是指函数的两侧，其函数值接近零的一对点。
（3）接下来，根据辅助函数的性质，在每个极限点处，构造出一个可以将函数的值表达出来的函数，并让它与辅助函数极限点处作差，计算出该函数的绝对值。
（4）最后，比较绝对值大小，将小于或等于微分中值定理规定的阈值的绝对值画出来，即可求得函数对应的导数值。
中值定理的证明中如何构造辅助函数
中值定理的证明中如何构造辅助函数中值定理是微积分中的一种重要定理，用于描述函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
证明中值定理需要引入辅助函数，我们可以通过构造辅助函数来进行证明。
下面我们详细介绍如何构造辅助函数并利用其来证明中值定理。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
首先，我们需要构造一个辅助函数g(x)来辅助证明。
设辅助函数为：g(x)=f(x)-k(x-a)其中k为待定常数，a为[a,b]中的其中一固定点。
我们现在要证明：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，并且f'(x)连续，则存在其中一点c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
证明过程如下：1.首先，我们求辅助函数g(x)在(a,b)上的导数：g'(x)=f'(x)-k2.根据题目条件，f(x)在[a,b]上连续，并且在(a,b)上可导，则f(x)在[a,b]上连续，f'(x)在(a,b)上连续。
3.由于f'(x)在(a,b)上连续，所以根据介值定理，对于任意两个值A和B，且A<B，则存在一点c∈(A,B)，使得f'(c)=(f(B)-f(A))/(B-A)。
4.我们希望g'(c)=f'(c)-k=0。
为了满足这个条件，我们可以令k=f'(c)，则g'(c)=0。
5.因此，我们需要找到一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=k。
根据介值定理，存在点c∈(a,b)，使得f'(c)=k=f'(c)。
即存在其中一点c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
6.由于g'(c)=0，根据微积分基本定理，g(x)在[a,b]上连续，并且在(a,b)上可导。
7.根据拉格朗日中值定理，g(a)-g(b)=g'(c)(a-b)。
微分中值定理怎样构造辅助函数
怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键,下面介绍怎样构造的方法,还有附带几个经典例题,希望对广大高数考生有所帮助; 先看这一题,已知fx 连续,且fa=fb=0,求证在a,b 中存在ε使f ’ε=f ε 证明过程： f ’ε=f ε, 所以f ’x=fx, 让fx=y,所以 y dxdy =,即dx dy y =1,所以对两边简单积分,即⎰⎰=dx dy y 11,所以解出来真的是不定积分的话后面还要加个常数C,但这只是我的经验方法,所以不加就是x y =ln ,也就是x e y =,这里就到了最关键的一步,要使等式一边为1,所以把x e 除下来,就是1=x ey ,所以左边就是构造函数,也就是x e y -⋅,而y 就是fx,所以构造函数就是x e x f -)(,你用罗尔定理带进去看是不是;再给大家举几个例子;二、已知fx 连续,且fa=fb=0,求证：在a,b 中存在ε使f ’ε+2εf ε=0证：一样的,xy dxdy 2-=,把x,y 移到两边,就是xdx dy y 21-=,所以积分出来就是2ln x y -=,注意y 一定要单独出来,不能带ln,所以就是=y 2x e -,移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ,再用罗尔定理就出来了; 三、已知fx 连续,且fa=f-a,求证在-a,a 中存在ε使f ’ε ε+2f ε=0. 证：02=+y x dx dy ,移项就是dx x dy y 121-=,所以x y ln 2ln -=,所以就是21x y =,移项就是12=⋅x y ,所以构造的函数就是2)(x x f ⋅,再用罗尔定理就可以了; 注：这种方法不是万能的,结合下面例题尝试做下;微分中值定理的证明题1. 若()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,()()0f a f b ==,证明：R λ∀∈,(,)a b ξ∃∈使得：()()0f f ξλξ'+=;证：构造函数()()x F x f x e λ=,则()F x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导, 且()()0F a F b ==,由罗尔中值定理知：,)a b ξ∃∈（,使()0F ξ'= 即：[()()]0f f e λξξλξ'+=,而0e λξ≠,故()()0f f ξλξ'+=; 经典题型二：思路分析：实战分析：设,0a b >,证明：(,)a b ξ∃∈,使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--; 证：将上等式变形得：1111111111(1)()b a e e e b a b aξξ-=-- 作辅助函数1()x f x xe =,则()f x 在11[,]b a 上连续,在11(,)b a内可导, 由拉格朗日定理得： 11()()1()11f f b a f b aξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ , 即 11111(1)11b a e e b a e b aξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ , 即：ae (1)(,)b e be e a b ξξ-=- (,)a b ξ∈; 经典题型三设()f x 在(0,1)内有二阶导数,且(1)0f =,有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ,使得：()0F ξ''=;证：显然()F x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,又(0)(1)0F F ==,故由罗尔定理知：0(0,1)x ∃∈,使得0()0F x '= 又2()2()()F x xf x x f x ''=+,故(0)0F '=, 于是()F x '在0[0]x ，上满足罗尔定理条件,故存在0(0,)x ξ∈, 使得：()0F ξ''=,而0(0,)x ξ∈⊂(0,1),即证。
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构造辅助函数证明微分中值定理及应用摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。
本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。
关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理Constructing auxiliary function to prove differential median theorem and its copplicationsAbstract: Constructing auxiliary function is the important method to prove median theorem. This paper gives several ways of constructing auxiliary function:Differential equation, Constant K, Geometry law, Primary function law, Determinant law;and Gives some specific examples to illustrate how to constructing.Key words: Auxiliary function; Differential equation; Differential median theorem目录一：引言 (4)二：数学分析中三个中值定理 (4)三：五种方法构造辅助函数 (6)1：几何直观法 (6)2：行列式法…………………………………………………………………… .第7页3：原函数法 (8)4：微分方程法 (10)5：常数k值法 (13)四：结论 (15)参考文献 (15)致谢 (16)一:引言微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础，这部分内容理论性强，抽象程度高，所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题。
我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题。
在证明中值命题时，首先要构造辅助函数，尤其是证明诸如：“至少存在一点，使得其代数式成立”这样结论的题目，证明中，如果辅助函数构造得当，题目很容易证明，反之题目将很难解决。
所以构造恰当的辅助函数是证明中值命题的关键，人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数k 值法，原函数法，行列式法，微分方程法等。
根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.下面我们以不同的方法通过分析解决问题的途径。
二:数学分析中三个中值定理定理1[13]-（Rolle 中值定理） 设函数)(x f 满足条件⑴ 在闭区间 [b a ,] 上连续，⑵ 在开区间（b a ,）内可微，⑶ )()(b f a f =，则至少存在一点ξ ∈ (b a ,)，使得 .0)(='ξf我们先从几何角度分析定理的含意：条件(3)说明弦AB 平行于x 轴；条件⑴、⑶表明曲线)(x f y =是平面上一条以两个同高度的点))(,(a f a A 、))(,(b f b B 为端点的连续曲线，⑵是说曲线在),(b a 内处处有不平行于y 轴的切线；结论是说在开区间),(b a 内部必至少有一点，使得曲线)(x f y =在该点的切线平行于x 轴，从而平行于弦AB . 一句话，平面上一条以两个同高度的点为端点的连续曲线处处有不平行于y 轴的切线时，其线内至少有一点，其切线平行于x 轴。
定理2（Lagrange 中值定理） 设函数)(x f 满足条件⑴ 在闭区间 [b a ,] 上连续；⑵ 在开区间（b a ,）内可微，则至少存在一点∈ξ(b a ,），使得. ①我们也先从几何上看Lagrange 定理的意义： ①式右端是弦AB 的斜率。
定理是说，若平面上一条以))(,(a f a A 、))(,(b f b B 为端点的连续曲线)(x f y =在),(b a 内处处有不平行于y 轴的切线，则在开区间),(b a 内部必至少有一点，使得曲线)(x f y =在该点的切线平a b a f b f f --=')()()(ξ行于弦AB ，即平行于两个端点))(,(a f a 与))(,(b f b 的连线 （图3-2）)()()()(b f a x ab a f b f y +---=. 一句话，平面上以A 、B 为端点的连续曲线弧处处有不平行于y 轴的切线时，其线内至少有 一点,其切线平行于弦AB 。
如果在Lagrange 中值定理中增加函数在两端点值相等的条件则结论正是Rolle 中值定理的结论。
可见，Rolle 中值定理是Lagrange 中值定理的特例，这又是一个先处理特殊后处理一般情形的例子。
因而定理2证明的思路就是将Lagrange 中值定理转化到Rolle 中值定理上去以获得证明，定理3（Cauchy 中值定理）设函数)(x f 、)(x g 满足条件⑴ 在闭区间 [b a ,] 上连续，⑵ 在开区间（b a ,）内可微，⑶ 0)(≠'x g ，),(b a x ∈∀，则至少存在一点∈ξ(b a ,)，使得='')()(ξf )()(a f b f -. Cauchy 中值定理的几何意义在理解为参数方程是与Lagrange 中值定理相同。
如果取函数)(x g =x ，Cauchy 中值定理就变成Lagrange 中值定理了，所以Cauchy 中值定理是Lagrange 中值定理的推广，Rolle 中值定理是Lagrange 中值定理的特殊情况（要求)()(b f a f =）；Lagrange 中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理。
三：五种方法构造辅助函数1：几何直观法[56]-此法是通过几何图形考察两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立恰当的辅助函数 拉格朗日定理：设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈，使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立。
分析：该命题条件不满足罗尔定理条件中的()()f a f b =.但从左图可见11()()(),x f x y x ϕ=-满足罗尔定理条件。
其中1()y x 为直线AB 的方程且1()()()()(),f a f b y x f a x a b a-=+-- 从而可作辅助函数11()()()x f x y x ϕ=-证明本题.证明：如图直线AB 方程为1()()()()()f b f a y x f a x a b a-=+-- , 作辅助函数1()()()()[()()],f b f a x f x f a x a b aϕ-=-+-- 容易验证1()x ϕ适合罗尔定理条件，111()(),()b a x ϕϕϕ=在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，且1()()()().f b f a x f x b aϕ-''=-- 由罗尔定理知至少存在一点(,)a b ξ∈使()0,ϕξ'=即()()()f b f a f b aξ-'=- ， 亦即 ()()()()f b f a f b a ξ'-=- .一般来说，凡)(x f 与x 的线性式，只要在端点处取值相同，都可取作辅助函数. 如下列函数： )()()()()(3a x ab a f b f x f x ----=φ, )]()()[())](()([)(4a f b f a x a b a f x f x -----=φ,)]()([))(()(5a f b f x a b x f x ---=φ,都可取作辅助函数。
这些函数在],[b a 上都满足罗尔定理的条件，从而可证明拉格朗日定理。
2：行列式法：经分析认识到罗尔定理是中值定理的特殊情况（区间端点处的函数值相等）。
而拉格朗日中值定理又是柯西中值定理当函数()g x x =时的特殊情况。
在进一步引导下，会想到三个定理间既然有着内在的联系能否用一个统一的形式加以刻画，从而引出下面的行列式定理。
定理：设函数(),(),()f x h x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导则至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()()()()()0()()()f ag ah a f b g b h b f g h ξξξ='''成立。
在上述定理中，当()1h x =时，便是柯西中值定理。
当()1h x =,且()g x x =时，便是拉格朗日中值定理，当()()1h x g x ==时，便是罗尔定理。
例一：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证存在,a b ξ∈（）使222[()()]()()f b f a b a f ξξ'-=-.分析：结论移项为 222[()()]()()0f b f a b a f ξξ'--+-=,即222202()()1()1()()11()f f a a f a f a f b b b f b ξξξξ''+=1 0-21, 将上述行列式中ξ换为x ，并求出原函数()F x2221()()1()1()x f x F x a f a b f b =, 即为要找的辅助函数。
证明：作辅助函数2221()()1()1()x f x F x a f a b f b =,易验证()()0,F a F b ==又()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导且()22()2()()()()F x x f b f a f x b a ''=-+- ，由罗尔定理知，至少存在ξ∈（a,b ）使()0F ξ'=，即222[()()]()()0,f b f a f b a ξξ'--+-=亦即222[()()]()()f b f a f b a ξξ'-=-.3：原函数法（１） 原函数法的思想:①将要证的结论中的ξ换为.x② 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式,③ 用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为0, ④ 移项使等式一边为0，另一边即为所求辅助函数()F x .（2）拉氏中值定理证明中辅助函数的构造：在拉氏中值定理的结论()()()f b f a f b aξ-'=-， 中令：x ξ=，则有()()().f b f a f x b a-'=- 两边积分得()()()f b f a x f x c b a-=+-， 取0,c =,得()()()f b f a x f x b a-=-， 移项得()()()0f b f a f x x b a--=-， 故 ()()()()f b f a F x f x x b a -=--， 为所求辅助函数.(3) 柯西中值定理证明中辅助函数的构造.在柯西中值定理的结论中令x ξ=,得()()()()()()f b f a f xg b g a g x '-='-． 若两边同时积分，右端去不含导数符号，为此将上式变形为()()()()()()f b f ag x f x g b g a -''=-， 积分得()()()()()()f b f ag x f x c g b g a -=+-， 取0,c =并移项得()()()()0,()()f b f a f xg x g b g a --=- 故 ()()()()()()()f b f a F x f xg x g b g a -=--． 为所求辅助函数.在利用中值定理证明相关命题时，我们也可根据上面的思路来构造辅助函数，既先把命题结论转化为[]0,x ξ='=的形式，据此构造出适当的辅助函数().F x 使其符合罗尔定理条件，然后利用罗尔定理给出 证明，这就是原函数法，但构造()F x 有时尚需一定的技巧.例一：设()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==试证：在开区间(0,1)内至少存在一点ξ使()()0.f f ξξξ'+=分析：原结论即[()]0x xf x ξ='=,因此可直接设()().F x xf x =显然()F x 在［0,1］上满足罗尔定理，由罗尔定理，在(0,1)内至少存在一点ξ，使()()()0.F f f ξξξξ''=+=例二：设()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(1)0,f = 试证：在开区间(0,1)内至少存在一点ξ使()()(0).kf f k ξξξ'=->分析：原结论变形为 ()()0,f kf ξξξ'+=若设()()().F x xf x kf x ''=+难以构造()F x ，考虑乘法求导法则()uv u v uv '''=+,及导数公式1(),k k x kx -'=将原结论两端同乘以ξk。