郑州市实验高级中学数学一元二次方程单元测试卷(解析版)

郑州市实验高级中学数学一元二次方程单元测试卷（解析版）

一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）

1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒

（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积

的7

9

，求t的值；

（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．

【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 4

7

7

58．

【解析】

【分析】

（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD

的面积和是△ABC的面积的7

9

，列出方程、解方程即可解答；

（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝1

2

×6×6＝18，

∵AP＝t，CP＝6﹣t，

∴△PBC与△PAD的面积和＝1

2t2+

1

2

×6×（6﹣t），

∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的7

9

，

∴1

2t2+

1

2

×6×（6﹣t）＝18×

7

9

，

解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，

①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣1

2

t2＝

7

2

t2＝8，

解得：t1＝4

7

7

，t2＝﹣

4

7

7

（不合题意，舍去），

②如图2，当2≤t≤3时，S＝1

2

×6×6﹣

1

2

t2﹣

1

2

（6﹣2t）2＝12t﹣

2

5

t2＝8，

解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝4

5

（不合题意，舍去），

③如图3，当3≤t≤6时，S＝1

2

6×6﹣

1

2

t2＝8，

解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），

综上，t的值为4

7

7或25时，重叠面积为8．

【点睛】

本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.

2．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t （秒）．

（1）求AB与BC的长；

（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为10时运动时间t的值；

（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3) t为10秒或9.5秒或53

5

秒时，△CDP是等腰

三角形.

【解析】

试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长； （2）结合图形，利用勾股定理求解即可；

（3）根据题意，分为：PC ＝PD ，PD ＝PC ，PD ＝CD ，三种情况分别可求解. 试题解析：(1)∵x 2

－7x ＋12＝(x －3)(x －4)＝0 ∴1x ＝3或2x ＝4 . 则AB ＝3，BC ＝4

(2)由题意得(

)2

23t-3?+= ∴14t =，22t =(舍去) 则t ＝4时，AP

.

(3)存在点P ，使△CDP 是等腰三角形. ①当PC ＝PD ＝3时， t ＝

343

1

++ ＝10(秒). ②当PD ＝PC(即P 为对角线AC 中点)时，AB ＝3，BC ＝4.

＝5，CP 1＝ 1

2

AC ＝2.5 ∴t＝

34 2.5

1

++ ＝9.5(秒) ③当PD ＝CD ＝3时，作DQ⊥AC 于Q. 1

341221552

DQ ⨯⨯==⨯

，95PQ == ∴PC＝2PQ ＝18

5

∴18

3453515

t ++

=

=(秒) 可知当t 为10秒或9.5秒或53

5

秒时，△CDP 是等腰三角形.

3．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨

5

2

m %，购买数量和原计划一样：“美团”网