商务统计学 9.6一元线性回归方程预测
一元线性回归模型的参数估计
一元线性回归模型的参数估计----普通最小二乘法1、什么是一元线性回归模型?一元回归模型,是最简单的计量经济学模型.在模型中,只有一个解释变量,被解释变量与解释变量之间存在线性关系.2、一元回归模型的一般形式:y i=β0+β1x i+μi, i=1,2,…n (1)其中,y是被解释变量,x是解释变量,β0、β1是待定参数,μ是随机误差项,yi,xi是随机抽取的n组样本观测值.该方程满足如下条件:E(μi)=0Var(μi)=б2Cov(μi,μj)=0Cov(x i,u i)=0i=1,2,...,n j=1,2,…,n i≠j3、模型参数估计的任务(1)一是求得反映变量之间数量关系的参数(即一元线性回归模型y i=β0+β1x i+μi, i=1,2,…n 中的β0,β1)的估计量;(2)二是求得随机误差项的分布参数.4、模型参数估计的普通最小二乘法普通最小二乘法,是应用最多的参数估计方法.(1)什么是最小二乘原理在已经获得样本观测值y i,x i(i=1,2,…,n)的情况下,假如参数估计量已经求得记为^1^,ββ,我们可以得到直线方程:iixy^1^^ββ+=i=1,2,…,n (2)其中,^iy是被解释变量的估计值,它由参数估计量和解释变量的观测值计算得来.被解释变量的观测值与估计值,在总体上越接近越好.判断的标准是:二者之差平方和21^)(∑-=n i i y y Q 最小.这就是最小二乘原理.[思考]为什么用平方和,而不直接将二者的差简单相加?(2) 从最小二乘原理,根据样本观测值,具体求参数估计值.由于21^)(∑-=n i i y y Q , (又 i i x y ^1^0^ββ+= )=21^1^0)]([∑+-n i i x y ββ我们可以知道,Q 是^1^0,ββ二次函数并且是非负数.所以Q 的极小值总是存在的.(为什么?)根据极值存在的必要条件知,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂001^0^ββQ Q (为什么不是充分条件?)由此,不难推得:⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+∑∑0)(0)(^1^0^1^0i i i i i x y x y x ββββ (4)进而得到:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=∑∑∑∑∑2^1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ (5)于是解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22^1222^0)()(i i i i i i i i i i i i i x x n x y x y n x x n x y x y x ββ (6)另外,可以将公式(6)简化变形得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∑∑•••__^1__^02^1xy x y x i ii βββ (7)其中,____;y y y x x x i i i -=-=••n y y n x x ii ∑∑==____;(3)求随机误差项方差的估计值.记^i i i y y e -=为第i 个样本观测值的残差.即被解释变量的观测值与估计值之差.则随机误差项方差的估计值为:222-=∑n i e μσ (8)证明从略.至此, 普通最小二乘法一元线性回归模型的参数估计问题得到解决.。
一元线性回归分析
模型评估指标
模型评估指标用于衡量回归模型的拟合优度和预测精度。常用的指标包括均 方误差、决定系数和标准化残差等，可以帮助我们评估模型的有效性和适用 性。
参数估计方法
参数估计是确定回归模型中各个参数的取值的过程。常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估 计法和贝叶斯估计法等，可以帮助我们找到最优的参数估计结果。
一元线性回归分析
回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。本演示将介绍一元线性 回归模型的构建、参数估计、模型假设检验以及模型预测和应用。
回归分析的概述
回归分析是一种通过建立变量之间的关系来描述和预测现象的统计方法。它 可以帮助我们理解变量之间的因果关系，并从中推断出未知的检验
模型假设检验用于验证回归模型的假设是否成立。常见的假设检验包括检验回归系数的显著性、整体模 型的显著性以及模型的线性关系等，可以帮助我们判断模型是否可靠。
回归诊断和残差分析
回归诊断和残差分析通过检查模型的残差来评估模型的拟合优度和假设的满 足程度。常用的诊断方法包括残差图、QQ图和离群值分析等，可以帮助我们 发现模型的不足和改进方向。
模型预测和应用
回归模型可以用于预测未知观测值，并帮助我们做出决策和制定策略。它在经济学、社会科学、医学等 领域具有广泛的应用，可以为决策者提供有力的数据支持。
第三节 利用一元线性回归方程进行预测和控制
若记 ( x )
1 (x x) t ( n 2) S 1 n Lxx 2
2
ˆ ( x ) , y2 ( x ) y ˆ (x) y1 ( x ) y
y
ˆ (x) y1 ( x ) y
ˆx ˆa ˆb y
ˆ0 y
y
ˆ (x) y2 ( x ) y
取随机变量
T
ˆ0 y0 y 1 ( x0 x ) 2 S 1 n Lxx
S剩 ˆx ˆ0 a ˆb 其中，S , y 0 n 2 可以证明：当i ~ N(0 , 2) （i=1,2 , … ，n ） 且相互独立时，随机变量T服从自由度为n-2的 t分布 对给定的置信度1-，作概率等式 P{| t | t ( n 1)} 1 ，
y
y2
y 2 ( x) y ( x) ( x)
M
y a b x y1 ( x) y( x) ( x)
y1
0
N
x1
x2
x
(b 0 )
, y2 处分别画两条水平线， 它们分别交曲线 从 y1
y1 ( x)、 y2 ( x) 于N、M ，再过这两点分别画垂线交x 轴
第九章
§9.3
一元线性回归
利用一元线性回归方程进行 预测和控制
一、预测 1、点预测 就是对x=x0时y的精确值y0=a+bx0+0作出点估 ˆx 计,即将x=x0代入回归方程，求得 y ˆ0 a ˆb 0 ˆ 0 作为y0的估计值，这就是点预 将y 测。 2、区间预测 就是区间估计，即在给定的置信度下求出精 确值y0的置信区间，称为y0的区间预测。
一元线性回归分析的作用方法步骤
一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用于探究两个变量之间线性关系的统计方法。
它的作用是根据给定的自变量和因变量数据，建立一个线性回归模型，以预测未来的因变量值或者对自变量进行解释。
以下是一元线性回归分析的方法步骤：1. 收集数据：收集自变量（x）和因变量（y）的数据。
确保数据具有代表性，容量足够大，并且是可靠的。
2. 绘制散点图：根据所收集的数据，绘制自变量（x）和因变量（y）的散点图，以查看它们之间的大致关系。
3. 计算相关系数：计算自变量（x）和因变量（y）的相关系数，以评估它们之间的线性相关性。
通常使用皮尔逊相关系数来进行衡量。
4. 建立模型：使用最小二乘法来建立一元线性回归模型。
该模型的方程可表示为y = β₀+ β₁x，其中β₀是截距，β₁是斜率。
最小二乘法通过最小化残差平方和来确定最佳拟合的直线。
5. 评估模型：评估回归模型的拟合程度。
可以使用多种统计指标，如可决系数（R²）和均方根误差（RMSE），来评估模型的精度和稳定性。
6. 预测和推断：使用建立的回归模型进行预测和推断。
可以利用模型来预测因变量的值，或者对自变量进行解释和推断。
7. 检验假设：对回归系数进行假设检验，以判断自变量对因变量是否具有统计上显著的影响。
常见的方法是计算回归系数的t值和p值，并根据显著性水平来确定是否拒绝或接受假设。
8. 验证和诊断：验证回归模型的有效性和适用性。
可以使用残差分析、正态概率图和残差图等方法来检查模型的假设前提和模型的良好性。
以上是一元线性回归分析的一般方法步骤。
实际分析中，可能会根据具体问题进行调整和扩展。
一元线性回归分析法
一元线性回归分析法一元线性回归分析法是根据过去若干时期的产量和成本资料，利用最小二乘法“偏差平方和最小”的原理确定回归直线方程，从而推算出a(截距)和b(斜率)，再通过y ＝a+bx 这个数学模型来预测计划产量下的产品总成本及单位成本的方法。
方程y ＝a+bx 中，参数a 与b 的计算如下：y b x a y bx n-==-∑∑ 222n xy x yxy x y b n x (x)x x x --==--∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 上式中，x 与y 分别是i x 与i y 的算术平均值，即x =n x ∑ y =ny ∑ 为了保证预测模型的可靠性，必须对所建立的模型进行统计检验，以检查自变量与因变量之间线性关系的强弱程度。
检验是通过计算方程的相关系数r 进行的。
计算公式为：xy-x y当r 的绝对值越接近于1时，表明自变量与因变量之间的线性关系越强，所建立的预测模型越可靠；当r ＝l 时，说明自变量与因变量成正相关，二者之间存在正比例关系；当r ＝—1时，说明白变量与因变量成负相关，二者之间存在反比例关系。
反之，如果r 的绝对值越接近于0，情况刚好相反。
[例]以表1中的数据为例来具体说明一元线性回归分析法的运用。
表1：根据表1计算出有关数据，如表2所示：表2：将表2中的有关数据代入公式计算可得：1256750x ==（件） 22561350y ==（元） 17509500613507501705006b 2=-⨯⨯-⨯=（元/件） 100675011350a =⨯-=（元/件） 所建立的预测模型为：y ＝100+X相关系数为：9.01163810500])1350(3059006[])750(955006[1350750-1705006r 22==-⨯⨯-⨯⨯⨯= 计算表明，相关系数r 接近于l ，说明产量与成本有较显著的线性关系，所建立的回归预测方程较为可靠。
如果计划期预计产量为200件，则预计产品总成本为：y ＝100+1×200＝300(元)。
一元线性回归模型的参数估计
斜率（β1）
表示 x 每变化一个单位，y 平均变化的数量。
一元线性回归模型的假设
线性关系
因变量 y 和自变量 x 之间存在线性关系。
误差项独立
误差项 ε 之间相互独 立，且与 x 独立。
误差项的正态性
误差项 ε 的分布是正 态的。
误差项的无偏性
误差项 ε 的期望值为 0，即 E(ε) = 0。
有限的方差
回归分析的分类
一元回归分析
研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
多元回归分析
研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
线性回归模型
线性回归模型是一种常用的回归分析方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系，即可以用一条 直线来描述它们之间的关系。
在一元线性回归模型中，自变量和因变量之间的关系可以表示为一条直线，即 y = ax + b，其中 a 是斜 率，b 是截距。
确定样本数据
收集用于估计参数的样本数据。
构建估计量
根据模型和样本数据构建用于估计参数的统计量。
计算估计值
通过计算统计量的值得到参数的估计值。
评估估计质量
通过统计检验和图形方法评估估计的质量和可靠性。
05 模型的评估与检验
模型的拟合度评估
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接 近1表示模型拟合度越好。
数据整理
将数据整理成适合进行统计分析 的格式，如表格或图形，以便后 续分析。
建立一元线性回归模型
确定自变量和因变量
根据研究问题选择合适的自变量和因变量，确 保它们之间存在一定的关联性。
散点图分析
绘制散点图，观察自变量和因变量之间的关系， 初步判断是否适合建立一元线性回归模型。
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
高考数学知识点解析一元线性回归分析与预测
高考数学知识点解析一元线性回归分析与预测高考数学知识点解析：一元线性回归分析与预测在高考数学中，一元线性回归分析与预测是一个重要的知识点，它不仅在数学学科中具有重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解这个知识点。
一元线性回归分析是一种用于研究两个变量之间线性关系的统计方法。
简单来说，就是通过一组数据，找到一条直线，使得这些数据点尽可能地靠近这条直线。
我们先来看一个简单的例子。
假设我们想研究学生的学习时间和考试成绩之间的关系。
我们收集了一些学生的学习时间（自变量 x）和对应的考试成绩（因变量 y）的数据。
那么，如何找到它们之间的线性关系呢？这就需要用到一元线性回归方程：y ＝ a ＋ bx 。
其中，a 是截距，b 是斜率。
b 表示 x 每增加一个单位，y 的平均变化量；a 则表示当 x 为 0 时，y 的值。
那么，如何确定 a 和 b 的值呢？这就要用到最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是使得实际数据点与回归直线上的对应点的纵坐标之差的平方和最小。
通过一系列的计算，可以得到 a 和 b 的计算公式。
在实际计算中，我们通常会先计算出一些中间量，比如 x 的平均值x，y 的平均值ȳ ，以及 x 和 y 的乘积的总和、x 的平方的总和等等。
然后，代入公式就可以求出 a 和 b 的值。
求出回归方程后，我们就可以用它来进行预测了。
比如，已知一个学生的学习时间，就可以通过回归方程预测他可能的考试成绩。
但需要注意的是，这种预测是基于统计规律的，并不是绝对准确的。
一元线性回归分析在实际生活中有很多应用。
比如，经济学家可以用它来研究物价和消费之间的关系，企业可以用它来预测销售额和广告投入之间的关系，医学家可以用它来分析药物剂量和治疗效果之间的关系等等。
然而，在使用一元线性回归分析时，也需要注意一些问题。
首先，变量之间的线性关系必须是合理的。
如果两个变量之间的关系不是线性的，强行使用一元线性回归分析可能会得到错误的结果。
一元线性回归分析的应用预测问题PPT课件
但是严格地说，这只是被解释变量预测期实际 值的一个估计值，而不是预测期的实际值。原因:
（1）参数估计量是不确定的，随样本而变；
（2）预测期随机干扰项0的影响。
• 所以，给定样本以外的解释变量的值X0，依 据样本回归方程得到的Ŷ0 仅仅是预测期条件 均值E(Y0)[注：简写符号，见教材P49 ]或个别 值Y0的实际值的一个点估计值，预测期E(Y0) 或Y0的实际值仅以某一个置信水平被以该估 计值为中心的一个区间所包含。
或
同元样）地，由于 (补充)
（533.05元, 814.62
S Yˆ0 Y0
ˆ 2 (1 1 ( X 0 X )2 )
n
xi2
13402
1
1 10
(1000 2150 7425000
)2
13402 1.2781 130 .88
所以，当X=1000时，总体单值Y0的95%的置信区间为：
Yˆi 103.172 0.777 X i
则当X0=1000时， Ŷ0 = –103.172+0.777×1000=673.84
而
Var(Yˆ0
)
ˆ
2
1 n
(
X
0
X xi2
)2
13402
1 10
(1000 2150)2 7425000
673.84 - 2.306130.88<Y0 <673.84 + 2.306130.88
或
(372.03元, 975.65元)
•对每个X值，求总体均值E(Y)的（1-）置信区间，然后将这些 区间的端点（置信限）分别连接起来，可以得到总体回归函数 的置信带（域）（confidence band） 。 •对每个X值，求总体单值Y的（1-）置信区间，然后将这些区 间的端点分别连接起来，可以得到总体单值的置信带（域） 。
一元线性回归预测法
回归直线的拟合优度不是很理想 。
（3）
R 2 (n 2) 0.4815 6 F 5056 F0.05 (1,6) 2 1 0.4815 1 R
所以拒绝原假设，认为所建立的线性回归 模型是显著的。
（4）
SE
2 y bˆ0 y bˆ1 xy
n2
22.9788 0.9 13.54 0.0134 803 .02 0.0734 6
2
~ F 1, n 2
Sb
SE
x x
检验规则：给定显著性水 ， 若 F F 1, n 2 则回归系数显著。
6、德宾—沃森统计量（D—W）
检验
ui
之间是否存在自相关关系。
D W
i 2
n
i
i 1
2
2 i i 1
n
其中，
ˆi i yi y
因此，建立的一元线性回归方程为：
ˆ 0.898 0.0134x y
（2）
R2 ˆ 2 (x x)2 b 1 2 y n y
( y y)
2
0.01342 (28158 8 592 ) 0.4815 2 22.9788 8 1.69
要求：（1）拟合适当的回归方程； （2）判断拟合优度情况； （3）对模型进行显著性检验；（α =0.05） （4）当体重为75公斤时，求其身高平均值的95% 的置信区间。
解答： （1）n=8，经计算得：
x 472
2 x 28158
y 13.54
因此：
2 y 22.9788
相关系数与可决系数的主要区别：
• 相关系数测定变量之间的密切程度，可决系 数测定自变量对因变量的解释程度。相关系 数有正负，可决系数只有正号。 • 正相关系数意味着因变量与自变量以相同的 方向增减。
一元线性回归预测法
一元线性回归预测法回归分析是通过对观察数据的统计分析和处理，建立回归分析模型，研究事物之间的相互关系。
一元线性回归预测是回归预测的基础。
若预测对象只受一个主要因素的影响，并且它们之间存在着明显的线性相关关系时，通常采用一元线性回归预测法。
（1）预测模型一元线性回归的预测模型为：i i bX a Y +=∧∑∑==--=ni ini i i X n XYX n Y X b 1221Xb Y a -=式中，X i 为自变量X 的第i 个观察值；i Y 为因变量Y 的第i 个观察值；n 为观察值的个数，亦称样本数据个数；X 为n 个自变量观察值的平均数；Y 为n 个因变量观察值的平均数。
（2）预测模型的相关性分析相关性分析的相关性系数的计算公式为：∑∑∑----=22)()())((Y Y X X Y Y X X R iii i（-1≤R ≤1）相关性分析方法：1）当-1＜R ＜0时，表明因变量随自变量增加而减少，两者呈负相关。
2）当0＜R ＜1时，表明因变量随自变量增加而增加，两者呈正相关。
3）当︱R ︱=1 时，因变量和自变量完全相关，X 与Y 的关系变为确定性关系。
4）当R=0时，仅表明因变量与自变量之间不存在线性相关关系，并不排斥X 与Y 之间存在其它关系。
5）通常认为0.75＜R ≤1时，X 与Y 高度相关。
[例1-1]2002～2008年南京市城市居民人均可支配收入的统计数据见表1-1。
试用回归分析法预测2013年南京市城市居民人均可支配收入。
表1-1 2002～2008年南京市城市居民人均可支配收入解：① 建立回归分析模型从表1-1中的数据可以看出，时间序列i X 的数目为奇数，故将中间数（即2005年）定为0，则i X 的值及其它有关计算数据见表1-2。
则：0=X ，152767106930===∑nY Y根据公式：29.243128680761211221===--=∑∑∑∑====ni ini ii ni ini i i XYX X n XY X n Y X b 15276==-=Y X b Y a由此得到预测模型为：i i i X bX a Y 29.243115276+=+=∧表1-2 i X 及其它有关数据② 模型相关性分析97.0)()())((22=----=∑∑∑Y Y X X Y Y X X R iii i该模型具有很好的相关性。
一元线性回归的估计、预测和检验
第一题一、实验目的（1）将数据输入并建立工作文件 （2）估计参数 （3）进行假设检验（4）进行点预测和区间预测 （5）对简单的问题进行分析二、实验要求（1） 掌握一元线性回归模型的估计方法 （2） 掌握一元线性回归模型的检验方法 （3） 掌握一元线性回归模型的预测方法三、实验原理普通最小二乘法四、实验内容1．A problem of interest to health officials (and others) is to determine the effects of smoking during pregnancy on infant health. One measure of infant health is birth weight; a birth rate that is too low can put an infant at risk for contracting various illnesses. Since factors other than cigarette smoking that affect birth weight are likely to be correlated with smoking, we should take those factors into account. For example, higher income generally results in access to better prenatal care, as well as better nutrition for the mother. An equation that recognizes this is012bwght cigs faminc βββμ=+++(i) What is the most likely sign for2β?(ii) Do you think cigs and faminc are likely to be correlated? Explain why the correlation might be positive or negative.(iii) Now estimate the equation with and without faminc, using the data in BWGHT.RAW. Report the results in equation form, including the sample size and R-squared. Discuss your results, focusing on whether adding faminc substantially changes the estimatedeffect of cigs on bwght.(i)估计2 的值为正数。
一元线性回归预测
2.1 一元线性回归预测回归预测在研究社会许多现象之间的定量关系方面有着十分广泛的应用，一元线性回归预测是最基本的、最简单的预测方法，是掌握其它回归预测方法的基础。
一、参数估计一元线性回归预测模型的数学表达式是一元线性议程：bx a y +=（2-1）式中：y ——预测对象，因变量或被解释变量；x ——影响因素，自变量或解释变量； b a ,——回归系数。
其含意表示事物y 主要受一个因素x 的影响，而且这种影响是呈线性关系的。
但是，事实上，自变量与因变更的关系并不完全是一条直线，而只是近似一条直线。
但是怎样的直线才能最好地反映了x 与y 的关系呢？就是说，是否有一种方法使所确定的回归系数a 、b 是最佳的呢？最常用的方法是最小二乘法。
即参数a 、b 的估计，一般采用最小二乘法。
对于预测对象y ，相关因素x ，可以收集到n 对数据：),(,),,(),,(),,(332221n n x y x y x y x y如果经回归分析得到回归预测模型如式2-1所示，则对于每一个相关因素x的值)2,1(n i x i =对应有一个y 的估计值i yˆ。
),,2,1(ˆn i bx a yi i =+= 则实际值i y 与估计值i y ˆ一般是不相等的，存在一个偏差，称为估计误差或残差，用i ε表示。
即),,2,1(ˆn i yy i i i =-=ε 或写成i i i bx a y --=ε最小二乘法是以误差平方和最小这一原理来估计b a ,系数，从而建立回归预测模型的。
设以Q 表示误差平方和，则有：212121)()ˆ(i i ni i i ni in i bx a y yy Q --=-==∑∑∑===ε （2-2）很显然，Q 是参数a 、b 的函数，当求Q 最小时，根据微分学中极值原理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00bQ aQ即)(21i i ni bx a y a Q ---=∂∂∑= ∑==-+=ni i i y bx a 10)(2（2-3）)(21i i n i i bx a y x b Q---=∂∂∑= ∑==-+=ni i i i y bx a x 10)(2（2-4）求解上联立方程可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫⎝⎛--=∑∑∑∑∑∑∑=======n i ni ii n i n i i i n i n i ni ii i i x n b y n a x x n y x y x n b 1112121111)62()52(--取 ∑==ni i x n x 11为x 的平均值，∑==ni i y n y 11为y 的平均值。
一元线性回归预测法
利用回归预测模型进行预测
可以分为：点预测和置信区间预测法 1、点预测法：将自变量取值带入回归预测 模型求出因变量的预测值。 2、置信区间预测法：估计一个范围，并确 定该范围出现的概率。置信区间的大小的 影响的因素：a、因变量估计值；b、回归 标准差；C、概率度t；
模型分析
一元线性回归分析预测法，是根据自变量x和因变量Y的相 关关系，建立x与Y的线性回归方程进行预测的方法。由于 市场现象一般是受多种因素的影响，而并不是仅仅受一个 因素的影响。所以应用一元线性回归分析预测法，必须对 影响市场现象的多种因素做全面分析。只有当诸多的影响 因素中，确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因 素的变量，才能将它作为自变量，应用一元相关回归分析 市场预测法进行预测。
a. Dependent Variable: 建 筑 及 工 况 用 地
此表给出的是原来因变量的数值（第三列） 在相同自变量取值情况下，按线性回归方程预测值（第四列 释义 释义
概念
一元线性回归预测法 是分析一个因变量与 一个自变量之间 的线性关系的预测方法。 常用统计指标： 平均数、增减量、平均增减量
基本思想
确定直线的方法是最小二乘法 最小二乘法的基本思想：最有代表性的直 线应该是直线到各点的距离最近。然后用 这条直线进行预测。
模型的建立
举例（玉溪；单位：万亩）
回归变量选择
Variables Entered/Removed b Model 1 Variables Entered 耕 地 a Variables Removed . Method Enter
a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: 建 筑 及 工 况 用 地
一元线性回归预测法
C o v ( u i , u j ) E [ u i E ( u i ) ] [ u j E ( u j ) ] E ( u iu j) 0 ( i j)
假定4：随机扰动 u i 与解释变量 X 不相关
C o v ( u i , X i ) E [ u i E ( u i ) ] [ X i E ( X i ) ] 0
32
（2）对随机扰动项 u 的假定
又称高斯假定、古典假定 假定1：零均值假定
在给定 X 的条件下 ， u i 的条件期望为零
E(ui ) 0
假定2：同方差假定
在给定 X 的条件下，u i 的条件方差为某个常数 2
V a r ( u i) E [ u i E ( u i) ] 2 2
33
假定3：无自相关假定
● 从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散布图接近一条直线 非线性相关——散布图接近一条曲线
● 从变量相关关系变化的方向看
正相关——变量同方向变化，同增同减 负相关——变量反方向变化，一增一减 不相关
10
800 Y
600
400
Y 2
200
1
0 0
3.0
10
20
30
完全相关
2.5
2.0
1.5
1.0
寻求一种规则和方法，使得到的SRF的参数 ˆ 1 和 ˆ 2 尽可能“接近”总体回归函数中的参数 1 和 2 。
这样的“规则和方法”有多种，最常用的是最小二 乘法
30
简单线性回归的基本假定
1. 为什么要作基本假定？
●模型中有随机扰动，估计的参数是随机变量， 只有对随机扰动的分布作出假定，才能确定 所估计参数的分布性质，也才可能进行假设 检验和区间估计
一元线形回归模型的预测
点击OK，得到下图
6、点击方程窗口的Forcast （预测键），产生CHUKOU， 如想加以改变则重新输入。在Samlpe range for forecast（预测的样本范围）栏内 forecast 输入2004。点击OK 在工作簿窗口中，双击名为CHUKOUF 的 变量，便可。
2、将图中 的end date 改成2004， 即改变样 本范围， 点击OK
3、输入新数据，改变GDP的观测值。双击 工作文件中的变量GDP，在变量窗口中选 择edit+/-（增加/删减），EViews就进入了 edit+// EViews edit mode （编辑模式），如图
4、点击观测值2004处的空格，输入 136515。完毕后，再次点击edit+/-键，从 而关闭编辑模式 5、预测时，首先利用原数据再次进行估计， 点击quick/estimate equation。输入方程后， 我们注意到运用的观测值范围是 1984~2003年，如图
一元线性回归模型
一元线性回归模型的预测
一元线性回归模型的预测
要对一元线性模型进行预测，需要在已知 解释变量值的条件下进行。
从外部文件导入数据
从Excel文件中导入数据。 注意：Eviews未经汉化，所以在Excel中不 能存在汉字，否则无法读入。
首先，建立一个时间为1984年到2003年的 Excel工作文件 在主菜单中选择File/Import/Read IextLotus-Excel,找到该Excel的存储路径。
选择excel文件，其特征为以.xls为后缀，双 击文件名，出现对话框
左上角 单元格
Excel中 的工作表 名称。
通过列还 是通过行 读取数据。
序列名称或 者文件中 序列的个数
一元线性回归公式
一元线性回归公式
一元线性回归是统计推断中最基本也是最常用的数据分析方法。
它将一个或多个解释变量（也叫自变量）与目标变量（也称为因变量）之间的关系简单地表示出来。
一元线性回归可用来预测一个变量的变化，并可以用来确定影响目标变量的因素，准确控制它们之间的线性关系。
在一元线性回归的基本公式中，它将被解释变量X和被预测变量Y之间的关系形式化为：
Y = +X，
其中β表示常数项，β表示偏置量，X表示解释变量，Y表示因变量。
在实践中，β和β可以通过使用最小二乘法（OLS）来估计。
最小二乘法基于两个思想：一是拟合函数必须通过观测的坐标；二是拟合错误的平方和最小化，最小二乘法的结果将构成新的一元线性回归模型。
如，假设我们有一组数据，其中X表示自变量，Y为对应的因变量，我们可以使用最小二乘法来拟合模型：
Y = +X。
因此，最小二乘法可以计算出β和β的值，以及所形成模型的
R2系数，从而评估模型的准确性，以及自变量对因变量的影响程度。
最后，要强调的是，一元线性回归是一种探索性统计分析，它可以帮助我们找到变量之间的独特关系，比如解释变量与因变量之间的关系，它还可以进一步分析和预测因变量的变化情况。
因此，虽然一
元线性回归的基本公式很简单，但是它的优势依然不可忽视。
它能够帮助我们准确掌握变量之间的线性关系，从而更好地控制和预测相关变量变化，也能够更准确地评估模型的准确性，揭示自变量对因变量的影响程度，为数据分析提供坚实的理论基础。
商务统计学 9.6一元线性回归方程预测
1
n
(X0 X )2
n
)
(Xi X )2
i 1
8.69 2.048 0.3344 1 (6.75 6.45)2 8.69 0.1417
30
9.49
牙膏销售量均值在置信水平0.95下的置信区间为：（8.55百万支，8.83百万支）
一元线性回归模型预测实例
解
已知 n 30 ，1 95% ，
一元线性回归模型预测实例
销售周期
1 2 3 4 5 … 26 27 28 29 30
表 牙膏销售量的相关数据
销售量/百万支
7.38 8.51 9.52 7.50 9.33
… 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26
广告费用/百万元
5.50 6.75 7.25 5.50 7.00
… 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80
8.69 2.048 0.3344 1 1 (6.75 6.45)2 8.69 0.6994
30
9.49
牙膏销售量个别值在置信水平0.95下的预测区间为：（7.99百万支，9.39百万支）
小结
1. 因变量均值的预测 2. 因变量个别值的预测 3. 一元线性回归方程预测实例
思考练习
在牙膏广告费用和销售量的实例分析中，利用什么软件 工具可以帮助人们计算得出广告费用投入为6.75百万元时， 牙膏销售量均值和个别值的置信区间和预测区间。
t /2 (n 2) t0.025 (28) 2.048
牙膏销售量个别值的预测区间为
Se 0.3344
(Yˆ0 t /2 (n 2)Se
1 1 n
(X0 X )2
n
,Yˆ0 t /2 (n 2)Se
一元线性回归模型及参数估计
步骤：收集数据、建立模型、 计算参数、评估模型
优点：简单易行，适用于线 性回归模型
最大似然估计法
定义：最大似然 估计法是一种基 于概率的参数估 计方法，通过最 大化样本数据的 似然函数来估计
参数。
原理：利用已知 样本数据和概率 分布函数，计算 出样本数据出现 的概率，然后选 择使得概率最大 的参数值作为估
参数估计的性质
无偏性
定义：参数估计量是 无偏估计时，其期望 值等于参数的真实值。
性质：无偏性是线性 回归模型参数估计的 最基本性质之一，是 评价估计量优劣的重 要标准。
证明：可以通过数学 推导证明无偏性，具 体过程可以参考相关 教材或论文。
应用：在回归分析中， 无偏性可以保证估计 的参数具有最小误差， 从而提高预测的准确 性和可靠性。
计值。
优点：简单易行， 适用于多种分布 类型的数据，具
有一致性。
局限：对样本数 据的要求较高， 当样本数据量较 小或分布不均时， 估计结果可能不
准确。
最小绝对误差准则
定义：最小化预测值与实际值之间的绝对误差
优点：对异常值不敏感，能够更好地处理数据中的噪声和异常值
缺点：可能导致模型过于复杂，过拟合数据 应用场景：适用于预测连续变量，尤其是当因变量和自变量之间的关系是 非线性的情况
行处理。
处理方法：包括 删除不必要的自 变量、合并相关 性较高的自变量、 使用其他模型等
方法。
模型预测与决策应用
预测未来趋势
利用一元线性回 归模型预测未来 趋势
模型参数估计的 方法和步骤
预测结果的解读 与决策应用
模型预测的局限 性及改进方法
制定决策依据
利用回归方程进行 预测
ห้องสมุดไป่ตู้
一元线性回归预测
时间
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
XF/万 54479. 57398. 60317. 63237. 66156. 69075. 71995. 74914. 77833. 30 62 94 25 57 89 21 53 85 元
一元线性回归模型的预测
一元线性回归模型的预测
要对一元线性模型进行预测，需要在已知 解释变量值的条件下进行。要得到解释变量值 的方法有很多，其中之一便是对时间T进行回归， 再用趋势外推法得到解释变量的值，即利用时 间序列外推预测.下面仍以前面的例子预测XF 2002年到2010的数值。
一元线性回归模型的预测
一元线性回归模型的预测
一元线性回归模型的预测
Xf对gdp进行回归，得到结果：
一元线性回归模型的预测
选择forecast选项，出现对话框：
一元线性回归模型的预测
点击OK，出现如下结果：
一元线性回归模型的预测
点击工作文件中出现的xff，打开查看xf 的2002年到2010的预测值：
一元线性回归模型的预测
预测步骤如下： 第一步是预测gdp的2002到2010的数值。 在eviews中建立一个工作文件，时间为1981到 2010年。 在名为nnn的excel中输入时间变量T，从1981 到2010年分别赋值1到30。 在eviews中导入gdp和T的数据，gdp输入1981 到2001年的数据，T从1到30，建立时间序列 模型(略去随机项): GDP=a+BT，在eviews中xf对T进行回归。
一元线性回归模型的预测
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8.69 2.048 0.3344 1 1 (6.75 6.45)2 8.69 0.6994
E(Y0 )
因变量均值的预测
D(Yˆ0 ) D(ˆ0 ˆ1X 0 ) D(Y ˆ1X ˆ1X 0 )
D(Y ˆ1( X X 0 )) D(Y ) ( X 0 X )2 D(ˆ1)
2
n
(X0
X
)2
n
2
(Xi X )2
i 1
(1
n
(X0 X )2
n
) 2
(Xi X )2
t /2 (n 2) t0.025 (28) 2.048
牙膏销售量个别值的预测区间为
Se 0.3344
(Yˆ0 t /2 (n 2)Se
1 1 n
(X0 X )2
n
,Yˆ0 t /2 (n 2)Se
(Xi X )2
1 1 n
(X0 X )2
n
)
(Xi X )2
i 1
i 1
因变量均值的预测
样本回归方程和总归回归方程分别为：
Yˆi ˆ0 ˆ1X i
E(Yi ) 0 1X i
由于
n
å s 2
X
2 i
bˆ0 ~ N (b0 , n i=1
)
å ( X i -X )2
i =1
bˆ1 ~ N (b1, n s 2
)
å ( X i -X )2
i =1
E(Yˆ0 ) E(ˆ0 ˆ1X 0 ) E(ˆ0 ) E(ˆ1) X 0 0 1X 0
(Xi X )2
i 1
因变量个别值的预测
e0 Y0 Yˆ0 标准化处理
t
Y0 Yˆ0
~ t(n 2)
Se
1 1 n
(X0 X )2
n
(Xi X )2
i 1
在置信水平 1 下，Y0 的置信区间为
(Yˆ0 t /2 (n 2)Se
1 1 n
(X0 X )2
n
,Yˆ0 t /2 (n 2)Se
一元线性回归方程预测
1. 因变量均值的预测 2. 因变量个别值的预测 3. 一元线性回归方程预测实例
一元线性回归方程预测
1. 根据自变量 X 的观察值来估计因变量 Y 的取值
2. 估计或预测的类型 – 点估计
• Y 的平均值的点估计 • Y 的个别值的点估计
– 区间估计
• Y 的平均值的置信区间估计 • Y 的个别值的预测区间估计
0
因变量个别值的预测
D(e0 ) D(Y0 Yˆ0 ) D(Y0 ) D(Yˆ0 )
(1+ 1
n
(X0 X )2
n
) 2
(Xi X )2
i 1
2 ( 1
n
(X0 X )2
n
) 2
(Xi X )2
i 1
e0
Y0
Yˆ0
~
N (0, (1+
1 n
(X0 X )2
n
) 2 )
一元线性回归模型预测实例
解
X 表示广告费用，Y 表示牙膏销售量。
利用观察数据计算得到广告 费用对牙膏销售量的样本回归方程为
Yˆi 1.649 1.043Xi
牙膏销售量均值和个别值的点预测相同，为
1.649 1.043 6.75 8.69（百万支）
一元线性回归模型预测实例
解
FORECAST函数、TREND函数的功能相同，都是通过最小二乘法在给
一元线性回归模型预测实例
解
已知 n 30 ， 1 95% ，
t /2 (n 2) t0.025 (28) 2.048
牙膏销售量均值的置信区间为
Se 0.3344
(Yˆ0 t /2 (n 2)Se
1
n
(X0 X )2
n
,Yˆ0 t /2 (n 2)Se
(Xi X )2
i 1
定自变量 X 的取值情况下，返回因变量 Y 的点预测值。
语法结构为 FORECAST（x，known_y's，known_x's）
TREND（known_y's，[known_x's]，[new_x's]，[const]） 其中，const为trend函数的逻辑值， 如果const为1（或true），则预测线性回归方程截距正常计算， 如果为0（或false），则将预测线性回归方程截距设置为0。
(Xi X )2
1 1 n
(X0 X )2
n
)
(Xi X )2
i 1
i 1
一元线性回归模型预测实例
【例】一大型牙膏制造公司为了更好地拓展产品市场，有效地管理 库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏 销售量与广告费用之间的关系。为此，销售部门人员收集了过去30个 销售周期（每个销售周期为4个星期）公司生产的牙膏销售量与广告费 用的数据。以广告费用为自变量，销售量为因变量，构建一元线性回 归方程，计算广告费用投入为6.75百万元时，牙膏销售量均值和个别 值的点预测，以及在它们分别在置信水平0.95下的置信区间和预测区 间。
一元线性回归模型预测实例
销售周期
1 2 3 4 5 … 26 27 28 29 30
表 牙膏销售量的相关数据
销售量/百万支
7.38 8.51 9.52 7.50 9.33
… 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26
广告费用/百万元
5.50 6.75 7.25 5.50 7.00
… 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80
1
n
(X0 X )2
n
,Yˆ0 t /2 (n 2)Se
(Xi X )2
i 1
1
n
(X0 X )2
n
)
(Xi X )2
i 1
因变量个别值的预测
总体回归模型和样本回归方程分别为：
Yi 0 1X i i
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi
E(e0 ) E(Y0 Yˆ0 )
E(0 1X 0 0 (ˆ0 ˆ1X 0 )) E(0 ˆ0 ) X 0E(1 ˆ1) E(0 )
1
n
(X0 X )2
n
)
(Xi X )2
i 1
8.69 2.048 0.3344 1 (6.75 6.45)2 8.69 0.1417
30
9.49
牙膏销售量均值在置信水平0.95下的置信区间为：（8.55百万支，8.83百万支）
一元线性回归模型预测实例
解
已知 n 30 ，1 95% ，
i 1
Yˆ0
~
N (0
1
X
0
,
(
1 n
(X0 X )2
n
) 2 )
(Xi X )2
i 1
因变量均值的预测
Yˆ0 标准化处理
t Se
Yˆ0 E(Y0 )
~ t(n 2)
1
n
(X0 X )2
n
(Xi X )2
i 1
在置信水平 1下，E(Y0 )的置信区间为
(Yˆ0 t /2 (n 2)Se