商务统计学 9.6一元线性回归方程预测
一元线性回归模型的参数估计
一元线性回归模型的参数估计----普通最小二乘法1、什么是一元线性回归模型?一元回归模型,是最简单的计量经济学模型.在模型中,只有一个解释变量,被解释变量与解释变量之间存在线性关系.2、一元回归模型的一般形式:y i=β0+β1x i+μi, i=1,2,…n (1)其中,y是被解释变量,x是解释变量,β0、β1是待定参数,μ是随机误差项,yi,xi是随机抽取的n组样本观测值.该方程满足如下条件:E(μi)=0Var(μi)=б2Cov(μi,μj)=0Cov(x i,u i)=0i=1,2,...,n j=1,2,…,n i≠j3、模型参数估计的任务(1)一是求得反映变量之间数量关系的参数(即一元线性回归模型y i=β0+β1x i+μi, i=1,2,…n 中的β0,β1)的估计量;(2)二是求得随机误差项的分布参数.4、模型参数估计的普通最小二乘法普通最小二乘法,是应用最多的参数估计方法.(1)什么是最小二乘原理在已经获得样本观测值y i,x i(i=1,2,…,n)的情况下,假如参数估计量已经求得记为^1^,ββ,我们可以得到直线方程:iixy^1^^ββ+=i=1,2,…,n (2)其中,^iy是被解释变量的估计值,它由参数估计量和解释变量的观测值计算得来.被解释变量的观测值与估计值,在总体上越接近越好.判断的标准是:二者之差平方和21^)(∑-=n i i y y Q 最小.这就是最小二乘原理.[思考]为什么用平方和,而不直接将二者的差简单相加?(2) 从最小二乘原理,根据样本观测值,具体求参数估计值.由于21^)(∑-=n i i y y Q , (又 i i x y ^1^0^ββ+= )=21^1^0)]([∑+-n i i x y ββ我们可以知道,Q 是^1^0,ββ二次函数并且是非负数.所以Q 的极小值总是存在的.(为什么?)根据极值存在的必要条件知,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂001^0^ββQ Q (为什么不是充分条件?)由此,不难推得:⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+∑∑0)(0)(^1^0^1^0i i i i i x y x y x ββββ (4)进而得到:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=∑∑∑∑∑2^1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ (5)于是解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22^1222^0)()(i i i i i i i i i i i i i x x n x y x y n x x n x y x y x ββ (6)另外,可以将公式(6)简化变形得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∑∑•••__^1__^02^1xy x y x i ii βββ (7)其中,____;y y y x x x i i i -=-=••n y y n x x ii ∑∑==____;(3)求随机误差项方差的估计值.记^i i i y y e -=为第i 个样本观测值的残差.即被解释变量的观测值与估计值之差.则随机误差项方差的估计值为:222-=∑n i e μσ (8)证明从略.至此, 普通最小二乘法一元线性回归模型的参数估计问题得到解决.。
一元线性回归分析
模型评估指标
模型评估指标用于衡量回归模型的拟合优度和预测精度。常用的指标包括均 方误差、决定系数和标准化残差等，可以帮助我们评估模型的有效性和适用 性。
参数估计方法
参数估计是确定回归模型中各个参数的取值的过程。常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估 计法和贝叶斯估计法等，可以帮助我们找到最优的参数估计结果。
一元线性回归分析
回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。本演示将介绍一元线性 回归模型的构建、参数估计、模型假设检验以及模型预测和应用。
回归分析的概述
回归分析是一种通过建立变量之间的关系来描述和预测现象的统计方法。它 可以帮助我们理解变量之间的因果关系，并从中推断出未知的检验
模型假设检验用于验证回归模型的假设是否成立。常见的假设检验包括检验回归系数的显著性、整体模 型的显著性以及模型的线性关系等，可以帮助我们判断模型是否可靠。
回归诊断和残差分析
回归诊断和残差分析通过检查模型的残差来评估模型的拟合优度和假设的满 足程度。常用的诊断方法包括残差图、QQ图和离群值分析等，可以帮助我们 发现模型的不足和改进方向。
模型预测和应用
回归模型可以用于预测未知观测值，并帮助我们做出决策和制定策略。它在经济学、社会科学、医学等 领域具有广泛的应用，可以为决策者提供有力的数据支持。
第三节 利用一元线性回归方程进行预测和控制
若记 ( x )
1 (x x) t ( n 2) S 1 n Lxx 2
2
ˆ ( x ) , y2 ( x ) y ˆ (x) y1 ( x ) y
y
ˆ (x) y1 ( x ) y
ˆx ˆa ˆb y
ˆ0 y
y
ˆ (x) y2 ( x ) y
取随机变量
T
ˆ0 y0 y 1 ( x0 x ) 2 S 1 n Lxx
S剩 ˆx ˆ0 a ˆb 其中，S , y 0 n 2 可以证明：当i ~ N(0 , 2) （i=1,2 , … ，n ） 且相互独立时，随机变量T服从自由度为n-2的 t分布 对给定的置信度1-，作概率等式 P{| t | t ( n 1)} 1 ，
y
y2
y 2 ( x) y ( x) ( x)
M
y a b x y1 ( x) y( x) ( x)
y1
0
N
x1
x2
x
(b 0 )
, y2 处分别画两条水平线， 它们分别交曲线 从 y1
y1 ( x)、 y2 ( x) 于N、M ，再过这两点分别画垂线交x 轴
第九章
§9.3
一元线性回归
利用一元线性回归方程进行 预测和控制
一、预测 1、点预测 就是对x=x0时y的精确值y0=a+bx0+0作出点估 ˆx 计,即将x=x0代入回归方程，求得 y ˆ0 a ˆb 0 ˆ 0 作为y0的估计值，这就是点预 将y 测。 2、区间预测 就是区间估计，即在给定的置信度下求出精 确值y0的置信区间，称为y0的区间预测。
一元线性回归分析的作用方法步骤
一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用于探究两个变量之间线性关系的统计方法。
它的作用是根据给定的自变量和因变量数据，建立一个线性回归模型，以预测未来的因变量值或者对自变量进行解释。
以下是一元线性回归分析的方法步骤：1. 收集数据：收集自变量（x）和因变量（y）的数据。
确保数据具有代表性，容量足够大，并且是可靠的。
2. 绘制散点图：根据所收集的数据，绘制自变量（x）和因变量（y）的散点图，以查看它们之间的大致关系。
3. 计算相关系数：计算自变量（x）和因变量（y）的相关系数，以评估它们之间的线性相关性。
通常使用皮尔逊相关系数来进行衡量。
4. 建立模型：使用最小二乘法来建立一元线性回归模型。
该模型的方程可表示为y = β₀+ β₁x，其中β₀是截距，β₁是斜率。
最小二乘法通过最小化残差平方和来确定最佳拟合的直线。
5. 评估模型：评估回归模型的拟合程度。
可以使用多种统计指标，如可决系数（R²）和均方根误差（RMSE），来评估模型的精度和稳定性。
6. 预测和推断：使用建立的回归模型进行预测和推断。
可以利用模型来预测因变量的值，或者对自变量进行解释和推断。
7. 检验假设：对回归系数进行假设检验，以判断自变量对因变量是否具有统计上显著的影响。
常见的方法是计算回归系数的t值和p值，并根据显著性水平来确定是否拒绝或接受假设。
8. 验证和诊断：验证回归模型的有效性和适用性。
可以使用残差分析、正态概率图和残差图等方法来检查模型的假设前提和模型的良好性。
以上是一元线性回归分析的一般方法步骤。
实际分析中，可能会根据具体问题进行调整和扩展。
一元线性回归分析法
一元线性回归分析法一元线性回归分析法是根据过去若干时期的产量和成本资料，利用最小二乘法“偏差平方和最小”的原理确定回归直线方程，从而推算出a(截距)和b(斜率)，再通过y ＝a+bx 这个数学模型来预测计划产量下的产品总成本及单位成本的方法。
方程y ＝a+bx 中，参数a 与b 的计算如下：y b x a y bx n-==-∑∑ 222n xy x yxy x y b n x (x)x x x --==--∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 上式中，x 与y 分别是i x 与i y 的算术平均值，即x =n x ∑ y =ny ∑ 为了保证预测模型的可靠性，必须对所建立的模型进行统计检验，以检查自变量与因变量之间线性关系的强弱程度。
检验是通过计算方程的相关系数r 进行的。
计算公式为：xy-x y当r 的绝对值越接近于1时，表明自变量与因变量之间的线性关系越强，所建立的预测模型越可靠；当r ＝l 时，说明自变量与因变量成正相关，二者之间存在正比例关系；当r ＝—1时，说明白变量与因变量成负相关，二者之间存在反比例关系。
反之，如果r 的绝对值越接近于0，情况刚好相反。
[例]以表1中的数据为例来具体说明一元线性回归分析法的运用。
表1：根据表1计算出有关数据，如表2所示：表2：将表2中的有关数据代入公式计算可得：1256750x ==（件） 22561350y ==（元） 17509500613507501705006b 2=-⨯⨯-⨯=（元/件） 100675011350a =⨯-=（元/件） 所建立的预测模型为：y ＝100+X相关系数为：9.01163810500])1350(3059006[])750(955006[1350750-1705006r 22==-⨯⨯-⨯⨯⨯= 计算表明，相关系数r 接近于l ，说明产量与成本有较显著的线性关系，所建立的回归预测方程较为可靠。
如果计划期预计产量为200件，则预计产品总成本为：y ＝100+1×200＝300(元)。
一元线性回归模型的参数估计
斜率（β1）
表示 x 每变化一个单位，y 平均变化的数量。
一元线性回归模型的假设
线性关系
因变量 y 和自变量 x 之间存在线性关系。
误差项独立
误差项 ε 之间相互独 立，且与 x 独立。
误差项的正态性
误差项 ε 的分布是正 态的。
误差项的无偏性
误差项 ε 的期望值为 0，即 E(ε) = 0。
有限的方差
回归分析的分类
一元回归分析
研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
多元回归分析
研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
线性回归模型
线性回归模型是一种常用的回归分析方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系，即可以用一条 直线来描述它们之间的关系。
在一元线性回归模型中，自变量和因变量之间的关系可以表示为一条直线，即 y = ax + b，其中 a 是斜 率，b 是截距。
确定样本数据
收集用于估计参数的样本数据。
构建估计量
根据模型和样本数据构建用于估计参数的统计量。
计算估计值
通过计算统计量的值得到参数的估计值。
评估估计质量
通过统计检验和图形方法评估估计的质量和可靠性。
05 模型的评估与检验
模型的拟合度评估
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接 近1表示模型拟合度越好。
数据整理
将数据整理成适合进行统计分析 的格式，如表格或图形，以便后 续分析。
建立一元线性回归模型
确定自变量和因变量
根据研究问题选择合适的自变量和因变量，确 保它们之间存在一定的关联性。
散点图分析
绘制散点图，观察自变量和因变量之间的关系， 初步判断是否适合建立一元线性回归模型。
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
高考数学知识点解析一元线性回归分析与预测
高考数学知识点解析一元线性回归分析与预测高考数学知识点解析：一元线性回归分析与预测在高考数学中，一元线性回归分析与预测是一个重要的知识点，它不仅在数学学科中具有重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解这个知识点。
一元线性回归分析是一种用于研究两个变量之间线性关系的统计方法。
简单来说，就是通过一组数据，找到一条直线，使得这些数据点尽可能地靠近这条直线。
我们先来看一个简单的例子。
假设我们想研究学生的学习时间和考试成绩之间的关系。
我们收集了一些学生的学习时间（自变量 x）和对应的考试成绩（因变量 y）的数据。
那么，如何找到它们之间的线性关系呢？这就需要用到一元线性回归方程：y ＝ a ＋ bx 。
其中，a 是截距，b 是斜率。
b 表示 x 每增加一个单位，y 的平均变化量；a 则表示当 x 为 0 时，y 的值。
那么，如何确定 a 和 b 的值呢？这就要用到最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是使得实际数据点与回归直线上的对应点的纵坐标之差的平方和最小。
通过一系列的计算，可以得到 a 和 b 的计算公式。
在实际计算中，我们通常会先计算出一些中间量，比如 x 的平均值x，y 的平均值ȳ ，以及 x 和 y 的乘积的总和、x 的平方的总和等等。
然后，代入公式就可以求出 a 和 b 的值。
求出回归方程后，我们就可以用它来进行预测了。
比如，已知一个学生的学习时间，就可以通过回归方程预测他可能的考试成绩。
但需要注意的是，这种预测是基于统计规律的，并不是绝对准确的。
一元线性回归分析在实际生活中有很多应用。
比如，经济学家可以用它来研究物价和消费之间的关系，企业可以用它来预测销售额和广告投入之间的关系，医学家可以用它来分析药物剂量和治疗效果之间的关系等等。
然而，在使用一元线性回归分析时，也需要注意一些问题。
首先，变量之间的线性关系必须是合理的。
如果两个变量之间的关系不是线性的，强行使用一元线性回归分析可能会得到错误的结果。
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8.69 2.048 0.3344 1 1 (6.75 6.45)2 8.69 0.6994
E(Y0 )
因变量均值的预测
D(Yˆ0 ) D(ˆ0 ˆ1X 0 ) D(Y ˆ1X ˆ1X 0 )
D(Y ˆ1( X X 0 )) D(Y ) ( X 0 X )2 D(ˆ1)
2
n
(X0
X
)2
n
2
(Xi X )2
i 1
(1
n
(X0 X )2
n
) 2
(Xi X )2
t /2 (n 2) t0.025 (28) 2.048
牙膏销售量个别值的预测区间为
Se 0.3344
(Yˆ0 t /2 (n 2)Se
1 1 n
(X0 X )2
n
,Yˆ0 t /2 (n 2)Se
(Xi X )2
1 1 n
(X0 X )2
n
)
(Xi X )2
i 1
i 1
因变量均值的预测
样本回归方程和总归回归方程分别为：
Yˆi ˆ0 ˆ1X i
E(Yi ) 0 1X i
由于
n
å s 2
X
2 i
bˆ0 ~ N (b0 , n i=1
)
å ( X i -X )2
i =1
bˆ1 ~ N (b1, n s 2
)
å ( X i -X )2
i =1
E(Yˆ0 ) E(ˆ0 ˆ1X 0 ) E(ˆ0 ) E(ˆ1) X 0 0 1X 0
(Xi X )2
i 1
因变量个别值的预测
e0 Y0 Yˆ0 标准化处理
t
Y0 Yˆ0
~ t(n 2)
Se
1 1 n
(X0 X )2
n
(Xi X )2
i 1
在置信水平 1 下，Y0 的置信区间为
(Yˆ0 t /2 (n 2)Se
1 1 n
(X0 X )2
n
,Yˆ0 t /2 (n 2)Se
一元线性回归方程预测
1. 因变量均值的预测 2. 因变量个别值的预测 3. 一元线性回归方程预测实例
一元线性回归方程预测
1. 根据自变量 X 的观察值来估计因变量 Y 的取值
2. 估计或预测的类型 – 点估计
• Y 的平均值的点估计 • Y 的个别值的点估计
– 区间估计
• Y 的平均值的置信区间估计 • Y 的个别值的预测区间估计
0
因变量个别值的预测
D(e0 ) D(Y0 Yˆ0 ) D(Y0 ) D(Yˆ0 )
(1+ 1
n
(X0 X )2
n
) 2
(Xi X )2
i 1
2 ( 1
n
(X0 X )2
n
) 2
(Xi X )2
i 1
e0
Y0
Yˆ0
~
N (0, (1+
1 n
(X0 X )2
n
) 2 )
一元线性回归模型预测实例
解
X 表示广告费用，Y 表示牙膏销售量。
利用观察数据计算得到广告 费用对牙膏销售量的样本回归方程为
Yˆi 1.649 1.043Xi
牙膏销售量均值和个别值的点预测相同，为
1.649 1.043 6.75 8.69（百万支）
一元线性回归模型预测实例
解
FORECAST函数、TREND函数的功能相同，都是通过最小二乘法在给
一元线性回归模型预测实例
解
已知 n 30 ， 1 95% ，
t /2 (n 2) t0.025 (28) 2.048
牙膏销售量均值的置信区间为
Se 0.3344
(Yˆ0 t /2 (n 2)Se
1
n
(X0 X )2
n
,Yˆ0 t /2 (n 2)Se
(Xi X )2
i 1
定自变量 X 的取值情况下，返回因变量 Y 的点预测值。
语法结构为 FORECAST（x，known_y's，known_x's）
TREND（known_y's，[known_x's]，[new_x's]，[const]） 其中，const为trend函数的逻辑值， 如果const为1（或true），则预测线性回归方程截距正常计算， 如果为0（或false），则将预测线性回归方程截距设置为0。
(Xi X )2
1 1 n
(X0 X )2
n
)
(Xi X )2
i 1
i 1
一元线性回归模型预测实例
【例】一大型牙膏制造公司为了更好地拓展产品市场，有效地管理 库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏 销售量与广告费用之间的关系。为此，销售部门人员收集了过去30个 销售周期（每个销售周期为4个星期）公司生产的牙膏销售量与广告费 用的数据。以广告费用为自变量，销售量为因变量，构建一元线性回 归方程，计算广告费用投入为6.75百万元时，牙膏销售量均值和个别 值的点预测，以及在它们分别在置信水平0.95下的置信区间和预测区 间。
一元线性回归模型预测实例
销售周期
1 2 3 4 5 … 26 27 28 29 30
表 牙膏销售量的相关数据
销售量/百万支
7.38 8.51 9.52 7.50 9.33
… 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26
广告费用/百万元
5.50 6.75 7.25 5.50 7.00
… 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80
1
n
(X0 X )2
n
,Yˆ0 t /2 (n 2)Se
(Xi X )2
i 1
1
n
(X0 X )2
n
)
(Xi X )2
i 1
因变量个别值的预测
总体回归模型和样本回归方程分别为：
Yi 0 1X i i
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi
E(e0 ) E(Y0 Yˆ0 )
E(0 1X 0 0 (ˆ0 ˆ1X 0 )) E(0 ˆ0 ) X 0E(1 ˆ1) E(0 )
1
n
(X0 X )2
n
)
(Xi X )2
i 1
8.69 2.048 0.3344 1 (6.75 6.45)2 8.69 0.1417
30
9.49
牙膏销售量均值在置信水平0.95下的置信区间为：（8.55百万支，8.83百万支）
一元线性回归模型预测实例
解
已知 n 30 ，1 95% ，
i 1
Yˆ0
~
N (0
1
X
0
,
(
1 n
(X0 X )2
n
) 2 )
(Xi X )2
i 1
因变量均值的预测
Yˆ0 标准化处理
t Se
Yˆ0 E(Y0 )
~ t(n 2)
1
n
(X0 X )2
n
(Xi X )2
i 1
在置信水平 1下，E(Y0 )的置信区间为
(Yˆ0 t /2 (n 2)Se