二次函数复习教师版
二次函数复习(教学校园)
点在y轴上，则b=_0__。 2
教资优选
11
知识运用
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为
____y_=_2_(_x_+_2_)_2-_3_=_2_x_2_+_8_x_+_5__
2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位, 再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式 为_y_=__- _3_(_x_-1_-_4_)_2+_2_+_3__=_-_3_x_2+_3_0_x_-_7_0__ 3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下 平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后 的解析式为___y_=_2_(x_+__1_)2_-_8__; 4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点教资优选
c=0
15
（3）a，b的符号：由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
b2-4ac>0
与x轴有一个交点
b2-4ac=0
y = ax 2+k
a＞0 向上 直线X=0 （0，K）
a ＜0 向下 （或y轴）
（三）、形如y = a (x - h) 2 ( a≠0 ) 的二次函数
二次函数
开口方向
对称轴 顶点坐标
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图象特征。
2. 掌握二次函数的解析式、顶点式及标准式之间的转换。
3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
4. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质1.1 二次函数的定义：一般式为y=ax^2+bx+c（a≠0）1.2 二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等。
2. 二次函数的图象特征2.1 开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.2 对称轴：x=-b/(2a)2.3 顶点：(-b/(2a), c-b^2/(4a))2.4 与y轴的交点：x=0时，y=c。
3. 二次函数的解析式3.1 一般式：y=ax^2+bx+c3.2 顶点式：y=a(x-h)^2+k3.3 标准式：y=a(x-α)^2+β4. 二次函数的转换4.1 一般式与顶点式的转换：4.2 顶点式与标准式的转换：5. 实际问题中的应用5.1 抛物线与坐标轴的交点问题5.2 实际问题转化为二次函数问题，求最值等。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质及图象特征。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图象与性质之间的关系。
3. 运用小组合作探究法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
4. 结合实际例子，让学生感受二次函数在生活中的应用。
四、教学准备1. PPT课件：二次函数的性质、图象、实际应用等。
2. 练习题：涵盖本节课的主要知识点。
3. 小组讨论：分组安排。
五、教学过程1. 导入：复习一次函数和反比例函数，引出二次函数。
2. 讲解：介绍二次函数的定义、性质、图象特征等。
3. 演示：利用PPT展示二次函数的图象，让学生直观地感受开口方向、对称轴等。
4. 练习：让学生完成一些简单的练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：布置一道实际问题，让学生分组讨论，运用二次函数解决问题。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案第一章：二次函数的基本概念1.1 二次函数的定义解释二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c强调a、b、c系数的含义和作用1.2 二次函数的图像介绍二次函数图像的特点：开口方向、顶点、对称轴、与y轴的交点等利用图形软件绘制几个典型二次函数的图像，让学生观察和分析1.3 二次函数的性质讨论二次函数的增减性、对称性、周期性等性质引导学生通过图像理解二次函数的性质第二章：二次函数的顶点式2.1 顶点式的定义解释顶点式：y = a(x h)^2 + k强调顶点(h, k)对二次函数图像的影响2.2 利用顶点式求解二次函数的图像和性质引导学生通过顶点式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用顶点式求解最值问题2.3 顶点式的应用讨论顶点式在实际问题中的应用，如抛物线运动、几何问题等给出几个实际问题，让学生运用顶点式解决第三章：二次函数的解析式3.1 解析式的定义解释二次函数的解析式：y = ax^2 + bx + c强调解析式与顶点式的关系3.2 利用解析式求解二次函数的图像和性质引导学生通过解析式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用解析式求解最值问题3.3 解析式的应用讨论解析式在实际问题中的应用，如物理、化学等领域的方程求解给出几个实际问题，让学生运用解析式解决第四章：二次函数的图像与性质4.1 图像与性质的关系讨论二次函数图像与性质之间的关系引导学生通过图像判断二次函数的性质4.2 开口方向与a的关系解释开口方向与a的关系：a > 0时开口向上，a < 0时开口向下举例说明如何通过开口方向判断二次函数的性质4.3 对称轴与顶点的关系解释对称轴与顶点的关系：对称轴为x = h举例说明如何通过对称轴判断二次函数的性质第五章：二次函数的实际应用5.1 实际应用的基本形式讨论二次函数在实际应用中的基本形式举例说明如何将实际问题转化为二次函数问题5.2 利用二次函数解决实际问题引导学生运用二次函数解决实际问题，如最值问题、优化问题等给出几个实际问题，让学生运用二次函数解决5.3 实际应用的拓展讨论二次函数在其他领域的应用，如经济学、生物学等引导学生思考如何将二次函数应用于解决其他实际问题第六章：二次函数的综合应用6.1 二次函数与线性函数的组合解释二次函数与线性函数组合的形式，如y = ax^2 + bx + c 与y = dx + e 的组合强调组合函数的图像和性质6.2 利用综合应用解决实际问题引导学生运用综合应用解决实际问题，如函数交点问题、不等式问题等给出几个实际问题，让学生运用综合应用解决6.3 综合应用的拓展讨论综合应用在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将综合应用应用于解决其他实际问题第七章：二次函数与不等式7.1 二次不等式的定义解释二次不等式的形式，如ax^2 + bx + c > 0强调解二次不等式的方法和步骤7.2 利用图像解决二次不等式问题引导学生通过图像解决二次不等式问题，如找出不等式的解集举例说明如何利用图像解决实际问题7.3 二次不等式的拓展讨论二次不等式在其他领域的应用，如经济学、工程学等引导学生思考如何将二次不等式应用于解决其他实际问题第八章：二次函数的最值问题8.1 二次函数最值的概念解释二次函数最值的概念，如最大值、最小值强调最值与对称轴、顶点的关系8.2 利用顶点式求解最值问题引导学生通过顶点式求解二次函数的最值问题举例说明如何利用顶点式求解实际问题中的最值8.3 最值问题的拓展讨论最值问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将最值问题应用于解决其他实际问题第九章：二次函数与几何问题9.1 二次函数与几何图形的关系解释二次函数与几何图形的关系，如圆、椭圆、抛物线等强调二次函数在几何问题中的应用9.2 利用二次函数解决几何问题引导学生运用二次函数解决几何问题，如求解三角形面积、距离问题等举例说明如何利用二次函数解决实际问题中的几何问题9.3 几何问题的拓展讨论几何问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将几何问题应用于解决其他实际问题第十章：二次函数的综合训练10.1 综合训练的目的强调综合训练的重要性，提高学生对二次函数知识的综合运用能力引导学生通过综合训练巩固所学知识10.2 综合训练的内容设计几个综合训练题目，包括不同类型的二次函数问题，如图像分析、性质判断、实际应用等让学生在规定时间内完成综合训练题目给予学生综合训练的反馈，指出错误和不足之处重点和难点解析1. 第一章中二次函数的基本概念：理解二次函数的一般形式和系数含义是学习二次函数的基础，对于图像的特点和性质的理解也是解决复杂问题的关键。
二次函数章末复习教案
二次函数章末复习一、 复习目标1、认识二次函数是常见的简单函数之一，也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.理解二次函数的概念,掌握其函数关系式以及自变量的取值范围.2、能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题.3、能根据问题中的条件确定二次函数的关系式，并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.二、知识点回顾1、二次函数的概念：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数.2、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是(a b ac a b 44,22--)；对称轴是直线ab x 2-=.3、当a ＞0时抛物线的开口向上；当a ＜0时抛物线的开口向下.a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.a 相同的抛物线，通过平移(或旋转、轴对称)一定能够重合.4、a 、b 同号时抛物线的对称轴在y 轴的左侧；a 、b 异号时抛物线的对称轴在y 轴的右侧.抛物线与y 轴的交点坐标是(0，C).5、二次函数解析式的三种形式：(1)一般式：)0(2≠++=a c bx ax y (2)顶点式：kh x a y +-=2)((3)交点式：))((21x x x x a y --=，抛物线与x 轴的交点坐标是(0,1x )和(0,2x ).6、抛物线的平移规律：从2ax y =到k h x a y +-=2)(，抓住顶点从(0，0)到(h ，k).7、(1)当ac b 42-＞0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点坐标是A(0,1x )和B(0,2x )。
(2)当ac b 42-=0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根(或说一个根)ab x x 221-==，抛物线)0(2≠++=ac bx ax y 的顶点在x 轴上，其坐标是(0,2ab -).(3)当ac b 42-＜0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有实数根，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴没有交点.8、二次函数的最值问题和增减性：系数a的符号a b x 2-=时， 最值ab ac 442-增减性a ＞0最小值2时，随的增大而增大；b x y x a >-2b x a<-时y 随x 的增大而减小.a ＜0最大值2时，随的增大而减小；b x y x a >-2b x a<-时y 随x 的增大而增大.三、例题精析例1：函数22x y =、22x y -=、221x y =的图象的共同特征是( )(A)开口都向上，且都关于y 轴对称 (B)开口都向下，且都关于x 轴对称(C)顶点都是原点，且都关于y 轴对称 (D)顶点都是原点，且都关于x 轴对称例2：已知二次函数.(1)用配方法化为的形式.(2)写出它的顶点坐标和对称轴，并画出它的图象.(3)根据图像指出：①当x 取何值时，y 随x 值的增大而减小. ②当x 取何值时，y 有最大(小)值，值是多少？③抛物线与x 、y 两坐标轴的交点坐标. ④当x 取何值时.。
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数的定义、性质和图像；（2）掌握二次函数的求解方法，包括配方法、公式法、图像法；（3）能够运用二次函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（2）培养学生运用二次函数解决实际问题的能力；（3）培养学生合作学习、讨论交流的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其自信心；（2）培养学生勇于探究、积极思考的精神；（3）培养学生团队协作、分享的品质。
二、教学内容1. 复习二次函数的定义：函数式y = ax^2 + bx + c（a ≠0）；2. 复习二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等；3. 复习二次函数的图像：开口向上/向下的抛物线，顶点式、对称轴式等；4. 复习二次函数的求解方法：配方法、公式法、图像法；5. 运用二次函数解决实际问题：长度、面积、最大值、最小值等问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数的定义、性质和图像；（2）二次函数的求解方法；（3）运用二次函数解决实际问题。
2. 教学难点：（1）二次函数的图像分析；（2）运用二次函数解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾二次函数的相关知识，激发学生的学习兴趣；2. 讲解：根据教材，系统讲解二次函数的定义、性质、图像和求解方法，让学生清晰地理解二次函数的基本概念；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决问题，培养学生运用知识的能力；4. 练习：布置课堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导；五、课后作业1. 复习二次函数的定义、性质、图像和求解方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 选择一个实际问题，运用二次函数解决，并将解题过程和答案写在作业本上。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估其对二次函数知识的掌握程度；3. 练习题：分析学生完成的练习题，了解其在二次函数求解方法和实际问题解决方面的能力；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解其合作学习、交流分享的能力。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像；2. 掌握二次函数的求解方法，包括顶点式、标准式和一般式；3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义：函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）；二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、单调区间。
2. 二次函数的图像与性质图像特点：开口方向、顶点、对称轴；性质：单调性、最值。
3. 二次函数的求解方法顶点式：f(x) = a(x h)^2 + k；标准式：f(x) = ax^2 + bx + c；一般式：ax^2 + bx + c = 0。
4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题；应用二次函数解决物理问题；应用二次函数解决生活中的问题。
5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合；二次函数与方程组的结合；二次函数与不等式的结合。
三、教学过程1. 复习导入：回顾一次函数和指数函数的相关知识，为二次函数的学习打下基础；2. 知识讲解：分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况；2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，巩固所学知识；3. 课后作业：布置课后作业，检查学生对知识的掌握程度；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，培养团队合作精神。
五、教学资源1. PPT课件：展示二次函数的相关概念、性质、图像等；2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识；3. 实际问题案例：提供与生活相关的实际问题，引导学生运用二次函数解决；4. 教学视频：讲解二次函数的求解方法和解题技巧。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；2. 数形结合：利用图形展示二次函数的性质，加深学生对二次函数的理解；3. 小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，培养团队合作精神和沟通能力；4. 分层教学：针对不同学生的学习水平，给予相应的指导和辅导；5. 激励评价：及时给予学生鼓励和评价，提高学生的学习积极性。
二次函数复习教案
二次函数复习教案
一、教学目标：
1. 理解二次函数的定义和性质；
2. 能够将二次函数的图像进行标注和解释；
3. 掌握二次函数的顶点、轴对称、对称轴和对称点的相关概念；
4. 能够通过顶点坐标或其他已知条件求解二次函数的参数；
5. 能够解二次方程和二次不等式。
二、教学内容：
1. 二次函数的定义和性质讲解；
2. 二次函数的图像标注和解释；
3. 二次函数的顶点、轴对称、对称轴和对称点的相关概念；
4. 二次函数参数的求解；
5. 二次方程和二次不等式的解法。
三、教学过程：
1. 探究：通过变化a、b、c的值，观察二次函数图像的变化，并总结二次函数的性质。
2. 概念讲解：介绍二次函数的定义和性质，引入顶点、轴对称、对称轴和对称点的概念。
3. 例题演练：通过给定顶点坐标或其他已知条件，求解二次
函数的参数。
4. 解二次方程和二次不等式：介绍解二次方程和二次不等式
的方法和步骤。
5. 课堂练习：提供一些练习题，学生独立完成，然后进行批
改和讲解。
6. 拓展训练：布置课后作业，要求学生进一步加深对二次函数的理解和掌握。
四、教学评价：
1. 在课堂练习和课后作业中，观察学生解题过程和答案，评价学生对二次函数的掌握程度。
2. 对课堂练习中出现的常见错误进行讲解和纠正。
3. 针对学生困惑的问题进行答疑和解释。
五、教学资源：
1. 教材教辅资料；
2. 多媒体教学设备；
3. 课前准备好的例题、练习题和答案；
4. 批改和讲解学生练习的纸质材料。
《二次函数》全章复习和巩固_[提高]教师版
![《二次函数》全章复习和巩固_[提高]教师版](https://img.taocdn.com/s3/m/c78f30b0bceb19e8b8f6ba8a.png)
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：当(轴) (轴)(，)2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式． 【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即2(3)2y a x =--，也就是2692y ax ax a =-+-，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即2692y ax ax a =-+-，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则12||6x x -==，解得29a =．∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--，即22493y x x =-． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为2(3)2y a x =--．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得29a =，∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--， 即22493y x x =-．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得3(36)2a ⨯⨯-=-，解得29a =． ∴ 抛物线的解析式为2(6)9y x x =-，即22493y x x =-．【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单． 举一反三：【高清课程名称：二次函数复习高清ID 号：357019 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】 【变式】已知抛物线2442y mx mx m =-+-（m 是常数）．（1）求抛物线的顶点坐标； （2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=mma b x ，m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-． （2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴22x m==±．∵0m >，∴2x =±2m是完全平方数．∵155m <<， ∴22105m <<，∴2m取1，4，9，22x m==±． 当21m =时，2=m ；当24m =时，21=m ；当29m =时，29m =． ∴m 的值为2或21或29．∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999y x x =--．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2. 函数y ax b =+和2y ax bx c =++(0)a ≠在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）【答案】C ；【解析】 ∵ a ≠0，∴ 分a ＞0，a ＜0两种情况来讨论两函数图象的分布情况．若a ＞0，则y ＝ax+b 的图象必经过第一、三象限，2y ax bx c =++的图象开口向上，可排除D ． 若a ＞0，b ＞0，则y ＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，2y ax bx c =++的图象的对称轴在y 轴的左侧，故B 不正确．若a ＞0，b ＜0，则y ＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，2y ax bx c =++的图象的对称轴在y 轴的右侧，故C 正确．若a ＜0，则y ＝ax+b 的图象必经过第二、四象限，2y ax bx c =++的图象开口向下，故A 不正确． 【点评】在同一直角坐标系中研究两种函数图象的分布情况，待定系数a ，b 满足一致性，因此讨论a ，b 符号的一致性成为解决本题的关键所在．事实上，a ，b 的符号既决定了一次函数图象的分布情况，又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置．类型三、数形结合3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ，二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、M ．(1)求线段AM 的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+ 的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标． 【答案与解析】(1)一次函数334y x =+，当x ＝0时，y ＝3，所以点A 的坐标为(0，3)， 又∵ MO ＝MA ，∴ M 在OA 的中垂线上，即M 的纵坐标为32，又M 在32y x =上，当32y =时，x ＝1，∴ 点M 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．如图所示，AM ==．(2)将点A(0，3)，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2y x bx c =++中，得3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ 5,23.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即这个二次函数的解析式为：2532y x x =-+． (3)如图所示，设B(0，m)(m ＜3)，25(,3)2C n n n -+，3,34D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．则|AB|＝3-m ，213||4D C DC y y n n =-=-，5||4AD n =． 因为四边形ABCD 是菱形，所以||||||AB DC AD ==．所以2133,453.4m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得113,0;m n =⎧⎨=⎩（舍去）221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩将n ＝2代入2532y x x =-+，得2C y =，所以点C 的坐标为（2，2）． 【点评】结合题意画出图形，再根据图形的特殊性求线段长或点的坐标，达到以“形”助“数”的目的．类型四、函数与方程4. 如图所示，把一张长10cm ，宽8 cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm 2，那么剪去的正方形的边长应为多少?(2)折成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请说明理由；(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样形状、同样大小的矩形，然后折成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由． 【答案与解析】(1)设剪去的正方形的边长为x cm ，则(10-2x)·(8-2x)＝48，即x 2-9x+8＝0． 解得x 1＝8(不合题意，舍去)，x 2＝1． 所以剪去的正方形的边长为1 cm ．(2)有侧面积最大的情况．设此时剪去的正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2， 则y 与x 的函数关系式为：y ＝2(10-2x)x+2(8-2x)x ．即y ＝-8x 2+36x ，改写为2981842y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当x ＝2.25时，y =最大40.5．即当剪去的正方形的边长为2.25 cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5 cm 2；(3)有侧面积最大的情况．设剪去的正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2．若按图所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：1022(82)22x y x x x -=-+⨯，即213169666y x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭．所以当136x =时，1696y =最大． 若按图所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：822(102)22x y x x x -=-+⨯，即2798633y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．所以当73x =时，983y =最大． 比较以上两种剪折方法可以看出，按图所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大， 即当剪去的正方形的边长为73cm 时，折成的有盖的长方体盒子的侧面积最大，最大面积为298cm 3．【点评】结合题意建立方程模型，注意到题目中剪去的正方形、矩形的边之间的关系：即正方形的边长应当与矩形的短边长度相同，这样才可以折成有盖的长方形盒子．用含字母的代数式表示长方体盒子的侧面积，联系所得出的侧面积与正方形的边长之间的关系式，根据函数的性质可以求出盒子侧面积的最大值，由于此题矩形的两边长度不同，所以剪切的方法有两种，应当注意分类，以免漏解．举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．【答案】由题意得把②代入①得.∵抛物线与直线只有一个公共点，∴方程必有两个相等的实数根，∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1)(2).(3).(4)方法1：方程的解，即为方程组中x 的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出，当时，直线与抛物线有两个交点，∴ ．方法2：∵ 二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点，∴ ∴∴ ，即，∴.∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ ，∴.类型五、分类讨论5．若函数22(2)2(2)x x y xx ⎧+≤=⎨>⎩，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )．A ．B ．4C ．或4D ．4或【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论. 【答案】D ； 【解析】由题意知，当228x +=时，x =2>，∴ x =x =舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．类型六、与二次函数有关的动点问题6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx 2-（m+n ）x+n （m ＜0）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p＜0时，点M 关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．【思路点拨】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．【答案与解析】（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2-（m+1）x+1∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2-（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．∴M′点在二次函数y=-m2+（m+1）x-1上．∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．《二次函数》提高【巩固练习】一、单选题1．已知抛物线2:310C y x x =+-，将抛物线C 平移得到抛物线C '．若两条抛物线C 、C '关于直线x ＝1对称．则下列平移方法中，正确的是（ ）．A ．将抛物线C 向右平移52个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位 C ．将抛的线C 向右平移5个单位 D ．将抛物线C 向右平移6个单位2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a-2b+c ，2a+b ，2a-b 中，其值大于0的个数为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )． A ．0a < B ．abc ＞0 C ．a+b+c ＞0 D ．240b ac ->第2题 第3题 第6题 第5题 4．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( ) A ．2(1)2y x =-++ B ．2(1)4y x =--+ C ．2(1)2y x =--+ D ．2(1)4y x =-++5．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A ．函数有最小值 B ．对称轴是直线x=12C ．当x ＜12，y 随x 的增大而减小 D ．当-1＜x ＜2时，y ＞0 6．如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)和(0，3)； 小明说：a ＝1，c=3；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．已知一次函数y ax b =+的图象过点(-2，1)，则关于抛物线23y ax bx =-+的三条叙述： ①过定点(2，1)；②对称轴可以是直线x ＝l ；③当a ＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3． 其中所有正确叙述的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．已知二次函数24y x x a =-+，下列说法错误的是( )． A ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小 B ．若图象与x 轴有交点，则a ≤4C ．当a ＝3时，不等式240x x a -+>的解集是1＜x ＜3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，-2)，则a ＝-3 二、填空题9．由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为 . 10．已知一元二次方程230x bx +-=的一根为-3．在二次函数y=x 2+bx-3的图象上有三点14,5y ⎛⎫-⎪⎝⎭、25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,6y ⎛⎫⎪⎝⎭，y 1、y 2、y 3、的大小关系是 . 11．如下图1，一段抛物线y=-x （x-1）（0≤x ≤1）记为m 1，它与x 轴交点为O 、A 1，顶点为P 1；将m 1绕点A 1旋转180°得m 2，交x 轴于点A 2，顶点为P 2；将m 2绕点A 2旋转180°得m 3，交x 轴于点A 3，顶点为P 3，…，如此进行下去，直至得m 10，顶点为P 10，则P 10的坐标为 .12．在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上，向右平移3个单位，那么在新坐标系下，此抛物线的解析式是 .13．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象如上图2所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x ＝1和x ＝3时，函数值相等；③4a+b ＝0；④当y ＝-2时，x 的值只能取0，其中正确的有 .（填序号） 14．已知抛物线的顶点为125,24⎛⎫-⎪⎝⎭，与x 轴交于A 、B 两点，在x 轴下方与x 轴距离为4的点M 在抛物线上，且10AMB S =△，则点M 的坐标为 ．15．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象如上图3所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m(am+b)，(m ≠l 的实数)．其中正确的结论有_____ ___(只填序号)．16．如上图4所示，抛物线212y x =-+向右平移1个单位得到抛物线y 2．回答下列问题：(1)抛物线y 2的顶点坐标________．(2)阴影部分的面积S ＝________．(3)若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，则抛物线y 3的开口方向________， 顶点坐标________． 三、解答题17．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨l 元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?18．如图所示，已知经过原点的抛物线224y x x =-+与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m(m ＞0)个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原抛物线交于点P ． (1)求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状(不要求说理)；(2)在x 轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含m 的式子表示)；若不存在，请说明理由；(3)设△PCD 的面积为S ，求S 关于m 的关系式．19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．20. 如图①所示，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax c =+与x 轴正半轴交于点F(16，0)、与y 轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A 与点E 重合，顶点C 与点，重合．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图②所示，若正方形ABCD 在平面内运动，并且边BC 所在的直线始终与x 轴垂直，抛物线始终与边AB 交于点P 且同时与边CD 交于点Q(运动时，点P 不与A 、B 两点重合，点Q 不与C 、D 两点重合)．设点A 的坐标为(m ，n)(m ＞0)．①当PO ＝PF 时，分别求出点P 与点Q 的坐标；②在①的基础上，当正方形ABCD 左右平移时，请直接写出m 的取值范围； ③当n ＝7时，是否存在m 的值使点P 为AB 边的中点?若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】22349 :31024C y x x x⎛⎫=+-=+-⎪⎝⎭，∴其顶点坐标为349,24⎛⎫--⎪⎝⎭，设C'顶点坐标为049,4x⎛⎫-⎪⎝⎭，由题意得3212x⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，∴07 2x=，∴C'的解析式为274924y x⎛⎫=--⎪⎝⎭．由234924y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭到274924y x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭需向右平移5个单位，因此选C ．2.【答案】A ；【解析】由图象知，a ＜0，c ＜0，012ba<-<， ∴ b ＞0，ac ＞0，∴ 2a-b ＜0． 又对称轴12ba-<，即2a+b ＜0． 当x ＝1时，a+b+c ＞0；当x ＝-2时，4a-2b+c ＜0． 综上知选A ． 3.【答案】C ；【解析】由抛物线开口向下知a ＜0，由图象知c ＞0，02ba-<，b ＜0，即abc ＞0，又抛物线与x 轴有两个交点，所以240b ac ->．4.【答案】B ；【解析】抛物线2223(1)2y x x x =++=++，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转180°后坐标为(1，4)，开口向下． ∴ 旋转后的抛物线解析式为2(1)4y x =--+． 5.6.【解析】由小华的条件，抛物线过(3，0)与(1，0)两点，则对称轴为x ＝2；由小彬的条件，抛物线过点(4，3)又过(0，3)点，∴ 对称轴为直线x ＝2；由小明的条件a ＝1，c=3,得到关系式为23y x bx =++，过点(1，0)得b ＝-4，对称轴为4221x -==⨯；由小颖的条件抛物线被x 轴截得的线段长为2，另一交点可能是(3，0)或(-1，0)，当另一交点为(-1，0)时，对称轴 不是x ＝2．所以小颖说的不对.故选C.7．【答案】C ；【解析】①若过定点(2，1)，则有4231a b -+=．整理、化简，得-2a+b ＝1，与题设隐含条件相符；②若对称轴是直线x ＝1，这时12ba--=，2a-b ＝0，与题设隐含条件不相符； ③当a ＜0时，抛物线开口向下，这时顶点的纵坐标为2243()344a b b y a a⨯⨯--==-．由于20b ≥，0a <．∴ 204b a-≥．∴ 3y =最小． 综合以上分析，正确叙述的个数为2，应选C ．8．【答案】C ；【解析】二次函数24y x x a =-+的对称轴为x ＝2，由于a ＝1＞0，当x ＜2时，y 随x 增大而减小，因此A 是正确的；若图象与x 轴有交点，则△＝16-4a ≥0，∴ a ≤4．当a ＝3时，不等式为x 2-4x+3＞0，此时二次函数243y x x =-+，令y ＝0，得x 1＝1，x 2＝3，当x ＜1或x ＞3时，y ＞0，所以不等式2430x x -+>的解集为x ＜1或x ＞3．抛物线平移后得2(3)4(3)1y x x a =+-+++，即222y x x a =++-，将(1，-2)代入解得3a =-．二、填空题9．【答案】y ＝(x+2)2-3；【解析】y ＝x 2的顶点为(0，0)，y ＝(x+2)2+3的顶点为(-2，-3)，将(0，0)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位可得(-2，-3)，即将抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y ＝(x+2)2-3．10．【答案】y 1＜y 2＜y 3. 【解析】设x 2+bx-3＝0的另一根为x 2，则233cx a-==-，∴ x 2＝1， ∴ 抛物线的对称轴为3112x -+==-，开口向上时，到对称轴的距离越大函数值越大， 所以y 1＜y 3，y 1＜y 2＜y 3，也可求出b ＝2，分别求出y 1，y 2，y 3的值再比较大小．11．【答案】（9.5，-0.25）； 【解析】解：y=-x （x-1）（0≤x ≤1），OA 1=A 1A 2=1，P 2P 4=P 1P 3=2， P 2（2.5，-0.25）P 10的横坐标是1.5+2×[（10-2）÷2]=9.5， p 10的纵坐标是-0.25， 故答案为（9.5，-0.25）．12．【答案】y ＝3(x+3)2-3；【解析】抛物线y ＝3x 2的顶点为(0，0)，将x 、y 轴分别向上，向右平移3个单位，逆向思考，即将(0，0)向下，向左平移3个单位，可得顶点为(-3，-3)，因此，新坐标系下抛物线的解析式是y ＝3(x+3)2-3．13．【答案】②③； 【解析】由图象知，抛物线与x 轴交于点(-1，0)，(5，0)，于是可确定抛物线的对称轴为1522x -+==，则22ba-=，∴ 4a+b ＝0，故③是正确的； 又∵ 抛物线开口向上，∴ a ＞0，b ＝-4a ＜0， ∴ ①是错误的；又∵1322+=，即x ＝1和x ＝3关于对称轴x ＝2对称，其函数值相等， ∴ ②是正确的；根据抛物线的对称性知，当y ＝-2时，x 的值可取0或4． ∴ ④是错误的．14．【答案】(2，-4)或(-1，-4)；【解析】∵ 1|||4|102AMB S AB =-=△，∴ |AB|＝5． 又∵ 抛物线的对称轴为直线12x =，∴ A 、B 两点的坐标为(-2，0)和(3，0)．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，则4209301125424a b c a b c a b c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=-⎩ 解得1,1,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴ 抛物线的解析式为26y x x =--．当y ＝-4时，246x x -=--，∴ 220x x --=，∴ x 1＝-2，x 2＝-1． ∴ M 点坐标为(2，-4)或(-1，-4)． 15．【答案】③④⑤； 【解析】由题意可知a ＜0，c ＞0，02ba->，即b ＞0，∴ abc ＜0．由图象知x ＝2在抛物线与x 轴两个交点之间，当x ＝-1时，a-b+c ＜0，∴ b ＞a+c ．当x ＝2时，4a+2b+c ＞0．又由对称性知9a+3b+c ＜0，且12b a -=，∴ 9302bb c -++<，∴ 2c ＜3b ．当x ＝1时，y a b c =++最大，而m ≠1，当x m =时，21y a m b m c =++，由1y y >最大知2a b c am bm c ++>++，∴ 2()a b am bm m am b +>+=+，故③④⑤正确．16．【答案】 (1)(1，2)； (2)2； (3)向上； (-1，-2)；【解析】抛物线212y x =-+向右平移1个单位，则顶点由(0，2)移到(1，2)．利用割补法，阴影部分面积恰好为两个正方形的面积．若将抛物线y 2绕原点O 旋转180°，则抛物线y 2的顶点与点(1，2)关于原点对称．三、解答题17.【答案与解析】(1)y ＝(210-10x)(50+x-40)＝-10x 2+110x+2100(0＜x ≤15且x 为整数)．(2)y ＝-10(x-5.5)2+2402.5，∵ a ＝-10＜0，∴ 当x ＝5.5时，y 有最大值2402.5． ∵ 0＜x ≤15，且x 为整数． 当x ＝5时，50+x ＝55，y ＝-10(5-5.5)2+2402.5＝2400(元)；当x ＝6时，50+x ＝56，可求出y ＝2400(元)．∴ 当售价定为每件55元或56元，每月利润最大，最大利润是2400元．(3)当y ＝2200时，-10x 2+110x+2100＝2200，解得x 1＝1，x 2＝10． ∴ 当x ＝1时，50+x ＝51，当x ＝10时，50+x ＝60．∴ 当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元．18.【答案与解析】(1)先令2240x x -+=，得x 1＝0，x 2＝2． ∴ 点A 的坐标为(2，0)．△PCA 是等腰三角形． (2)存在OC ＝AD ＝m ，OA ＝CD ＝2．(3)当0＜m ＜2时，如图所示，作PH ⊥x 轴于H ，设(,)P P P x y ． ∵ A(2，0)，C(m ，0)，∴ AC ＝2-m ，∴ 222AC m CH -==．∴ 2222P m m x OH m -+==+=． 把22P m x +=代入224y x x =-+，得2122P y m =-+．∵ CD ＝OA ＝2，∴ 221111222(02)2222S CD HP m m m ⎛⎫==⨯⨯-+=-+<< ⎪⎝⎭．当m ＞2时，如图所示，作PH ⊥x 轴于H ，设(,)P P P x y ．∵ A(2，0)，C(m ，0)，∴ AC ＝m-2．∴ 22m AH -=． ∴ 22222P m m x OH -+==+=． 把22P m x +=代入224y x x =-+，得2122P y m =-+． ∵ CD ＝OA ＝2，∴ 21112()2(2)222P S CD HP y m m ==⨯⨯-=->．19.【答案与解析】(1)设抛物线的解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)．∵ 抛物线经过点A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)，∴ 1640,4,420,a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩ 解得1,21,4.a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴ 抛物线的解析式为2142y x x =+-．(2)过点M 作MD ⊥x 轴于点D ． 设M 点的坐标为(m ，n)，则AD ＝m+4， MD n =-，2142n m m =+-． ∴ AMD ABO DMBO S S S S =+-△△梯形111(4)()(4)()44222m n n m =+-+-+--⨯⨯ 228n m =---2124282m m m ⎛⎫=-+--- ⎪⎝⎭24(40)m m m =---<<． ∴ 当2m =-时，4S =最大值．(3)满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是：(-4，4)、(4，-4)、(22-+-、(22--+．20.【答案与解析】[解析] (1)由抛物线2y ax c =+经过点E(0，16)，F(16，0)得：2016,16,a c c ⎧=+⎨=⎩ 解得1,1616.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴ 211616y x =-+．. WORD 格式整理. .. .专业知识分享. . (2)①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，连接PF.∵ PO ＝PF ．∴ OG ＝FG ．∵ F(16，0)，∴ OF ＝16，∴ 1116822OG OF ==⨯=，即P 点的横坐标为8， ∵ P 点在抛物线上，∴ 218161216y =-⨯+=， 即P 点的纵坐标为12，∴ P(8，12)，∵ P 点的纵坐标为12，正方形ABCD 边长是16，∴ Q 点的纵坐标为-4，∵ Q 点在抛物线上，∴ 2141616x -=-+， ∴1x =2x =-∵ m ＞0， ∴2x =-∴x =，∴4)Q -．②168m <<．③不存在，理由：当n ＝7时，则P 点的纵坐标为7，∵ P 点在抛物线上，∴ 2171616x =-+， ∴ 112x =，212x =-，∵ 0m >，∴ 212x =-舍去，∴ x ＝12，∴ P 点坐标为(12，7)．∵ P 为AB 中点，∴ 182AP AB ==， ∴ 点A 的坐标是(4，7)，∴ m ＝4．又∵ 正方形ABCD 边长是16，∴ 点B 的坐标是(20，7)，点C 的坐标是(20，-9)，∵ Q 点在抛物线上，∴ 2191616x -=-+， ∴ 120x =，220x =-，∵ m ＞0，∴ 220x =-舍去，∴ x ＝20，∴ Q 点坐标(20，-9)，∴ 点Q 与点C 重合，这与已知点Q 不与点C 重合矛盾，∴ 当n ＝7时，不存在这样的m 值使P 为AB 边的中点．。
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二次函数复习 1. 二次函数的概念及图象特征二次函数：如果 ，那么y 叫做x 的二次函数． 通过配方，可写成 ，它的图象是以 直线 为对称轴，以 为顶点的一条抛物线． 2. 二次函数2的性质值 ＞0 ＜03. 二次函数图象的平移规律抛物线c bx axy ++=2可由抛物线y=ax 2（a ≠0）平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论．4.、、及的符号与图象的关系⑴a →决定抛物线的 ； a ＞0. ；a ＜0， ． ⑵a 、b →决定抛物线的 位置：a 、b 同号，对称轴（2bxa =-＜0）在y 轴的 侧； a 、b 异号，对称轴（2bx a=-＞0）在y 轴的 侧.⑶c →决定抛物线与y 轴的交点（此时点的横坐标x ＝0）的位置： c ＞0，与y 轴的交点在y 轴的 ； c ＝0，抛物线经过 ；c ＜0，与y 轴的交点在y 轴的 ．⑷b 2－4ac →决定抛物线与x 轴交点的个数：①当b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有 交点； ②当b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有 个交点； ③当b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴 交点． 5. 二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式： （a≠0）；⑵设顶点形式： （a≠0）；⑶设交点式：（a≠0）.6. 二次函数的应用问题解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.二次函数 例1. 二次函数2y x 2x 1=+－－通过向 （左、右）平移 个单位，再向___________（上、下）平移 个单位，便可得到二次函数213y x =-的图象. 例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a －b+c ，b2－4ac ，2a+b 中，值大于0的个数有（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2例3.抛物线y=－x 2+2（m+1）x+m+3与x 轴交于A 、B 两点，且OA ：OB=3：1，则m 的值为_____.例4. 已知二次函数y=mx2+（m －1）x+m －1有最小值为0，求m 的值.例5. 已知关于x 的二次函数y=（m+6）x2+2（m －1）x+（m+1）的图象与x 轴总有交点，求m 的取值范围.例6.△ABC 是锐角三角形，BC=6，面积为12.点P 在AB 上，点Q 在AC 上.如图9-33，正方形PQRS （RS 与A 在PQ 的异侧）的边长为x ，正方形PQRS 与△ABC 的公共部分的面积为y. （1）当RS 落在BC 上时，求x ；（2）当RS 不落在BC 上时，求y 与x 的函数关系式； （3）求公共部分面积的最大值.1.下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )A ．y = (x − 2)2 + 1B ．y = (x + 2)2 + 1C ．y = (x − 2)2 − 3D ．y = (x + 2)2 − 3 2.如图，抛物线y = x 2 + 1与双曲线y =k x 的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式 kx+ x 2 + 1 < 0的解集是 ( )A ．x > 1B ．x < −1C ．0 < x < 1D ．−1 < x < 0【答案】D3. 已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 4. 二次函数522-+=x x y 有A ． 最大值5-B ． 最小值5-C ． 最大值6-D ． 最小值6-【答案】D5. 已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是A .4<kB .4≤kC .4<k 且3≠kD .4≤k 且3≠k【答案】B6. 由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3-=xC ．其最小值为1D ．当3<x 时，y 随x 的增大而增大 【答案】C ． 7.已知二次函数215y x x =-+-,当自变量x 取m 时,对应的函数值大于0,当自变量x 分别取m-1,m+1时对应的函数值1y 、2y ,则必值1y ,2y 满足 ( )A.1y >0,2y >0 B. 1y <0,2y <0 C.1y <0,2y >0 D.1y >0,2y <0答案【B 】 8.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ ）.（第10题）【答案】D9.如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C10.在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2的图像可能是【答案】C 二、填空题1.如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ．【答案】12x>（第1题） c+2. （2011山东日照，17，4分）如图，是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1；④a -2b +c ＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）【答案】①③．3. （2011浙江省嘉兴，15，5分）如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为 ．【答案】34. （2011山东济宁，12，3分）将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则y = ．【答案】2(2)1y x =-+5．（ 2011重庆江津， 18，4分）将抛物线y=x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______. 【答案】y=(x-5)2+2 或 y=x 2-10x+27 三、解答题1. （2011湖南怀化，22，10分）已知：关于x 的方程012)31(2=-+--a x a ax（1） 当a 取何值时，二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2；（2） 求证：a 取任何实数时，方程012)31(2=-+--a x a ax 总有实数根.【答案】 (1)解：∵二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2∴22)31(-=---aa解得a=-1经检验a=-1是原分式方程的解. 所以a=-1时，二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2；（2）1）当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1； 2）当a≠0时，原方程为一元二次方程，012)31(2=-+--a x a ax ，当时，042≥-ac b 方程总有实数根，∴()[]0)12(4a 312≥----a a（第3题）c+整理得，0122=+-a a0)1(2≥-a∵a≠0时0)1(2≥-a 总成立所以a 取任何实数时，方程012)31(2=-+--a x a ax 总有实数根.2.已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）．⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 【答案】解：⑴当x=0时，1y =．所以不论m 为何值，函数261y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点（0，1）． ⑵①当0m =时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；②当0m ≠时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以2(6)40m --=，9m =．综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9．3、如图，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求△ABC 的面积。
【关键词】二次函数【答案】解：（1）把A （2，0）、B （0，－6）代入c bx x y ++-=221得：⎩⎨⎧-==++-6022c c b解得⎩⎨⎧-==64c b∴这个二次函数的解析式为64212-+-=x x y第3题（2）∵该抛物线对称轴为直线4)21(24=-⨯-=x∴点C 的坐标为（4，0）∴224=-=-=OA OC AC∴6622121=⨯⨯=⨯⨯=∆OB AC S ABC。