21导数的概念
专升本 第二章 一元函数微分学
第二章讲义2007：36分2008：21分2009：32分2010：42分2011：29分一、导数的概念1、导数的概念左右导数的概念2、可导与连续的关系二、导数的计算导函数导函数基本结果求导法则复合函数的导数隐函数的导数对数求导法参数方程表示的函数的导数高阶导数三、导数的几何意义四、导数的应用1、中值定理1-1中值定理1-2中值定理推论2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用2-2极值2-3最值3、凹凸性、拐点4、洛必达法则5、渐近线一、导数的概念1、导数的概念1．讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 23x x xx x f 在0=x 处的可导性. 2．设函数()x f 可导，且()()011lim12x f f x x→--=-，则()1f '=（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-3．设()x f 在1=x 处可导，且()11='f ，则()()=+--→hh f h f h 121lim 0（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4- 4．设函数()f x 在0x =处满足，()()()03f x f x x α=-+，且()lim0x x xα→=，则()0f '=（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3 5．函数()x f 在点0x x =处可导，且()10-='x f ，则()()=+-→hh x f x f h 23lim000A ．32B ．32-C ．23- D ．236．设()1='x f ，则()()=--+→hh x f h x f h 32lim 0（ ） A ．4 B ．5 C ．2 D ．17．设()x f 为奇函数，则()30='x f 时，()=-'0x f ________．左右导数的概念2、可导与连续的关系1．函数在某点处连续是其在该点处可导的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件二、导数的计算导函数导函数基本结果 求导法则复合函数的导数1．设函数5sin 212π--=x y ，则='yA ．5cos 212π--x x B ．21xx--C ．212x x - D ． 5cos 52122π---x x2．已知lnsin(12)y x =-，求.dy dx隐函数的导数1．设由方程22e xy e y =- 确定的函数为()x y y =，求.|0=x dx dy2．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y y x +=确定的隐函数，求dy dx. 3．由1=++xy y x ①所确定的隐函数()x y y =在1=x 处导数为________． 对数求导法1．已知y x =，求.dx dy2．若函数()()()ln 1xf x x x =>，则()f x '=（ ） A ． ()1ln x x - B ．()()1ln ln ln(ln )x xx x x -+C ．()ln ln(ln )xx x D ．()ln xx x参数方程表示的函数的导数1．曲线231,21,x t y t t =+⎧⎨=-+⎩则1|t dydx ==________．1． x y sin =的三阶导数是（ ）A ．x sinB ．x sin -C ．x cosD ．x cos -2．设函数()x f 具有四阶导数，且()f x ''=()()4f x =（ ）A ．B C ．1 D ．3214x --3．设函数()()()()()4321--++=x x x x x f ，则()()=x f 4________． 4．已知()21x f x e -=，则()()20070f =_______．5．若()()x f x f =-，在区间()+∞,0内，()()0,0>''>'x f x f ，则()x f 在 区间()0,∞-内A ．()()0,0<''<'x f x fB ．()()0,0>''>'x f x fC ．()()0,0<''>'x f x fD ．()()0,0>''<'x f x f6．设参数方程⎩⎨⎧-=+=.13,122t y t x 所确定的函数为()x y y =，则=22dx yd _______． 7．设函数()y y x =由参数方程33cos ,sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（ ）A ．2-B ．1-C ．D 三、导数的几何意义1．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 2．曲线x x y ln =平行于直线01=+-y x 的切线方程是 A ．1-=x y B ．()1+-=x y C ．1+-=x y D ．()()11ln -+=x x y 3．曲线x y ln =上点)0,1(处的切线方程为________．4．曲线22y x x =+-在点M 处的切线平行于直线51y x =-，则点M 的坐标为5．过曲线arctan x y x e =+上的点()0,1处的法线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．220x y -+= C ．210x y --= D ．220x y +-=6．曲线sin 2,cos ,x t y t =⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的切线方程为（ ）A ．2x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =- 四、导数的应用 1、中值定理1-1中值定理1．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ． x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x =2．函数()22f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ= _______．3．判断：()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b ≠，一定不存在(),a b ξ∈，使得()0.f ξ'=（ ）4．设()x f 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(),a b 内（ ） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0.f ξ'= 5．设()f x '在[],a b 上连续，存在,m M 两个常数，且满足12a x x b ≤<≤，证明： ()()()()212121m x x f x f x M x x -≤-≤-.6．设函数()x f 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，在开区间 ( 0 , 1 )内可导，且()().21,00==f f 证明：在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点x ，使得().12+='ξξf1-2中值定理推论1．设[]1,1-∈x ，则=+x x arccos arcsin （ ） A ．2π B ．4πC ．0D ．1 2．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且()00f =，则()f x =（ ） A ．2x x e e + B ．2x x e e - C ．2x x e e -+ D ．2x x e e --2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用1．函数()f x x =_______. 2．方程01sin =-+x x 在区间()1,0内根的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32-2极值1．若函数()2f x ax bx =+在1x =处取得极值2，则a =_______，b =_______．2．下列说法正确的是（ ）A ． 函数的极值点一定是函数的驻点B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对3．若函数()x f 在区间()b a ,内连续，在点0x x =处不可导，()b a x ,0∈ ，则 A ．0x 是()x f 的极大值点 B ．0x 是()x f 的极小值点 C ．0x 不是()x f 的极值点 D ．0x 可能是()x f 的极值点 4． 若()()0,000>''='x f x f ，则下述表述正确的是（ ）A ．0x 是()x f 的极大值点B ．0x 是()x f 的极小值点C ．0x 不是()x f 的极值点D ．无法确定0x 是否为()x f 的极值点 2-3最值1．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小2．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时 用料最省？3．求点()1,0P 到抛物线2x y =上点的距离的平方的最小值.3、凹凸性、拐点1．设()x f 在区间()b a ,内有()()0,0<''>'x f x f ，则()x f 在区间()b a ,内（ ） A ．单调减少且凹的 B ．单调增加且凸的 C ．单调减少且凸的 D ．单调增加且凹的2．曲线31x y +=的拐点为（ ）A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,0D ．()1,1 3．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）A ． 0x =B ．()0,2-C ．无拐点D ．0,2x y ==-4．函数sin y x x =-在区间()0,2π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．5．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（ ）A ．()2,2-B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),-∞+∞ 6．曲线x xe y -= 的拐点为A ．1=xB ．2=xC ． ⎪⎭⎫⎝⎛22,2e D ．⎪⎭⎫⎝⎛e 1,11,4、洛必达法则1．312cos limsin()3x x x ππ→-=-A ．1B ．0 CD．2．求011lim .1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭3．计算sin 0lim x x x +→4．sin lim sin x x x x x →∞+-（洛必达法则）1cos sin limlim 11cos sin x x x xx x→∞→∞+-===--.（）5、渐近线1．曲线2232xx y -=的水平渐近线为（ ） A ．32=y B ．32-=y C ．31=y D ．31-=y 2．曲线1|1|y x =-（ ） A ．只有水平渐进线；B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线；C ．只有垂直渐近线；D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线.3．曲线xe y x=（ ）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线4．曲线35arctan 2+=xxy A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线5．方程xy 1arcsin = 所表示的曲线（ ）A ．仅有水平渐近线B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线。
导数的概念及其意义、导数的运算
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × ) (4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x).( × )
∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， ∴设切点为(x0，y0). 又f′(x)＝1＋ln x， ∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x. ∴由yy00＝ ＋x10＝lnx10＋，ln x0x0， 解得 x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点2 求参数的值(范围)
1.函数f(x)＝ex＋1x 在x＝1处的切线方程为__y＝__(_e_－__1_)_x_＋_2__.
f′(x)＝ex－x12， ∴f′(1)＝e－1， 又f(1)＝e＋1， ∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1， 即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)， 即y＝(e－1)x＋2.
[cf(x)]′＝ cf′(x) .
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝ y′u·u′x ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
常用 结论
1.区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 2.f1x′＝－[ff′x]2x(f(x)≠0).
第三章
考试要求
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如
导数基础
1．导数的概念(1)定义．如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值Δy Δx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，Δy Δx 有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)导函数．当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法．①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率Δy Δx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx. 2．导数的意义(1)几何意义．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ．(2)物理意义．函数S ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0), 就是当物体的运动方程为S ＝s (t )时，物体运动在t 0时刻的瞬时速度v ，即 ．设v ＝v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的 ．3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c 为常数)，(x α)′＝ (α∈Q *)；(2)(sin x )′＝___________，(cos x )′＝___________；(3)(ln x )′＝ ，(log a x )′＝_________________；(4)(e x )′＝____________，(a x )′＝__________．4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________．(2)[f (x )g (x )]′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝_____________．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝_________(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．函数f (x )＝1的导函数是( )A ．y ＝0B ．y ＝1C ．不存在D ．不确定函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( )A ．3a 2＋10ax 2B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2xC ．10a 2xD ．以上都不对曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程为________________．物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为．类型一 导数的概念设f (x )为可导函数，当x 趋近于0时，f （1）－f （1－2x ）2x趋近于－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2已知f ′(0)＝2，则h 趋近于0时，f （3h ）－f （0）h趋近于____________．类型二 导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43．(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程；(2)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(3)求曲线过点P(2，4)的切线方程．已知函数f(x)＝x3＋x－16．(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；(2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(3)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程．类型三求导运算求下列函数的导数：(1)y＝5x2－4x＋1；(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(3)y＝sin(πx＋φ)(其中φ为常数)；(4)y＝x＋3x＋2(x≠－2)．求下列函数的导数：(1)y＝(x＋1)(x＋2)；(2)y＝xe x－1(x≠0)；(3)y＝cos2x；(4)y＝ln x＋3x＋1(x＞－1)．1．函数f(x)＝x3＋sin2x的导数f′(x)＝( )A．x2＋cos2x B．3x2＋cos2xC．x2＋2cos2x D．3x2＋2cos2x2．已知f(x)＝(x－2)(x－3)，则f′(2)的值为( )A．0B．－1C．－2D．－33．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1，0)4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－15．曲线y＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标是________________．6．已知点P在曲线y＝4e x＋1上，则曲线在点(0，f(0))处的切线的斜率是________．7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________．8．求函数f(x)＝x3－4x＋4图象上斜率为－1的切线的方程．9．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a，b为常数．已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2，0)处有相同的切线l，求a，b的值，并写出切线l的方程．10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2．(1)求x＜0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝ln x，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．11.已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数).(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程.。
2.2.1导数的概念及其几何意义
2．1 导数的概念
【课标要求】 1．理解并掌握导数的概念． 2．掌握求函数在一点处的导数的方法． 【核心扫描】 1．导数产生的实际背景(如曲线的切线斜率、瞬时速度等问
题)．(重点)
2．导数的概念及求函数在某一点处的导数的方法．(重点、 难点)
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利用导数的定义求导数，“三步法”的模式是 Δy 固定的，关键是要注意在求 时，分式的通分、无理式的 Δx 分子有理化等常用技巧的使用．
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【训练1】 已知函数y＝ax2＋bx＋c，求y′|x＝2.
解 ∵Δy＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－(4a＋2b＋c) ＝4aΔx＋a(Δx)2＋bΔx，
4
________.
f1＋2Δx－f1 [错解] ∵li m ＝f′(1)， Δx Δx→0 且由导数的定义可求得 f′(x)＝4x3＋3， ∴f′(1)＝7， 故填 7.
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在导数定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但
无论如何变化，其实质是分子中x的增量与分母中x的增量
审题指导 在导数的定义中，Δx的形式是多种多样的，f(x) 的变化区间也是多种多样的，不仅是[x0 ，x0 ＋Δx]的形式， 还可以是[x0－Δx，x0]，[x0－Δx，x0＋Δx]等形式．
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定义法 Δy Δx→0 【解题流程】 确定函数的增量 ――→ Δx 极限 ―→ 导数 ―→ 结果
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导数的概念及运算
()
A．f′(x0)
B．．－f(x0)
解：liΔmx→0
fx0－Δx－fx0 Δx
＝－liΔmx→0
f[x0＋－Δx]－fx0 －Δx
＝－f′(x0)．
考点二·导数的运算
【例 2】求下列函数的导数：
(1)y＝exln x;
(2)y＝11－＋csoins
x－1 x2 .
点评：利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本 方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结 构特点，准确运用常用的导数公式．
点评：利用定义求导数的基本步骤：
①求函数的增量：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
②求平均变化率：ΔΔyx＝fx＋ΔΔxx－fx；
fx＋Δx－fx
③取极限得导数：f′(x)＝liΔmx→0
Δx
.
【变式探究】
1．设函数 f(x)在 x0 处可导，则 liΔmx→0 fx0－ΔΔxx－fx0等于
答案：2x－y＋1＝0
5．(1)(2016·天津卷)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex,f′(x)为 f(x)
的导函数,则 f′(0)的值为
.；
(2)y＝x＋x 1，则 y′x＝2＝________.
解：(1)因为 f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex,
所以 f′(0)＝3e0＝3.
(2)导数的运算法则 ①和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝_________________. ②积的导数 [f(x)·g(x)]′＝________________________； ③商的导数 [gfxx]′＝_________________________ (g(x)≠0)．
1．若 f(x)＝2x2 图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
第二章 导数与极限 1
及 lim f ( x) = A, 得出: A > 0.
x→x0
ˆ 例如 在N (0, δ )内有 f ( x ) =| x |> 0,
但 lim | x |= A = 0.
x→0
说明: 定理4, 说明 定理 5, 6及推论所论极限 在自变量 的其它变化 及推论所论极限, 在自变量x的其它变化 趋势的情形下, →∞, →−∞, 趋势的情形下 即: x→x0−, x→x0+, x→∞ x→+∞, x→−∞ → → →∞ → ∞ →−∞ 都有类似的结论。 都有类似的结论。
y
y=|x|
| x|−|0| x lim+ = lim+ = 1, x →0 x→0 x x−0 | x |−|0| 故 lim 不存在 x →0 x − 0
所以函数 f ( x ) =| x | 在 x = 0 处不可导.
O
x
10
求取整函数f(x)=[x]在整数点 0=n处的左极限和右极限 在整数点x 处的左极限和右极限 处的左极限和右极限. 例10. 求取整函数 在整数点
x→n x→n
11
C. 自变量趋于无穷大时函数的极限 设函数f(x)在|x|≥a (a≥0)上有定义 如果存在常 上有定义, 定义 设函数 在 ≥ ≥ 上有定义 如果存在常 使对任意给定的正数ε 总存在正数 正数X, 数A, 使对任意给定的正数ε, 总存在正数 当 |x|>X, 有: |f(x)−A|<ε 成立 > − < 成立,
f ( x0 + 0) = A.
注意 : { x 0 < x − x0 < δ } = { x 0 < x − x0 < δ } U { x − δ < x − x0 < 0}
21复变函数的导数与解析函数剖析
所以
lim
z0
f
( z0
z)
f (z0),
即f (z)在 z0 连续.
例3 f (z) z在z平面上处处连续但却处处不可导
解 (1) f(z)=z的连续性显然
(2)
f z
=
z
z z
z
=
z z
z
x
i y
x x
1
iy
x 0, y 0 1x 0, y 0
iy
f 1(x 0, y 0) z
lim x 2yi lim 2yi 2, z0 x yi y0 yi
所以f (z) x 2 yi的导数 不存在.
x 0 y
z o
y 0 x
2.可导与连续的关系:
函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
例3 如果 f (z) 在区域 D内处处为零 , 则 f (z) 在
区域 D内为一常数 . 证 f (z) u i v v i u 0,
x x y y 故 u v u v 0,
x y y x
所以 u 常数, v 常数, 因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
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lim f lim f (z z) f (z) lim y 0,
z0 z z0
z
x0 x iy
y0
当点沿平行于虚轴的方向(x 0)而使z 0时,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 1,
z0 z z0
z
y0 x iy i
x0
当点沿不同的方向使z 0时,极限值不同,
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第一节 导数的概念教学目的: 1.使学生掌握导数定义的两种形式；左、右导数的概念； 2.使学生掌握导数几何意义,会求曲线的切线方程; 3.使学生理解函数的可导性与连续性之间的关系。
教学重点:导数的定义 教学过程:一、引例1.速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，00)()(t t t s t s --→常数0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，00)()(l i m 0t t t s t s v t t --=→2.切线问题：切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。
由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。
我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ， 即00)()(limx x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
二、导数的定义综合以上几个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，我们称它为)(x f y =在0x 点的导数。
定义：设)(x f y =在0x 点的某邻域内有定义，且当自变量在0x 点有一增量x ∆（x x ∆+0仍在该邻域中）时，函数相应地有增量y ∆，若增量比极限：xyx ∆∆→∆0lim即0)()(limx x x f x f x x --→存在，就称其值为)(x f y =在0x x =点的导数，记为)(0x f '，0x x y ='，x x dxdy =或x x dxdf =。
即000)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→，这时，也称)(x f y =在0x x =点可导或有导数，或导数存在。
注 1：导数的常见形式还有：xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000；hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→；hh x f x f x f h )()(lim )(0000--='→；2：x y ∆∆反映的是曲线在],[0x x 上的平均变化率，而0)(x x dxdyx f =='是在点0x 的变化率，它反映了函数)(x f y =随0x x →而变化的快慢程度。
3：这里x x dxdy=与x x dxdf =中的dx dy 与dxdf 是一个整体记号，而不能视为分子dy 或df 与分母dx ，待到后面再讨论。
4：若极限x yx ∆∆→∆0lim 即00)()(lim 0x x x f x f x x --→不存在，就称)(x f y =在0x x =点不可导。
特别地，若∞=∆∆→∆xyx 0lim，也可称)(x f y =在0x x =的导数为∞，因为此时)(x f y =在0x 点的切线存在，它是垂直于x 轴的直线0x x =。
若)(x f y =在开区间I 内的每一点处均可导，就称)(x f y =在I 内可导，且对I x ∈∀，均有一导数值)(x f '，这时就构造了一新的函数，称之为)(x f y =在I 内的导函数，记为)(x f y '=，或y '，dx dy ，dxx df )(等。
事实上， x x f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(lim 0或hx f h x f y h )()(lim 0-+='→注 5：上两式中，x 为I 内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而x ∆与h 是变量。
但在导函数中，x 是变量。
6：)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是导函数)(x f y '=在0x x =点的值，不要认为是])([0'x f ；7：为方便起见，导函数就称为导数，而)(0x f '是在0x 点的导数。
【例1】 设0)0(=f ，证明欲A xx f x =→)(lim0，那么)0(f A '=。
证明： 因为A x f x f x x f x f x f x =--⇒=--→0)0()(lim )(0)0()(0 所以)0(f A '=。
【例2】 若)(x f 在0x 点可导，问：→--+hh x f h x f )()(00？解： hh x f x f h x f h x f h h x f h x f )()()()()()(000000--+-+=--+)(2)()(000x f x f x f '='+'→。
反过来，亦证明：)(2)()(000x f hh x f h x f '→---+。
三、求导数举例【例3】 求函数c x f =)(（c 为常数）的导数。
解：在c x f =)(中，不论x 取何值，起其函数值总为c ，所以，对应于自变量的增量x ∆，有0≡∆y 0l i m 00=∆∆⇒=∆∆⇒→∆xyxy x ，即0)(='c 。
注：这里是指c x f =)(在任一点的导数均为0，即导函数为0。
【例4】 求n x x f =)(（n 为正整数）在a x =点的导数。
解：11221)(l i m li m )(-----→→=++++=--='n n n n n a x n n ax na a x a ax x ax a x a f 即1)(-='n na a f ，亦即1)(-=='n ax n na x ，若将a 视为任一点，并用x 代换，即得1)()(-='='n n nx x x f注：更一般地，μx x f =)(（μ为常数）的导数为1)(-='μμx x f ，由此可见，xx 121)(=', )0(1)1(2≠-='x x x 。
【例5】 求x x f sin )(=在a x =点的导数。
解： a ax ax a f a x cos sin sin lim)(=--='→,即a x a x cos )(sin ='=同理：若视a 为任意值，并用x 代换，使得x x f cos )(='，即x x cos )(sin ='。
注：同理可证：x x sin )(cos -='。
【例6】 求)1,0()(≠>=a a a x f x 的导数。
解：ha a h a a h x f h x f x f h h xx h x h h 1lim lim )()(lim )(000-⋅=-=-+='→+→→a a ea a a x a x a x a x a h ln log 1)1(log 1lim)1(log lim11=⋅=+=+=→→-=βββββββ令所以a a a x x ln )(='。
注：特别地，x x e e =')(。
【例7】 求)1,0(log )(≠>=a a xx f a 的导数。
解：hx hh x h x h x f h x f x f a h a a h h )1(log limlog )(log lim )()(lim )(000+=-+=-+='→→→ ax e x x h x a h xa h ln 1log 1)1(log 1lim 0==+⋅=→。
特别： xx 1)(l n ='。
注 1：等最后讲到反函数求导时，可将x a log 作为x a 的反函数来求导； 2：一般地说，求导有四步： （1）给出x ∆； （2）算出y ∆； （3）求增量比xy ∆∆； （4）求极限。
四、左、右导数00)()(lim0x x x f x f x x --+→存在，就称其值为)(x f 在0x x =点的右（左）导数，并记为）0(x f '+，即00000000)()(lim )()(lim )(0x x x f x f h x f h x f x f x x h --=-+='+→+→+ 00000000)()(lim)()(lim )(0x x x f x f h x f h x f x f x x h --=-+='-→-→-。
定理1：)(x f 在0x x =点可导⇔)(x f 在0x x =点的左导数和右导数均存在，且相等，即)()(00x f x f '='+-。
【例8】 讨论x x f =)(在0=x 处的导数。
解： ⎩⎨⎧<-≥=0,)(x xx x x f 0)0(=f 1lim 0)0()(lim )0(0000==--=='+→+→+x x x f x f f x x 1lim 0)0()(lim )0(0000-=-=--=='-→-→-x x x f x f f x x 因为)(x f 的左导数为-1，右导数为1，所以在0=x 点不可导； 注 1：[例8]也说明左可导又右可导，也不能保证可导； 2：左、右导数统称为单侧导数；3：若)(x f 在),(b a 内可导，且在a x =点右可导，在b x =点左可导，即),(a f '+)(b f '-存在，就称)(x f 在],[b a 上可导。
四、导数的几何意义由前面的讨论知：：函数)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是该曲线在0x x =点处的切线斜率k ，即)(0x f k '=，或αα,tan )(0='x f 为切线的倾角。
从而，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-。
若∞=')(0x f ，2πα=⇒或2π-⇒切线方程为：0x x =。