行列式《行列式按行(列)展开》课件

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1-5行列式按行列展开ppt课件

a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31

a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33

a13
a21 a31
a22 a32
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a14
a D a21 a22
2233 a24 M 23 a31 a32 a34
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a44
a41 a42 a43 a44
A23 1 23 M 23 M 23 .

ai1, j1

ai 1,n

anj an, j1 ann
aij 0 0

1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n

anj an, j1 ann
aij 0 0

1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
狼爪划到了左臂，厚实の衣裳不堪一击便撕裂了个大口子，血丝慢慢渗了出来，闻到这血腥味，黄狼更加兴奋地低嚎。
贺腾几次闪避开攻击，可每一次の涉险过关，身上便会多添道伤痕。突然黄狼又一高扑，他乘机一蹲身，抓住了一条狼腿，黄狼落地不稳一踉跄，匕首已刺进了它の肚子

3 行列式行列式的按行(列)展开

则根据归纳假设得证: Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) ( x i x j )
( x i x j ).
n i j 1
n i j 2
作

业
P26 4(4), 9 补充：利用范德蒙德行列式计算4阶行列式
1 1 1 1 16 8 2 4 D 81 27 3 9 256 64 4 16
D = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + ain Ain + anj Anj .
i , j 1,2,
, n
推论行列式中任一行或列的元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零。 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j
1 1
例2 求解方程
1 x 0. x2
2 3 4 9
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
推论
行列式中任一行或列的元素与另一行或列对应元素的代数余子式乘积之和为零。即
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j
j 1
3
定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素与其代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3
a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ( j 1,2, 3)

第2讲 1.3行列式的性质 1.4行列式按行(列)展开

7 15 6 6 2. 5 38
记交换 i、j 两行： ri rj ；交换i、j两列： ci c j
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行
列式为零
证明把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D=0
性质3 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等
于用数 k 乘此行列式
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n
即 kas1 kas2
kasn k as1 as 2
asn
an1
an2
ann
an1 an2
ann
记第 i 行乘以 k：kri；第j列乘以 k: kcj 推论1 若行列式D中某一行（列）的所有元素均为零，
则D=0.
推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
a 3a b 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10a 6b 3c d
解从第 4 行开始，后行减前行得，
r4 r3 a b
c
d
r3 r2 0 a a b a b c
r2 r1
D
0
a
2a b
3a 2b c
0 a 3a b 6a 3b c
r4 r3 a b c
a11 a12 a1n
s ai1 ai2 ain
s ai1 ai2 ain
t
k
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
0.
t
an1 an2 ann
an1 an2 ann
例1 设
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 1, 求 3a21 a22

线性代数第1章第4节行列式按行展开

a12 a22 a32
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 M 12 a31 a41
a23 a33 a43
a24 a34 a44
11 2 M 12 M12 A12
A44 1
4 4
M 44 a21 a31
M 44 M 44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式．
8
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，得，
aij

0

0
D ( 1)i j 2 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj
i j

a n , j 1
i j

ann
( 1) aij M ij ( 1)
Aij
而
D a13 A13 a23 A23 a33 A33 a43 A43 .
15.
25
所以 D (1) 5 2 (3) 0 (7) 1 (4)
例：已知四阶行列式D中第一行上元素分别为1, 2, 0, －4;
第三行上元素的余子式依次为6, x, 19, 2．试求x 的值．
2
, j3 ,, jn )
a2 j a3 j anj
2 3
n
a2 j a3 j anj 恰是 M 11 的一般项．
2 3 n
所以，
D a11 M11
a11 ( 1)11 M 11
a11 A11
7
(2) 设 D 的第 i 行除了 a ij 外都是 0 ．
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 ann

第一章行列式 S3 行列式按行(列)展开

得
aaiijj
0
0
0
0
a1, j
a11
a1, j1
a1, j1
a1n
D (1)i1(1) j1 ai1, j ai1, j
ai1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
anj
an1
a a n, j1
n, j1
aij (1)(i j)2 Mij aij (1)i j Mij aij Aij
11
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
x
n1 2
xnn1
证用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
17
假设（1）对于 n 1阶范德蒙行列式成立，
对(1)式，由下而上依次从每一行减去上一行的x1倍，得
定理2 n(n≥2)阶行列式的任一行（列）元与另一行（列）对应元的代数余子式乘积之和为零。即
ai1Ak1 ai2 Ak 2 或
a1 j A1t a2 j A2t
n
ain Akn ais Aks 0, (i k, i,k 1, 2, ,n) s1
n
anj Ant asj Ast 0, ( j t, j,t 1, 2, ,n) s1
3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,

线性代数课件14行列式按行列展开

ain
13
定理4（Laplace展开定理)：在行列式 D 中任意取k（1 k n－1）行，则由这 k 行元素所组成的所有 k 阶子式与它们的代数余子式乘积之和等于行列式 D .
14
例：计算行列式 21000 12100
D 0 1 2 1 0 00121 00012
选第一、二两行，则它们所组成的二阶子式共有10个，其中非零子式只有三个，
Sds绝对是假的
11
1
Dn
n
（ai
a1）
a2
a3
i2
a a n2
n2
2
3
an an2
n
n
（ai a1）Dn1 i2
以此类推，可以得到行列式的值
Dn
(a j ai )
1i jn
11
定理3：行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
n
aik Ajk ai1 Ai1 ai2 Ai2
(1) 2
a11
a 22 a32
a 23 a33
( 1) 3
a12
a 21 a31
a 23 a33
(1) 4 a13
a 21 a31
a 22 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13
容易看出行列式的值等于第一行元素与它们对应的代数余子式乘积之和，于是我们可以得到下面的定理。
5
定理2：n阶行列式 D 等于它的任意一行（列）所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，即 D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain (i 1, 2, , n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1, 2, , n)

线性代数03-行列式按行(列)展开

1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则，利用这个法则降阶并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.
思考任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.

行列式按行(列)展开

a a a a a a a a a
D
xa
xa
c1 c2 cn
[ x ( n 2)a ] 1 x a 1 a
1 a
xa
xa
20
r2 r1 r3 r1 rn r1
1 [ x ( n 2)a ]0 0 0
ak 1 ak 2 akn an 2 ann
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。
11
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
a11 a12 a1n ai 1 0 0
a11 0
a12 a1n ai 2
a11 a12 a1n 0 ain
0 0
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
3 11
7 17 8
按第二列展开
7 25 8 0 3 0 11 5 2
1 ( 1)
2 2
0 3
5 9
5 2
按第二行展开
5 ( 1)
2 3
7 25 3 11
5(77 75) 10
19
例2：
xa a a a
a xa a a 1
a a a a
a a a
( xi a , i 1,2,3,4)
（可以化为箭形行列式）
r2 r1 r3 r1 r3 r1 r4 r1

【精选】1章4节行列式按行(列)展开课件

§1.4 行列式按行(列)展开
计算行列式有了较为上节我们学习了行列式的性质，便捷的方法。
但是，在计算高阶甚至n阶行列式时，化三角形的过程依然不简单，特别是当计算的规律不明显时，比如，
化a11下方为0的方法，与化a22下方为0的方法不同，
是否有方法将其分离、简化？
答案是肯定的，这就是按行(列)展开法，也称降阶法。
为脱离繁琐的运算，从整体上分析行列式的运算做好了准备。
6
引理一个n阶行列式D，若其中第i行所有元素除aij外都为零，则该行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积
即：D = aij Aij
证明见课本P 20。
这就是著名的行列式降阶计算法，它的应用条件就是其中i行所有元素除aij外都是0。
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
中，去掉元素a32所在的第3行和第2列，将余下的元素
按原来位置重新排成的行列式
a11
M 32 a21
就叫元素a32的余子式，
a13 a23
a14 a24 a44
a41 a43
注意：元素aij与余子式Mij 相互一一对应。
4
例如在四阶行列式
D
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
32 对M32乘上符号(-1) 得到的 a11 a13
A32 =(-1)32 M32 a21 a41
a23 a43
a14 a24 a44
就叫元素a32的代数余子式。注意：元素a32的代数余子式A32 由a32的余子式M32乘上

行列式按行(列)展开定理

ak1 Ai1 ak 2 Ai2 akn Ain 0, k i. a1k A1i a2k A2i ank Ani 0, k i.
证由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.
10
a11
a12
a1n
ai1
ai2
a in
在行列式 D
ak1
ak 2
a kn
an1
3 1 1 2
5 1
例2 计算行列式 D
20
3 4 .
1 1
1 5 3 3 14
3 1 1 2
解
5 D
1
20
3 4 1 1
1 5 3 3
c1 2 c3 c4 c3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010 5 5 3 0
15
5 11
5 11
(1)33 11
1
1 r2 r1 6
2
0
5 5 0
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a11 a12 a14
M23 a31 a32 a34 a23 的余子式.
a41 a42 a44
A23
1
M 2 3 23
M23
a23 的代数余子式.
an
0
b 0
0
0
0 b
0
0
00
b
[(a1 a2 an ) b](b)n1
32
例9 x1 a a a
a x2 a a
D a
a
x3

1-5行列式按行(列)展开

§1.5 行列式按行（列）展开
将高阶行列式转化为低阶行列式
定义1.7 (余子式，代数余子式) 在Dn aij 中（n 2), 划去 aij 所在的第 i 行和第 j 列，
剩余的 n 1 阶行列式称为 aij 的余子式，记作 M ij , 而把 Aij det ( 1) i j M ij 称为 aij 的代数余子式.
k 3 2 k 2 2
xk 1 xk xk 1 ( xk 1 xk ) x ( xk 1 xk ) x ( xk 1 xk )
k 3 1 k 2 k 1
x ( x1 xk ) x ( x2 xk ) x ( x1 xk ) x ( x2 xk )
1 x1 1 k =（1 ） ( x1 xk )( x2 xk ) ( xk 1 xk ) x12
a21 a12 M12 a31 a11 a22 M 22 a31
Hale Waihona Puke a23 1 2 a21 , A12 ( 1) a33 a31 a13 2 2 a11 , A22 ( 1) a33 a31
a23 a33 a13 a33
定理1.3 D aij n 等于其任一行（列)
yi xi
系数行列式为
1 1 D 1 1
x1 x2 x3 x4
2 x1 2 x2 2 x3 2 x4
3 x1 3 x2 3 x3 3 x4
1 x1 T D 2 x1 3 x1
1 x2 2 x2 3 x2
1 x3 2 x3 3 x3
1 x4 2 x4 3 x4
证明：用数学归纳法（1）当 n = 2 时，D2 1 1 x2 x1 ，公式成立。 x1 x2

线性代数-行列式按行(列)展开

2
证明用数学归纳法
x n1 n
11
D2 x1
x2
x2 x1
( xi x j )
2i j1
所以n=2时(1)式成立.
假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行
减去前行的 x1倍：
1 0 Dn 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
行列式按行(列)展开
•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.
一、引言
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
2 35
02 35
2 r2 (2)r110 0
3 7
1
7
2 10 (2)
2
r3 r1
66
0 66
20 (42 12) 1080.
3 5 2 1 例设 D 1 1 0 5 , D的(i, j) 元的余子式和
1 3 1 3 2 4 1 3
10 0
M11 M21 M34 M41 A11 A21 A31 A41
1 5 2 1
1 5 2 1
1
1
0 5 r4 r3 1
1 0 5
1313
1 31 3
1 4 1 3
0 1 0 0
1 1
2 0
1 5
1 r1 2r3 1
x3
xn
n−1阶范德蒙德行列式

行列式按行(列)展开定理

解

M11 2 2 4 A11 (1)11 M11 4
1 0 M23 3 2 2
A23 (1)23 M 23 2
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个
代数余子式。
4
(二)行列式展开定理
引理若在n阶行列式D第i行中有一个元素 aij 0，其余元素全为零，则
D aij Aij
an1
an2
ann
由行列式的性质4及引理，得
11
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 0 ain
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1
0 0 0
ai2 0 0
0 ain
an1 an2 ann
1 0 0 an
解
n 1
a0 i1 ai
0
原式
0
1 11
a1
0
0 a2
0 0
a1a2 an (a0
n i 1
1 ai
)
.
0
0 0 an
31
a1 a1 0 0
0
例14 计算
a2 a2
0
0
0
“全加法”
0 0 0 an an 1 1 1 1 1
n1
解 0 a1 0 0 0
1 1 2
1 1 2
D 1 (1)21 4 3 1 1 (1)23 2 4 1
1 2 2
1 1 2
1 1 1
(1) (1)24 2 4 3
1 1 2
7 2418 1 ,
15

4行列式按行展开

0L 0
M
M
元素aij 在行列式 ai1, j L
M
ai1, j1 L M
ai 1,n M
anj L an, j1 L ann
中的余子式仍然是aij 在行列式 a11 L a1 j L a1n
M
M
D 0 L aij L
M 0 中的余子式 Mij .
M
M
M
an1 L anj L ann
aij L M 于是有 ai1, j L M
0L M ai1, j1 L M
0 M ai1,n aij Mij , M
anj L aij L
M
故 D 1 i j ai1, j L
M
an, j1 L 0L
M ai1, j1 L
M
ann 0
M
ai1,n 1 i j aijMij .
M
anj L an, j1 L ann
即 D aij Aij .
an1 an2 ann an1 an2 ann
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
命题得证
i 1,2, ,n
推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
aij L
0L 0
M
M
M
得
D
1 i1
1
a j1 i1, j
L
ai1, j1 L
ai 1,n
M
M
M
anj L an, j1 L ann
aij L
0L 0
M

第四节行列式按一行（列）展开

第四节行列式按一行(列)展开将高阶行列式化为低阶行列式是计算行列式的又一途径，为此先引进余子式和代数余子式的概念．在n 阶行列式中，划去元素aij 所在的行和列，余下的n-1阶行列式(依原来的排法)，称为元素aij 的余子式，记为Mij.余子式前面冠以符号(-1)i+j ，称为元素aij 的代数余子式，记为Aij ＝（－１）i+j Ｍij.例如四阶行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 中,元素23a 的余子式和代数余子式分别为11121423313234414244;a a a M a a a a a a =23232323(1)A M M +=-=-引理一个n 阶行列式D ，如果第i 行所有元素除ij a 外全为零，则行列式.ij ij D a A =证先证ij a 位于第1行第1列的情形，此时11212221200,nn n nna a a a D a a a = 这时第三节例4中当k=1时的特殊情形，按第三节例4的结论有11111111D a M a A ==.再证一般情形，此时1111100.j n ij n nj nna a a a D a a a = 我们将D 作如下的调换：把D 的第i 行依次与第i-1行，第i-2行，…，第1行对调，这样数ij a 就调到了第1行第j 列的位置，调换次数为i-1次；再把第j 列依次与第j-1列，第j-2列，…，第1列对调，数ij a 就调到了第1行第1列的位置，调换次数为j-1，总共经过(i-1)+(j-1)次对调，将数ij a 调到第1行第1列的位置，第1行其他元素为零，所得的行列式记为D １，则，而ij a 在D １中的余子式仍然是ij a 在D 中的余子式Mij ，利用前面的结果，有1ij ijD a M =于是1(1)(1)i j i j ij ij ij ijD D a M a A ++=-=-=定理4.1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即Ｄ＝ai １Ai １＋ai2Ai2＋…+ainAin(i=1,2,…，n),或Ｄ＝a １jA １j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj(j=1,2,…，n)．证1112112120000000n i i inn n nn a a a D a a a a a a =++++++++++11121111211112112121212000000,n n n i i in n n nn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++根据引理有Ｄ＝ai1Ai1＋ai2Ai2＋…+ainAin ＝∑nk=1aikAik(k=1,2,…，n)．类似地，我们可得到列的结论，即Ｄ＝a1jA1j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj ＝∑nk=1akjAkj(j=1,2,…，n)．这个定理称为行列式按行(列)展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可将行列式降阶，从而达到简化计算的目的．例1再解第三节中例1．解25120010371412165927112346122110D -----==---1311126300(1)11311321021013(1)(3)10++--=-=--=-⨯--＝－３×（－１）×（－１）×３＝－９．例2计算行列式11211nnn nna b a b D c d c d =解按第1行展开有111121111000000n n n nn n na b a b D a c d c d d ----=11111211110(1)00000n n nn n n na b a b b c d c d c --+--+⨯-2(1)2(1)2(1)(),n n n n n n n n n n n a d D b c D a d b c D ---=-=-,以此作递推公式，得22(1)11112(2)111111222211111111111()()()()()()()()()(),n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ni i i i i D a d b c D a d b c a d b c D a b a d b c a d b c a d b c c d a d b c a d b c a d b c a d b c --------------==-=--==---=---=-其中记号“∏”表示所有同类型因子的连乘积．例3证明范德蒙(Vandermonde)行列式1222212111112111()nn n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥≥---==-∏（４．１）证用数学归纳法证明．当n=2时，211211()i j n i j D x x x x ≥≥==-∏ (4.1)式成立．假设(4.1)式对n-1阶范德蒙行列式成立，要证(4.1)式对n 阶范德蒙行列式成立．为此，将Dn 降阶，从第n 行开始，后一行减前一行的1x 倍得2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------按第1列展开，并提取每一列的公因子，有232131122223111()()()n n n n n n n x x x D x x x x x x x x x ---=---上式右端行列式是n-1阶范德蒙行列式，由归纳假设它等于∏n ≥i ＞j ≥2（xi －xj ），故2131121()()()()().n n i j n i j i j n i j D x x x x x x x x x x ≥≥≥≥=----=-∏∏显然，范德蒙行列式不为零的充要条件是x １，x ２，…，xn 互不相等．由定理4.1还可以得到下述推论．推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0,i ≠j ，或a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0,i ≠j ．证作行列式(i ≠j)11121121212ni i ini i in n n nna a a a a a a a a a a a 则除其第j 行与行列式D 的第j 行不相同外，其余各行均与行列式D 的对应行相同．但因该行列式第i 行与第j 行相同，故行列式为零．将其按第j 行展开，便得ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0.同理可证a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0．将定理4.1与推论综合起来得∑nk=1aikAjk ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j,或∑nk=1akiAkj ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j.下面介绍更一般的拉普拉斯(Laplace)展开定理．先推广余子式的概念．定义4.1在一个n 阶行列式D 中，任意取定k 行k 列(k ≤n)，位于这些行与列的交点处的k ２个元素，按原来的顺序构成的k 阶行列式M ，称为行列式D 的一个k 阶子式；而在D 中划去这k 行k 列后余下的元素，按原来的顺序构成的n-k 阶行列式N ，称为k 阶子式M 的余子式．若k 阶子式M 在D 中所在的行、列指标分别为i １，i ２，…，ik 及j １，j ２，…，jk ，则（－１）(i １＋i ２＋…＋ik ）＋（j １＋j ２＋…＋jk ）Ｎ称为k 阶子式M 的代数余子式．如在五阶行列式111213141521222324255152535455a a a a a a a a a a a a a a a 中选定第2、第5行，第1、第4列，则二阶子式21245154a a M a a =的余子式121315323335424345a a a N a a a a a a =而代数余子式为2514(1).N N +++-=*定理4.2(拉普拉斯定理)设在行列式D 中任意选定k(1≤k ≤n-1)行(或列)，则行列式D 等于由这k 行(列)元素组成的一切k 阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和．(不证)例4用拉普拉斯定理计算行列式12140121.10130131D -=解若取第1、第2行，则由这两行组成的一切二阶子式共有246C =个123456121114,,,010*********,,.121121M M M M M M ===-===--其对应的代数余子式为123456130301,,,311113131110,,.010301A A A A A A ==-===-=则由拉普拉斯定理得Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋…＋Ｍ６Ａ６＝（－１）×（－８）－２×（－３）＋１×（－１）＋５×１－６×３＋（－７）×１＝－７．注当取定一行(列)即k=1时，就是按一行(列)展开．从以上计算看到，采用拉普拉斯定理计算行列式一般并不简便，其主要是在理论上的应用．。

线性代数课件第一章

一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)．带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)．故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数，表示对1，2，3 三个数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标，表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2

《行列式按行展开》课件

对于任意n阶方阵A，其第i 行第j列的代数余子式Aij可以表示为去掉第i行第j列后的(n-1)阶子矩阵的行列式值乘以(-1)^(i+j)。
行列式的性质还包括拉普拉斯展开定理和克拉默法则等。
拉普拉斯展开定理指出，一个n阶行列式等于它的任意一行的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和；克拉默法则则指出，如果线性方程组的系数行列式不为0 ，则方程组有唯一解，且解可以通过系数行列式和常数项的代数余子式计算得出。
应的代数余子式相乘，得到最终结果。
行列式按行展开的
04
运算技巧
代数余子式的计算
代数余子式定义
在行列式中，去掉某行和某列后所得到的$n-1$阶行列式，乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$和$j$分别是去掉的行号和列号，得到的项称为代数余子式。
代数余子式的计算方法
根据代数余子式的定义，可以通过递归的方式计算代数余子式。具体来说，可以将$n$阶行列式拆分成若干个$n-1$阶子行列式，然后分别计算这些子行列式的代数余子式，最后将它们相加得到原$n$ 阶行列式的代数余子式。
03
总结词
行列式的值可以通过对角线元素计算得出。
05
02
详细描述
行列式是n阶方阵A的行列式，记作det(A)或 |A|，是一个标量，由n!项组成，每一项都是 n个不同行元素的代数余子式。
04
详细描述
行列式的值是由其对应的n阶方阵唯一确定的，与矩阵的表示方式无关。
06
详细描述
对于一个n阶方阵A，其行列式的值可以通过对角线元素计算得出，即 det(A)=a11*a22*...*ann。
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线性代数1.6行列式按行(列)展开

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某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素都是两数之和，则这个行列式可以拆分为两个行列式的和，这两个行列式分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行列式中两行（列）的位置，行列式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的一种重要方法，特别是当行列式的阶数较高时，直接计算往往比较困难，而按行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03

行列式《行列式按行(列)展开》课件

1-5行列式按行列展开ppt课件

3 行列式行列式的按行(列)展开

第2讲 1.3行列式的性质 1.4行列式按行(列)展开

线性代数第1章第4节行列式按行展开

第一章 行列式 S3 行列式按行(列)展开

线性代数课件14行列式按行列展开

线性代数03-行列式按行(列)展开

行列式按行(列)展开

【精选】1章4节 行列式按行(列)展开课件

行列式按行(列)展开定理

1-5行列式按行(列)展开

线性代数-行列式按行(列)展开

行列式按行(列)展开定理

4行列式按行展开

第四节行列式按一行（列）展开

线性代数课件第一章

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线性代数1.6行列式按行(列)展开

第一章行列式 S3 行列式按行(列)展开

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