2013年全国高考文科数学试题及答案-浙江卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(浙江卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）选择题部分（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=A．[-4,+∞）B．（-2, +∞）C．[-4,1] D．(-2,1]2．已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A．5-5i B．7-5i C．5+5i D．7+5i3．若α∈R，则“α=0”是“sinα<cosα”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．设m．n是两条不同的直线，α．β是两个不同的平面，A．若m∥α，n∥α,则m∥n B．若m∥α，m∥β,则α∥βC．若m∥n，m⊥α,则n⊥α D．若m∥α，α⊥β,则m⊥β5．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm36．函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分别是A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．已知a．b．c∈R，函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则A．a>0,4a+b=0 B．a<0,4a+b=0 C．a>0,2a+b=0 D．a<0,2a+b=08．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像9．如图F1．F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点A．B分别是C1．C2在第二．四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是1A ．2 B ．3 C ．32 D ．6210．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：若正数a ．b ．c ．d 满足ab ≥4,c+d ≤4,则A ．a ∧b ≥2,c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2,c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2,c ∨d ≥2 非选择题部分（共100分） 注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
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C．[－4,1]
答案：D
B．(－2，＋∞)
D．(－2,1]
解析：集合 S 与集合 T 都表示连续的实数集，此类集合的运算可通过数轴直观表示出来.
，故 S∩T＝{x|－2＜x≤1}，故选 D.
2．(2013 浙江，文 2)已知 i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )．
A．5－5i
答案：C
B．7－5i
A． 2
答案：D
B． 3
3
C．
2
6
D．
2
解析：椭圆 C1 中，|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝ 2 3 .又四边形 AF1BF2 为矩形，∴∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴|AF1|＝ 2 2 ，|AF2|＝ 2 2 ，∴双曲线 C2 中，
x2 9．(2013 浙江，文 9)如图，F1，F2 是椭圆 C1： 4 ＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是
C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术0艺料不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试22下卷，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看2度并22工且22作尽22下可22都能2可地护1以缩关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编5试要写、卷求重电保技要气护术设设装交备备4置底高调、动。中试电作管资高气，线料中课并3敷试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年浙江省高考数学试卷(文科)
高考注意事项1．进入考场时携带的物品。
考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。
严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。
考场内不得自行传递文具等物品。
由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。
2．准确填写、填涂和核对个人信息。
考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。
填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定严肃处理。
监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员要求更正。
3．考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间参考。
考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以考点统一发出的铃声信号为准。
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|x＞﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则S∩T=（）A．[﹣4,+∞）B．（﹣2,+∞）C．[﹣4,1]D．（﹣2,1]2．（5分）已知i是虚数单位,则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）若α∈R,则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥βC．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示,则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm36．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π,1 B．π,2 C．2π,1 D．2π,27．（5分）已知a、b、c∈R,函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1）,则（）A．a＞0,4a+b=0 B．a＜0,4a+b=0 C．a＞0,2a+b=0 D．a＜0,2a+b=08．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′（x）的图象如图所示,则该函数的图象是（）A． B． C． D．9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4,c+d≤4,则（）A．a∧b≥2,c∧d≤2 B．a∧b≥2,c∨d≥2 C．a∨b≥2,c∧d≤2D．a∨b≥2,c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11．（4分）已知函数f（x）=,若f（a）=3,则实数a=．12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等）,则2名都是女同学的概率等于．13．（4分）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于．14．（4分）某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于．15．（4分）设z=kx+y,其中实数x、y满足若z的最大值为12,则实数k=．16．（4分）设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2,则ab等于．17．（4分）设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R．若、的夹角为30°,则的最大值等于．三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6,b+c=8,求△ABC的面积．19．（14分）在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列．（Ⅰ）求d,a n；（Ⅱ）若d＜0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点,求DG与平面PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD,求的值．21．（15分）已知a∈R,函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1,求曲线y=f（x）在点（2,f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1,求f（x）在闭区间[0,|2a|]上的最小值．22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0,0）,焦点F（0,1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值．2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|x＞﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则S∩T=（）A．[﹣4,+∞）B．（﹣2,+∞）C．[﹣4,1]D．（﹣2,1]【分析】找出两集合解集的公共部分,即可求出交集．【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2,+∞）,T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4,1],∴S∩T=（﹣2,1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知i是虚数单位,则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i【分析】直接利用多项式的乘法展开,求出复数的最简形式．【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,考查计算能力．3．（5分）若α∈R,则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”,当“sinα＜cosα”时,不一定得到“α=0”,得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”,当“sinα＜cosα”时,不一定得到“α=0”,如α=等,∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件,故选：A．【点评】本题主要考查了必要条件,充分条件与充要条件的判断,要求掌握好判断的方法．4．（5分）设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥βC．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α,n∥α,则m∥n,m与n可能相交也可能异面,所以A不正确；B、m∥α,m∥β,则α∥β,还有α与β可能相交,所以B不正确；C、m∥n,m⊥α,则n⊥α,满足直线与平面垂直的性质定理,故C正确．D、m∥α,α⊥β,则m⊥β,也可能m∥β,也可能m∩β=A,所以D不正确；故选：C．【点评】本题主要考查线线,线面,面面平行关系及垂直关系的转化,考查空间想象能力能力．5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示,则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为4,4,3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为4,4,3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π,1 B．π,2 C．2π,1 D．2π,2【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的值域,确定出振幅,找出ω的值,求出函数的最小正周期即可．【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）,∵﹣1≤sin（2x+）≤1,∴振幅为1,∵ω=2,∴T=π．故选：A．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式,二倍角的正弦函数公式,以及三角函数的周期性及其求法,熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）已知a、b、c∈R,函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1）,则（）A．a＞0,4a+b=0 B．a＜0,4a+b=0 C．a＞0,2a+b=0 D．a＜0,2a+b=0【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0,消掉b 变为关于a的不等式可得a＞0．【解答】解：因为f（0）=f（4）,即c=16a+4b+c,所以4a+b=0；又f（0）＞f（1）,即c＞a+b+c,所以a+b＜0,即a+（﹣4a）＜0,所以﹣3a＜0,故a＞0．故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质及不等式,属基础题．8．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′（x）的图象如图所示,则该函数的图象是（）A． B． C． D．【分析】根据导数的图象,利用函数的单调性和导数的关系,得出所选的选项．【解答】解：由导数的图象可得,导函数f′（x）的值在[﹣1,0]上的逐渐增大,故函数f（x）在[﹣1,0]上增长速度逐渐变大,故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0,1]上的逐渐减小,故函数f（x）在[0,1]上增长速度逐渐变小,图象是上凸型的,故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系,属于基础题．9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x,|AF2|=y,依题意,解此方程组可求得x,y的值,利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x,|AF2|=y,∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点,∴2a=4,b=1,c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形,∴+=,即x2+y2=（2c）2==12,②由①②得：,解得x=2﹣,y=2+,设双曲线C2的实轴长为2m,焦距为2n,则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2,2n=2c=2,∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质,求得|AF1|与|AF2|是关键,考查分析与运算能力,属于中档题．10．（5分）设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4,c+d≤4,则（）A．a∧b≥2,c∧d≤2 B．a∧b≥2,c∨d≥2 C．a∨b≥2,c∧d≤2D．a∨b≥2,c∨d≥2【分析】依题意,对a,b赋值,对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a∧b=,a∨b=,正数a、b、c、d满足ab≥4,c+d≤4,∴不妨令a=1,b=4,则a∧b≥2错误,故可排除A,B；再令c=1,d=1,满足条件c+d≤4,但不满足c∨d≥2,故可排除D；故选：C．【点评】本题考查函数的求值,考查正确理解题意与灵活应用的能力,着重考查排除法的应用,属于中档题．二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11．（4分）已知函数f（x）=,若f（a）=3,则实数a=10．【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．【解答】解：因为函数f（x）=,又f（a）=3,所以,解得a=10．故答案为：10．【点评】本题考查函数解析式与函数值的应用,考查计算能力．12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等）,则2名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况,2名都是女同学的共有=3种情况,由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况,满足2名都是女同学的共有=3种情况,故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及组合数的应用,属基础题．13．（4分）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．【分析】求出圆的圆心与半径,利用圆心距,半径,半弦长满足勾股定理,求解弦长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3,4）,半径为5,圆心到直线的距离为：,因为圆心距,半径,半弦长满足勾股定理,所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系,弦长的求法,考查转化思想与计算能力．14．（4分）某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于．【分析】由题意可知,该程序的作用是求解S=1++++的值,然后利用裂项求和即可求解．【解答】解：由题意可知,该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构的应用,解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）设z=kx+y,其中实数x、y满足若z的最大值为12,则实数k=2．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时,找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时,结合图形可得：当l经过点C时,z max=F（4,4）=4k+4=12,解得k=2,得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A（2,0）,B（2,3）,C（4,4）设z=F（x,y）=kx+y,将直线l：z=kx+y进行平移,可得①当k＜0时,直线l的斜率﹣k＞0,由图形可得当l经过点B（2,3）或C（4,4）时,z可达最大值,此时,z max=F（2,3）=2k+3或z max=F（4,4）=4k+4但由于k＜0,使得2k+3＜12且4k+4＜12,不能使z的最大值为12,故此种情况不符合题意；②当k≥0时,直线l的斜率﹣k≤0,由图形可得当l经过点C时,目标函数z达到最大值此时z max=F（4,4）=4k+4=12,解之得k=2,符合题意综上所述,实数k的值为2故答案为：2【点评】本题给出二元一次不等式组,在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题．16．（4分）设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2,则ab等于﹣1．【分析】由题意,x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2,考察（x2﹣1）2,发现当x=1时,其值为0,再对照不等式左边的0,可由两边夹的方式得到参数a,b满足的方程,再令f（x）=x4﹣x3+ax+b,即f（x）≥0在x≥0恒成立,利用导数研究函数在x ≥0的极值,即可得出参数所满足的另一个方程,由此解出参数a,b的值,问题即可得解．【解答】解：验证发现,当x=1时,将1代入不等式有0≤a+b≤0,所以a+b=0,当x=0时,可得0≤b≤1,结合a+b=0可得﹣1≤a≤0,令f（x）=x4﹣x3+ax+b,即f（1）=a+b=0,又f′（x）=4x3﹣3x2+a,f′′（x）=12x2﹣6x,令f′′（x）＞0,可得x＞,则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0,]上减,在[,+∞）上增,又﹣1≤a≤0,所以f′（0）=a＜0,f′（1）=1+a≥0,又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b,结合f（1）=a+b=0知,1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b 的极小值点,也是最小值点．故有f′（1）=1+a=0,由此得a=﹣1,b=1,故ab=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题,由于所给的不等式较为特殊,可借助赋值法得到相关的方程直接求解,本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值,及极值的确定,将问题灵活转化是解题的关键．17．（4分）设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R．若、的夹角为30°,则的最大值等于2．【分析】由题意求得=,||==,从而可得===,再利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：∵、为单位向量,和的夹角等于30°,∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y,∴||===,∴====,故当=﹣时,取得最大值为2,故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,求向量的模,利用二次函数的性质求函数的最大值,属于中档题．三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6,b+c=8,求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式,求出sinA的值,由A为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将a,b+c及cosA的值代入求出bc的值,再由sinA的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b,利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB,∵sinB≠0,∴sinA=,又A为锐角,则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA,即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc,∴bc=,又sinA=,=bcsinA=．则S△ABC【点评】此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列．（Ⅰ）求d,a n；（Ⅱ）若d＜0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列列式求出公差,则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论,得到等差数列{a n}的前11项大于等于0,后面的项小于0,所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】解：（Ⅰ）由题意得,即,整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时,a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时,a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n,因为d＜0,由（Ⅰ）得d=﹣1,a n=﹣n+11．则当n≤11时,．当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念,考查了等差数列的通项公式,求和公式,考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力,是中档题．20．（15分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点,求DG与平面PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD,求的值．【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD,可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O,则由条件可得BD是AC的中垂线,故O为AC的中点,且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角,求出GO和AC的值,可得OC、OD的值,再利用直角三角形中的边角关系求得tan ∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG,且PC==．由△COG∽△CAP,可得,解得GC的值,可得PG=PC﹣GC 的值,从而求得的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,∴PA⊥BD．∵AB=BC=2,AD=CD=,设AC与BD的交点为O,则BD是AC的中垂线,故O为AC 的中点,且BD⊥AC．而PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点,O为AC的中点,则GO平行且等于PA,故由PA⊥面ABCD,可得GO⊥面ABCD,∴GO⊥OD,故OD⊥平面PAC,故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得,GO=PA=．△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12,∴AC=2,OC=．∵直角三角形COD中,OD==2,∴直角三角形GOD中,tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD,∵OG⊂平面BGD,∴PC⊥OG,且PC==．由△COG∽△CPA,可得,即,解得GC=,∴PG=PC﹣GC=﹣=,∴==．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,求直线和平面所成的角,空间距离的求法,属于中档题．21．（15分）已知a∈R,函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1,求曲线y=f（x）在点（2,f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1,求f（x）在闭区间[0,|2a|]上的最小值．【分析】（Ⅰ）求导函数,确定切线的斜率,求出切点的坐标,即可求曲线y=f（x）在点（2,f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论,利用导数确定函数的单调性,从而可得极值,即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时,f′（x）=6x2﹣12x+6,所以f′（2）=6∵f（2）=4,∴曲线y=f（x）在点（2,f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0,|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0,得到x1=1,x2=a当a＞1时,x0（0,1）1（1,a）a（a,2a）2a f′（x）+0﹣0+f（x）0单调递增极大值3a﹣1单调递减极小值a2（3﹣a）单调递增4a3比较f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时,X0（0,1）1（1,﹣2a）﹣2a f′x）﹣0+f（x）0单调递减极小值3a﹣1单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0,|2a|]上的最小值为g（a）=．【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的最值,考查学生的计算能力,考查分类讨论的数学思想,属于中档题．22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0,0）,焦点F（0,1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0,1）可直接求得p,确定出抛物线的开口方向,写出它的标准方程；（II）由题意,可A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线AB的方程为y=kx+1,将直线方程与（I）中所求得方程联立,再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|,根据所得的形式作出判断,即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1,解得p=2,故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线AB的方程为y=kx+1,由消去y,整理得x2﹣4kx﹣4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,从而有|x1﹣x2|==4,由解得点M的横坐标为x M===,同理可得点N的横坐标为x N=,所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=,令4k﹣3=t,t≠0,则k=,当t＞0时,|MN|=2＞2,当t＜0时,|MN|=2=2≥．综上所述,当t=﹣,即k=﹣时,|MN|的最小值是．【点评】本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力,本题考查了数形结合的思想及转化的思想,将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度,如本题最后求最值时引入变量t,就起到了简化计算的作用．。
2013年浙江省高考数学试卷(文科)及解析
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A ．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A ．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A ．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A108cm3B100 cm3C92cm3D84cm3．．．．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A ．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，27．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A ．a＞0，4a+b=0B．a＜0，4a+b=0C．a＞0，2a+b=0D．a＜0，2a+b=08．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C 2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）设a，b ∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=_________．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_________．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于_________．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=_________．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A ．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A ．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．析：解答：解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．解答：解：∵“α=0”可以得到“sinα＜c osα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A ．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个答：三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A ．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0B．a＜0，4a+b=0C．a＞0，2a+b=0D．a＜0，2a+b=0考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．解答：解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选A．点评：本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．解答：解：由导数的图象可得，函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F 2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C 2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A ．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a ）=3，则实数a=10．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．解答：解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．点评：本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=±1时，其值都为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积解答：解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0；当x=﹣1时，将﹣1代入不等式有0≤2﹣a+b≤0，所以b﹣a=﹣2 联立以上二式得：a=1，b=﹣1所以ab=﹣1故答案为﹣1点评：本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x +y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解答：解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专解三角形．题：分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a ，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD 的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD 的交点为O ，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC 的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos ∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x0（0，1）1（1，a）a（a，2a）2af′（x）+0﹣0+f（x）0单调递增极大值3a﹣1单调递减极小值e2（3﹣a）单调递增4a3比较f（0）和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X0（0，1）1（1，﹣2a）﹣2af′x）﹣0+f（x）0单调递减极小值3a﹣1单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．解答：解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y （II）设A（x1，y 1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x 2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为x M ===，同理可得点N的横坐标为x N=所以|MN|=|x M ﹣x N|=|﹣|=8||=令4k﹣3=t，t 不为0，则k=当t＞0时，|MN|=2＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用。
2013年浙江省高考文科数学试题及答案
2013年浙江省高考文科数学试题及答案本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式球体的面积公式S=4πR 2球的体积公式V=43πR 3，其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高柱体体积公式V=Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高台体的体积公式V=121()3h S S ，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高如果事件A,B 互斥 ，那么P(A+B)=P(A)+P(B)一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合{}{}2,41S x x T x x =>-=-≤≤，则S ∩T=A. [)4,-+∞B. (2,)-+∞C. []4,1-D. (2,1]- 2. 已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=A. 5-5iB. 7-5iC. 5+5iD. 7+5i 3. 设R α∈ ，则"0""sin cos "ααα=<是的A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )．A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β5. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是 A.108cm 3 B.100cm 3 C.92cm 3 D.84cm 36. 函数()sin cos 2f x x x x =+的最小正周期和振幅是 A. ,1π B. ,2π C. 2,1π D. 2,2π 7. 已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++.若(0)(4)(1)f f f =>，则 A. 0,40a a b >+= B. 0,40a a b <+=C. 0,20a a b >+=D. 0,20a a b <+=8. 已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数'()y f x =的图象如右图所示，则该函数的图象是9. 如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别12,C C 在第二、四象限的公共点。
2013年浙江省高考数学试卷(文科)及解析
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm36．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=08．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=_________．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_________．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于_________．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=_________．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．解答：解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．解答：解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．即可．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．解答：解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选A．点评：本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B ．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．解答：解：由导数的图象可得，函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．解答：解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．点评：本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=±1时，其值都为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积解答：解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0；当x=﹣1时，将﹣1代入不等式有0≤2﹣a+b≤0，所以b﹣a=﹣2联立以上二式得：a=1，b=﹣1所以ab=﹣1故答案为﹣1点评：本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解答：解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d ＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，2a）2af′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）0 单调递增极大值3a﹣1 单调递减极小值单调递增4a3e2（3﹣a）比较f（0）和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a）﹣2af′x）﹣0 +f（x）0 单调递减极小值3a﹣1 单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．解答：解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y （II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=令4k﹣3=t，t不为0，则k=当t＞0时，|MN|=2＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用。
2013年全国高考文科数学试题及答案-浙江
侧视图(第8题图)2013年全国高考文科数学试题及答案-浙江选择题部分（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|2},{|41},S x x T x x S T =>-=-≤≤=则2．已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=3．若a R ∈，则“0a = ”是“sin cos αα< ”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 4．设m,n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面5．已知某几何体的三视图（单位：mm ）如图所示，则该几何体的体积是 6．函数()sin cos 2f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是 7．,,a b c R ∈函数2(),(0)(4)(1),f x ax bx c f f f =++=>若则8．已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数()y f x '=的如 右图所示，则该函数的图象是9．如图，12,F F是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是 10．设,a b R ∈，定义运算“∧”和“∨”如下： 若正数,,,4,4,a b c d ab c d ≥+≤满足则二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知函数()()3,f x f a ==若则实数a = .12．从3男3女共6名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这两名同学都是女生的概率等于 .13．直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于 . 14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 .15．设,z kx y =+其中实数,x y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k = .16．设,a b R ∈，若0x ≥时恒有43220(1)x x ax b x ≤-++≤-，则ab = .(第20题图)17．设12,e e 为单位向量，非零向量1212,,.,b xe ye x y R e e =+∈若的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于 .三．解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin .a B = (Ⅰ)求角A 的大小；ⅠⅠ()若6,8,a b c ABC =+=∆求的面积.19．(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知112310,,22,5a a a a =+且成等比数列. (Ⅰ)求d ，n a ；20．(本题满分15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，,2,PA ABCD AB BC ⊥==平面,3,120,A D C A B C G =∠=为线段PC 上的点.(Ⅰ)证明：BD APC ⊥平面；ⅠⅠ()若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (ⅠⅠⅠ)若G 满足,PC BGD ⊥平面求PGGC的值. 21．（本题满分15分）已知a R ∈，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++ (Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； ⅠⅠ()若||1a >，求()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值.22．（本题满分14分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点为(0,1)F . (Ⅰ)求抛物线C 的方程；ⅠⅠ()过点F 作直线交抛物线C 于,A B 两点，若直线,AO BO 分别交直线:2l y x =-于,M N 两点，求||MN 的最小值.参考答案三．解答题：本大题共5小题，共72分18．(本题满分14分)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin .a B = (Ⅰ)求角A 的大小；ⅠⅠ()若6,8,a b c ABC =+=∆求的面积.(第20题图)因为A 为锐角，所以 3A π=ⅠⅠ()由余弦定理222222cos 36ab c bc A b c bc =+-+-=得，又8b c+=所以 283bc =由三角形面积化工得1128sin 223ABC S bc A ∆==⋅=19．(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知112310,,22,5a a a a =+且成等比数列.(Ⅰ)求d ，n a ； (Ⅰ) 解;：由题意得所以 11,*46,*.n n a n n N a n n N =-∈=+∈或ⅠⅠ()设数列{}n a 的前n 项和为n S ，因为0,d <由(Ⅰ)得1,11,n d a n =-=-则当11n ≤时，212121||||||.22n n a a a S n n +++==-+当12n ≥时，21211121||||||2110.22n n a a a S S n n +++=-+=-+综上即得212212111,22||||||12111012.22n n n n a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪+++=⎨⎪-+≥⎪⎩20．(本题满分15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，,2,PA ABCD AB BC ⊥==平面,3,120,A D C A B C G =∠=为线段PC 上的点.(Ⅰ)证明：BD APC ⊥平面；ⅠⅠ()若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值；(ⅠⅠⅠ)若G 满足,PC BGD ⊥平面求PGGC的值. (Ⅰ)设点O 为,AC BD 的交点，由,,AB BC AD CD BD ==得是线段AC 的中垂线. 所以O 为AC 的中点，BD AC ⊥ ①又因为,,PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以 ② 由①②即得 BD APC ⊥平面.ⅠⅠ()连结OG 由(Ⅰ)可知OD APC ⊥平面，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以OGD ∠是DG 与平面APC 所成的角，由题意得122OG PA ==所以 12OC PA == 在Rt OCD ∆中，2OD== 在Rt OGD ∆中，tan 3OD OGDOG ∠== 所以与DG 平面APC 所成角的正切值3. (ⅠⅠⅠ)连结OG ，因为,,PCBGD OG BGD PC OG ⊥⊂⊥平面平面所以在Rt PAC ∆中，得PC =AC OC GC PC ⋅==PG = 所以3.2PG GC = 21．（本题满分15分）已知a R ∈，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++ (Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； ⅠⅠ()若||1a >，求()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值. (Ⅰ) 当1a =时，2()6126f x x x '=-+，所以(2) 6.f '=又因为(2)4f =，所以切线方程为 68y x =- ⅠⅠ() 记()g a 为()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值，令12()0,1,f x x x a '===得 当1a >时，比较(0)f 和2()(3)fa a a =-的大小可得2()(3)3g a a a a ⎧=⎨->⎩当1a <-时 综上所述，()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值为2311()013(3)3a a g a a a a a ⎧-<-⎪=<≤⎨⎪->⎩.22．（本题满分14分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点为(0,1)F . (Ⅰ)求抛物线C 的方程；ⅠⅠ()过点F 作直线交抛物线C 于,A B 两点，若直线,AO BO 分别交直线:2l y x =-于,M N 两点，求||MN 的最小值. (Ⅰ) 设抛物线C 方程为22(0)x py p =>，则1.2p= 所以抛物线C 的方程为 24x y = ⅠⅠ()设1122(,),(,),A x y B x y 直线AB 的方程为1y kx =+由2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩得12124,4x x k x x +=⋅= 从而12||x x -=由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 得点M 的横坐标 1121111122844M x x x x x y x x ===--- 同理得点N 的横坐标 284N x x =-所以1212121288|||||444()16|43|M N x x MN x x x x x x x x k -=-=-==---++- 令343,0,.4t k t t k +-=≠=则 当0t <时，||MN =>当0t <时，||5MN =≥ 综上所述，当253t =-，即43k =-时，||MN的最小值是5。
2013年浙江省高考文科数学试卷(word精校版)含扫描答案
2013年浙江省普通高等学校统一考试数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 球体的面积公式 S=4πR 2球的体积公式V=43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V=13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高柱体体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 台体的体积公式V=121()3h S S其中S 1，S 2分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 如果事件A,B 互斥 ，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合{}{}2,41S x x T x x =>-=-≤≤，则S ∩T= A. [)4,-+∞ B. (2,)-+∞ C. []4,1- D. (2,1]-2. 已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=A 5-5iB 7-5iC 5+5iD 7+5i 3.设R α∈ ，则"0""sin cos "ααα=<是的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4.设,m n 是两条不同的直线，a ，β是两个不同的平面，则 A.若,m n αα ，则m n B.若,m m αβ ，则αβ C.若,m n m α⊥ ,则n α⊥ D.若,m ααβ⊥ ,则m β⊥5.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.108cm 3B.100cm 3C.92cm 3D.84cm 36.函数()sin cos 22f x x x x =+的最小正周期和振幅是 A. ,1π B. ,2π C. 2,1π D. 2,2π7.已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++.若(0)(4)(1)f f f =>，则A. 0,40a a b >+=B. 0,40a a b <+=C. 0,20a a b >+=D. 0,20a a b <+=8.已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数'()y f x =的图象如右图所示，则该函数的图象是9.如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别12,C C 在第二、四象限的公共点。
自-2013浙江高考数学文科试题及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用选择题部分（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|2}S x x =>-,T {|41}x x =-≤≤,则S ∩T=A ．[4,)-+∞B ．(2,)-+∞C ．[4,1]-D ．(2,1]- 2．已知i 是虚数单位，则(2i)(3i)++=A ．55i -B ．75i -C ．55i +D ．75i + 3．若α∈R ，则“α=0”是“sin cos αα<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， A ．若m α，n α,则m n B ．若m α，m β,则αβC ．若mn ，m α⊥,则n α⊥ D ．若m α，αβ⊥,则m β⊥5．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 36．函数3()sin cos 2f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是 A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，27．已知,,a b c ∈R ，函数2()f x ax bx c =++.若(0)(4)(1)f f f =>，则A ．0,40a a b >+=B ．0,40a a b <+=C ．0,20a a b >+=D ．0,20a a b <+= 8．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f ’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是9．如图F 1．F 2是椭圆C1：2214x y +=与双曲线C2的公共焦点A ．B 分别是C 1．C 2在第二．四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是A ．2 B ．3 C ．32 D ．6210．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：,,a a b a b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b ≤⎧∨=⎨>⎩若正数,,,a b c d 满足4ab ≥,4c d +≤,则A ．2a b ∧≥,2c d ∧≤B ．2a b ∧≥,2c d ∨≥C ．2a b ∨≥, 2c d ∧≤D ．2a b ∨≥,2c d ∨≥ 非选择题部分（共100分） 注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2013年浙江高考真题文科数学试卷及答案
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 参考公式： 球的表面积公式:S = 4π������ 2 球的体积公式:V = 3 ������������ 3 其中 R 表示球的半径 椎体的体积公式：V = ������h
1 3 ＝ ； 1 2 2 3 1 5 ； 当 k＝2 时， S 2 23 3 5 1 7 ； 当 k＝3 时， S 3 3 4 4 7 1 9 9 ，循环结束，输出 S . 当 k＝4 时， S 4 45 5 5 x 2, 14.设 z＝kx＋y，其中实数 x，y 满足 x 2 y 4 0, 若 z 的最大值为 12，则实数 k＝__________. 2 x y 4 0. x 2, 15.设 z＝kx＋y，其中实数 x，y 满足 x 2 y 4 0, 若 z 的最大值为 12，则实数 k＝__________. 2 x y 4 0.
2 2 2
2
（第 9 题图） 3 C、 2 6 2
A、 2 【答案】D。
B、 3
D、
【考点】本题考查圆锥曲线中的椭圆和双曲线的定义与几何性质。 【解析】椭圆 C1 中，|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2 3.又四边形 AF1BF2 为矩形，∴∠F1AF2＝90°，∴|AF1| ＋|AF2| ＝|F1F2| ， ∴|AF1|＝2 − 2， |AF2|＝2 + 2， ∴双曲线 C2 中， 2c＝2 3， 2a＝|AF2|－|AF1|＝2 2， 故e
×
1 2
×3×42＝100(cm3)．故选 B.
3 6.函数 f(x)=sin xcosx+ 2 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 A、π ，1 B、π ，2 C、2π ，1 D、 ，2
2013年高考文科数学浙江卷
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页） 数学试卷 第3页（共6页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(文科)本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R π=13V Sh =球的体积公式其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 334V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径 11221(S )3V h S S S =++柱体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积, V Sh =h 表示台体的高其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高选择题部分 (共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{2}|S x x >=-,{41}|T x x =-≤≤,则S T I =( )A .[)4,-∞+B .()2,∞-+C .[]4,1-D .(2,1]-2.已知i 是虚数单位,则()(2i 3i)++=( )A .55i -B .75i -C .55i +D .75i +3.若α∈R ,则“0α=”是“sin cos αα<”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )A .若m α∥,n α∥,则m n ∥B .若m α∥,m β∥,则αβ∥C .若m n ∥,m α⊥,则n α⊥D .若m α∥,αβ⊥,则m β⊥5.已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A .3108cmB .3100cmC .392cmD .384cm 6.函数3()sin cos cos2f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是( )A .π,1B .π,2C .2π,1D .2π,27.已知a ,b ,c ∈R ,函数2()f x ax bx c =++.若(0)(4)(1)f f f >=,则( )A .0,40a a b >=+B .0,40a a b <=+C .0,20a a b >=+D .0,20a a b <=+8.已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一,且其导函数()y f x ='的图象如右图所示,则该函数的图象是( )A .B .C .D .9.如图,12,F F 是椭圆1C ：2241x y +=与双曲线2C 的公共焦点,,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点.若四边形12AF BF 为矩形,则2C 的离心率是( )A .2B .3C .32D .6 10.设,a b ∈R ,定义运算“∧”和“∨”如下：,,,,a b b a b a b =⎨⎩∧⎧≤＞ ,,,.b a b a a a b b ∨⎨⎩=⎧≤＞若正数,,,a b c d 满足4ab ≥,4c d +≤,则( )A .2,2a b c d ∧∧≥≤B .2,2a b c d ∧∨≥≤C .2,2a b c d ∨∧≥≤D .2,2a b c d ∨∨≥≥---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共6页）数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）非选择题部分 （共100分）二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.已知函数()1f x x =-.若()3f a =,则实数a =_________.12.从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于_________.13.直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于_________. 14.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于_________.15.设z kx y =+,其中实数x ,y 满足2240240x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥,≥,≤.若z 的最大值为12,则实数k =_________.16.设a b ，∈R ,若0x ≥时恒有432201()x x ax b x ≤-++≤-,则=ab _________.17.设1e ,2e 为单位向量,非零向量12x y =+b e e ,x y ∈R ,.若1e ,2e 的夹角为π6,则||||x b 的最大值等于_________.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)在锐角ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin 3a B b =. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若6a =,8b c +=,求ABC △的面积.19.(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中,已知110a =,且1a ,222a ＋,35a 成等比数列. （Ⅰ）求d ,n a ；（Ⅱ）若0d <,求123||||||||n a a a a ++++L .20.(本题满分15分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,2AB BC ==,7AD CD ==,3PA =,120ABC ∠=o ,G 为线段PC 上的点.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面APC ；（Ⅱ）若G 为PC 的中点,求DG 与平面APC 所成的角的正切值； （Ⅲ）若G 满足PC ⊥平面BGD ,求PGGC的值.21.(本题满分15分)已知a ∈R ,函数32()23(1)6f x x a x ax =-++.（Ⅰ）若1a =,求曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程； （Ⅱ）若|1|a >,求()f x 在闭区间[0,2|]|a 上的最小值.22.(本题满分14分)已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ,焦点为(0,1)F . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线交抛物线C 于A ,B 两点.若直线AO ,BO 分别交直线l ：2y x =-于M ,N 两点,求||MN 的最小值.。
2013年浙江高考数学试题及答案(文科)
2013年浙江高考数学试题及答案(文科)一、选择题1． 设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则S ∩T ＝( ) A ．[－4，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．[－4，1] D ．(－2，1]1．D [解析] 从数轴可知，S ∩T ＝(－2，1]．所以选择D.2． 已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5i D ．7＋5i2．C [解析] (2＋i)(3＋i)＝6－1＋i(2＋3)＝5＋5i.所以选择C. 3． 若α∈，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．A [解析] 若α＝0，则sin 0＝0<cos 0＝1，而sin α<cos α，则2sin α－π4<0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件．所以选择A.4．， 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β4．C [解析] 对于选项C ，若m ∥n ，m ⊥α，易得n ⊥α.所以选择C.5． 已知某几何体的三视图(单位： cm)如图1－1所示，则该几何体的体积是( )图1－1A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 35．B [解析] 此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如图所示其体积为3×6×6－13×12×3×4×4＝108－8＝100(cm 3)．所以选择B.6． 函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，26．A [解析] f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin2x ＋π3，则最小正周期为π；振幅为1，所以选择A.7． 已知a ，b ，c ∈，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝07．A [解析] 若f (0)＝f (4)，则函数f (x )的图像关于直线x ＝2对称，则－b2a ＝2，则4a＋b ＝0，而f (0)＝f (4)>f (1)，故开口向上，所以a >0，4a ＋b ＝0.所以选择A.8． 已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图1－2所示，则该函数的图像是( )图1－2图1－38．B [解析] 由导函数的图像可知，f ′(x )>0恒成立，则f (x )在(－1，1)上递增，且导函数为偶函数，则函数f (x )为奇函数，再从导函数的图像可知，当x ∈(0，1)时，其二阶导数f ″(x )<0，则f (x )在x ∈(0，1)时，其图像是向上凸的，或者y 随着x 增长速度越来越缓慢，故选择B.9．， 如图1－4所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图1－4A. 2B. 3C.32D. 629．D [解析] 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62，选择D.10． 设a ，b ∈，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ， a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥210．C [解析] 从定义知，a ∧b ＝min(a ，b )，即求a ，b 中的最小值；a ∨b ＝max(a ，b )，即求a ，b 中的最大值；假设0<a <2，0<b <2，则ab <4，与已知ab ≥4相矛盾，则假设不成立，故max(a ，b )≥2，即a ∨b ≥2；假设c >2，d >2，则c ＋d >4，与已知c ＋d ≤4相矛盾，则假设不成立，故min(a ，b )≤2，即c ∧d ≤2.故选择C.11． 已知函数f (x )＝ x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝ ________． 11．10 [解析] f (a )＝a －1＝3.则a －1＝9，a ＝10.12． 从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．12.15 [解析] 设选2名都是女同学的事件为A ，从6名同学中选2名，共有15种情况，而从3名女生中选2名，有3种情况，所以P (A )＝315＝15.13． 直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．13．4 5 [解析] 圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|5＝5，所以弦长为252－（5）2＝220＝4 5. 14． 若某程序框图如图1－5所示，则该程序运行后输出的值等于________．图1－514.95 [解析] S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋14×5＝1＋1－12＋12－13＋…＋14－15＝1＋1－15＝2－15＝95. 15． 设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________．15．2 [解析] 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC 及其内部，A (2，0)，B (4，4)，C (2，3)，要使z 的最大值为12，只能经过B 点，此时12＝4k ＋4，k ＝2.16． 设a ，b ∈，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab ＝________． 16．－1 [解析] 当x ＝1时，0≤a ＋b ≤0，则a ＋b ＝0，b ＝－a ，令f (x )＝(x 2－1)2－(x 4－x 3＋ax －a )＝x 3－2x 2－ax ＋a ＋1，则f (x )≥0在x ≥0时恒成立，f (1)＝1－2－a ＋a ＋1＝0，则x ＝1应为极小值点，f ′(x )＝3x 2－4x －a ，故f ′(1)＝0，a ＝－1，b ＝1，ab ＝－1.17． 设，为单位向量，非零向量＝x ＋y ，x ，y ∈若，的夹角为π6，则|x ||b|的最大值等于________．17．2 [解析] |x ||b |＝|x |2|b |2＝x 2x 2e 21＋2xy e 1·e 2＋y 2e 22＝x 2x 2＋2xy ×32＋y 2＝11＋3y x ＋y x2＝1y x ＋322＋14≤114＝2. 18． 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝ 3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积． 18．解：(1)由2a sin B ＝ 3b 及正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin A ＝ 32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为7 33.19． 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.19．解：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈*或 a n ＝4n ＋6，n ∈*.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.20． 如图1－6所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝ 7，P A ＝ 3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC的值．图1－620．解：(1)证明：设点O 为AC ，BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面 ABCD ， 所以P A ⊥BD .所以BD ⊥平面APC .(2)联结OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12P A ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝2 3， 所以OC ＝12AC ＝ 3.在直角△OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2.在直角△OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝4 33.所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为4 33.(3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG . 在直角△P AC 中，得PC ＝15， 所以GC ＝AC ·OC PC ＝2 155.从而PG ＝3 155，所以PG GC ＝32.21． 已知a ∈，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax .(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0，2|a |]上的最小值．21．解：(1)当a ＝1时， f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6. 又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8. (2)记g (a )为f (x )在闭区间[0，2|a |]上的最小值． f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a . 当a >1时， x 0 (0，1) 1 (1，a ) a (a ，2a ) 2a f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调 递增极大值 3a －1单调 递减极小值 a 2(3－a )单调 递增4a 3比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 2（3－a ），a >3.当a <－1时， x 0 (0，1) 1 (1，－2a )－2a f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调 递减极小值 3a －1单调 递增－28a 3－24a 2得g (a )＝3a －1.综上所述，f (x )在闭区间[0，2|a |]上的最小值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 2（3－a ），a >3.图1－122． 已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．22．解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，p ＝2，所以抛物线C的方程为x 2＝4y .(2) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0. 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝ 2|x M －x N |＝ 2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝8 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝8 2 k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2 225t 2＋6t＋1>2 2；当t <0时，|MN |＝2 2⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是85 2.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 文数(浙江卷)解析版
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|2},{|41}S x x T x x =>-=-≤≤,则S ∩T=（ ）A 、[-4,+∞）B 、（-2, +∞）C 、[-4,1]D 、(-2,1]即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题.2.已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)= （ ）A 、5-5iB 、7-5iC 、5+5iD 、7+5i3.若a R ∈，则“0α=”是“sin cos αα<”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件4.设m 、n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A 、若//,//m n αα,则//m nB 、若//,//m m αβ,则//αβC 、若//,m n m α⊥,则n α⊥D 、若//,m ααβ⊥,则m ⊥β//,m m m ααβββ⊥⇒⊂⊥或，所以D 错误.所以选C.【考点定位】此题考查线线、线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理.5.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 、3108cmB 、3100cmC 、392cmD 、384cm【考点定位】此题考查三视图知识、多面体的体积计算公式.6.函数()sin cos 2f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ）A 、,1πB 、,1πC 、,1πD 、,1π7.已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++，若(0)(4)(1)f f f =>，则（ ）A 、0,40a a b >+=B 、0,40a a b <+=C 、0,20a a b >+=D 、0,20a a b <+=在对称轴左边递增，在对称轴右边递减.8.已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f ’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是（ ）9.如图12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点A 、B 分别是1C 、2C 在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A 、 2B 、3 C 、32 D 、 62 【答案】D【解析】解决此类问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解.二是求出,a c 或10.设,a b R ∈，定义运算“∧”和“∨”如下： ,(),(),,(),()a a b b a b a b a b b a b a a b ≤≤⎧⎧∧=∨=⎨⎨>>⎩⎩若正数a b c d 、、、满足4,4,ab c d ≥+≤则（ ）A 、2,2ab c d ∧≥∧≤ B 、2,2a b c d ∧≥∨≥ C 、2,2a b c d ∧≥∨≥ D 、2,2a b c d ∨≥∨≥二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.已知函数()f x =，若()3f a =，则实数a =____________.12.从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的机会相等），则2名都是女同学的概率等于_________.13.直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.【考点定位】此题考查直线被圆所截弦长的计算，即弦长等于，其中r 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.考查圆的方程形式的互化、点到直线距离公式的应用.14、 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________.15.设z kx y =+，其中实数,x y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩， 若z 的最大值为12，则实数k =________ .16.设,a b R ∈，若0x ≥时恒有43220(1)x x ax b x ≤-++≤-,则ab 等于______________.17.设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈、 若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于_______. 三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在锐角△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c， 且2sin a B=， （Ⅰ）求角A 的大小.（Ⅱ) 若6,8a b c =+=，求△ABC 的面积.19.在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知a 1=10，且123,22,5a a a +成等比数列. （Ⅰ）求,n d a .（Ⅱ) 若0d <，求123||||||||n a a a a ++++.【答案】（Ⅰ）由已知得到：22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+【考点定位】此题考查等差数列、等比数列的定义和等差数列通项公式、前n项和公式的求法，考查分类讨论思想和方程思想的应用. 考查学生的推理论证和运算求解能力.20.如图，在在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.（Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC ;（Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与APC 所成的角的正切值.（Ⅲ）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG GC的值.的角是DGO ∠，由已知及（1）知：1,2BO AO CO DO =====，21.知a R ∈，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++ （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程.（Ⅱ)若||1a >，求()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值. 【答案】（Ⅰ）当1a=时，32()266(2)1624124f x x x x f =-+∴=-+=，所以.已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点(0,1)F（Ⅰ）求抛物线C 的方程.（Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点.若直线AO 、BO 分别交直线l ：2y x =-于,M N 两点，求|MN|的最小值.考查学生的逻辑推理能力和综合运算能力.。
2013年高考文科数学浙江卷
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页） 数学试卷 第3页（共6页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(文科)本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R π=13V Sh =球的体积公式其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 334V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =+柱体的体积公式 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积, V Sh =h 表示台体的高其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高选择题部分 (共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{2}|S x x >=-,{41}|T x x =-≤≤,则S T = ( )A .[)4,-∞+B .()2,∞-+C .[]4,1-D .(2,1]-2.已知i 是虚数单位,则()(2i 3i)++=( )A .55i -B .75i -C .55i +D .75i +3.若α∈R ,则“0α=”是“sin cos αα<”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )A .若m α∥,n α∥,则m n ∥B .若m α∥,m β∥,则αβ∥C .若m n ∥,m α⊥,则n α⊥D .若m α∥,αβ⊥,则m β⊥5.已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A .3108cmB .3100cmC .392cmD .384cm 6.函数()sin cos f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是( )A .π,1B .π,2C .2π,1D .2π,27.已知a ,b ,c ∈R ,函数2()f x ax bx c =++.若(0)(4)(1)f f f >=,则( )A .0,40a a b >=+B .0,40a a b <=+C .0,20a a b >=+D .0,20a a b <=+8.已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一,且其导函数()y f x ='的图象如右图所示,则该函数的图象是( )A .B .C .D .9.如图,12,F F 是椭圆1C ：2241x y +=与双曲线2C 的公共焦点,,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点.若四边形12AF BF 为矩形,则2C 的离心率是( )ABC .32D10.设,a b ∈R ,定义运算“∧”和“∨”如下：,,,,a b b a b a b =⎨⎩∧⎧≤＞ ,,,.b a b a a a b b ∨⎨⎩=⎧≤＞ 若正数,,,a b c d 满足4ab ≥,4c d +≤,则( )A .2,2a b c d ∧∧≥≤B .2,2a b c d ∧∨≥≤C .2,2a b c d ∨∧≥≤D .2,2a b c d ∨∨≥≥---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共6页） 数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）非选择题部分 （共100分）二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.已知函数()f x 若()3f a =,则实数a =_________.12.从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于_________.13.直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于_________. 14.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于_________.15.设z kx y =+,其中实数x ,y 满足2240240x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥,≥,≤.若z 的最大值为12,则实数k =_________.16.设a b ，∈R ,若0x ≥时恒有432201()x x ax b x ≤-++≤-,则=ab _________.17.设1e ,2e 为单位向量,非零向量12x y =+b e e ,x y ∈R ,.若1e ,2e 的夹角为π6,则||||x b 的最大值等于_________.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)在锐角ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin a B . （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若6a =,8b c +=,求ABC △的面积.19.(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中,已知110a =,且1a ,222a ＋,35a 成等比数列. （Ⅰ）求d ,n a ；（Ⅱ）若0d <,求123||||||||n a a a a ++++.20.(本题满分15分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,2AB BC ==,AD CD =,PA =120ABC ∠=,G 为线段PC 上的点.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面APC ；（Ⅱ）若G 为PC 的中点,求DG 与平面APC 所成的角的正切值； （Ⅲ）若G 满足PC ⊥平面BGD ,求PGGC的值.21.(本题满分15分)已知a ∈R ,函数32()23(1)6f x x a x ax =-++.（Ⅰ）若1a =,求曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程； （Ⅱ）若|1|a >,求()f x 在闭区间[0,2|]|a 上的最小值.22.(本题满分14分)已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ,焦点为(0,1)F .（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线交抛物线C 于A ,B 两点.若直线AO ,BO 分别交直线l ：2y x =-于M ,N 两点,求||MN 的最小值.。
2013年浙江省高考数学(文科)试题(教师版含解析)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（文）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}|2S x x =>-，{}|41T x x =-，则ST =（ ）.A.[)4-+∞，B.2-+∞（，）C.[]41-，D.(]21-， 分析 直接求两个集合的交集即可. 解析：{}{}{}24121ST x x x x x x =--=-≤≤≤.故选D .2. 已知i 是虚数单位，则()()2i 3i ++=（ ）. A.55i - B.75i - C.55i?+ D.75i + 分析 直接进行复数的运算得出结果.解析 ()()22i 3i 65i i 55i ++=++=+.故先C.3.若α∈R ，则“0α=”是“sin cos αα<”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 分析 分别判断0α=能否推出sin cos αα和sin cos αα能否推出0α=. 解析 若0α=，则sin 0,cos 1αα==，所以sin cos αα，即0sin cos ααα=⇒；但当2απ=-时，有sin 10cos αα=-=，此时0α≠. 所以0α=是sin cos αα的充分不必要条件.故选A.4.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，（ ）.A.若m α∥，n α∥，则m n ∥B.若m α∥，m β∥，则αβ∥C.若m n ∥，m α⊥，则n α⊥D.若m α∥，αβ⊥，则m β⊥ 分析 可以借助正方体模型对四个选项分别剖析，得出正确结论.解析 A 项，当//,//m n αα时，,m n 可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B 项，当//,//m m αβ时，,αβ可能平行也可能相交，故错误；C 项，当//,m n m α⊥时，n α⊥，故正确；D 项，当//,m ααβ⊥时，m 可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误.故选C.D.C.B.A.侧视图俯视图5.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）. A.3108cm ? B.3100 cm C.392cm D.384cm分析 根据三视图还原出几何体，再根据几何体的形状及相应的尺寸求其体积.解析 此几何体为一个长方体1111-ABCD A B C D 被截去了一个三棱锥-A DEF ， 如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6，3，6，故其体积为()3636108cm ⨯⨯=.三棱锥的三条棱AE ，AF ，AD 的长分别为 4，4，3，故其体积为()3114348cm 32⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以所求几何体的体积为()31088100cm -=.故选B.6.函数()sin cos f x x x x =⋅+的最小正周期和振幅分别是（ ）. A.π1， B. π2， C. 2π1， D. 2π2，分析 把函数的解析式化简为只含一个三角函数名的三角函数式，再求周期和振幅. 解析 ()1sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为22T π==π，振幅1A =. 故选A7.已知,,a b c ∈R ，函数()2f x ax bx c =++.若()()()041f f f =>，则（ ）. A. 0a >，40a b += B. 0a <，40a b +=C. 0a >，20a b +=D. 0a <，20a b +=分析 根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴，化简即得. 解析 因为()()()041f f f =，所以函数图象应开口向上，即0a，且其对称轴为2x =，即22ba-=，所以40a b +=，故选A. 8.已知函数()y f x =的图像是下列四个图像之一，且其导函数()'y f x =的 图像如右图所示，则该函数的图像是（ ）.分析 根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况.D 1C 1B 1A 1E CDF AB解析 从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，0x =时最大，所以函数()f x 的图象的 变化率也先增大后减小，在0x =时变化率最大.A 项，在0x =时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误.B 项正确.故选B.9. 如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二.四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）. A.2 B. 3C.23D.26分析 由椭圆可求出12AF AF +，由矩阵求出2212AF AF +，再求出21AF AF -即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率.解析 由椭圆可知124AF AF +=，1223FF =因为四边形12AF BF 为矩形， 所以222121212AF AF F F +==，所以()()222121212216124AF AF AF AF AF AF =+-+=-=，所以()22221121221248AF AF AF AF AF AF -=+-=-=，所以2122AF AF -=2a =3c =所以2C 的离心率6c e a ==.故选D. 10.设a b ∈，R ，定义运算“∧”和“∨”如下：,,a a b a b b a b ⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b ⎧∨=⎨>⎩若正数,,,a b c d 满足4ab ，4c d +，则（ ）.A. 2a b ∧，2c d ∧B. 2a b ∧，2c d ∨C. 2a b ∨，2c d ∧D. 2a b ∨，2c d ∨ 分析 理解所给符号后，再作出判断.解析 根据题意知，a b ∧表示,a b 中较小的，a b ∨表示,a b 中较大的.因为242a b ab +⎛⎫⎪⎝⎭≥≥，所以4a b +≥.又因为,a b 为正数，所以,a b 中至少有一个大于或等于2，所以2a b ∨≥.结束开始因为4c d +≤，,c d 为正数，所以,c d 中至少有一个小于或等于2，所以2c b ∧≤.故选C.非选择题部分（共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11. 已知函数()f x =()3fa =，则实数a =____________.分析 直接代入求解.解析 因为()3f a =，所以19a -=，即10a =.12. 从3男3女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_____. 分析 分别列出所有的选法和都是女生的选法，利用古典概型概率公式计算概率.解析 用,,A B C 表示三名男同学，用,,a b c 表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：,,,,,,,,,,,,,AB AC Aa Ab Ac BC Ba Bc Ca Cb Cc ab ac bc ，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即,,ab ac bc ，故所求概率为31155=. 13. 直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________. 分析 先求弦心距，再求弦长.解析 圆的方程可化为()()2234=25x y -+-，故圆心为()3,4，半径5r =.又直线方程为230x y -+=，所以圆心到直线的距离为d ==所以弦长为2===.14. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________.分析 可依次求出1,2,3,4k =时S 的值，直接得出结果，也可先求出S 的表达式， 再求出4k =时S 的值.解析 方法一：根据程序框图可知，当1k =时，131122S =+=⨯；当2k =时，3152233S =+=⨯；当3k =时，5173344S =+=⨯；当4k =时， 7194455S =+=⨯，此时54k =，所以95S =.方法二：由程序框图可知，()111111111111111212231223111S k k k k k k =++++=+-+-++-=+-=-⨯⨯++++， 当4k =时，192415S =-=+. 当54k =时，输出95S =.15. 设y kx z +=，其中实数y x ,满足2240240x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩，若z 的最大值为12，则实数=k ________.分析 画出可行域，对y kx z =-+的斜率进行讨论确定出最优解，代入最大值即可求出k 的值. 解析 作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当102k-≤时， 直线y kx z =-+经过点()4,4M 时z 最大，所以4412k +=，解得2k =（舍去）；当12k -≥时， 直线y kx z =-+经过点()0,2N 时z 最大，所以2312k +=，解得92k =（舍去）； 当0k-时，直线y kx z =-+经过点()4,4M 时z 最大，所以4412k +=，解得2k =，符合.综上可知，2k =.16. 设a b ∈，R ，若0x 时恒有()243201x x ax bx -++-，则ab 等于______________.分析 先取x 的几个特殊值，看能得到什么具体的结果，再根据条件推导.解析 因为0x ≥时恒有()243201x x ax b x -++-≤≤，当0x =时，可得01b ≤≤；当1x =时，可得0a b +=，所以a b =-，所以10a -≤≤.由0x ≥时恒有()243201x x ax b x -++-≤≤，得3221ax b x x +-+≤，所以()()3221ax a x x x ----≤，所以()()()2111a x x x x ----≤，所以当1x 时，有21a x x --≤恒成立，所以1a -≤.综上可知，1a =-，所以21ab a =-=-.17. 设12,e e 为单位向量，非零向量12,,x y x y =+∈R b ee ，若12,e e 的夹角为30，则||||x b 的最大值等于________. 分析 为了便于计算可先求2x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭b 的范围，再求xb 的最值.4解析 根据题意，得()()()1222222212122x x x x y xy x y ⎛⎫=== ⎪ ⎪++⋅+⎝⎭b e e e e e e22222cos 6x x y xy =π++21124y x x x ==⎛++ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为211244y x ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭≥，所以24x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭≤b ，所以02x ≤b.故x b的最大值为2.三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 18. 在锐角ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2sin a B =.（1）求角A 的大小；（2）若6a =，8b c +=，求ABC △的面积.分析（1）利用已知条件和正弦定理可求出sin A ，进而求出A ；（2）利用余弦定理求出bc ，再用面积公式求面积.解析（1）由2sin a B =及正弦定理sin sin ab A B =，得sin A =.因为A 是锐角，所以3A π=. （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2236b c bc +-=. 又8b c +=，所以283bc =. 由三角形面积公式1sin 2S bc A =，得ABC △的面积为12823⨯=. 19. 在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列. （1）求d ，n a ；（2）若0d <，求123 .n a a a a +++⋯+分析 （1）用1,a d 把23,a a 表示出来，利用123,22,5a a a +成等比数列列方程即可解出d ，进而根据等差数列的通项公式写出n a .（2）根据（1）及0d 确定数列的通项公式，确定n a 的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n 的取值范围进行分类讨论.解析（1）由题意得，()2132522a a a ⋅=+，由110a =，{}n a 为公差为d 的等差数列得，2340d d --=，解得1d =-或4d =.所以()*11n a n n =-+∈N 或()*46n a n n =+∈N .设数列{}n a 的前n 项和为n S .因为0d，由（1）得1d =-，11n a n =-+，所以当11n ≤时，123n a a a a ++++=212122n S n n =-+；当12n ≥时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+. 综上所述，123n a a a a ++++ 22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≥ 20. 如图所示，在在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，2AB BC ==，7AD CD ==PA =3120ABC ∠=，G 为线段PC 上的点.（1）证明：BD ⊥平面APC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与APC 所成的角的正切值； （3）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值. 分析（1）只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可； （2）利用线面垂直找到线面角，通过解三角形求解； （3）利用线面垂直得到线线垂直，通过三角形求解.解析（1）设点O 为,AC BD 的交点.由AB BC =，AD CD =，得BD 是线段AC 的中垂线，所以O 为AC 的中点，BD AC ⊥.又因为PA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面， 所以PA BD ⊥.所以BD APC ⊥平面.（2）连接OG .由（1）可知，OD APC ⊥平面，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以OGD ∠是DG 与平面APC 所成的角. 由题意得1322OG PA ==. 在ABC △中，2212cos 44222232AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以132OC AC ==. 在直角OCD △中，22732OD CD OC -=-=. 在直角OGD △中，43tan 3OD OGD OG ∠==. GOBA DP所以DG 与平面APC所成的角的正切值为3. （3）因为PC BGD ⊥，OG BGD ⊂平面，所以PC DG ⊥. 在直角PAC △中，PC =所以AC OC GC PC ⋅===从而5PG =，所以32PG GC =. 21.已知a ∈R ，函数()()322316f x x a x ax =-++.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()22f ，处的切线方程； （2）若1a >，求()f x 在闭区间[]0|2|a ，上的最小值.分析 （1）切点处的导数即为切线的斜率，求导后算出斜率，写出切线方程即可.（2）要确定()f x 的最小值，因为()f x 的最值是由其单调性决定的，所以要先利用导数确定()f x 的单调性，再确定极值和区间端点的函数值.由于所给区间中含有绝对值，因此要分类讨论.解析 （1）当1a =时，()26126f x x x '=-+，所以()26f '=.又因为()24f =，所以切线方程为()462y x -=-，即680x y --=.（2）记()g a 为()f x 在闭区间0,2a ⎡⎤⎣⎦上的最小值.()()26616f x x a x a '=-++ ()()61x x a =--.令()0f x '=，得121,x x a ==.比较()00f =和()()23f a a a =-的大小可得()()20,13,3, 3.a g a a a a⎧⎪=⎨-⎪⎩≤x()0,11()1,2a -2a -()f x '-+()f x0 单调递减极小值31a -单调递增322824a a --得()31g a a =-.综上所述，()f x 在闭区间0,2a ⎡⎤⎣⎦上的最小值为()()231,1,0,13,3, 3.a a g a a a a a ⎧--⎪=⎨⎪-⎩≤22. 已知抛物线C 的顶点为()00O ， ，焦点()0,1F . （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作直线交抛物线于,A B 两点，若直线,AO BO 分别交直线l ：2y x =- 于,M N 两点， 求MN 的最小值.分析（1）根据条件和抛物线的标准方程，可直接求出；（2）根据直线方程及抛物线方程写出MN 长度的解析式，再根据求出的解析式选择适当的方法求最值. 解析（1）由题意可设抛物线C 的方程为()220x py p=，则12p=， 所以抛物线C 的方程为24x y =. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+.由21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y ，整理得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-.从而21241x x k -=+由11,2,y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得点M 的横坐标1121111122844M x x x x x y x x ===---.同理，点N 的横坐标284N x x =-.所以284M NMN xx=-=--43k==-. 令43,0k t t-=≠，则34tk+=.当0t时，22MN =.当0t时，MN=综上所述，当253t=-，即43k=-时，MN。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）选择题部分（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x ≤1},则S ∩T= A ．[-4,+∞） B ．（-2, +∞） C ．[-4,1] D ．(-2,1] 2．已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A ．5-5iB ．7-5iC ．5+5iD ．7+5i 3．若α∈R ，则“α=0”是“sin α<cos α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．设m ．n 是两条不同的直线，α．β是两个不同的平面，A ．若m ∥α，n ∥α,则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β,则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α,则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β,则m ⊥β 5．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 36．函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，27．已知a ．b ．c ∈R ，函数f(x)=ax 2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则A ．a>0,4a+b=0B ．a<0,4a+b=0C ．a>0,2a+b=0D ．a<0,2a+b=08．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f ’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是9．如图F 1．F 2是椭圆C1：x 24+y 2=1与双曲线C2的公共焦点A ．B 分别是C 1．C 2在第二．四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是DA ．2 B ．3 C ．32 D ．6210．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：若正数a ．b ．c ．d 满足ab ≥4,c+d ≤4,则A ．a ∧b ≥2,c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2,c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2,c ∨d ≥2 非选择题部分（共100分） 注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。
二．填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.已知函数f(x)=x-1 若f(a)=3，则实数a= ____________.12.从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的机会相等），则2名都是女同学的概率等于_________.13.直线y=2x+3被圆x 2+y 2-6x-8y=0所截得的弦长等于__________. 14.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________.15.设z kx y =+，其中实数,x y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k =________ .16.设a,b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4-x 3+ax+b ≤(x 2-1)2,则ab 等于______________. 17. 设e 1．e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2,x ．y ∈R.。
若e 1．e 2的夹角为6π，则|x||b |的最大值等于_______.三．解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.（第9题图）18.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 且2asinB=3b .（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积.19. 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列. （Ⅰ）求d ，a n ； （Ⅱ) 若d<0，求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | .20. 如图，在在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.（Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC ;（Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与APC 所成的角的正切值；（Ⅲ）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值.21.已知a∈R，函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程； （Ⅱ)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. 22. 已知抛物线C 的顶点为O （0,0），焦点F （0,1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A ．B 两点.若直线AO ．BO 分别交直线l ：y=x-2于M ．N 两点， 求|MN|的最小值.参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．D 10．C 二、填空题11．10 12．15 13．．9515．2 16．1- 17．2三、解答题18．解：（Ⅰ）由已知得到：2sin sin A BB =，且(0,)sin 0sin 22B B A π∈∴≠∴=，且(0,)23A A ππ∈∴=；（Ⅱ）由（1）知1cos 2A =，由已知得到：222128362()3366433623b c bc b c bc bc bc =+-⨯⇒+-=⇒-=⇒=，所以128232ABCS =⨯⨯= 19．解：（Ⅰ）由已知得到：22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或； （Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-，①当111n ≤≤时，123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==②当12n ≤时，1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=所以，综上所述：1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩ ； 20．解：证明：（Ⅰ）由已知得三角形ABC是等腰三角形，且底角等于30°，且6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭且，所以；、BD AC ⊥，又因为PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭；（Ⅱ）设AC BD O = ，由（1）知DO PAC ⊥，连接GO ，所以DG 与面APC 所成的角是DGO ∠，由已知及（1）知：1,2BO AO CO DO =====，12tan 2OD GO PA DGO GO ==⇒∠===DG 与面APC 所成的角的正（Ⅲ）由已知得到：PC===PC BGD PC GD ⊥∴⊥，在PDC ∆中，PD CD PC ====，设223107)2PG PG x CG x x x PG x GC GC =∴=-∴-=--∴==== 21．解：（Ⅰ）当1a =时，32()266(2)1624124f x x x x f =-+∴=-+=，所以2()6126(2)242466f x x x f ''=-+∴=-+=，所以()y f x =在(2,(2))f 处的切线方程是：46(2)680y x x y -=-⇒--=；（Ⅱ）因为22()66(1)66[(1)]6(1)()f x x a x a x a x a x x a '=-++=-++=--①当1a >时，(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以当[0,2||]x a ∈时，且2||2a >，[0,1][,2||]x a a ∈ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以最小值是32223()23(1)63f a a a a a a a =-++=-；②当1a <-时，且2||2a >，在[0,2||]x a ∈时，(0,1)x ∈时，()y f x =递减，[1,2||]x a ∈时，()y f x =递增，所以最小值是(1)31f a =-；综上所述：当1a >时，函数()y f x =最小值是233a a -；当1a <-时，函数()y f x =最小值是31a -；22．解：（Ⅰ）由已知可得抛物线的方程为：22(0)x py p =>，且122pp =⇒=，所以抛物线方程是: 24xy =;(Ⅱ)设221212(,),(,)44x x A x B x ，所以12,,44AO BO x x k k ==所以AO 的方程是：14x y x =， 由118442Mx y xx x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩，同理由228442Nx y xx x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩所以1212121288||||||44164()M N x x MNx x x x x x x x -=-=-=---++①设:1AB y kx =+，由1222121444044y kx x x k x kx x x x y=+⎧+=⎧⎪∴--=∴⎨⎨=-=⎪⎩⎩，且12||x x -==|||16164MN k ==-- 设34304tkt k +-=≠∴=， ① 当0t >时||MN ==≥||MN的最小值是② 当0t<时，4||55MN ===≥=，所以此时||MN的最小值是5，此时253t =-，43k =-；综上所述：||MN的最小值是5；。