一类非严格双曲系统的Riemann解的稳定性
一类线性差分方程组解的稳定性分析
理学硕士学位论文一类线性差分方程组解的稳定性分析郭亮哈尔滨工业大学2004年7月图书分类号：O241.84U.D.C.: 517.962.2理学硕士学位论文一类线性差分方程组解的稳定性分析硕士研究生：郭亮导师：薛小平教授申请学位级别：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：理学院数学系答辩日期：2004年7月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index：O241.84U.D.C.: 517.962.2A Dissertation for the Degree of Master of ScienceSTABILITY OF LINEAR DIFFERENCEEQUATIONSCandidate：Guo LiangSupervisor：Prof. Xue XiaopingAcademic Degree Applied for：Master of Science Speciality：Pure Mathematics Affiliation：Department of Mathematics Date of Defence：July, 2004Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要差分方程是和微分方程相平行的一个数学理论，它不但在数学各分支内应用甚广，而且由于电子计算机的迅速发展和广泛使用，它已成为现代控制理论、通讯理论等科技领域内的一个基本数学工具。
用差分方程描述动力系统稳定性的研究是李雅普诺夫稳定性理论的近代内容。
Lyapunov函数法、LaSalle不变原理、比较原理虽然是研究离散系统稳定性的一般方法，但应用这些方法构造V函数技巧性强，因此无一般规律可言。
如果能够根据系统本身的参数，得出一系列简单实用的离散系统稳定性代数判据，这就会使一些离散系统稳定性问题得到简化，更加简洁实用。
K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程的一个Liouville型结果【摘要】本文研究了K-Hessian方程的一个Liouville型结果，首先介绍了K-Hessian方程的定义和性质，然后讨论了K-Hessian方程解的存在性。
接着我们详细阐述了K-Hessian方程的Liouville型结果以及相关证明方法。
进一步探讨了这一结果的意义，并展望了未来的研究方向。
通过本文的研究，我们得出了K-Hessian方程的一个Liouville型结果对于微分几何领域的重要意义，为相关领域的研究提供了新的思路。
【关键词】K-Hessian方程, Liouville型结果, 正定Hessian矩阵, 解的存在性, 相关证明方法, 研究背景, 研究目的, 研究意义, 结论总结, 未来研究展望1. 引言1.1 研究背景K-Hessian方程是极小曲面理论中一个重要的方程，它在几何分析和偏微分方程领域有着广泛的应用。
研究K-Hessian方程可以帮助我们更好地理解曲面的性质和演化。
在过去的研究中，学者们已经取得了一些有趣的结果，但仍然存在许多未解决的问题。
深入研究K-Hessian方程及其相关的Liouville型结果具有重要的理论意义和实际意义。
1.2 研究目的研究目的: 本文旨在探讨K-Hessian方程的一个Liouville型结果，通过分析K-Hessian方程的性质、解的存在性以及相关证明方法，进一步揭示该方程的特殊性质和数学规律。
我们的研究目的是为了揭示K-Hessian方程在几何分析和微分方程领域中的重要性，并为更深入的研究和应用提供理论基础。
通过研究K-Hessian方程的Liouville型结果，我们希望能够拓展对该方程解的理解，揭示其在几何学和物理学中的应用意义，为解决相关问题提供新的思路和方法。
我们将以严谨的数学推导和分析方法，探讨K-Hessian方程的Liouville型结果及其意义，为深入理解和应用K-Hessian方程奠定理论基础。
自动控制理论词汇表
Glossary for Feedback Control of Dynamic Systems自动控制理论词汇表Chapter 1thermostat n.恒温器predictive control 预测控制power generation plant 发电厂micron n.微米cell phone 移动电话jumbo jet 巨型喷气式客机block diagram 方框图actuator 执行机构process n.过程feedback n.反馈plant n.被控对象mph=mile per houropen-loop 开环closed-loop 闭环throttle n.油门gain n.增益orifice n.孔、小孔controlled variable 被控变量error n.误差incubator n.孵化器flue n.烟道chronicle n.编年史、年代记录conical a.圆锥体的mill wright 技工、造水车工匠inertia n.惯性、惯量oscillate about…在….周围振荡reference input 参考输入prescribed direction 预定的方向actual direction 实际方向flyball n.飞球governor n.控制器、调节器、总督、省长equilibrium n平衡点differencial equation 微分方程characteristicequation 特征方程third-order 三阶polynomial n.多项式state variable 状态变量distortion n.畸变complex variable 复变量methdology n.方法论proportional a. 比例的、成比例的integral a.积分的derivative a.微分的stochastic a.随机的servomechanism n.伺服机构calculus n.微积分ubiquitous a.到处存在的、普遍存在的radar-tracking 雷达跟踪SISO systems 单输入单输出系统Laplace transform 拉普拉斯变换pole n.极点zero n.零点transfer function传递函数trajectory optimization 轨迹优化root locus 根轨迹specifications n.指标、规格、规范discrete-data 离散数据sampled-data 采样数据performance n.性能Chapter 2desired reference variable 期望参考变量prototype n.原型system identification 系统辨识time response 时域响应step input 阶跃输入defer n.推迟、延期vector n.向量、矢量slug n.斯（勒格），质量单位（32.2磅）impart n.赋予、传授、告知heavy line 粗实线dashed line 虚线coordinate n.坐标numerator n.分子denominator n.分母suspension n.悬架、悬挂deflection n.偏移、偏转、偏差displacement n.位移shock absorber 减震器、缓冲器dashpot n.缓冲器bump n. vt.颠簸bounce n. vt.反弹、跳跃moment of inertia 转动惯量、惯性矩attitude n.姿态、姿势antenna n.天线perpendicular n.垂直线 a.垂直的asymmetry a.不对称的torque n.转矩resonant n.谐振、共振damper n.阻尼器prudent a.谨慎的，有远见的，精打细算的anti-alias 抗混频operational amplifer 运算放大器passive circuit 无源电路Kirchhoff’s current law 基尔霍夫电流定律algebraic sum 代数和summer n.加法器integrator n.积分器tesla n.特斯拉(磁通量单位)louderspeaker n.扬声器bobbin线轴，线筒stator n.定子rotor n.转子back emf 反电势maze n.曲径，迷宫specific heat 比热spatially ad.空间地hydraulic a.液压的、水力学的gimbal n.平衡环，万向接头nozzle n.喷嘴grooming n.修饰，美容piston n.活塞porous a.可渗透的，多孔的laminar a.多层的、层流的n.层流turbulent a.湍流的Chapter 3linear time-invariant systems 线性时不变（定常）系统signal flow graph 信号流图simulation n.仿真frequency-response 频率响应superposition n.叠加convolution n.卷积inpulse-response 脉冲响应unit step function 单位阶跃函数root-locus 根轨迹stability properties 稳定性特性principles linear algebra 线性代数原理state variable methods 状态变量法matrix n..矩阵nonlinear n.非线性mathematical mode 数学模型trivial a.琐碎的、不重要的linearize vt.线性化operating point 工作点state-space 状态空间partial differential equations 偏微分方程equilibrium n.平衡点complex frequency variables 复频率变量zero initial conditions 零初始条件steady-state 稳态ramp input 斜坡输入dc gain 直流增益inverse Laplace transform 逆拉氏变换partial fraction expansion 部分分式展开rantional a.有理的residue n.余式unilateral a.单边的convergence n.收敛final-value theorem 终值定理homogeneous differential equation 齐次微分方程ordinary differential equation 常微分方程overall transfer function 总的传递函数“loading” effect 负载效应cascade blocks 方框串联（级联）to reduce 化简eliminating 消去equivalent a.等效的simplification n.化简、简化integrodifferential a.积分-微分的time constant 时间常数imaginary axis 虚轴damping ratio n.阻尼比natural undamped frequency 自然无阻尼频率overdamped a.过阻尼critically damped n.临界阻尼rectangular coordinate 直角坐标oscillatory a.振荡的transient response 瞬态响应overshoot n.超调量delay time 延迟时间peak time 峰值时间rise time 上升时间settling time 调节时间steady state 稳态characteristic equation 特征方程RHP(Right Half-Plane) 右半平面elevator n.飞机升降舵，飞机升降仪，电梯nonminimum-phase 非最小相位diverge v.发散、分歧asymptotically stable 渐进稳定stability n.稳定性absolute stability 绝对稳定性relative stability 相对稳定性stability criterion 稳定性判据equilibrium state 平衡状态product n.乘积coefficient n..系数nagtive feedback 负反馈positive feedback 正反馈unity feedback system 单位负反馈系统reduction n.化简simultaneous a.联立的common factor 公因子expedient a.权宜的，有用的attenuate v.变弱，衰减，变细，变薄，稀释cofactor n.公因子Routh stability criterion 劳斯稳定性判据determinant n. 行列式tune v.调节retune v.再调节pseudorandom-noise 伪随机噪声signal-to-noise ratio 信-噪比Mason Gain Formula 梅森（增益）公式term n.术语signal flow graph 信号流图nodepathenvelope n.包络线dominant root 主导极点Chapter 4steady-state 稳态with respect to 关于….deviation n.偏离steady-state error 稳态误差load torque 负载转矩viscous friction 粘性摩擦repeater n.中继器drift v.漂移fidelity n.准确性，忠实，忠诚parabolic antenna 抛物线天线position error constant. 位置误差常数velocity error constant 速度误差常数robust property 鲁棒性shaft n.轴tachometer n.转速计inductance n.电感sampled v.采样quantized v.量化extrapolate v.预测，推测trapezoid n.梯形，不等边四边形vertices n.顶点order n.阶次，数量级proportional control 比例控制derivative control 微分控制sinusoidal a.正弦parameter n.参数Chapter 5root-locus method 根轨迹法monic a.首一的feedforward a.前向的denominator n.分母numerator n.分子quadratic n.二次项branch n.分支factored a.分解的asymptote vt.渐进n.渐进线division n.除法vantage point 有利地位，观点imaginary part 虚部breakaway point 分离点common denominator 公分母conjugate pairs 共扼对multiplicity n.多重，多数trial and error 凑试（法）spirule n.螺旋尺intersection n.交汇symmetrical a.对称的magnitude condition 幅值条件angle condition 相角条件phase condition 相角条件origin n.起始点terminus n.终点angle of departure 分离角、出发角angle of arrival汇合角、到达角cubic a.三阶的、立方的quartic a.四次的remainder n.留数、余数remainder theorem 留数定理taking the limit 取…极限synthetic division 综合除法dominant root 主导根compensator n.补偿器azimuth n.地位角、地平经度inertial guidance 惯性导航constant term 常数项symmetrical with respect to 关于…对称trial point 试验点terminate vt.终止于first differentiate 一阶微分real parts实部imaginary part 虚部lag compensator 滞后补偿器lead compensator 超前补偿器spill over 溢出，无法容纳autopilot n.自动导航trim v.n.使整齐，微调trim tab 平衡调整片margin n.裕量iteration n.重复、循环、迭代intact a.完好无缺的，原封不动的Chapter 6frequency response 频率响应rendered v.使成为，提供，报答，着色; 执行ratio of the magnitudes 幅值比bandwidth n.带宽resonant peak 谐振峰值low-pass filter低通滤波器sanity n.神智健全，头脑清楚，健全tangent n.正切、切线reciprocal a.互补的，相互的，互惠的phase difference 相角差transport lag 传输延迟irrational factor 非有理因子phase shift 相位移动moduli n.模(复数)poke vt.戳、刺、捅drudgery n.苦工、单调乏味的工作logarithmic coordinate 对数坐标semilog n.半对数decibel n.分贝decade n.十倍量程octave n.八倍频程、八度、八阶asymptotic behavior 渐进行为dotted n.虚线break frequency 转折频率corner frequency 转折频率slope n.斜率20dB/decade 20分贝/十倍频程superimpose vt.迭加polar plot 极坐标图pass function 旁路函数servomotor-amplifier 伺服电机-放大器angular velocity 角速度minimum phase 最小相位tilt angle 倾斜角lateral force 侧面力、横向力perceived velocity 可察觉的速度croseover frequency 穿越频率appendage n.附件、备件Nyquist criterion 奈奎斯特判据Semi-graphical 半图形Nyquist plot 奈奎斯特图Bode diagram 伯德图positive real part 正实部necessary and sufficient condition 充分必要条件left half of the s-plane s平面左半平面formidable a. 可怕的、令人生畏的determinant 行列式pole-zero cancellation 零极点相消rational functions 有理函数quotient n. 商、份额multi-loop control system 多环控制系统encircled vt. 环绕enclosed vt. 包围closed path 闭合路径counterclockwise a.逆时针的clockwise a.顺时针的encirclement n. 环绕enclosure n. 包围contour n.围线，轮廓线argument principle 幅角原理complex variable 复变量single-valued rational function 单值有理函数analytic a.解析的Nyquist path 奈奎斯特路径singularity n.奇异（点、值）semicircle n.半圆artifice n.技巧、技能gain margin 增益裕量phase margin 相角裕量vicinity n.邻近compromise n.折中，妥协trapezoidal a.梯形的iterate v.重复、循环、迭代bracket v.放在括号内，归入一类，包含octave n.八个一组的事物，八度enumerate v.数，点detrimental a.有害的，不利的threshold n.阈值Chapter 8sampling n.采样sample period 采样周期aliasing n.混频，别名inherent a.内在的z transform Z变换radar tracking system 雷达跟踪系统discrete period 离散周期discrete equivalent 离散等效digitization n.数字化recursive a.递归的，循环的difference equation 差分方程sample rate 采样速率sampler 采样器zero-order holder 零阶保持器inverse Z transform 反Z变换、逆Z变换long division 长除法unit circle 单位圆overlap n.重叠rephrase v.重新措辞，改述extrapolate v.预测，推测alleviate v.减轻，使 ... 缓和judicious a.明智的，贤明的，审慎的fictitious a.假想的，虚伪的impulse transfer function 脉冲传递函数piecewise-continuous 分段连续的pseudo-continuous-time 准连续时间Pade approximation Pade 近似Fourier analysis 傅立叶分析modulation n.调制Fourier transform 傅立叶变换spurious a.寄生的、伪的、假的ideal sampler 理想采样器impulse train 脉冲列、脉冲串transcendental a.超自然的、超常的rational function 有理函数closed form 封闭形式degree n.阶denominator n 分母numerator n 分子initial value 初始值identical a.相等的starred a.打星号的impulse response transfer function 脉冲响应传递函数uniformly spaced 均匀分布map into 影射、映射circles of radius 圆弧multiple-sheeted surfaceRiemann surface 黎曼曲面radial ray 射线by virtue of 借助、凭借、依靠….（的力量）logarithmic spiral 对数螺旋intersection n.相交power series 幂级数sampling instant 采样时刻natural logarithm 自然对数rationalizing 有理化cascading property 串联（级联）特性attenuation factor 衰减因子warp vt.使弯曲、使变形tune vt.调节、调整cross-hatched vt.用交叉线画出（图画上）阴影performance specification 性能指标trial-and-error approach 试凑法bilinear n.双线性Chapter 9equilibrium point 平衡点neighborhood n.邻域saturate n.饱和robotic n.机器人学heuristic a.启发式的，搜索式的sinusoidal a.正弦的sinusoid n.正弦harmonic a.谐波的describing-function 描述函数static nonlinearity 静态非线性dynamic nonlinearity. 动态非线性periodic response 周期响应phase-plane 相平面catastrophe n.灾难、浩劫shaky a.不稳定的，不可靠的scalar function 标量函数Liapunov function 李亚普诺夫函数linearization n.线性化inverse nonlinearity 可逆非线性perturbation n.摄动operating point 工作点eigenvalue n.特征值bearing n.轴承levitate v.浮动，使漂浮，使悬浮turbo n.汽轮机deviation n.偏差rigid link 刚性连接regime n.情形，体制dead-zone 死区viscous friction 粘性摩擦coulomb friction 库仑摩擦relay n.继电（特性）limit cycle 极限环deflect v.使偏，使歪windup n.终结，结束akin a.同类的，相似的odd function 奇函数backlash n.齿轮间隙magnetic hysteresis 磁滞coincident a.重合的，一致的on/off system 通断（控制）系统superposition n. 迭加sub-harmonic a.谐波的magnetic flux 磁通iron-cored coil 铁芯线圈stiction n. 静摩擦力autonomous a.自治的hypersphere n. 超球stability in the sense of Liapunov 李亚普诺夫意义下的稳定性asymptotically stable 渐进稳定monotonically stable 单调稳定origin n. 原点globally stable 全局稳定locally stable 局部稳定electronic oscillator 电子谐振器Van der Pol’s differential equation 范德波尔微分方程nonsinusoidal waveform 非正弦波形rated voltage 额定电压phase variable 相变量phase portrait 相图perpendicular a. 垂直的、正交的、成直角的Taylor series 泰勒级数increment n.增量Euler method 欧拉法singular point 奇异点。
一类分数边值问题的lyapunov-型不等式
一类分数边值问题的Lyapunov-型不等式一、引言在数学中，分数边值问题是一类非常有趣的问题，而Lyapunov-型不等式则是解决这类问题时的重要工具。
本文将围绕这一主题展开讨论，并深入探究其数学内涵和应用实例。
二、分数边值问题的定义与特点分数边值问题指的是一类边值问题，其中微分方程的导数阶数为分数阶。
这类问题的特点是无法直接应用传统的边值问题的解法，而需要借助特定的数学工具来解决。
分数阶微积分的引入使得这类问题具有了更丰富的内涵和更广阔的应用领域。
三、Lyapunov-型不等式的基本形式与含义Lyapunov-型不等式是解决分数边值问题的重要方法之一。
其基本形式为V(x)≤-W(x)，其中V(x)和W(x)分别为Lyapunov函数和比较函数。
这一不等式的含义是通过选择合适的Lyapunov函数和比较函数，可以证明分数阶微分方程的边值问题存在唯一性解。
四、Lyapunov-型不等式在分数边值问题中的应用以具体的数学应用为例，考虑分数阶边值问题Dαu(x) = f(x,u(x),u′(x))，u(a) = u(b) = 0。
其中Dα为Riemann-Liouville分数微积分算子。
通过构造Lyapunov函数V(x)，选择合适的比较函数W(x)，并应用Lyapunov-型不等式，可以证明该边值问题存在唯一性解，并且给出解的性质和特点。
这一过程既深刻又复杂，需要借助Lyapunov-型不等式的严格推导和应用。
五、总结与回顾本文围绕一类分数边值问题的Lyapunov-型不等式展开了深入的讨论。
通过对该主题的全面评估和丰富展开，我们不仅对分数边值问题有了更深入的理解，同时也领略了Lyapunov-型不等式在数学中的重要作用。
Lyapunov-型不等式的应用不仅局限于分数边值问题，还可以推广至动力系统、控制理论等领域，具有广泛的应用前景和理论意义。
六、个人观点与理解个人认为Lyapunov-型不等式作为一种重要的数学工具，不仅在解决分数边值问题中具有重要应用，同时也在其他领域发挥着重要作用。
riemann问题精确解及程序实现
Riemann问题精确解及程序实现在流体力学和计算流体动力学中，Riemann问题是一个经典的数学物理问题，对于理解激波、稀疏波和激波-叠加问题等都有重要意义。
Riemann问题的精确解是指在一个特定的初始条件下，精确地求解出Riemann问题得到的解析解。
对于Riemann问题的精确解以及在计算流体动力学中的程序实现，我们将深入探讨并提供一些观点和思考。
一、Riemann问题的基本概念1. Riemann问题的基本描述Riemann问题最初由德国数学家Bernhard Riemann提出，是一类包含一个跨越一维空间的虚线和其两侧分别是不同状态的初始值问题。
它被广泛地运用在气体动力学、流体力学、等离子体物理、弹性力学等领域。
Riemann问题的基本描述是求解一组非线性偏微分方程组在时间和空间上的解析解，问题的初值包含两个不同的宏观态。
这个问题在数值计算和模拟中具有重要意义。
2. Riemann问题的物理意义Riemann问题是一维激波的基本问题，对于理解一维激波和稀疏波结构以及它们在多维情况下的相互作用有着重要的物理意义。
它的解可以帮助我们更好地理解气体动力学、流体力学等领域中的复杂现象。
二、Riemann问题的精确解1. 常见的Riemann问题常见的Riemann问题包括Euler方程、Navier-Stokes方程等，它们描述了流体的运动、压力、密度等物理量。
对于这些问题，我们可以使用不同的数值方法来求解它们的精确解，如Lax-Friedrichs方法、Roe方法等。
2. 求解Riemann问题的精确解对于一维的Riemann问题，可以通过计算它的特征线和跃度条件来求解其精确解。
在特征线上，可以得到一维激波的解，而跃度条件则用来确定激波的速度和压力等物理量。
这些方法对于理解和解决Riemann问题非常重要。
三、Riemann问题的程序实现1. 基于数值方法的程序实现在计算流体动力学中，为了求解Riemann问题的精确解，可以使用基于数值方法的程序实现。
一类非稳态不可压非牛顿流体方程组的弱解存在惟一性
嗣
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（） ， ］ ｃ ～ ｇ Ｖ ｆ ， ∈ Ｉｆ ｒ 『 。 ＋ ＾ Ｉ ，ｆ 』 ｆ ， ｔ Ｑ ）
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０ 一 ，２对 ＞ ， （ ＝ ） ∈ ， ） ． ｓ ０令 ｆ （ ， ［＋ 。 ） ｆ ｆ ０∞
１ ２弱解 定义 ． 在 给 出（） （） 解概 念 之前 ， 我 们先 给 出一 些本 文 将要 用 到 １一 ４弱
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（０ ， ｌ （ ， ２ ＞０ｇ ∈ Ｑ） ≥０） ｇ ｝
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在浅水方程中利用 Riemann 问题精确解的数值方法
在浅水方程中利用 Riemann 问题精确解的数值方法陈丹;唐岳灏;蒋伯杰【摘要】先从一维Riemann问题解的结构入手，分别对湿区和干区两种情况进行分析，得到精确解的解析形式，并讨论其存在性和唯一性，然后采用物理方程旋转不变量的原理，将全局坐标旋转至界面法相的局部坐标，从而将二维浅水方程中的Riemann问题转化为一维问题进行求解。
并通过对三个溃坝案例进行数值模拟，证明了在浅水方程中利用Riemann精确解的可行性，验证了该方法在干／湿区问题上的合理性与有效性，也证明此算法具有精确捕捉溃坝波问题的能力。
%Based on the solution structures of 1D Riemann problem, the analytical solution form is derived on the analysis of the conditions of wet and dry bed , and then the existence and uniqueness of the solution are discussed in details as well .For the 2D Ri-emann problem in the shallow water equations , a coordinate transformation method is proposed based on the rotational invariance principle , and then the global coordinate will be rotated such that the local one will coincide with the direction of outward vector nor -mal to the cell interface .Through the numerical simulation of the three dam -break cases , the feasibility of implementing exact Rie-mann problem solutions in the shallow water equations are proved , and the validity and reasonableness in handling wet /dry problem are confirmed.And this scheme has been proved to have the capability of accurately capturing the waves in dam -break problems.【期刊名称】《广东水利水电》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P4-8)【关键词】溃坝;浅水方程;Riemann问题;有限体积法【作者】陈丹;唐岳灏;蒋伯杰【作者单位】广东水利水电职业技术学院，广东广州 510635;长江工程职业技术学院，湖北武汉 430212;广东水利水电职业技术学院，广东广州 510635【正文语种】中文【中图分类】TV131Riemann问题是利用Godunov格式求解浅水方程的关键。
分数阶非线性系统Mittag-Leffler稳定性研究进展
2020年12月Dec. , 2020第36卷第6期Vol. 36 , No. 6滨州学院学报JournalofBinzhou University 【微分方程与动力系统研究】分数阶非线性系统MittagLeffler稳定性研究进展刘太德，贺新光（萍乡学院初等教育学院，江西萍乡337000）摘要：随着分数阶微积分相关理论的发展及其在各领域的广泛应用，分数阶非线性系统的稳定性问题也备受人们的关注。
分析了稳定性在非线性系统性能分析中的重要性，系统阐述了 分数阶非线性系统Mittag - Leffler 稳定性方面的相关研究进展。
最后，给出Mittag - Leffler Z 义下分数阶非线性系统稳定性的研究展望。
关键词：稳定性分析；Mittag - Leffler 稳定；分数阶系统；Lyapunov 稳定性中图分类号：O 175 文献标识码：A DOI#0.13486/ki. 1673 - 2618.2020.06.0080引言研究分数阶非线性系统的镇定性问题是一个非常有意义的课题，主要由于分数阶非线性系统自身的 复杂性，导致很多整数阶非线性系统稳定性经典的特性在分数阶非线性系统中很难得到％在系统建模方 面,分数阶非线性系统比整数阶非线性系统能够更好地刻画一些物理现象，人们往往很容易利用分数阶来 建立模型，由于分数阶导数和积分的非局部与弱奇异性，导致对于分数阶模型镇定性问题的研究比整数阶 系统模型镇定性研究困难得多1%近年来，对分数阶微分方程的研究得到广泛关注％尤其是20世纪七八十年代以来对分形和各种复杂 系统的深入研究，使得分数阶微积分理论及其应用开始受到广泛关注并出现了大量的文献％进入21世纪 以来，分数阶微积分在诸多领域有了非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可替代性，其理论和应用研 究在国际上已经成为一个热点％特别地，对于分数系统稳定性的研究也是备受国内外科研工作者的关注％近年来，一些学者运用频域 分析方法、线性矩阵不等式方法、Laplace 变换法、滑膜控制方法等，得到了分数阶微分系统的稳定性理论 相关结果％山东大学李岩等首次利用Lyapunov 函数方法给出了分数系统Miggat - Leffler 稳定性相关结 果23 % Yu 等给出了多变量分数阶系统的Miggat - Leffler 稳定性研究结果4 %此外，文献（-19］也给 出了一些关于分数阶系统稳定方面的研究结果,但是这些结果所研究的对象仅限于几类比较典型的分数 阶系统％非线性分数阶微分系统的稳定性发展相比缓慢很多，主要原因是，分数阶系统相关基本理论尚未完善 且很多整数阶系统经典性质对于分数阶系统就不再满足，例如经典莱布尼茨求导公式，即分数系统莱布尼 茨求导公式是一个无穷级数％收稿日期#020 - 10 - 10第一作者简介：刘太德（1970—）,男，江西萍乡人，讲师，主要从事分数阶微分方程研究%E-mail ：pxuede1970@ 163. com・53・滨州学院学报第36卷目前，对于分数阶非线性系统镇定和稳定问题的研究主要可分为两个方面:一是利用滑膜控制思想结 合Lyapunov 函数方法来研究分数阶非线性系统的稳定性(0)。
WENO方法是在ENO方法的基础...
摘要WENO方法是在ENO方法的基础上，由Liu,Osher等人于1994年提出的一类新型的高精度、高分辨率格式。
WENO格式不但很好的继承了ENO格式的特点，即在间断附近能够保持良好的分辨能力，而且能够引入变化的加权因子，使格式在光滑区解的截断误差阶数又有进一步提高，格式的稳定性又有了进一步的增强。
间断Galerkin方法的深入研究已成为当前数值计算的一个重要方向。
由于众多学者的不断发展，间断Galerkin方法在许多方面的应用上显示了前所未有的效能，在解决含有间断现象的问题中发挥着越来越大的作用，广泛地应用到了水动力学、气动力学、波传播等问题。
数学上，它在解决椭圆型方程、双曲型守恒律组、对流扩散方程等问题中都是卓有成效的。
本文详细讨论了求解双曲型守恒律方程的两种高精度数值方法，即WENO方法和间断Galerkin方法，并就一些典型问题进行数值比较实验，通过在精度、计算速度和对奇异的分辨率等方面的比较，对这两个方法有了一个较详细的了解，得到了一些有用的结论。
关键词： WENO方法；间断Galerkin方法；高精度方法。
AbstractWENO methods is based on the ENO methods by Liu, Osher, who in 1994 proposed a new type of high-precision, high-resolution format. WENO format not only inherits the good features of ENO format, that is interrupted in the vicinity to maintain good resolution capability, but also through the introduction of changes in the weighting factors to form a smooth solution of the truncation error of areas the number had further increased, the format stability, there has been further strengthened.The research of the discontinuous Galerkin methods has been an important issue of numerical computation. Due to the development of scientists, the discontinuous Galerkin method shows its unprecedented efficiency in many aspects and plays an important part in solving those problems that contain discontinuities. It has widely applied to hydrodynamics, gas dynamics and wave propagation. In mathematics, it is effective in solving elliptic equations, hyperbolic conservation laws and also diffusion equations.In this paper，we discuss in detail for solving hyperbolic conservation laws equations of two high-precision numerical methods, namely, WENO methods and discontinuous Galerkin methods, and show a number of typical problems numerical comparative tests, by accuracy, computing speed and the resolution of such exotic in comparison, we can get a more detailed understanding of these two methods and obtain some useful conclusions.Key words: WENO Method;Discontinuous Galerkin Method; High-precision method.表目录表1 WENO方法和间断Galerkin方法求解线性双曲型方程的精度比较 (31)表2 WENO方法和间断Galerkin方法CPU时间比较 (34)表3 一维激波管问题WENO方法和间断Galerkin方法CPU时间比较 (36)表4 二维标量方程WENO方法和间断Galerkin方法CPU时间比较 (39)图目录图1 Burgers方程光滑初值问题的数值解图 (32)图2 Burgers方程间断初值问题的数值解图 (33)图3 Buckley-Leverett问题的数值解图 (34)图4 Lax问题的密度解示意图 (35)图5 Sod问题的密度解示意图 (35)图6 Shu-Osher问题的密度解示意图 (36)图7 Burgers方程在t=0.2时的示意图 (37)图8 Burgers方程在t=0.3时的示意图 (38)图9 Burgers方程在t=0.5时的示意图 (38)图10 运动波峰问题的示意图。
计算riemann-liouville分数阶积分和导数的数值算法
计算riemann-liouville分数阶积分和导数的数值算法计算Riemann-Liouville分数阶积分和导数的数值算法在数学领域，Riemann-Liouville分数阶积分和导数是一种特殊的积分和导数形式，它们在描述非整数阶微积分和微分方程中具有重要的应用价值。
而计算Riemann-Liouville分数阶积分和导数的数值算法，也是当前研究的热点之一。
本文将从深度和广度两方面进行全面评估，并据此撰写一篇有价值的文章，帮助读者更好地理解这一主题。
一、Riemann-Liouville分数阶积分和导数概述Riemann-Liouville分数阶积分和导数是一种非整数阶的积分和导数形式，其定义如下：对于分数阶积分：\[ \prescript{C}{a}{\mathbf{D}^{\alpha}_{t} }f(t) =\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \int_{a}^{t} (t-\tau)^{n-\alpha-1}f(\tau)d\tau \]对于分数阶导数：\[ \prescript{C}{a}{\mathbf{D}^{\alpha}_{t} }f(t) =\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \frac{d^{n}}{dt^{n}} \int_{a}^{t} (t-\tau)^{n-\alpha-1}f(\tau)d\tau \]其中，\( \Gamma(\cdot) \) 为Gamma函数，\( n-1<\alpha<n \)为分数阶。
Riemann-Liouville分数阶积分和导数在描述一些非整数阶微分方程、分数阶控制系统中具有重要的应用价值。
二、计算Riemann-Liouville分数阶积分和导数的数值算法针对Riemann-Liouville分数阶积分和导数的数值计算，目前已经有多种算法被提出并得到了广泛应用。
这些算法可以大致分为两类：基于离散化的算法和基于逼近的算法。
常微分方程平衡点及稳定性研究
摘要本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。
这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。
在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。
所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。
在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--的平衡点1x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。
关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性AbstractIn this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1x=of the following delay single population model()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (I)第1章引言 (1)第2章微分方程平衡点及稳定性分析 (3)2.1 平衡点及稳定性定义 (3)2.2 自治系统零解的稳定性 (4)2.2.1 V函数 (4)2.2.2 Liapunov稳定性定理 (5)2.3 非自治系统的稳定性 (8)2.3.1 V函数和k类函数 (8)2.3.2 零解的稳定性 (10)2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 (14)2.4.1 相关定义 (14)2.4.2 判定平衡点稳定性的方法 (14)2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 (15)2.5.1 相关定义 (15)2.5.2 判定平衡点稳定性的方法 (15)第3章一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 (17)3.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性 (17)3.2 微分方程(3-1)的全局吸引性 (19)第4章常微分方程稳定性的一个应用 (23)第5章结论 (25)参考文献 (27)致谢 (29)第1章引言20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理化学生物天文）和社会科学（如工程经济军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。
一类双曲型守恒律方程组的初边值问题
上海大学硕士学位论文一类双曲型守恒律方程组的初边值问题姓名：姚爱娣申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：盛万成20070401摘要双曲型守恒律方程（组）的初值和初边值问题一直是数学家和物理学家关注的热点问题．边界熵条件的提出解决了一般初边值问题的不适定同题．初边值问题在理想悬浮物的沉积理论及控制论等中有广泛的应用．本文主要考虑构造一个含有乒波解的一类双曲型守恒律方程组的初边值问题的解．利用ＤｕｂｏｉｓＦ和ＬｅＦｌｏｃｈＰ在Ｊ．Ｄｉｆｆ．Ｅｑｕｓ．（１９９８，７１）中所得到的结果，选取一对合适的熵流对，使得在边界ｚ＝０上得到了一个边界熵条件．通过求解相应的Ｒｉｅｍａｎｎ问题，并利用这个边界熵条件及基本波的相互作用构造性的得到了方程组初边值问题的解．类似于一个边界的情况，又给出了边界ｚ＝１上的熵条件，进而得到了具有两个边界的初边值问题的解的构造．这里的初边值都是分段常数．关键词・初边值问题，相互作用，乒激波，熵流对，边界熵条件，Ｒｉｅｍａｎｎ问题．ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍａｎｄｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｓｙｓ－ｔｅｍｆｏｒｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｆｏｒａａｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｅａｒｃｈｆｉｅｌｄｆｏｒｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎａｎｄｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｐｈｙｓｉｃｉｓｔｌｏｎｇｔｉｍｅ．Ｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｍａｋｅｓｔｈｅｃａｎｖａｌｕｅｐｒｏｂ－ｏｆｌｅｍｂｅｗｅｌｌ－ｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｉｄｅａｌｂｅａｐｐｌｉｅｄｗｉｄｅｌｙｉｎｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｓｅｄｉｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎｓａｎｄｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｆｏｒｉｕｌｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆａｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｓｙｓｔｅｍｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｗｉｔｈ８－ｓｈｏｃｋｗａｖｅ￥．Ａｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ￡＝０ｊ８ｄｅｒｉｖｅｄｔｈａｎｋｓｔｏＤｕｂｏｉｓＦａｎｄＬｅＦｌｏｃｈＰ’ｓｂｙｔａｋｉｎｇａｒｅｓｕｌｔｓ（Ｊ．Ｄｉｆｆ．Ｅｑｕｓ．，１９９８，７１）ｓｕｉｔａｂｌｅｅｎｔｒｏｐｙ－ｆｉｕｘｐａｉｒ．ＢｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｉｓｏｂｔａｉｎｅｄＲｉｅｍａｕｎｂｙｐｒｏｂｌｅｍ，ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｅｏｕｓｔｒｕｃｔｉｖｅｌｙｂｏｕｎｄａｒｙｏｆｏｎｅｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｏｆｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｗａｖｅｓ．Ａｎａｌｏｇｕｅｔｏｔｈｅｃａｓｅｂｏｕｎｄａｒｙ，ｗｅｏｂｔａｉｎａｌｓｏｇｉｖｅｔｈｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｎｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ善＝１．ｔｈｅｎｗｅｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｄａｔａｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｔａｔｅｓ．ｗｉｔｈｔｗｏｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ．Ｈｅｒｅ，ｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙＫｅｙｗｏｒｄｓ：ａｙｅｐｉｅｃｅｗｉｓｏｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ，ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｏｆｅｌｅｍｅｎｔａｒｙＷａＶｅｓ，Ｒｉｅｍａｎｕｐｒｏｂｌｅｍ，５－ｓｈｏｃｋＶｉＲＶｅ８，ｅｎｔｒｏｐｙ－ｆｌｕｘｐａｉｒ，ｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．原创性声明本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作．除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文不包含其他人已发表或撰写过的研究成果．参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．０７．＆２－０本论文使用授权说明本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即－学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容．（保密的论文在解密后应遵守此规定）繇娥姊臌。
数学中的非线性偏微分方程与方法论
总结
物理意义
非线性偏微分方程是描述 自然界中很多现象的数学 模型，具有重要的物理意 义。
数学难题
应用前景
研究进展
非线性偏微分方程的数学 性质复杂，相关的数学难 题是数学家们研究的重点 之一。
非线性偏微分方程在物理 学、工程学等领域具有广 泛的应用前景，对于理解 和解决实际问题具有重要 意义。
目前关于非线性偏微分方 程的研究进展迅速，涉及 到数值方法、理论分析等 多个方面。
数学难题和研究进展
Navier-Stokes方程的非线 性性质导致了很多数学难 题，目前研究仍在进行中， 取得了一些进展。
S c h r öd i n g e r 方 程
01 量子力学中的地位和作用
量子力学是描述微观粒子行为的重要理论， 而Schrödinger方程是量子力学的基础方程之 一。
02 波函数解释和统计物理学意义
非线性反应-扩散 方程的数值解法
非线性反应-扩散方 程是描述许多物理现 象的重要数学模型。 在数值模拟中，我们 需要考虑扩散系数和 反应速率对解的影响。 误差分析和收敛性检 验是评估数值解法有 效性的重要步骤。
非线性波动方程的数值模拟
有限差分离 散
离散化过程
波的传播和 干涉
现象分析
稳定性分析
数值模拟性质
● 04
第四章 非线性偏微分方程的 解析理论
非线性偏微分方程的解的存在 性定理
01 Leray-Schauder定理
解的存在性和唯一性
02 Sobolev空间
在存在性定理中的应用
03 解的存在性与正则性
关系及应用
拉普拉斯算子的谱理论
本征函数
描述 性质
谱理论应用
复Riemann曲面上的度规理论
复Riemann曲面上的度规理论复Riemann曲面上的度规理论是数学中关于复函数的研究的一个重要分支。
它探讨了在复Riemann曲面上定义的度规和度量空间的性质，为解决一类具有复变量的微分方程提供了理论基础。
本文将介绍复Riemann曲面上度规理论的基本概念和主要结果。
一、复Riemann曲面回顾复Riemann曲面指的是一个具有复结构的二维流形。
其上的每一点都有一个邻域，可以用一个复变量来描述，并且在不同邻域之间存在一系列复变量之间的变换。
复Riemann曲面可以通过将复平面剪开并粘合得到，也可以通过其他方式构造。
复Riemann曲面是研究复函数理论的重要对象。
二、复Riemann曲面上的度规在实分析中，度量是度量空间中点之间距离的概念。
类似地，在复Riemann曲面上也可以定义度规，用于度量点之间的距离。
复Riemann曲面上的度规是一个正定对称双线性形式，将两个切向量映射到一个复数。
通过适当选择基底，度规可以表示为一个矩阵。
三、复Riemann曲面上的度规流形复Riemann曲面上的度规可以构成一个流形，称为度规流形。
度规流形是一个无穷维空间，包含了所有复Riemann曲面上的度规。
对于给定曲面上的点，度规流形上的一个切向量可以看作是该点处的切向量场。
四、复Riemann曲面上的度规流形的欧氏结构度规流形上可以定义一个欧氏结构，用于度量流形上切向量场之间的距离。
欧氏结构可以通过内积来定义，使得度规流形成为一个希尔伯特空间。
欧氏结构也赋予了度规流形一个自然的拓扑结构。
五、复Riemann曲面上的度规流形的几何性质复Riemann曲面上的度规流形具有一些重要的几何性质。
例如，度规流形上存在一个唯一的测地线，这是一条在度规流形上的最短曲线。
此外，度规流形还具有曲率和连接性等几何性质，它们对于研究复函数在复Riemann曲面上的行为起着重要作用。
六、复Riemann曲面上的度规理论的应用复Riemann曲面上的度规理论在数学以及其他科学领域有广泛的应用。
一类边界奇异带有临界Sobolev指数的非齐次Neumann问题的两个正解的存在性_
第38卷 第10期西南师范大学学报(自然科学版)2013年10月V o l .38 N o .10 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )O c t .2013文章编号:10005471(2013)10003404一类边界奇异带有临界S o b o l e v 指数的非齐次N e u m a n n 问题的两个正解的存在性①宋园园, 吴行平, 唐春雷西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:主要研究了一类边界奇异带有临界S o b o l e v 指数的非齐次N e u m a n n 问题.运用E k e l a n d 变分原理和山路引理,得到了该问题两个正解的存在性.关 键 词:边界奇异;临界S o b o l e v 指数;非齐次N e u m a n n 问题;E k e l a n d 变分原理;山路引理中图分类号:O 176.3文献标志码:A本文主要考虑边界奇异的椭圆方程-Δu -μu |x |2+λu ={|u |2*-2u }+f (x ) x ɪΩ췍u 췍υ=0 x ɪ췍Ω\{0ìîíïïïï}(1)其中Ω⊂R N (N ȡ3)是有光滑边界的有界开区域,0ɪ췍Ω,0ɤμ<μ=(N -2)24,λ是正常数,2*=2N N -2是临界S o b o l e v 指数,f ɪL 2(Ω),f >0,υ是췍Ω的单位外法向.许多学者研究了带有S o b o l e v 临界指数的半线性椭圆方程[1-9].对于方程(1),当μ=0,f (x )=0时,文献[1]利用没有(P S )条件的山路引理得到一个正解;当μʂ0,f (x )=0时,文献[2]在N ȡ5的情况下得到一个正解;文献[3]研究了带有一般非线性形式g (x ,u )的低阶小扰动.但当μʂ0,0ɪ췍Ω时,还没有人研究带有非其次项f (x )的N e u m a n n 问题.由于方程(1)在原点奇异并且含有临界S o b o l e v 指数,嵌入H 1(Ω)⤿L 2*(Ω)和H 1(Ω)⤿L 2(Ω,|x |-2)不具有紧性,从而,方程(1)所对应的能量泛函不满足(P S )条件,但可以证明它满足局部的(P S)条件(见后文).本文中C i 或c i 将用来表示各种正常数,B r (x )表示以x 为中心,r 为半径的球, ㊃ 和 ㊃ L p (Ω)分别标记H 1(Ω)和L p (Ω)空间的范数,H (0)表示在原点处边界的平均曲率.在文献[3]中,作者J .C h a b r o w s k i 给出:当0ɪ췍Ω时,对任何ε>0,都存在C (ε)>0,使得ʏΩu 2|x |2d x ɤ1μ+æèçöø÷εʏΩ|∇u |2d x +C (ε)ʏΩu 2d x u ɪH 1(Ω)因此,μ*=i n f {ʏΩ(|∇u |2+λu 2)d x :u ɪH 1(Ω),ʏΩu 2|x |2dx =1}>0.当0ɤμ<μ*时,定义等价范①收稿日期:20130328基金项目:国家自然科学基金资助项目(11071198).作者简介:宋园园(1986),女,山西天镇人,硕士研究生,主要从事非线性泛函分析的研究.通信作者:唐春雷,教授,博士生导师.Copyright ©博看网. All Rights Reserved.数 u =ʏΩ(|∇u |2-μu 2|x |2+λu 2)d æèçöø÷x 12.本文的主要结果为:定理1 假设0ɤμ<m i n {μ*,μ},λ>0,f ɪL 2(Ω)满足f >0和H (0)>0,则存在正数δ>0,使得当 f L 2(Ω)ɤδ时,方程(1)至少存在两个正解u 1,u 2,满足I (u 1)<0<I (u 2).方程(1)所对应的能量泛函为I (u )=12ʏΩ|∇u |2-μu 2|x |2+λu æèçöø÷2d x -12*ʏΩ(u +)2*d x -ʏΩf u d x 根据H a r d y 不等式㊁S o b o l e v 不等式[3]得I ɪC 1(H 1(Ω),R ).方程(1)的弱解与I 在H 1(Ω)上的临界点一一对应.称u 是方程(1)的弱解,若对于任何v ɪH 1(Ω),有<I ᶄ(u ),v >=ʏΩ(∇u ㊃∇v -μu v |x |2+λu v )d x -ʏΩ(u +)2*-1v d x -ʏΩf v d x =0最佳S o b o l e v 常数S μ=i n f u ɪD1,2(RN )\{0}ʏR N (|∇u |2-μu 2|x |2)d x ʏRN|u |2*d ()x22*与Ω⊂R N 无关,从而S μ(Ω)=S μ(R N )=S μ.对于ε>0,函数族u *ε(x )=C N εN -22(ε2|x |γᶄμ+|x |γμ)μ(这里γᶄ=μ-μ-μ,γ=μ+μ-μ,C N =4N (μ-μ)N -æèçöø÷2N -24.)是方程-Δu -μu |x |2=|u |2*-2u x ɪR N \{0}的解,并且有ʏR N (|∇u *ε|2-μ|u *ε|2|x |2)d x =ʏR N|u *ε|2*d x =S N 2μ令μ**=m i n {μ*,μ}.对于任何ε>0和0ɤμ<μ**,令u ε(x )=εN -22ε2|x |γᶄμ+|x |γ()μμ引理1 假设0ɤμ<μ**,λ>0和f ɪL 2(Ω),则对于c <12NS N2μ-C f 2L 2(Ω),泛函I 满足(P S )c条件.证 设{u n }⊂H 1(Ω)是I 的(P S )c 序列,则存在C 1>0使得|I (u n )|ɤC 1和<I ᶄ(u n ),u n >ɤC 1 u n .于是C 1(1+ u n )ȡI (u n )-12*<I ᶄ(u n ),u n >=(12-12*) u n 2-(1-12*)ʏΩf u n d x ȡ(12-12*) u n 2-(1-12*) f L 2(Ω) u n 因此{u n }有界.从而,存在子序列(仍记为{u n }),使得在H 1(Ω)中,u n ⇀u ;在L r(Ω)中,u ңn u ,1<r <2*;在Ω中几乎处处成立u n (x ң)u (x ).显然,ʏΩf u n d ңx ʏΩf u d x .令v n =u n -u ,由I (u n ң)c (ңn ɕ)和B r e z i s -L i e b 引理[4]知I (u n )=12 v n 2+12 u 2-12*ʏΩ|v +n |2*d x -12*ʏΩ|u +|2*d x -ʏΩf (x )u nd x +o (1)=53第10期 宋园园,等:一类边界奇异带有临界S o b o l e v 指数的非齐次N e u m a n n 问题的两个正解的存在性Copyright ©博看网. All Rights Reserved.I (u )+12 v n 2-12*ʏΩ|v +n |2*dx +o (1)=c +o (1)(2)由<I ᶄ(u n ),u n ң>0和B r e z i s -L i e b 引理知 v n 2+u 2-ʏΩ|v +n |2*dx -ʏΩ|u +|2*d x -ʏΩf u d x =o (1)(3)l i m ңn ɕ<I ᶄ(u n ),u n >= u 2-ʏΩ|u +|2*d x -ʏΩf u dx =0(4)又由(4)式知I (u )=(12-12*)u 2d x -(1-12*)ʏΩf u d x ȡ(12-12*) u 2d x -(1-12*) f L 2(Ω)u ȡ-C f 2L 2(Ω)(5)这里C =(N +2)216.由(3)式和(4)式知, v n 2-ʏΩ|v +n |2*dx =o (1).因此,不失一般性,我们可以得到l i m ңn ɕ v n 2=l i m ңn ɕʏΩ|v +n |2*d x =l (l ȡ0).若l =0,则 v n ң20(ңn ɕ),引理1得证;若l >0,根据文献[3]的引理3.1可以得到,对于任何ε>0,存在C 1(ε)使得ʏΩ(|∇v n |2-μv n 2|x |2+λv 2n )d x +C 1(ε)ʏΩv 2n d x ȡ(2-2N S μ-ε)(ʏΩ|v +n |2*d x )22*则当ңn ɕ时,l ȡ(2-2NS μ-ε)l 22*,由l ʂ0和ε的任意性知l ȡ12S N2μ,而由(2)式知I (u )=c -l 2+l 2*ɤc -12NS N2μ<-C f 2L 2(Ω)与(5)式矛盾.因此,当ңn ɕ时, v n ң20,即在H 1(Ω)中,u ңn u (ңn ɕ).引理2 假设0ɤμ<μ**,则存在正数δ1>0,使得当 f L 2(Ω)ɤδ1时,存在α>0和ρ>0满足i n f u =ρI (u )ȡα>0.证 由S o b o l e v 不等式知,存在C 2>0使得I (u )=12 u 2-12*ʏΩ|u +|2*d x -ʏΩf u d x ȡ12 u 2-C 2 u 2*- f L 2(Ω)u 则存在δ1>0,使得当 f L 2(Ω)ɤδ1时,存在α>0和ρ>2δ1>0满足in f u =ρI (u )ȡα>0.定理1的证明定义d (u ,v )= u -v ,则度量空间(B ρ(0),d )是完备的.通过E k e l a n d 变分原理,存在一个(P S )c 序列{u n }⊂B ρ(0),且c 1=i n f B ρ(0)I (u ).下证c 1<0.由f >0,则存在v ɪH 1(Ω)使得ʏΩf v d x >0.于是存在δ2>0,使得当0<t <m i n {δ2,ρ v ,2ʏΩf v +d xv 2}时,I (t v )=t 22 v 2-t 2*2*ʏΩ|v +|2*dx -t ʏΩf v d x <0因此c 1<0.取δ3>0,使得当 f L 2(Ω)ɤδ3时,有12NS N2μ-C f L 2(Ω)>0.从而由引理1知,I 有一个临界点u 1满足I (u 1)=c 1<0.又因为<I ᶄ(u 1),u -1>=- u -1 2-ʏΩf u -1d x =0,而u -1=m i n {u 1,0}ȡ0和f >0,所以u-1=0,因此u 1ȡ0.根据强极大值原理(文献[5]的定理8.19),u 1是方程(1)的正解.相似于文献[6]的引理2.3,由f ȡ0可得s u p t ȡ0I (t u ε)ɤs u p t ȡ0t22ʏΩ(|∇u ε|2-μu 2ε|x |2+λu 2ε)d x -t 2*2*ʏΩ|u ε|2*d éëêêùûúúx =63西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1N ʏΩ(|∇u ε|2-μu 2ε|x |2+λu 2ε)d x (ʏΩ|u ε|2*d x )22æèçççöø÷÷÷*ɤ12N S N 2μ-C 3εμμ-μ由l i m ңt +ɕI (t u εң)-ɕ知,存在t 0>0使得 t 0u ε >ρ和I (t 0u ε)<0.定义c 2=i n f h ɪΓm a x t ɪ[0,1]I (h (t ))这里Γ={h ɪC ([0,1],H 1(Ω))ʒh (0)=0,h (1)=t 0u ε}.取δ=m i n δ1,δ3,εμ2μ-{}μ>0,使得当 f L 2(Ω)ɤδ时,有c 2<s u p t ȡ0I (t u ε)ɤ12N S N 2μ-C 3εμμ-μ<12NS N 2μ-C f 2L 2(Ω).结合引理2,根据山路引理和引理1知,I 有一个临界点u 2,且I (u 2)=c 2ȡα>0.类似地,由强极大值原理知,方程(1)存在另一个正解u 2.因此,方程(1)有两个正解u 1,u 2,满足I (u 1)<0<I (u 2).参考文献:[1]WA N G X u -j i a .N e u m a n nP r o b l e m s o f S e m i l i n e a r E l l i p t i cE q u a t i o n s I n v o l v i n g C r i t i c a l S o b o l e vE x p o n e n t s [J ].JD i f f e r e n -t i a l E qu a t i o n s ,1991,93:283-310.[2] HA NP i -g o n g ,L I U Z h a o -x i a .P o s i t i v eS o l u t i o n s f o rE l l i p t i cE q u a t i o n s I n v o l v i n g C r i t i c a lS o b o l e vE x p o n e n t a n d H a r d y T e r m sw i t hN e u m a n nB o u n d a r y C o n d i t i o n s [J ].N o n l i n e a rA n a l ,2003,55:167-186.[3] C HA B R OW S K I J .O n a S i n g u l a rN e u m a n nP r o b l e mf o r S e m i l i n e a r E l l i p t i cE q u a t i o n sw i t hC r i t i c a l S o b o l e vE x p o n e n t a n d L o w e rO r d e rT e r m s [J ].JF i x e dP o i n tT h e o r y A p pl ,2007(2):333-352.[4] B R E Z I S H ,N I R E N B E R G L .P o s i t i v eS o l u t i o n so fN o n l i n e a rE l l i p t i cE q u a t i o n sI n v o l v i n g C r i t i c a lS o b o l e vE x p o n e n t s [J ].C o mm P u r eA p plM a t h ,1983,36(4):437-477.[5] G I L B A R GD ,T R U D I N G E RNS .E l l i p t i cP a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s o f S e c o n dO r d e r [M ].B e r l i n :S p r i n g e r -V e r l a g ,2001.[6] L I UZ h i -y a n g .E x i s t e n c e o f t h eP o s i t i v eS o l u t i o n s f o rS o m eB o u n d a r y S i n g u l a r i t y E l l i p t i cE q u a t i o nw i t hC r i t i c a lH a r d y -S o b o l e vE x p o n e n t [J ].I E R IP r o c e d i a ,2012(3):34-40.[7] S HA N G Y a n -y i n g ,T A N GC h u n -l e i .P o s i t i v e S o l u t i o n s f o rN e u m a n nE l l i p t i cP r o b l e m s I n v o l v i n g C r i t i c a lH a r d y -S o b o l e v E x p o n e n tw i t hB o u n d a r y S i n g u l a r i t i e s [J ].N o n l i n e a rA n a l ,2009,70(3):1302-1320.[8] 杜其武,唐春雷.具有加权H a r d y -S o b o l e v 临界指数的半线性椭圆方程的无穷多个任意小解[J ].西南大学学报:自然科学版,2011,33(6):131-135.[9] 欧增奇,唐春雷.一类半线性椭圆方程解的存在性[J ].西南师范大学学报:自然科学版,2007,32(1):1-5.E x i s t e n c e o f T w oP o s i t i v e S o l u t i o n s f o r a n I n h o m o ge n e o u sN e u m a n n P r o b l e mI n v o l v i n g C r i t i c a l S o b o l e vE x p o n e n t w i t hB o u n d a r y S i n gu l a r i t i e s S O N G Y u a n -y u a n , WU X i n g -p i n g , T A N GC h u n -l e i S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s ,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g 400715,C h i n a A b s t r a c t :T h e e x i s t e n c e o f t w o p o s i t i v e s o l u t i o n s a r e o b t a i n e d f o r a c l a s s o f i n h o m o g e n e o u sN e u m a n n p r o b -l e mi n v o l v i n g c r i t i c a l S o b o l e v e x p o n e n tw i t hb o u n d a r y s i n g u l a r i t i e sb y u s i n g E k e l a n dv a r i a t i o n a l p r i n c i p l e a n d M o u n t a i nP a s s l e mm a .K e y wo r d s :b o u n d a r y s i n g u l a r i t i e s ;c r i t i c a l S o b o l e v e x p o n e n t ;i n h o m o g e n e o u sN e u m a n n p r o b l e m ;E k e l a n d v a r i a t i o n a l p r i n c i pl e ;M o u n t a i nP a s s l e mm a 责任编辑 廖 坤73第10期 宋园园,等:一类边界奇异带有临界S o b o l e v 指数的非齐次N e u m a n n 问题的两个正解的存在性Copyright ©博看网. 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双解析函数在开口弧段上的Riemann边值逆问题
双解析函数在开口弧段上的Riemann边值逆问题鄢盛勇【摘要】给出了双解析函数在开口弧段上Riemann边值逆问题及正则型与非正则型的提法.利用双解析函数与解析函数在开口弧段上Riemann边值问题相关理论,得到了正则型情况下双解析函数在开口弧段上Riemann边值逆问题的可解条件及解表达式.【期刊名称】《云南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(021)002【总页数】5页(P125-129)【关键词】Riemann边值逆问题;双解析函数;开口弧段;正则型【作者】鄢盛勇【作者单位】四川教育学院数学系,四川成都611130【正文语种】中文【中图分类】O175.8解析函数论已被广泛应用于理论物理、天体力学和工程技术等诸多方面，与数学中其它分支也有紧密联系．作为它在高阶上的一种重要推广形式双解析函数也有着重要理论意义和应用背景．文献［1－6］中讨论了双解析函数的不少边值问题，另一方面解析函数的边值逆问题研究也已起步［7－15］，特别文献［7］中讨论了双解析函数在封闭曲线上一类特殊的Riemann边值逆问题．本文考虑了双解析函数在开口弧段上一般形式的Riemann边值逆问题，给出了该问题在正则型情况下的解法．1 问题的解法设L=是一条从a到b的开口光滑弧段(自a到b取作正向)．本文提出L上的双解析函数的Riemann边值逆问题(简记为问题)为：求函数对(Φ(z)，Ψ(t))，其中Φ(z)为全平面用L剖开后所成的区域S中的双解析函数，Ψ(t)为H(L)类的系数函数，满足下列边值条件．其中 Gljk(t)，glj(t)，flj(t) ∈ H(L)，(l，j，k=1，2) 都是 L 上的已知函数．显然 Glj(t)，fj(t) ∈ H(L)(l，j=1，2)．若Glj(t)≠0，(l，j=1，2)则称问题˜R为正则型的;否则，称问题˜R为非正则型的．称数对(κ1，κ2)(在后文中给出)为问题˜R在相应函数类中的指标．我们总在˜R－1中求解，即要求Φ(∞)=0．下面考虑正则型情况．2 正则型问题的解法将(1)中第1式两端乘以g12(t)与第2式两端乘以g11(t)后相减，将第3式两端乘以g22(t)与第4式两端乘以g21(t)后相减得：双解析函数可表示为：Φ(z)= ¯zΦ1(z)+ Φ2(z)，其中Φ1(z)，Φ2(z)为任意解析函数［1］．将此代入(2)得：2．1 先考虑齐次型：因G2j(t)≠0，(j=1，2)，则(3)中第2式可变为：其中G2(t)=G22(t)/G21(t)∈H(L)且≠0，故在L上取定lnG2(t)的一单值连续分支．令易见它在S中全纯，Γ1(∞)=0，在a，b附近一般有对数型奇异性．其中已令而Φ1a(z)，Φ1b(z)分别在a，b附近沿L剖开的邻域Na，Nb中全纯．若在h2类(即要求Φ1(z)在a，b附近都有界)中求解．令λ1a= －［α1a］，λ1b= －［α1b］，而κ1= －(λ1a+λ1b)称为问题(4)在h2类中的指标．再令可见X1(z)在S中全纯，在a，b附近有界，且至多有不到1阶的0点，还满足G2(t)=X+1(t)/X－1(t)．令Φ1(z)=X1(z)Φ11(z)，则(4)式变为Φ+11(t)=Φ－11(t)，即Φ11(z)除a，b外在全平面全纯，又因Φ1(z)，X1(z)都在a，b有界，故Φ11(z)=Φ1(z)/X1(z)在a，b至多有不到1阶的奇异性，从而在a，b也全纯，即Φ11(z)在全平面全纯．又因为Φ(∞)=0，而X1(z)在∞ 处有－κ1阶，所以Φ11(z)在∞ 处至多有κ1－2阶，从而是有κ1－2次任意多项式(κ1＜2时它为0)，即其中Pκ1－2(z)为κ1－2次任意多项式(κ1＜2时它恒等于0)．将(5)式代入(3)中第1式，由于G11(t)≠0，f1(t)=0，整理得其中f(t)=(G1(t)－G2(t))¯tX－1(t)Pκ1－2(t)，G1(t)=G12(t)/G11(t)．令以及取整数λ2a= －［α2a］，λ2b= －［α2b］，同样κ2= －(λ2a+ λ2b)称为问题(6)在 h2类中的指标．再令可见X2(z)性质类似于X1(z)，且G1(t)=X+2(t)/X－2(t)，于是(6)化为：由Plemelj公式可得问题(6)在h2类中的特解为：利用消去法作换元：令Φ2(z)=X2(z)Φ21(z)+Φ20(z)，则(10)式变为，即Φ21(z) 除 a，b外在全平面解析．又Φ(∞)=0，结合Φ(z)的表达式以及(5)式，由文献［14］知：当κ2＞0时，Φ21(z)为κ2－1次多项式，当κ2≤0时Φ21(z)恒为0，且当κ2＜0时还必须满足条件：若在h(a)类(即要求Φ(z)在a附近有界，在b附近允许无界，但要求有可积奇异性)中求解，只需重新令整数λ1b，λ2b满足－ 1 ＜λ1b+ α1b≤0，－ 1 ＜λ2b+α2b≤0，而λ1a，λ2a，κ1，κ2仍如前定义．对于在其它类(h(b)或h0)中求解与此类似．在有解情况下，把Φ1(z)，Φ2(z)表达式代入Φ(z)表达式：其中Pκ1－2(z)，Qκ2－1(z) 分别为κ1 － 2，κ2 － 1 次多项式(κ1 ＜ 2 时Pκ1－2(z)=0;κ2 ＜ 1 时Qκ2－1(z)=0)．再把(8)式代入(1)，并用第1式乘以G121(t)与第2式乘以G111(t)相减得：综上有下述结果．定理1对齐次˜R－1问题，在某类中求解，设在该类中指标为(κ1，κ2)，则当κ1≥1，κ2≥0时无条件可解，解由(8)、(9) 给出(当κ1=1 时Pκ1－2(z)=0;当κ2=0 时Qκ2－1(z)=0);当κ1≥1，κ2 ＜ 0 时当满足条件(7)时可解，解仍然由(8)、(9)给出;当κ1≤0时无条件可解，且解唯一，仍然可由(8)、(9)给出，只是此时Pκ1－2(z)=0，f(t)=0，且当κ2 ＜ 1 时还有Qκ2－1(z)=0)．对于特殊情况．G1jk(t)=G2jk(t)，g1j(t)=g2j(t)，(j，k=1，2) 时，记κ = κ1=κ2，X(z)=X1(z) =X2(z)，有下列结果．定理2对特殊情况的齐次˜R－1问题，在某类中求解，设在该类中指标为κ，则当κ≥1时无条件可解，一般解为(Φ(z)，Ψ(t))：其中当κ =1时Pκ－2(z)=0;当κ≤0时只有0解．2．2 非齐次型对(3)中第2式可变为：其中g(t)=f2(t)/G21(t)，在相应类中κ1，X1(z)仍如前定义．由文献［13］知，当κ1≥1时在相应类中无条件可解，一般解为且当κ1=1 时Pκ1－2(z)=0;当κ1 ＜ 1 时当且仅当条件0，即满足时在相应类中有唯一解，由(11)式给出(其中Pκ1－2(z)=0)．在(10)有解情况下，将其解代入(3)中第1式，并变形为：其中由文献［13］知，当κ2≥0时(13)在相应类中无条件可解，一般解为当κ2≥0时，下列条件：满足时，(13)在相应类中可解．在有解情况下，把(11)、(14)代入Φ(z)表达式：其中Pκ1－2(z)，Qκ2－1(z) 分别为κ1－ 2，κ2－ 1 次多项式．再把(16) 代入(1) 得Ψ(t)．综上有下述结果：定理3对非齐次˜R－1问题，在某类中求解，设在该类中指标为(κ1，κ2)，则当κ1≥1，κ2≥0时无条件可解，解由 (16)，(9) 给出(当κ1=1 时Pκ1－2(z)=0;当κ2=0 时Qκ2－1(z)=0);当κ1≥1，κ2 ＜ 0 时当满足条件(15)时可解，解仍然由(16)，(9)给出;当κ1＜1，κ2≥0时当满足条件(12)时可解，解仍然由(16)，(9)给出;当κ1＜1，κ2＜0时当满足条件(12)，(15)时可解，解仍然由(16)，(9)给出．特殊情况时，G11(t)=G21(t)，G12(t)=G22(t)，故，从而有结果：定理4对特殊情况的非齐次˜R－1问题，在某类中求解，设在该类中指标为κ，则当κ≥1时无条件可解，一般解为(Φ(z)，Ψ(t))：其中当κ=1时Pκ－2(z)=0;当κ =0时，满足条件时有唯一解;当κ＜0时，满足－2κ+1个条件0，j=0，1，…，－κ －1时有唯一解．后2 种情况解都可用(17) 式给出，只是此时Pκ－2(z)=0，Qκ－1(z)=0．参考文献：［1］赵桢．双解析函数与复调和函数以及它们的基本边值问题［J］．北京师范大学学报：自然科学版，1995，31(2)：175－179．［2］王明华．双解析函数的性质及其Hilbert边值问题［J］．北京师范大学学报：自然科学版，1998，34(1)：13－20．［3］王明华．双解析函数在开口弧段上的Riemann边值问题［J］．渝西学院学报：自然科学版，2002，1(3)：5－8．［4］曾岳生．有界区域上双解析函数的积分表示［J］．怀化学院学报，2002，21(2)：3－6．［5］谢碧华，林娟．双解析函数的一般复合边值问题［J］．福建师范大学学报：自然科学版，2009，25(4)：22－25．［6］曾岳生．双解析函数的Haseman边值问题［J］．系统科学与数学，2004，24(3)：417 －423．［7］王明华．双解析函数的Riemann边值逆问题［J］．四川师范大学学报：自然科学版，2003，26(2)：132－134．［8］赵春．一类开口弧段的Riemann边值问题的逆问题［J］．宁夏大学学报：自然科学版，1996，17(1)：7－8．［9］王明华．一类Dirichlet边值逆问题［J］．系统科学与数学，2008，28(2)：225 －231．［10］王明华．双解析函数一类含参变未知函数的Riemann边值问题［J］．四川师范大学学报：自然科学版，2004，27(5)：481－485．［11］李星．一类 Riemann边值逆问题［J］．数学杂志，1996，16(3)：303－306．［12］王明华．一类 Riemann－Hilbert边值逆问题［J］．纯粹数学与应用数学，2006，22(4)：532 －537．［13］鄢盛勇．解析函数的非正则型Riemann－Hilbert边值逆问题［J］．兰州理工大学学报，2011，37(2)：141－145．［14］鄢盛勇．开口弧段上的 Riemann边值逆问题［J］．云南民族大学学报：自然科学版，2011，20(2)：107－112．［15］路见可．解析函数边值问题［M］．上海：上海科学技术出版社，1987．。