数学史

三、文明的传播者——斐波那契 文明的传播者 斐波那契
意大利比萨 中世纪最杰出的数学家 Indeterminate analysis and Number Theory:
• 著作有 种： 著作有5 （1）《算盘书》liber bbaci 算盘书》 （2）《实用几何》Practica geometriae 实用几何》 （3）《花》Flos （4）给帝国哲学家锹奥多鲁斯 给帝国哲学家锹奥多鲁斯Omar Khayyam 锹奥多鲁斯 的一封未注明日期的信； 的一封未注明日期的信； （5）《平方数书》 平方数书》 The Book of Square Number
（1）水池问题 （2）兔和狗问题 （3）给与取问题:x+7=5(y-7)，y+5=7(x-5) 给与取问题: （4）求钱数问题 （5）已经注意到负数及其运算 （6）中国剩余问题 （7）吃羊问题等等. 吃羊问题等等. 2、向欧洲人介绍了印度—阿拉伯数码 向欧洲人介绍了印度—
x ≡ 1(mod 2) x ≡ 2(mod 3) x ≡ 3(mod 4) ⇒ xmin ≡ 119. x ≡ 4(mod 5) x ≡ 5(mod 6) x ≡ 0(mod 7)
狮子吃一只羊用４小时，豹子吃一只羊用 狮子吃一只羊用４小时， 小时，熊吃一只羊用６小时， ５小时，熊吃一只羊用６小时，问：它们 一起吃一只羊用几小时？ 一起吃一只羊用几小时？
• 兔子的问题－Fibonacci sequence 兔子的问题 问题－ • “如果每对大兔每月能生育一对小兔,而每对 如果每对大兔每月能生育一对小兔, 小兔经过两个月后才能长成大兔, 小兔经过两个月后才能长成大兔,那么由一对 小兔开始,一年后可繁殖成多少对兔子？ 小兔开始,一年后可繁殖成多少对兔子？” • 斐波那契数列： 斐波那契数列： 1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8, 13 , 21 , 34，...... ， • 其特征是： 其特征是：
Nicole Oresme
2.尼莫拉利厄斯 尼莫拉利厄斯(1225-1260,Nemorarius,德) 尼莫拉利厄斯 德 • 证明了 证明了x(x+1)非平方数，也非立方数； 非平方数， 非平方数 也非立方数； • 用字母表示已知量与未知量，是代数符号系 用字母表示已知量与未知量， 统朝现代形式发展的开始. 统朝现代形式发展的开始 3.莱维 莱维(Levi be Gerson,1288-1344,法) 莱维 法 • 发现了平面三角学中的正弦定理； 发现了平面三角学中的正弦定理； • 发明了测量角的仪器； 发明了测量角的仪器；
3 2
5、其他著作： 其他著作： (1)《实用几何》 (1)《实用几何》Practica Geometriae 1220年问世，共八章，Fibonacci在这部著作 年问世，共八章， 年问世 在这部著作 中不仅通俗地讲授度量问题， 中不仅通俗地讲授度量问题，而且还讲述了一 些几何的证明方法. 些几何的证明方法. (2)《平方数书》The book of Square Number (2)《平方数书》 约于1225年问世，这部关于不定分析的光辉 年问世， 约于 年问世 有独创性的著作使他成为Diophantus和 的、有独创性的著作使他成为 和 Fermat之间这一领域的杰出数学家. 之间这一领域的杰出数学家. 之间这一领域的杰出数学家
u1 = u2 = 1, un = un−1 + un− 2
• 通项公式 ：
1 1+ 5 n 1− 5 n un = [( ) −( ) ] 2 2 5
Fibonacci sequence的性质和应用
（1）黄金比
un lim = n→ ∞ u n +1 5 −1 2
（2）任何斐波那契数的平方与其两边的两个 斐波那契数的乘积之差为1 斐波那契数的乘积之差为1，即
十~十二世纪的其他数学家 十二世纪的其他数学家
（1）亚伯拉罕.巴尔.希雅(Abraham bar 亚伯拉罕.巴尔.希雅 Hiyya,?-1136) • 倡导使用希伯来文，使之成为西地中海犹 倡导使用希伯来文， 太人的通用文字. 太人的通用文字. • 著作《论测量与计算》 著作《论测量与计算》 （2）伊本.埃兹拉(Meir ibn Ezra,1090-1167) 伊本.埃兹拉 • 把幻方带入欧洲，著作《计算的艺术》 把幻方带入欧洲，著作《计算的艺术》
• 1321年，《计算者的工作》一书中讨论了 1321年 计算者的工作》 排列、组合问题， 排列、组合问题，给出了 n −1 n( n − 1) m n 2 k Cn = Cn −m , Cn = , C n = ∑ C ik −1 2 i = k −1 • 首次给出完全数学归纳法原理的明确形式； 首次给出完全数学归纳法原理的明确形式； • 中世纪欧洲第一位试图证明平行公设的人. 中世纪欧洲第一位试图证明平行公设的人. 4.布拉德瓦丁( 4.布拉德瓦丁(Thomas Bradwardin,1285-1349,法) 布拉德瓦丁 , • 研究了星状多边形和等周问题 • 最早采用“无理”这个术语 最早采用“无理”这个术语. 5、海地斯伯利(Heytesbury,1295-1349) 剃刀原则 、海地斯伯利
x +5= y
2
2
பைடு நூலகம்x −5= z
2
2
G.Cardano在讲述 在讲述Fibonacci的成就时说： 的成就时说： 在讲述 的成就时说 我们可以假定，所有我们掌握的希腊 希腊之外 “我们可以假定，所有我们掌握的希腊之外 的数学知识都是由于Fibonacci的存在而得到 的数学知识都是由于 的存在而得到 他在L.帕奇欧里以前很久，就从印度 帕奇欧里以前很久 印度和 的。他在 帕奇欧里以前很久，就从印度和 阿拉伯取得了这些知识 取得了这些知识。 阿拉伯取得了这些知识。 Fibonacci对古代数 对古代数 学作出了崭新的思考， 学作出了崭新的思考，并且独立地把它推向 前进。在算术方面， 前进。在算术方面，他显示出高度的计算才 度把负数和零作为数。在几何上， 能，度把负数和零作为数。在几何上，他既 具备Euclid的严谨又懂得如何用新的代数方 具备 的严谨又懂得如何用新的代数方 法解几何问题。 法解几何问题。”
1202年 《算盘书》（Liber abbaci） 年 算盘书》 ） 共十五章， 共十五章，分四部分
1、《算盘书》是关于算术和初等代数的著作 算盘书》 ① 新数字的读法和写法 Hindu-Arabic decimal； ； 整数与分数的四则运算； ② 整数与分数的四则运算； 平方根与立方根的计算方法； ③ 平方根与立方根的计算方法； 线性方程和二次方程的解法； ④ 线性方程和二次方程的解法； 商业应用问题； ⑤ 商业应用问题； 趣味问题的解法： ⑥ 趣味问题的解法：
| u − un −1 un + 1 |= 1
2 n
（3）相邻的两个斐波那契数的平方和： 相邻的两个斐波那契数的平方和：
F +F
2 n
2
2 n+1
= F2 n +1
（4）任何四个相继的斐波那契数A,B,C,D,有 任何四个相继的斐波那契数 有
C − B = A× D
2
（5）最后一位数，每60个数一循环； 最后一位数， 60个数一循环； 个数一循环 最后两位数， 300个数一循环 个数一循环； 最后两位数，每300个数一循环； 最后三位数， 1500个数一循环 个数一循环； 最后三位数，每1500个数一循环； 最后四位数， 15000个数一循环 个数一循环； 最后四位数，每15000个数一循环； 最后五位数， 150000个数一循环等 个数一循环等. 最后五位数，每150000个数一循环等. 每第三个数可被2整除； （6）每第三个数可被2整除； 每第四个数可被3整除； 每第四个数可被3整除； 每第五个数可被5整除； 每第五个数可被5整除； 每第六个数可被8整除，等等. 每第六个数可被8整除，等等. 而这些除数本身也构成斐波那契数列. 而这些除数本身也构成斐波那契数列.
四、十四世纪的数学： 十四世纪的数学： • 黑死病和百年战争 1.奥雷斯姆 奥雷斯姆（ 1.奥雷斯姆（Nicole Oresme,1323～1382,法） ～ 法 第一次使用了分数指数幂； • 第一次使用了分数指数幂； 他用坐标确定点的位置， • 他用坐标确定点的位置，预示了现代坐标 几何学，在一个世纪之后， 几何学，在一个世纪之后，这本小册子得 到多次印刷。 到多次印刷。他还可能影响到文艺复兴时 期的数学家，甚至包括Descartes. 期的数学家，甚至包括 . 在一篇未发表的手稿中， • 在一篇未发表的手稿中，他还得到了级数 和 1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+......这使他成为 这使他成为 无穷小分析的先驱之一. 无穷小分析的先驱之一.
（7）关于初等数论的结果： ）关于初等数论的结果：
x 2 + y 2 and x 2 − y 2 are There is no x,y such that
both squares, and x 4 − y 4cannot be a square. 4、证明了三次方程
x + 2 x + 10 x = 20 的根不可能是整数,不可能是分数,也不可 的根不可能是整数,不可能是分数, 能是Eudlid的无理量,从而第一次表明数 的无理量, 能是 的无理量 系所含的超出了希腊人“ 系所含的超出了希腊人“以尺规作图为准 所限定的数的范围，即证明了Eudlid 则”所限定的数的范围，即证明了 原本》 《原本》第十卷中对无理量的分类并不包 括一切无理量. 括一切无理量.