变力做功

合集下载

变力做功的计算

变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020变力做功的计算公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。

一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。

这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。

但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。

例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。

求此过程中摩擦力所做的功。

图1思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。

图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。

误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。

必须注意本题中的F是变力。

小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。

如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。

［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。

则转动半圆，这个力F做功多少图3答案：。

二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。

如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。

求变力做功的几种方法

求变力做功的几种方法变力做功是物理学中的一个重要概念。

力可以改变物体的状态，让物体移动、加速或减速。

做功就是施加力使物体移动的过程中能量的转移。

以下将介绍几种常见的变力做功的方法。

1.推力做功：将物体推向前方时，施加的力与物体的位移方向一致，即力和位移向量的夹角为0度。

例如，我们推车子或推行李箱时，就是通过推力来做功。

2.拉力做功：这种方式与推力做功相反，即施加的力与物体的位移方向相反，力和位移向量的夹角为180度。

例如，我们拉拽一根绳子或拉弓发射箭矢时，施加的力与物体的运动方向相反。

3.重力做功：重力是地球吸引物体向地心运动的力。

当一个物体从高处下落时，重力对物体做功。

在这种情况下，重力与物体的位移方向相同，力和位移向量的夹角为0度。

4.弹力做功：当有弹簧或橡皮带等弹性物体被拉伸或压缩时，会产生弹力。

弹力做功是将弹性势能转化为动能的过程。

例如，我们拉伸弓弦时，弓的张力对箭矢做功，让它飞行。

5.摩擦力做功：当物体在表面上移动时，与表面接触的粒子之间会产生摩擦力。

摩擦力做功是将机械能转化为热能的过程。

例如，我们用力推动一个滑动在地面上的物体时，摩擦力会做功，使物体停下来。

6.磁力做功：磁力是磁体之间的相互作用力。

当磁场改变时，施加在物体上的磁力会做功。

例如，我们用电磁铁吸起一个金属球时，磁力会做功，将物体从地面抬起。

7.电力做功：电力是在电子之间产生的相互作用力。

当电流通过电阻产生的电阻力与电子的移动方向相对立时，电力会做功。

例如，电流通过电灯丝时，电力会转化为热能和光能，使灯泡发亮。

总结起来，变力做功的方法主要包括推力做功、拉力做功、重力做功、弹力做功、摩擦力做功、磁力做功和电力做功。

通过施加不同的力，我们可以改变物体的状态和能量的转移，从而实现各种实际应用。

变力做功

变力做功
【典型例题】
一辆汽车质量为800千克，从静进的距离变化关系为： F=100x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进20米时，牵引力做的功是多少？（g=10m/s2 ）
分析：由于车的牵引力和位移的关系为：F=100x+ f0，成线性关系，故前进20米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。
【答案】2cm
变力做功
【变式训练】
用锤子把钉子钉入木块中，设每次打击时锤子对铁钉做的功都相等，铁钉进入木块受的阻力跟钉入的深度成正比。如果钉子第一次被钉入的深度为4cm，则第二次打击后可再进入几cm？
变力做功
【解析】
力F与深度s成正比，而在本例中位移就是深度，力F与位移 s满足正比关系，故每次锤子打击铁钉时所做的功可以用公式W=FScosα来计算。W2=F(S2-S1) 第一次打击时锤子对钉子做的功W1=FS1，第二次做的功 W2=F(S2-S1)，设F=ks,有：根据题意W2=W1，解得：S2=2S1，Δs= S2-S1=(2-1) S1=2( 2 1)cm。
变力做功
【等值法】
等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。
【能量转化法】
功是能量转化的量度，已知外力做功情况就可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系可从能量改变的角度来求功。
变力做功
【解析】
由题意可知：开始时的牵引力：F1=f0＝0.05×（800×10）＝400(N) 20米时的牵引力:F2=100×20+400=2400（N）前进20米过程中的平均牵引力：F平 =1400（N）所以车的牵引力做功：W＝F平S＝1400×20＝28000（J）

变力做功的六种常见计算方法

变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。

下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。

方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。

例题1：如图所示。

质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。

解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。

此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。

理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。

例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。

假设机车受到的阻力为恒力。

求机车在运动中受到的阻力大小。

解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。

所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。

在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。

由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。

方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。

例题3：如图所示。

轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。

变力做功的计算

①
根据动能定理，子弹减少的动能用于克服阻力做功，有
②
③
①②③联立求解得。
解法二：设阻力与深度间的比例系数为k，Ff＝ks。由于Ff随位移是线性变化的,所以Ff的平均值为
。
根据动能定理，有
①
②
①②联立求解得。
小结点评:若力随位移按一次方函数关系变化时，求功时可用平均作用力来代替这个变力，用恒力功的公式求功，也可用Ｆ-s图象求功；若力随位移的变化不是一次函数关系，则可用图象求功，而不能用平均值求功。
[发散演习］
如图3所示,某个力Ｆ＝1０Ｎ作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变,但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆,这个力Ｆ做功多少？
图3
答案：3１.4J。
二、图象法
在直角坐标系中,用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。如果作用在物体上的力是恒力,则其F－s图象如图4所示。经过一段时间物体发生的位移为s0，则图线与坐标轴所围成的面积(阴影面积)在数值上等于力对物体做的功Ｗ＝Fs,s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图4(a）所示）,ｓ轴下方的面积表示力对物体做负功（如图4(ｂ）所示)。
图５
例２.子弹以速度射入墙壁，入射深度为ｈ。若子弹在墙中受到的阻力与深度成正比,欲使子弹的入射深度为２h,求子弹的速度应增大到多少？
思路点拨：阻力随深度的变化图象如图6所示,由图象求出子弹克服阻力做的功，再由动能进行求解。
图6
正确解答：解法一：设射入深度为h时，子弹克服阻力做功W１；射入深度为2h时,子弹克服阻力做功W2。由图６可知
。物体的位移。在这一过程中弹力的功在数值上等于图８中梯形OAＤＣ的面积,即，所以物块的最大动能为

变力做功

变力做功问题的计算规律方法公式cos W Fs θ=适用于恒力做功的计算．对于变力做功，一般有以下几种方法：1.微元法：对于变力做功，不能直接用cos W Fs θ=进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用cos W Fs θ=求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功．这种处理问题的方法称为微元法．在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力做功问题．2.平均力法：如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，再利用功的定义式求功．此种情况也可以做出F 随位移L 变化的图象，图象与位移轴所围的“面积”即变力做功的大小．3.利用功能关系法：求变力所做的功，往往根据动能定理、机械能守恒定律和功能原理等规律，用能量的变化量等效代换变力所做的功．这种方法的优点是不考虑变力做功过程中力的大小及方向变化的细节，只考虑变力做功的效果―――能量变化，解题过程简捷，是求变力功的首选方法．4．利用W ＝P t 求功这是一种等效代换的观点，用W ＝Pt 计算功时，必须满足变力的功率是一定的．1.微元法典例一机车以恒定功率P 拖着质量为m 的物体，沿半径为R 的水平圆轨道由静止开始运动一周所用的时间为t ，如图1所示．已知物块与轨道间的动摩擦因数为，求物块获得多大的速度？【精析】物体在运动过程中受到重力、支持力牵引力和摩擦力，其中重力和支持不做功，牵引力做正功、摩擦力做负功，且牵引力和摩擦力都是变力，都不能直接根据功的公式求解．求牵引力做功可根据功率求出W ＝Pt ．求摩擦力的功用微元法．我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果．把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功就等于各小段上做功的代数和，即f W =－2πμmgR ① 求物体运动一周的速度可由动能定理求解．由动能定理：212f Pt W mv -=② 联立①②解得：v =2.平均力法典例静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为（）A ．0B ．021x F m C ．04x F m πD ．204x π 【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确． 3.利用功能关系法：典例如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KBC ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KB【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈A B ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.4．利用W ＝P t 求功典例如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置．在下列三种情况下，分别用水平拉力F 将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F 做的功各是多少？ ⑴用F 缓慢地拉；⑵F 为恒力； ⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零．可供选择的答案有A.θcos FLB.θsin FLC.()θcos 1-FLD.()θcos 1-mgL【精析】⑴若用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，只能用动能定理求解．F 做的功等于该过程克服重力做的功．选D⑵若F 为恒力，则可以直接按定义求功．选B⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的．选B 、D在第三种情况下，由θsin FL =()θcos 1-mgL，可以得到2tan sin cos 1θθθ=-=mg F ，可见在摆角为2θ-时小球的速度最大．实际上，因为F 与mg 的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”．θ L。

变力做功的六种常见计算方法

变力做功的六种常见计算方法第一种方法是曲线切线式。

在物体沿曲线运动的情况下，可以通过计算力的切线分量与物体速度的乘积来确定变力做功的大小。

具体计算方法是，首先需要确定物体在其中一时刻的速度，然后取该时刻的力的切线分量（即与物体速度方向相同的力的分量），最后将该切线分量与物体速度的乘积相乘，即可得到变力做功的大小。

第二种方法是常力法。

在物体受到一定的恒定力作用下，可以通过计算力与物体位移方向的夹角的余弦值再乘上力的大小来确定变力做功的大小。

具体计算方法是，首先需要确定力的大小，然后确定物体的位移方向与力的方向之间的夹角，最后将位移方向与力的方向之间夹角的余弦值乘以力的大小，即可得到变力做功的大小。

第三种方法是分力法。

当物体受到多个力的作用时，可以通过计算各个力的分力与物体位移方向之间的夹角的余弦值再分别乘上各个分力的大小来确定变力做功的大小，然后将各个分力的做功求和即可得到变力做功的总大小。

第四种方法是连续变力法。

在物体受到连续变化的力作用下，可以通过将力的大小关于物体位移的函数表示出来，然后对该函数进行积分来确定变力做功的大小。

具体计算方法是，首先需要确定力对物体位移的函数关系式，然后对该函数进行积分，最后得到的积分值即为变力做功的大小。

第五种方法是有功做功法。

在物体受到非保守力作用下，可以通过计算力的非保守分量与物体位移的乘积再加上势能变化的大小来确定变力做功的大小。

具体计算方法是，首先需要确定力的保守分量与非保守分量，然后将非保守分量与位移的乘积相加，再加上势能变化的大小，即可得到变力做功的大小。

第六种方法是负功做功法。

在物体受到反向力作用下，可以通过计算该反向力的绝对值与物体位移的乘积再乘上负一来确定变力做功的大小。

具体计算方法是，首先需要确定反向力的大小，然后将反向力的绝对值与位移的乘积相乘，并将结果乘以负一，即可得到变力做功的大小。

综上所述，变力做功的六种常见计算方法分别是曲线切线式、常力法、分力法、连续变力法、有功做功法和负功做功法。

求解变力做功的六种方法

• [答案] 50 J
• [易错提醒] F做功的位移等于左边绳的变短的部分，而不等于物体的位移．
13:02
栏目导引
第七章机械能守恒定律13:02
五、用公式W=Pt求解
对于机器以额定功率工作时，比如汽车、轮船、火车启动时，虽然它们的牵引力是变力，但是可以用公式W=Pt来计算这类交通工具发动机做的功。对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据来求牵引力这个变力所做的功。
动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始
终为15 N，方向始终与物体所在位置的切线成37°
角．圆弧所对应的圆心角为60°,
• BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中：
• (1)拉力F做的功；
• (2)重力mg做的功；
•
13:02
(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．
栏目导引
第七章机械能守恒定律13:02
例6. 一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从
平衡位置P点很缓慢地移到Q点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力
F所做的功为：（）
A： mgL cos
B： mgL(1 cos )
C.： FLsin
D： FL cos
13:02
栏目导引
当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．
13:02
栏目导引
第七章机械能守恒定律13:02
• 例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着圆周的切线方向的一个力F的作用下绕圆周运动了一圈，又回到出发点．已知圆周的半径为R，求力F做的功时，可把整个圆周分成很短的间隔Δs1、Δs2、Δs3…在每一段上，可近似认为F和位移Δs在同一直线上并且同向，故

(完整)求解变力做功的十种方法

求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。

那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。

解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。

小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。

二。

微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。

解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。

变力做功公式

变力做功公式
常见的变力做功的方法如下：
1、微元法：对于力的大小不变，但方向时刻发生改变变力做功情况，可以将轨迹细分为无数个小段，每一小段的范围内可以将变力看为恒力。

2、图像法：在力与位移图像中，图像与横轴围成的面积表示功；功率与时间图像中，图像与横轴围成的面积也表示为功。

3、恒定功率求功：如果物体受到变力作用，但变力的功率不变，则可以通过W=Pt来求功，常见用在机车以恒定功率启动时的有关题目中。

4、动能定理求变力做功：动能定理是求变力做功最常用的方法，如果知道一个过程中的动能变化量，那么这个过程中的合力所做的功就等于动能变化量；如果某一过程中，动能变化量为零，那么这一过程中合外力做功为零。

7.2求变力做功的几种

解：
W=2fs
二，等效替代法：用恒力作功取代变力作功：例3：如图所示，一物体（可视为质点）在通过滑轮的绳子作用下沿水平面从A处运动到B处过程中绳对物体做的功为多少？已知：绳的自由端施加的力恒为F，在A处绳与水平面夹角为α，在B处绳与水平面的夹角为β，滑轮与地面间距离为H
H
F

A B

解：由于绳对物体的拉力在水平方向为变力，故不能用W=FS求解，但绳的自由端拉力所做的功等于绳对物体做的功，物体从A移到B时绳的自由端下降的位移为： H H S= sin - sin 绳对物体做的功为： H H W=FS=F（ - sin ）
例8：如图所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F 做功为（）
A. FL cos B. FL sin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C.FL1 cos
D.mgL1 cos
图2
七，用功和能的关系求变力作功：
关闭油门后，汽车的运动，由动量定理得：
- Ff t2 0 mvm
2 mvm mvm 5000 242 t2 s 48s Ff P 601000
则汽车运动的时间为：t＝t1＋t2＝50s＋48s＝98s
六、运用动能定理求变力做功动能定理：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。已知一个物体在某个过程中的初动能和末动能，且可以求出该过程其它力做功，则可以用动能定理求该过程中変力做功。
F
解：W=
( F1 F2 ) 0 KS S= 2 2
S= 1 KS

求变力做功的十种方法

变力做功的十种方法河南省信阳高级中学陈庆威功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式θcos FS W =直接求解，但变力做功就不能直接用公式了，这里总结了一些求变力做功的方法，希望能对读者有帮助。

一. 动能定理法例1. 如图所示，质量为m 的物体从A 点沿半径为R 的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B 点时的速度变为，求物体从A 运动到B 的过程中，摩擦力所做的功是多少？【解析】物体由A 滑到B 的过程中，受重力G 、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v 为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。

分析上式可知，物体由A 运动到B 的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A 运动到B 的过程中，弹力不做功；重力在物体由A 运动到C 的过程中对物体所做的正功与物体从C 运动到B 的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。

因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A 运动到B 的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。

【点评】利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。

这也是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。

二. 微元法对于变力做功，不能直接用θcos FS W =进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用θcos FS W =求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。

这种处理问题的方法称为微元法，具有普遍的适用性。

例2. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。

变力做功

九种解决变力做功问题的方法在求功公式αcos FS W =中，F 是恒力，即在做功过程中，F 的大小、方向都不变。

当F 是变力时，该怎样求功呢？高中阶段求变力的功是机械能中的难点，本人根据多年的教学总结，归纳出求变力功的九种方法。

1. 某段时间内（或某段位移内）为恒力，全程为变力则：W ＝F 1S 1+F 2S 2+…2. 力的大小不变，方向始终与运动方向在一条直线上：W=FS 路程例1. 一半径为R 圆盘水平放置，力F 作用于盘边缘，大小不变，方向始终沿盘的边缘，则圆盘运动一周的过程中F 做的功为多少？解：圆盘运动一周通过的路程为：S=2πR 故F 做的功为 W=F2πR例2. 小球以某一速度竖直上抛，上升的最大高度为H ，小球在运动中受到的阻力大小恒为f ，则小球从开始抛出到回到抛出点的过程中克服空气阻力所做的功为多少？解： W=2fs3. 转化为恒力做功在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用W Fl =cos α求解。

例3. 如图1所示，某人用大小不变的力F 拉着放在光滑水平面上的物体。

开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F 作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。

已知图1中的高度是h ，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力F T 对物体所做的功。

图1分析：拉力F T 在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。

由题意可知，人对绳做的功等于拉力F T 对物体做的功，且人对绳的拉力F 是恒力，于是问题转化为求恒力做功。

由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F 的作用点的位移为：∆s s s h =-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪1211sin sin αβ 所以绳对物体做功：W W F s Fh T F ===-⎛⎝ ⎫⎭⎪·∆11sin sin αβ 4. 用动能定理动能定理表达式为W E k 外=∆，其中W 外是所有外力做功的代数和，△E k 是物体动能的增量。

求解变力做功问题的五种方法

求解变力做功问题的五种方法在高中阶段，应用做功公式W=FScosα来解题时，公式中F只能是恒力。

如果F是变力，就不能直接应用公式W=FScosα来求变力做功问题。

但是题目中又经常出现变力做功问题，下面介绍五种求解变力做功问题的方法。

一：将变力做功转化为恒力做功来求解我们知道变力做功不可以直接用公式W=FScosα来计算，但有些情况下，将变力转化成恒力做功，就可以用公式直接求解。

例题1：如图1所示，人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是β，图中的高度是h，求绳子拉力T对物体所做的功，（绳的质量，滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）。

分析与解答：在物体向右运动过程中，绳子拉力T是一个变力，是变力做功问题。

但是拉力T大小等于力F的大小，且力F是恒力。

因此，求绳子拉力T对物体所做的功就等于力F所做的功。

由图可知，力F的作用点移动的位移大小为：ΔS=S1-S2。

则：W T=W F=FΔS=F（S1-S2）=Fh(1/sinα-1/sinβ).二：用动能定理来求解我们知道，动能定理的内容：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。

如果我们研究物体所受的外力中只有一个是变力，其他力都是恒力，而且这些力做功比较容易求，就可以用动能定理来求变力做功。

例题2：如图2所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以10m/s 的速度开始下滑，到达B点时的速度变为2m/s,求物体从A点运动到B点的过程中，摩擦力所做的功是多少？分析及解答：物体从A点运动到B点的过程中，受到重力G、弹力N和摩擦力f三个力作用，在运动过程中，摩擦力f的方向和大小都发生改变，因此摩擦力f是变力，是变力做功问题。

物体从A点运动到B点的过程中，弹力N不做功，重力G做功为零。

物体所受的三个力中摩擦力在物体从A点运动到B点的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则W外=W f=ΔE k=1/2mV B2-1/2mV A2=-96(J).三：用机械能守恒定律来求解我们知道，物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒。

变力做功

五.变力做功
对于变力做功不能依定义式直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。
W = Fs cosα
1、等效法：化变力做功为恒力做功、等效法：
适用于滑轮类题目
2.平均力法：（适用于求弹簧的弹力做功） 2.平均力法：（适用于求弹簧的弹力做功）平均力法：（适用于求弹簧的弹力做功
A
B
一个从10m深的井中，用以质量为1kg的桶盛深的井中，用以质量为一个从深的井中的桶盛 10k速向上提由于桶每升高1m漏掉水0.2kg，则把水桶提出井口需要做多少掉水，功？
若变力大小随位移是线性变化，方向不变时若变力大小随位移是线性变化，且方向不变时，可线性变化将变力的平均值求出后用公式（将变力的平均值求出后用公式（F=kx)
F1 + F2 W = Fs cosα = s cosα 2
如图，水平面上一个人通过细绳用大小恒定如图，的拉力F=200N跨国定滑轮拉质量为的拉力跨国定滑轮拉质量为 m=10kg的物体，滑轮距地面高的物体，的物体滑轮距地面高h=4m，重，力加速度g=10m/s2，若人从滑轮的正下方力加速度 A点水平移动到点，在B点时绳子与水平点水平移动到B点点水平移动到点时绳子与水平方向夹角为30 方向夹角为 0，求这个过程中人的拉力做功是多少？功是多少？

变力做功的计算

变力做功的计算公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。

这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。

但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。

例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。

求此过程中摩擦力所做的功。

图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。

误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。

必须注意本题中的F是变力。

小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。

如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。

［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。

则转动半圆，这个力F做功多少？图3答案：31.4J。

二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。

如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。

经过一段时间物体发生的位移为s0，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对物体做的功W ＝Fs，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图4（a）所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图4（b）所示）。