高二数学不等式复习2
高二数学不等式知识点
高二数学不等式知识点高二数学不等式知识点11.不等式的定义：a-b>;0a>;b，a-b=0a=b，a-b<;0a①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
2.不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：a>;bba>;b，b>;ca>;c(传递性)(3)a>;ba+c>;b+c(c∈R)(4)c>;0时，a>;bac>;bcc<;0时，a>;bac运算性质有：(1)a>;b，c>;da+c>;b+d.(2)a>;b>;0，c>;d>;0ac>;bd.(3)a>;b>;0an>;bn(n∈N，n>;1)。
(4)a>;b>;0>;(n∈N，n>;1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
高二数学不等式知识点2证明不等式的灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。
要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。
高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法复习课学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学
第二讲讲明不等式的基本方法复习课学习目标 1.系统梳理证明不等式的基本方法.2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范．1．比较法作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件．证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判断结果的符号．2．综合法综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论．证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．3．分析法分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．4．反证法反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”“存在性”的命题；④结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题．5．放缩法放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③用基本不等式放缩.类型一 比较法证明不等式例1 若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0.求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． 证明 ∵b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2－2(xy ＋yz ＋zx ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bax 2＋a by 2－2xy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c by 2＋b cz 2－2yz ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c z 2＋c a x 2－2zx ＝⎝⎛⎭⎪⎫b ax －a b y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c by －b c z 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a cz －c a x 2≥0， ∴b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立． 反思与感悟 作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．跟踪训练1 设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2.证明 a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn ≥0，∴a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2. 类型二 综合法与分析法证明不等式例2 已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证： (1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab≥3(a ＋b ＋c )．证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ∈R ＋， 因此只需证(a ＋b ＋c )2≥3，即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，根据条件，只需证a 2＋b 2＋c 2≥1＝ab ＋bc ＋ca ， 由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)可知，原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc， 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3， ∵ab ＋bc ＋ca ＝1， ∴要证原不等式成立，只需证1abc≥a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1＝ab ＋bc ＋ca . ∵a ，b ，c ∈R ＋，a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤ac ＋bc2，∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时取等号)成立， ∴原不等式成立．反思与感悟 证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁．跟踪训练2 已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. 证明 方法一 要证1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0， 只需证1a －b ＋1b －c ＞1a －c. ∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞a －b ＞0，b －c ＞0， ∴1a －b ＞1a －c ，1b －c＞0，∴1a －b ＋1b －c ＞1a －c成立， ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0成立． 方法二 ∵a ＞b ＞c ， ∴a －c ＞a －b ＞0，b －c ＞0， ∴1a －b ＞1a －c ，1b －c ＞0， ∴1a －b ＋1b －c ＞1a －c ， ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. 类型三 反证法证明不等式例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx<2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立．反思与感悟 反证法的“三步曲”：(1)否定结论．(2)推出矛盾．(3)肯定结论．其核心是在否定结论的前提下推出矛盾．跟踪训练3 已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )＜f (b )＋f (－a )，求证：a ＜b .证明 假设a ＜b 不成立，则a ＝b 或a ＞b .当a ＝b 时，－a ＝－b ，则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )， 于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a ＞b 时，－a ＜－b ，由函数y ＝f (x )的单调性，可得f (a )＞f (b )，f (－b )＞f (－a )， 于是有f (a )＋f (－b )＞f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立． ∴a ＜b .类型四 放缩法证明不等式例4 已知n ∈N ＋，求证：2(n ＋1－1)＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n .证明 ∵对k ∈N ＋，1≤k ≤n ，有 1k ＝22k＞2k ＋k ＋1＝2(k ＋1－k )，∴1k＞2(k ＋1－k )． ∴1＋12＋13＋…＋1n＞2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n ＋1－n )＝2(n ＋1－1)．又∵对于k ∈N ＋，2≤k ≤n ，有 1k ＝22k＜2k ＋k －1＝2(k －k －1)，∴1＋12＋13＋…＋1n＜1＋2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n －n －1)＝2n －1＜2n . ∴原不等式成立．反思与感悟 放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的．跟踪训练4 设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈[0,1]， 求证：|f (a )－f (b )|≤|a －b |. 证明 |f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b | ＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1|， ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1，∴0≤a ＋b ≤2， －1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1. ∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.1．已知p: ab ＞0，q ：b a ＋a b≥2，则p 与q 的关系是( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．以上答案都不对 答案 C解析 由ab ＞0，得b a ＞0，a b＞0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2， 又b a ＋a b≥2，则b a ，a b必为正数， ∴ab ＞0.2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12答案 D解析 假设a ，b ，c 都小于12，则a ＋2b ＋c <2与a ＋2b ＋c ＝2矛盾． 3．若a ＝lg22，b ＝lg33，c ＝lg55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c答案 C解析 a ＝3lg 26＝lg 86，b ＝2lg 36＝lg 96，∵9＞8，∴b ＞a .b 与c 比较：b ＝lg 33＝lg 3515，c ＝lg 55＝lg 5315，∵35＞53，∴b ＞c .a 与c 比较：a ＝lg 2510＝lg 3210，c ＝lg 2510，∵32＞25，∴a ＞c .∴b ＞a ＞c ，故选C.4．已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(a n＋b n)≤2(a n＋1＋b n＋1)．证明∵(a＋b)(a n＋b n)－2(a n＋1＋b n＋1)＝a n＋1＋ab n＋ba n＋b n＋1－2a n＋1－2b n＋1＝a(b n－a n)＋b(a n－b n)＝(a－b)(b n－a n)．(1)若a＞b＞0，则b n－a n＜0，a－b＞0，∴(a－b)(b n－a n)＜0.(2)若b＞a＞0，则b n－a n＞0，a－b＜0，∴(a－b)(b n－a n)＜0.(3)若a＝b＞0，(b n－a n)(a－b)＝0.综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(a n＋b n)≤2(a n＋1＋b n＋1)．1．比较法证明不等式一般有两种方法：作差法和作商法，作商法应用的前提条件是已知不等式两端的代数式同号．2．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，两者是对立统一的两种方法．3．证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养．一、选择题1．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是( )A.ab＋ba≥2 B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab答案 C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab 得到的，D正确．2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是( )A．c B．bC．a D．随x取值不同而不同答案 A解析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，∵11－x－(x＋1)＝1－(1－x2)1－x＝x21－x>0，∴c>b>a.3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4 (a≥0)，则P与Q的大小关系为( ) A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2<Q 2，即P <Q .4．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≤b D ．a ≥b答案 D解析 ∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n )2≥0， ∴a ≥b .5．已知a ，b ，c ，d 为实数，ab ＞0，－c a ＜－d b，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ＜ad B ．bc ＞ad C.a c ＞b d D.a c ＜b d答案 B解析 将－c a ＜－d b两边同乘以正数ab ，得－bc ＜－ad ，所以bc ＞ad . 6．若A ，B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ＝2R ，又A ，B 为三角形的内角， ∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 二、填空题7．lg9·lg11与1的大小关系是________．答案 lg9·lg11＜1 解析 ∵lg9＞0，lg11＞0，∴lg9·lg11＜lg9＋lg112＜lg992＜lg1002＝1.∴lg9·lg11＜1.8．当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系是________． 答案 x 3＞x 2－x ＋1解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)，且x ＞1， ∴(x －1)(x 2＋1)＞0. ∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0， 即x 3＞x 2－x ＋1.9．用反证法证明“在△ABC 中，若∠A 是直角，则∠B 是锐角”时，应假设________． 答案 ∠B 不是锐角解析 “∠B 是锐角”的否定是“∠B 不是锐角”．10．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元． 答案 1760解析 设水池底长为x (x ＞0)m ， 则宽为82x ＝4x(m)．水池造价y ＝82×120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ×2＋8x ×2×80＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋1 280＝1 760(元)， 当且仅当x ＝2时取等号． 三、解答题11．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明 因为1n2＜1n (n －1)＝1n －1－1n(n ∈N ＋，n ≥2)，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)·n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n＜2. 所以原不等式得证．12．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N ＋)，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 证明 ∵n (n ＋1)＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＞1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 又n (n ＋1)＜(n ＋1)＋n 2＝2n ＋12， ∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＜32＋52＋…＋2n ＋12＝n 2＋2n 2＜(n ＋1)22. ∴n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 四、探究与拓展13．已知a ，b 是正数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，若a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，则等号成立的条件为________． 答案 ay ＝bx解析 a 2x ＋b 2y －(a ＋b )2x ＋y＝a 2y (x ＋y )＋b 2x (x ＋y )－xy (a ＋b )2xy (x ＋y )＝(ay －bx )2xy (x ＋y )≥0， 当且仅当ay ＝bx 时等号成立．14．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13. (1)解 令n ＝1，得S 21－(－1)S 1－3×2＝0，即S 21＋S 1－6＝0，所以(S 1＋3)(S 1－2)＝0，因为S 1＞0，所以S 1＝2，即a 1＝2.(2)解 由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，得(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0，因为a n ＞0(n ∈N ＋)，S n ＞0，从而S n ＋3＞0，所以S n ＝n 2＋n ，所以当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n (n ∈N ＋)．(3)证明 设k ≥2，则1a k (a k ＋1)＝12k (2k ＋1)＜1(2k －1)(2k ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1－12k ＋1， 所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋1a 3(a 3＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜12×3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝16＋16－12(2n ＋1)＜13. 所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13.。
高二数学基本不等式知识点
高二数学基本不等式知识点一、不等式的基本性质在学习不等式之前，我们先来了解一下不等式的基本性质。
不等式具有以下性质：1. 若不等式两边同时加（减）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
2. 若不等式两边同时乘（除）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
但是需注意，当乘（除）以一个负数时，不等号方向需要颠倒。
3. 若不等式两边交换位置，不等号方向需要颠倒。
二、基本不等式1. 两个正数的不等式：若a > 0，b > 0，则a > b等价于a² > b²。
2. 两个负数的不等式：若a < 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
3. 正负数的不等式：若a > 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
4. 平方不等式：若x > 0，y > 0，则x < y等价于√x < √y。
同理，对于x < 0，y < 0的情况，不等号方向需要颠倒。
5. 两个正数与一个负数的不等式：若a > 0，b > 0，c < 0，则a > b等价于 -a < -b，a * c > b * c。
三、不等式的解集表示法当我们解不等式时，需要将解表示出来。
不等式的解集表示法有以下几种形式：1. 区间表示法：用数轴上的区间表示解集。
例：对于不等式x > 3，解集可以用开区间(3, +∞)表示。
2. 图形表示法：我们可以通过图形的方式表示解集。
例：对于不等式x ≤ -2，解集可以用沿x轴方向的线段表示。
3. 集合表示法：用集合的形式表示解集。
例：对于不等式2 < x ≤ 5，解集可以用集合表示为{x | 2 < x ≤ 5}。
四、不等式的应用不等式是数学中常见的工具，在现实生活中也有广泛的应用。
高二数学一元二次不等式的解法2
[单选,A1型题]“产育”的含义是什么()A.分娩B.分娩、产褥C.妊娠D.分娩、产褥及哺乳E.哺乳 [单选]胶结的类型分为（）种。A、2B、3C、4D、5 [单选]港口与航道工程中船舶保险中，航次险包含在（）保险中。A.船舶保险全损险B.船舶保险一切险C.工伤事故险D.第三者责任险 [单选,A1型题]能透过血脑屏障而产生中枢抑制作用的成分是（）A.小檗碱B.黄连碱C.四氢黄连碱D.药根碱E.甲基黄连碱 [单选,A1型题]脑出血最好发的部位是（）。A.脑叶B.小脑C.脑室D.脑桥E.基底节区出血 [问答题,案例分析题]病例摘要：杜某，女，59岁，已婚，退休，于2013年3月21日就诊。患者于2年前与家人争吵后出现间断性头痛，伴头晕，无肢体活动障碍及语言不利，当时测血压高于正常值，患者经休息症状好转。此后上述症状间断出现，最高血压195/110mmHg，多次测量血压均高于正常值 [单选,A1型题]社会医学的研究对象是（）A.社会经济状况及其变动规律B.社会卫生状况及其变动规律C.社会发展战略D.卫生政策制定E.个人卫生状况 [单选]关于考试焦虑症的处理，以下哪种说法是不正确的?（）A．考试焦虑症必要时可以心理治疗配合抗焦虑的药物来处理B．学业压力和考试焦虑会形成恶性循环，令考试焦虑症越来越严重C．考试焦虑症的形成原因主要是学生内部的压力，所以只要处理好学生的心态和观念就可以了D．系统脱 [单选,A2型题,A1/A2型题]根据国内标准，红细胞比容低于正常，符合贫血标准是（）A.成年男性低于0.5，成年女性低于0.4B.成年男性低于0.48，成年女性低于0.4C.成年男性低于0.5，成年女性低于0.37D.成年男性低于0.46，成年女性低于0.4E.成年男性低于0.42，成年女性低于0.37 [填空题]地理信息系统是由计算机硬、软件系统和不同的方法组成的系统，该系统支持空间数据的采集、管理、（）、（）、建模和（），以便解决复杂的规划和管理问题。 [多选]心房颤动患者合并下列哪些情况需要服用华法林（）A.肥厚梗阻型心肌病B.脑卒中史C.二尖瓣狭窄D.下肢动脉栓塞E.合并高血压、糖尿病 [单选,A1型题]对于病毒性脑膜脑炎引起的头痛，下列哪项治疗是不合适的（）A.高渗脱水剂：如20％甘露醇B.血容量扩张剂：如低分子右旋糖酐C.激素：如地塞米松D.镇痛剂：如对乙酰氨基酚E.降温退热：如冰枕 [单选]适用于皮肤松弛部位腧穴的进针方法是（）。A.单手进针法B.舒张进针法C.提捏进针法D.夹持进针法E.指切进针法 [单选]（）是指基金销售机构用于归集、暂存、划转基金销售结算资金的专用帐户。A.基金账户B.银行存款账户C.结算备付金账户D.基金销售结算专用账户 [单选,A1型题]成为重要传染源的肺结核病是（）A.结核球B.局灶型肺结核C.支气管内结核D.慢性纤维空洞型肺结核E.浸润型肺结核 [填空题]ABS树脂耐候性差，这是由于其分子中丁二烯所含双键在（）作用下，易受氧化降解决定的。 [名词解释]电流强度 [单选]非竞争性结合分析法，常用放射性核素标记（）A.标准抗原B.检测抗原C.抗体D.沉淀剂E.待测样品 [单选]被电击的非创伤心脏骤停患者中最常见的心律为（）A.心脏停搏B.有脉性室性心动过速C.心室颤动D.无脉性电活动E.心动过缓 [单选,A1型题]风寒和风热的辨证依据，下列哪项是错误的（）。A.恶寒、发热的轻重B.渴与不渴C.舌苔黄与白D.脉浮与不浮E.咽喉红肿疼痛与否 [单选]下列关于胰岛素的叙述，错误的是（）A.NPH或长效胰岛素也可以用于静脉滴注B.目前可以使用的胰岛素制品需要冷藏C.NPH的作用时间16～24小时D.皮下注射的常规胰岛素其作用高峰在注射后2～3小时E.胰岛素的血浆半衰期是7～10分钟 [问答题]预算单位离退休人员、借调人员可以办理公务卡吗？ [单选,A1型题]下列关于具有抗炎作用的有效成分，错误的是（）A.硫酸钠B.小檗碱C.鱼腥草素D.绿原酸E.苦参碱 [多选]男性，50岁。中上腹饱胀不适3月。胃镜检查诊断为慢性萎缩性胃炎，病理报告为胃窦粘膜慢性炎症伴中度肠化生。该患者的预后判断，下列哪些是正确的()A．萎缩性胃炎可发展为胃癌B．萎缩性胃炎不可能转变为浅表性胃炎C．慢性萎缩性胃炎无论粘膜萎缩程度如何均应根治HpD．慢性胃 [单选]将锅筒内产生的饱和水蒸气再一次进行加热，使之成为过热蒸汽的设备是（）。A.省煤器B.空气预热器C.过热器D.燃烧室 [单选]力的作用点是指力在物体上的()。A.作用位置B.重心C.中心D.圆心 [问答题,简答题]请写出《国家电网公司电费抄核收工作规范》中抄表段划分的原则。 [单选]下列哪一项是肝脏叶、段的正确分法A.5叶6段B.3叶4段C.4叶5段D.4叶6段E.以上都不是 [多选]下列关于我国期货交易代码的说法，正确的是（）。A．铜合约的交易代码是CUB．黄金合约的交易代码是GC．天然橡胶合约的交易代码是RUD．燃料油合约的交易代码是FU [问答题,简答题]启动或停用引风机时，应注意哪些问题？ [单选,A2型题,A1/A2型题]严重的中鼻甲下缘平面以上部位出血可结扎（）。A.上颌动脉B.颈内动脉C.颈外动脉D.筛前动脉E.上唇动脉 [单选]能消除噪声积累的中继方式是（）.A.直接中继B.外差中继C.基带中继 [单选]在CiscoIOS交换机上配置交换机名的命令是（）。A、setsystemnameHOSTNAMEB、userHOSTNAMEpassPASSWORDC、spanning-treeportfastD、hostnameHOSTNAME [单选,A2型题,A1/A2型题]不适合做牵张训练的是（）。A.骨性关节活动障碍B.影响日常功能活动或生活自理的挛缩C.肌肉无力而拮抗侧组织紧张D.由于挛缩、粘连、瘢痕所致软组织缩短性关节活动受限E.未能有效预防软组织缩短性关节活动受限而进一步造成的结构性变形 [单选,A2型题,A1/A2型题]在中暑的几种类型中，以哪种最为凶险（）。A.热射病B.热痉挛C.热衰竭D.先兆中暑E.以上都不是 [单选]抑郁症的治疗过程中，最应当注意的问题是（）。A.改善营养B.改善睡眠C.防自杀D.防感染E.多活动 [单选]下列（）花卉是一二年生花卉中观果的种类。A.四季桔、金桔、风船葛、葫芦B.风船葛、葫芦、香豌豆、金银茄C.五色椒、冬珊瑚、金银茄、风船葛D.五色椒、冬珊瑚、金银茄、香豌豆 [单选]在典型的拉伸应力—应变曲线上，应力与应变成正比关系所对应的最大应力称为（）。A.屈服点B.规定非比例伸长应力C.断裂点D.最大应力点 [判断题]纵横等分线相交法放样，比较简便，误差也比较小。A.正确B.错误 [问答题,简答题]口罩的佩戴方法
高二数学均值不等式2
下面解法正确吗？为什么?
1 2 1、已知x 时,求x 1的最小值 ; 2 解 : x 1 2 x 1 2 x ,当且仅当x 1
2 2 2
思考题:
即x 1时, x 1有最小值2 x 2. 4 2、已知x 3,求x 的最小值. x
2
4 4 解 : x 2 x 4, 原式有最小值 4. x x 4 当且仅当x ,即x 2时, 等号成立. x
2
400000 当且仅当 4000 x ，即 x 10 2 x
2
38000 2 16108 118000
时取等号
此时 S min 118000 （元） 答 :当 x
10 时,S的最小值为118000元。
应用题训练 题1: 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀 速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，巳知 汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可 变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （km/h）的平方成正比，比例系数为b，固 定部分为a元。①把全程运输成本y（元）表 示为速度v（km/h）的函数；并指出这个函 数的定义域；②为了使全程运输成本最小， 汽车应以多大速度行驶？ 注意只有当等号能够成立时才能应用均值 不等式，含有字母的问题则要去加以讨论
再
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兰端来的那个方方正正的大木盘里，则是全家人出发之前一起动手，用金箔纸折叠好的满满一盘子黄腾腾的金元宝。全家人款 款来到庙堂前那个大大的石头供桌前，耿老爹和郭氏先把八个圆木盘整整齐齐地摆放在供桌上。然后，耿老爹从耿英端来的大 木盘里拿起三大把香火，一起点着了以后插在供桌前面那个大大的香炉里。接下来，他又把这个大木盘里装着的所有五色彩纸 全部拿出来在香炉前点燃了。郭氏接过来耿兰端着的那个大木盘，把满满的一盘子纸元宝一起倒进了五色彩纸的火焰里。在三 大把香火的袅袅青烟中，耿老爹和郭氏在前，耿正兄妹四人并排在后，全家人一起跪下来望着端坐在庙堂里的五道爷塑像。耿 老爹拱手作揖，恭恭敬敬地说：“五道爷啊，俺今儿个带着全家人来叩谢您了，非常感谢您的庇佑之恩哇！俺父子们不但平安 回家，而且还可以实现梦想了！今后，还请您继续保佑啊，保佑俺们家的小学堂办得红红火火的，让俺乡亲们的代代后人都成 为文化人儿！也保佑俺们的大戏台热热闹闹的，能够成为俺乡亲们的一个永远的大学堂！保佑俺们‘三六九镇’越来越美好！” 郭氏和四个儿女也齐声说：“多谢五道爷的庇佑之恩！请五道爷继续保佑俺们！保佑俺们‘三六九镇’越来越美好！”然后， 全家人一起，向端坐在庙堂里的五道爷塑像虔诚地磕了三个头。磕罢了头，大家站起身，又各自施礼祷告一番。耿老爹拱拱手 说：“您看到俺试种的水稻了哇，还请您保佑这江南的水稻能够在咱们这里安家落户哇！”郭氏施一个万福礼说：“请您保佑 俺们全家人永远平平安安！保佑俺们所有的梦想都能成真！还有哇，保佑俺老俩口早日抱上多多的孙子孙女和外孙外孙女！” 耿老爹和儿女们听了郭氏的这一番祷告，都哈哈大笑起来。耿英笑着推一推耿正，说：“哥，该你了！”耿正笑着说：“咱俩 就别祷告了哇，娘都已经替咱们说了！”耿直说：“那俺也不用祷告了，娘也替俺说了呢！”耿正却正而八经地对弟弟说： “小直子你得祷告！咱爹娘要抱孙子孙女哩！”耿直急了，脱口喊道：“咱娘那是说你俩呢！”耿正继续正而八经地对弟弟说： “难道说你就没有这个任务吗？”耿直脸红了，说：“可俺，可俺，俺还没有„„”耿英笑得更厉害了，说：“这还不好办嘛！ 你给咱爹娘找一个文化人儿的媳妇儿，咱家的小学堂正缺先生呢！哥，你说是不是哇？”耿直的脸更红了，连连说：“好好好， 这不你们都替俺说了吗？五道爷听见了就行了呢！”耿兰早等不及了。只见她一手还提着大木盘呢，就上前来施了一个并不标 准的万福礼，小声儿说：“请您保佑俺也能给俺们家的小学堂添一个教书先生！不，是添两个教书先生！”耿兰的祷告声儿虽 说并不大，但大家还是都听清楚了。耿老爹和耿正听了不由
高二数学人选修课件证明不等式的基本方法复习
05
学生自主练习与提高
练习题选讲与答案提示
练习题一
证明不等式 $sqrt{a+b} leq sqrt{a} + sqrt{b}$ 对任意非负实数 $a, b$ 成立。
提示
运用平方差公式和均值不等式进行证明。
练习题二
证明不等式 $frac{a}{b} + frac{b}{a} geq 2$ 对 任意正实数 $a, b$ 成立。
分析法证明不等式
寻找中间量
通过分析寻找一个合适的中间量，使 得原不等式可以通过这个中间量进行 转化，进而证明。
逐步推导
从要证明的不等式出发，逐步分析并 推导出使不等式成立的条件，直到找 到显然成立的条件为止。
04
典型例题分析与解答
一元二次不等式解法举例
题目
解不等式 $2x^2 - 5x + 2 > 0$
高二数学人选修课件证明不 等式的基本方法复习
汇报人：XX
汇报时间：20XX-01-17
目录
• 引言 • 不等式基本概念及性质回顾 • 证明不等式的基本方法 • 典型例题分析与解答 • 学生自主练习与提高 • 总结回顾与展望未来
01
引言
复习目的与要求
03
掌握证明不等式的基本方法
提高解题能力
培养数学思维
柯西不等式应用举例
题目
分析
已知 $a_i, b_i > 0 (i = 1, 2, ldots, n)$，证明 $left( sum_{i=1}^{n} a_i b_i right)^2 leq left( sum_{i=1}^{n} a_i^2 right) left( sum_{i=1}^{n} b_i^2 right)$
高二数学证明不等式的基本方法2
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例4、已知x, y 0, 且x y 2.试证： 1 x 1 y , 中至少有一个小于2. y x
例5、已知a, b, c为实数，a b c 0, ab bc ca 0, abc 0, 求证：a 0, b 0, c 0.
五、放缩法 证明不等式时，通过把不等式中 的某些部分的值放大或缩小，简化不 等式，从而达到证明的目的.我们把这 种方法称为放缩法.
2 2 2 2 2 2
四、反证法
例3、证明aHale Waihona Puke b 0时，a bn n
(n N ,n 2)成立
*
假设要证的命题不成立，以此为出 发点，结合已知条件，应用公理，定 义，定理，性质等，进行正确的推理， 得到和命题的条件（或已证明的定理、 性质、明显成立的事实等）矛盾的结 论，以说明假设不正确，从而证明原 命题成立.
例6、已知a, b, c, d R ,求证 a b c d 1< 2 abd bca cd b d ac
例7、已知a, b是实数，求证 ab 1 a b a 1 a b 1 b
六、利用函数的单调性证明不等式
例7、已知a, b是实数，求证 ab 1 a b a 1 a b 1 b
证明不等式的基本方法(2)
三、分析法 证明命题时，从要证的结论出发， 逐步寻找使它成立的充分条件，直至 所需条件为已知条件或一个明显成立 的事实，从而得出要证的命题成立.
例1、试比较 2 7与 3 6的大小.
例2、已知a, b, c 0, 求证 a b b c c a abc abc
小结： 证明不等式的方法： 比较法，综合法， 分析法，反证法，放缩法， 利用函数的单调性.
高二文科数学第一学期期末复习《不等式关系及不等式》(含答案)
高二文科数学第一学期期末复习《不等式关系及不等式》一、 知识点回顾： 考点一：不等式的解法例1：不等式2320x x -+>的解集是 A ．{}21x x x <->-或 B ．{}12x x x <>或C ．{}12x x <<D ．{}21x x -<<-练习1： 不等式102x x +≥-的解集为 A ．{|12}x x -≤≤B ．{|12}x x -≤<C ．{|1x x ≤-或2}x ≥D ．{|1x x ≤-或2}x >练习2：函数y 的定义域为 ．练习3：若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－14，则a ＋b 等于( )A ．－18B ．8C ．－13D ．1练习4：已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式2450x x +-<的解集为B . （1）求A B ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是AB ，求20ax x b ++<的解集.练习5:设已知条件2:8200p x x -->；:q 1x a >+或1x a <-；若q ⌝是p ⌝的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围．考点二：二元一次不等式组和线性规划问题例2：若 226x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围是 ．练习6：如果实数,x y 满足:102010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数4z x y =+的最大值为A ．2B ．3C ．27D ．4练习7:221x y x y +--+()()0≥表示的平面区域是练习8:某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．那么通过合理安排生产计划，每天生产的甲、乙两种产品分别多少桶时，公司共可获得的最大利润？并求出该最大利润.★例3：已知点P （x ，y ）的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨≥⎪⎩，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于 ，最大值等于 ．★练习9：若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx －1的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[1，＋∞) 考点三：基本不等式及应用重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则2a b+________时，不等式取等号. 例4：已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为练习10：在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x (0<x <π2)C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4e x －2练习11：已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，如果存在两项m n a a 和14a ，则14m n+的最小值为 A ．32 B ．53 C ．256D ．不存在练习12:国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元． （Ⅰ）写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的函数关系式；（Ⅱ）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当n m =时，价值损失的百分率最大．（注:价值损失的百分率=100%-⨯原有价值现有价值原有价值；在切割过程中的重量损耗忽略不计）★练习13：证明不等式：a ，b ，c ∈R ，a 4＋b 4＋c 4≥abc (a ＋b ＋c )．二、 基础自测： 1．如果1a b <<-，则有A ．2211b a b a <<< B ．2211a b b a <<< C ．2211b a a b <<<D ．2211a b a b <<<2．不等式组300x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域的面积等于A ．29 B ．9 C ．227 D ．183．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是A ．10220x y x y +-≥⎧⎨-+≥⎩B ．10220x y x y +-≤⎧⎨-+≤⎩C ．10220x y x y +-≥⎧⎨-+≤⎩D ．10220x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩4. 若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A 、B 的大小关系为________．5．已知命题p ：44x a -<-<，命题q ：230x x --<()()，且q 是p 的充分而不必要条件，求a 的取值范围.高二文科数学第一学期期末复习《不等式关系及不等式》答案例1、B 练1、D 2、[-1,6] 3、C练4、解：（1）解不等式2230x x --<，得{}|13A x x =-<<……2分解不等式2450x x +-<，得{}|51B x x =-<< ……4分{}|53A B x x ∴=-<< ……6分（2）由20x ax b ++<的解集是（－5,3） ∴2550930a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得215a b =⎧⎨=-⎩……8分22150x x ∴+-< ，-3＜x ＜25， ……10分故不等式解集为5|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭……12分 练5、解: 由020x 8x 2>-- 解得:10x >或2x -< ……3分又因:q a 1x +>或a 1x -<∴ p ⌝:10x 2≤≤-, q ⌝:a 1x a 1+≤≤- ……6分 q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+>2a 110a 10a ……10分解得: 3a 0≤<所以所求a 的取值范围是(]3,0. ……12分例2、[]14,8 练6、C 练7、A练8、解：设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y ， ………… 6分在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0， …………10分 平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大， …………12分此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司生产甲产品4桶乙产品4桶时可获得的最大利润是2 800元． …………14分 例3、10;2 练9、B例4、-2 练10、D 练11、A练12、解：（Ⅰ）由题意可设价值与重量的关系式为：2kx y = ………… 2分 ∵ 3克拉的价值是54000美元∴ 23k 54000⋅=解得：6000k = ………… 4分 ∴ 2x 6000y ⋅=答：此钻石的价值与重量的函数关系式为2x 6000y ⋅=. …… 6分（Ⅱ）若两颗钻石的重量为m 、n 克拉 则原有价值是()2n m 6000+，现有价值是22n 6000m 6000+ ………… 8分 价值损失的百分率=()()%100n m 6000n 6000m 6000n m 60002222⨯+--+ ()()21n m 2n m 2%100n m mn 2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯≤⨯+= ………… 11分 当且仅当n m =时取等号答：当n m =时,价值损失的百分率最大. ………… 14分练习13：证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2) 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又a 2b 2＋b 2c 2≥2ab 2c ，b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc .∴2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2(ab 2c ＋abc 2＋a 2bc )， 即a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )． ∴a 4＋b 4＋c 4≥abc (a ＋b ＋c )．二、基础自测：1、A2、B3、A4、A<B5. 解： 设q ，p 表示的范围为集合A ，B ，则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． ………… 4分 由于q 是p 的充分而不必要条件，则有A 是B 的真子集， ………… 6分即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4>3或 ⎩⎪⎨⎪⎧a －4<2，a ＋4≥3，………… 10分解得－1≤a ≤6. ………… 12分。
高二基本不等式知识点总结
高二基本不等式知识点总结基本不等式是数学中常见的一种重要的不等式类型，它在解决实际问题和推导数学定理时起着重要的作用。
在高二数学学习中，基本不等式是一个必须要掌握的知识点。
本文将对高二基本不等式的相关知识点进行总结。
一、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a和b为常数。
解一元一次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
图像法：以一元一次不等式为方程y = ax + b，将其对应的直线画出来，然后根据题目所给条件确定直线上的点是否满足不等式，从而得出不等式的解集。
代数法：以ax + b > 0为例，若a > 0，则不等式解集为(-∞, -b/a)；若a < 0，则不等式解集为(-b/a, +∞)。
二、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0的不等式，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。
解一元二次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
图像法：以一元二次不等式为方程y = ax² + bx + c，将其对应的抛物线画出来，然后根据题目所给条件确定抛物线上的点是否满足不等式，从而得出不等式的解集。
代数法：以ax² + bx + c > 0为例，首先求出二次函数的零点，即ax² + bx + c = 0，根据零点的位置判断解集的情况。
若根的情况为实根，且与抛物线的顶点关系为：当a > 0时，解集为(-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)；当a < 0时，解集为(x₁, x₂)；若根的情况为实根，且与抛物线的顶点关系为：解集为全体实数。
三、二元一次不等式二元一次不等式是形如ax + by > c或ax + by < c的不等式，其中a、b和c为常数。
解二元一次不等式时，我们可以使用平面直角坐标系中的图像法或代数法。
高二数学不等式公式知识点
20XX年20XX年高二数学不等式公式知识点不等式是高二数学考试中重要的知识点，也是高考考试中重要的知识点，所以我们要在高二的时候做好强化复习。
下面小编为大家整理的高二数学不等式公式知识点，希望对大家有所帮助! 高二数学不等式知识点解析不等式不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。
诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
知识整合1。
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。
在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。
通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。
2。
整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。
3。
在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。
高中数学第三章不等式2、1一元二次不等式的解法2、2一元二次不等式的应用基础训练北师大版必修5
一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用基础过关练题组一一元二次不等式的解法1.(2019山东菏泽高二期末)不等式-x2-5x+6≥0的解集为()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}2.函数y=√x2+x-12的定义域是()A.{x|x<-4或x>3}B.{x|-4<x<3}C.{x|x≤-4或x≥3}D.{x|-4≤x≤3}3.(2020山东菏泽二十三校高一上期末联考)已知集合M={x|-3≤x<4},N={x|x2-2x-8≤0},则()A.M∪N=RB.M∪N={x|-3≤x<4}C.M∩N={x|-2≤x≤4}D.M∩N={x|-2≤x<4}4.设集合A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合A∩Z中元素的个数是()A.4B.5C.6D.75.已知A={x|x2-x-6≤0},B={x|x-a>0},A∩B=⌀,则a的取值范围是()A.a=3B.a≥3C.a<3D.a≤36.解下列不等式:(1)x2-2x+3>0;(2)2+3x-2x2>0;(3)x(3-x)≤x(x+2)-1;(4)-1<x2+2x-1≤2.题组二含有参数的一元二次不等式7.若0<t<1,则不等式(x-t)(x-1x)<0的解集是()A.{x|1x <x<x} B.{x|x>1x或x<x}C.{x|x<1x 或x>x} D.{x|x<x<1x}8.若函数f(x)=√2xx的定义域为R,则常数k的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4]9.不等式x2-ax-12a2<0(其中a<0)的解集为()A.(3a,-4a)B.(4a,-3a)C.(-3a,a)D.(6a,2a)10.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.题组三三个“二次”之间的关系11.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为()A.3B.1C.-3D.-112.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c,应有()A.f(5)<f(2)<f(-1)B.f(2)<f(5)<f(-1)C.f(-1)<f(2)<f(5)D.f(2)<f(-1)<f(5)13.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为()A.1B.-1C.-3D.314.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(a+b)x+b<0.题组四 简单的分式不等式或高次不等式 15.(2020山东潍坊诸城高二上期中)不等式x -2x +3<0的解集为 ( )A.{x |-2<x <3}B.{x |x <-3}C.{x |-3<x <2}D.{x |x >2} 16.不等式x +24x +1≥13的解集为 ( )A.{x |-14≤x ≤5} B.{x |x ≤-14或x >5}C.{x |x <-14或x >5}D.{x |-14<x ≤5}17.若集合A ={x |xx -1≤0},B ={x |x 2<2x },则A ∩B =( )A.{x |0<x <1}B.{x |0≤x <1}C.{x |0<x ≤1}D.{x |0≤x ≤1} 18.不等式-1<1x <1的解集为 ( )A.{x |x <-1或x >1}B.{x |-1<x <0或0<x <1}C.{x |x <0或x >1}D.{x |x >1}19.不等式x -1x 2-4>0的解集是 ( )A.(-2,1)B.(2,+∞)C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)20.不等式x2-2x-2x2+x+1<2的解集为()A.{x|x≠-2}B.RC.⌀D.{x|x<-2或x>2}题组五一元二次不等式的实际应用21.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,求x的最小值.22.一个小服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元.(1)当该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1300元?(2)当该厂的月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?能力提升练一、选择题1.(2021山西运城高一上联考,)设集合A={x|x-1x-3<0},B={x|2x-3>0},则A∪B=()A.{x|-3<x<32} B.{x|x<-3或x>32}C.{x|1<x<32} D.{x|x>1}2.()在R 上定义运算☉:a ☉b =ab +2a +b ,则满足x ☉(x -2)<0的实数x 的取值范围为 ( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2) 3.()二次函数f (x )的图像如图所示,则f (x -1)>0的解集为 ( )A.(-2,1)B.(0,3)C.(1,2]D.(-∞,0)∪(3,+∞) 4.()若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-2,2]B.[-2,2]C.(2,+∞)D.(-∞,2] 5.(2019山东菏泽高二期末,)已知关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),则关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0的解集是 ( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(2,+∞) 6.()设函数g (x )=x 2-2(x ∈R),f (x )={x (x )+x +4,x <x (x ),x (x )-x ,x ≥x (x ),则f (x )的值域是( )A.[-94,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) C.[-94,+∞)D.[-94,0]∪(2,+∞) 二、填空题 7.()若关于x 的不等式x -xx +1>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a = . 8.()已知集合A ={x |3x -2-x 2<0},B ={x |x -a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为 . 9.()若不等式a ·4x -2x+1>0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 .10.()若函数y =√xx 2-6xx +(x +8)(k 为常数)的定义域为R,则k 的取值范围是 . 11.()已知0<b <1+a ,若关于x 的不等式(x -b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个,则a 的取值范围为 . 三、解答题12.(2021湖南长沙一中高一上段考,)已知不等式mx 2+3x -2>0的解集为{x |n <x <2}.(1)求m ,n 的值,并求不等式nx 2+mx +2>0的解集; (2)解关于x 的不等式ax 2-(n +a )x -m >0(a ∈R,且a <1).13.(2019北京西城高二期末,)已知函数f(x)=x2-2ax,a∈R.(1)当a=1时,求满足f(x)<0的x的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x)<3a2;(3)若对于任意的x∈(2,+∞),f(x)>0均成立,求a的取值范围.答案全解全析§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用基础过关练1.A 不等式-x 2-5x +6≥0可化为x 2+5x -6≤0,即(x +6)(x -1)≤0, 解得-6≤x ≤1,∴不等式的解集为{x |-6≤x ≤1}. 故选A.2.C 由x 2+x -12≥0得(x +4)(x -3)≥0,解不等式得x ≤-4或x ≥3,所以函数的定义域是{x |x ≤-4或x ≥3},故选C .3.D ∵集合M ={x |-3≤x <4},N ={x |x 2-2x -8≤0}={x |-2≤x ≤4},∴M ∪N ={x |-3≤x ≤4},M ∩N ={x |-2≤x <4}. 4.C 由(x -1)2<3x +7,得x 2-5x -6<0,解不等式得-1<x <6,∴集合A ={x |-1<x <6}, ∴A ∩Z 中的元素有0,1,2,3,4,5,共6个.5.B 由x 2-x -6≤0得(x -3)(x +2)≤0,解不等式得-2≤x ≤3, 所以A ={x |-2≤x ≤3}. 由已知可得B ={x |x >a }, 因为A ∩B =⌀,所以a ≥3,故选B .6.解析 (1)因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0,所以原不等式的解集是R .(2)原不等式可化为2x 2-3x -2<0,即(2x +1)(x -2)<0,故原不等式的解集是{x |-12<x <2}.(3)原不等式可化为2x 2-x -1≥0,即(2x +1)(x -1)≥0,故原不等式的解集是{x |x ≤-12或x ≥1}.(4)原不等式等价于{x 2+2x -1>-1,x 2+2x -1≤2,即{x 2+2x >0①,x 2+2x -3≤0②.由①得x (x +2)>0,所以x <-2或x >0; 由②得(x +3)(x -1)≤0,所以-3≤x ≤1.所以原不等式的解集是{x |-3≤x <-2或0<x ≤1}. 7.D 方程(x -t )(x -1x )=0的两根为x 1=t ,x 2=1x .因为0<t <1,所以1x >1>t ,所以(x -t )(x -1x )<0的解集是{x |x <x <1x }. 8.C ∵函数f (x )=√2xx 的定义域为R,∴kx 2+kx +1>0对x ∈R 恒成立.当k >0时,Δ=k 2-4k <0,解得0<k <4;当k =0时,kx 2+kx +1=1>0恒成立;当k <0时,不符合条件.故0≤k <4.故选C .9.B ∵x 2-ax -12a 2=(x -4a )(x +3a ),其中a <0,∴-3a >4a ,∴不等式的解集为(4a ,-3a ).10.解析 方程x 2+(1-a )x -a =0的两根为x 1=-1,x 2=a. ∵函数y =x 2+(1-a )x -a 的图像是开口向上的抛物线, ∴当a <-1时,原不等式的解集为{x |a <x <-1}; 当a =-1时,原不等式的解集为⌀; 当a >-1时,原不等式的解集为{x |-1<x <a }.11.A 不等式(x -a )(x -b )<0可化为x 2-(a +b )x +ab <0,由其解集为{x |1<x <2},可得x 1=1,x 2=2是方程x 2-(a +b )x +ab =0的两根,所以x 1+x 2=3=a +b ,即a +b =3,故选A .12.D 由不等式的解集为{x |x <-2或x >4},得x 1=-2,x 2=4是函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与x 轴交点的横坐标,故f (x )的图像的对称轴为直线x =-2+42=1,且其图像开口向上.结合图像(图略)可得f (2)<f (-1)<f (5).13.C 令f (x )=x 2-4x -m ,则f (x )在(0,1]上是减函数,所以f (x )min =f (1)=-3-m ,所以-3-m ≥0,即m ≤-3. 故m 的最大值为-3.14.解析 (1)由题意得x 1=1,x 2=b 是方程ax 2-3x +2=0的两根,且a >0,则{1+x =3x ,1·x =2x ,解得{x =1,x =2.(2)由a =1,b =2得所求不等式为x 2-3x +2<0,即(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2. 故所求不等式的解集为(1,2). 15.Cx -2x +3<0等价于(x -2)(x +3)<0,解得-3<x <2,故不等式的解集为{x |-3<x <2}.16.D 由x +24x +1≥13得x +24x +1-13≥0, 则-x +53(4x +1)≥0,即x -53(4x +1)≤0,可转化为{3(x -5)(4x +1)≤0,4x +1≠0,解得-14<x ≤5.所以原不等式的解集为{x |-14<x ≤5}.17.A 由集合A 可得{x (x -1)≤0,x -1≠0,解得0≤x <1,所以A ={x |0≤x <1}.由集合B 可得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以B ={x |0<x <2}.所以A ∩B ={x |0<x <1}.18.A -1<1x <1⇔{1x >-1,1x <1⇔{x +1x>0,1-x x <0⇔{x (x +1)>0,x (x -1)>0,解得{x <-1或x >0,x <0或x >1,∴x <-1或x >1. 19.Cx -1x 2-4>0⇔(x -1)(x 2-4)>0⇔(x -1)(x -2)(x +2)>0,设f (x )=(x -1)(x -2)(x +2),则f (x )的三个零点是-2,1,2.结合图形(如图),可得原不等式的解集为{x |-2<x <1或x >2}.故选C . 20.A 易知x 2+x +1>0恒成立,∴原不等式⇔x 2-2x -2<2x 2+2x +2⇔x 2+4x +4>0⇔(x +2)2>0,解得x ≠-2,∴原不等式的解集为{x |x ≠-2}. 21.解析 由题意,得3860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x ≥20,故x 的最小值是20.22.解析 (1)设该厂月获利为y 元,依题意得y =(160-2x )x -(500+30x )=-2x 2+130x -500, 由y ≥1300知-2x 2+130x -500≥1300, ∴x 2-65x +900≤0,解得20≤x ≤45.∴当月产量在20件至45件之间(含20件和45件)时,月获利不少于1300元. (2)由(1)知y =-2x 2+130x -500=-2·(x -652)2+1612.5. ∵x 为正整数,∴当x 的值为32或33时,y 取得最大值,最大值为1612,∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润,最大利润是1612元.能力提升练一、选择题1.D A ={x |x -1x -3<0}={x |1<x <3},B ={x |2x -3>0}={x |x >32},故A ∪B ={x |x >1}.2.B 由a ☉b =ab +2a +b ,得x ☉(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2=(x +2)(x -1)<0,所以-2<x <1.3.B 由题图知f (x )>0的解集为(-1,2).把f (x )的图像向右平移1个单位长度即得f (x -1)的图像,所以f (x -1)>0的解集为(0,3).4.A 当a -2=0,即a =2时,符合题意;当a -2≠0,即a ≠2时,需满足a -2<0且Δ=4(a -2)2+4·(a -2)·4<0,解得-2<a <2.综上可得,-2<a ≤2.故选A .5.A ∵关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),∴{x <0,-x x=-1,∴b =a <0,∴关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0可化为(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2, ∴不等式的解集是(1,2).故选A .6.D 由x <g (x ),得x <x 2-2,解不等式得x <-1或x >2;同理,由x ≥g (x ),得-1≤x ≤2. 所以f (x )={x 2+x +2,x <-1或x >2,x 2-x -2,-1≤x ≤2,即f (x )={(x +12)2+74,x <-1或x >2,(x -12)2-94,-1≤x ≤2.因为当x <-1时,f (x )>2;当x >2时,f (x )>8,所以当x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数f (x )的值域为(2,+∞).又因为当-1≤x ≤2时,-94≤f (x )≤0,所以当x ∈[-1,2]时,函数f (x )的值域为[-94,0]. 综上可知,函数f (x )的值域是-94,0∪(2,+∞). 二、填空题 7.答案 4 解析 不等式x -xx +1>0等价于{x +1≠0,(x -x )(x +1)>0,又不等式的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),所以当x =4时,(x -a )(x +1)=0,解得a =4. 8.答案 (-∞,1]解析 A ={x |3x -2-x 2<0}={x |x 2-3x +2>0}={x |x <1或x >2},B ={x |x -a <0}={x |x <a }.若B ⊆A ,则a ≤1. 9.答案 (14,+∞)解析 原不等式可变形为a >2x -14x=(12)x -(14)x ,设y =(12)x -(14)x ,令(12)x =t ,则t >0,所以y =(12)x -(14)x=t -t 2=-(x -12)2+14,因此当t =12时,y 取得最大值14,故实数a 的取值范围是(14,+∞). 10.答案 [0,1]解析 函数y =√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R,即kx 2-6kx +(k +8)≥0对一切x ∈R 恒成立.当k =0时,显然8>0恒成立;当k ≠0时,k 需满足{x >0,x =36x 2-4x (x +8)≤0,解得0<k ≤1.综上可得,k 的取值范围是[0,1]. 11.答案 (1,3)解析 原不等式可转化为[(1-a )x -b ]·[(1+a )x -b ]>0.①当a ≤1时,结合不等式解集形式知,不符合题意;②当a >1时,x 1-x <x <x x +1,由题意知0<x x +1<1,所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个,则需-3≤x1-x <-2,整理得2a -2<b ≤3a -3.结合已知b <1+a ,可得2a -2<1+a ,所以a <3,从而有1<a <3.综上可得,a ∈(1,3). 三、解答题12.解析 (1)由题意知m <0,x 1=n ,x 2=2是方程mx 2+3x -2=0的实数根,11 故由根与系数的关系得{x +2=-3x ,2x =-2x ,解得{x =-1,x =1.则nx 2+mx +2=x 2-x +2=(x -12)2+74>0,即nx 2+mx +2>0的解集为R .(2)由(1)得ax 2-(1+a )x +1=(ax -1)(x -1)>0.当a <0时,原不等式等价于(-ax +1)(x -1)<0,解得1x <x <1;当a =0时,原不等式等价于-(x -1)>0,解得x <1;当0<a <1时,1x >1,解得x <1或x >1x .综上所述,当a <0时,不等式的解集为{x |1x <x <1};当a =0时,不等式的解集为{x |x <1};当0<a <1时,不等式的解集为{x |x <1或x >1x }.13.解析 (1)根据题意,当a =1时,f (x )=x 2-2x.由f (x )<0,得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以f (x )<0的解集为(0,2).(2)由f (x )<3a 2,得x 2-2ax -3a 2<0,所以(x -3a )(x +a )<0.当a >0时,解集为(-a ,3a );当a =0时,解集为⌀;当a <0时,解集为(3a ,-a ).(3)由f (x )=x 2-2ax >0,可得2ax <x 2,又x ∈(2,+∞),∴a <x 2在x ∈(2,+∞)上恒成立.令g (x )=x 2(x >2),∵g (x )在(2,+∞)上单调递增,∴g (x )>1,∴a ≤1,即a 的取值范围是(-∞,1].。
高二数学第二章的重要知识点概括整理
高二数学第二章的重要知识点概括整理高二数学第二章的重要知识点概括1一、不等式的性质1.两个实数a与b之间的大小关系2.不等式的性质(4)(乘法单调性)3.绝对值不等式的性质(2)如果a>0，那么(3)|a?b|=|a|?|b|.(5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.(6)|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.二、不等式的证明1.不等式证明的依据(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)2.不等式的证明方法(1)比较法：要证明a>b(a0(a-b<0)，这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号.(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.三、解不等式1.解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.①解一元高次不等式;②解分式不等式;③解无理不等式;④解指数不等式;⑤解对数不等式;⑥解带绝对值的不等式;⑦解不等式组.2.解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质.(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.(3)注意代数式中未知数的取值范围.3.不等式的同解性高二数学第二章的重要知识点概括2一、随机事件主要掌握好(三四五)(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。
北师大版高二数学必修5数学不等式单元复习试卷二
高二（2）部数学《不等式》单元复习试卷二班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿一、选择题：（每小题5分，共60分）1、若c b a >>，则下列不等式中正确的是 （ ）A 、||||c b c a >B 、ac ab >C 、||||c b c a ->-D 、cba111<<2、下列不等式中，与不等式xx --23≥0同解的是 （ ） A 、)2)(3(x x --≥0 B 、0)2)(3(>--x x C 、32--x x≥0 D 、)2lg(-x ≤0 3、若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是 （ ） A 、（0，1） B 、（0，21） C 、（21，1） D 、（0，1）∪（1，+∞） 4、不等式()()012723232>+--+x x x x x 的解集为 {}401|<<-<x x x A 或、{}401|><<-x x x B 或、 {}3401|≠<<-<x x x x C 且或、D.以上都不对 5、已知不等式052>+-b x ax 的解集是}23|{-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解是（ ） A 、3-<x 或2->x B 、21-<x 或31->x C 、3121-<<-x D 、23-<<-x6、不等式a R x x a x a 恒成立，则实数对一切∈<--+-04)2(2)2(2的取值范围是（ ） )2(]22(]22[)2(--∞---∞，、，、，、，、D C B A7、设∈c b a ，，（0，+∞），则三个数ba 1+，cb 1+，ac 1+的值 （ ） A 、都大于2 B 、都小于2 C 、至少有一个不大于2 D 、至少有一个不小于2 8、使a x x <-+-|3||4|有实数解的a 的取值范围是 （ ） A 、7>a B 、71<<a C 、1>a D 、a ≥19、设a ≥0，b ≥0，且1222=+b a ，则21b a +的最大值为 （ ）A 、43B 、42 C 、423 D 、23 10、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f(x)+2>0的解集是 （ ）A 、(－2，2)B 、(－∞，－2)∪(2，＋∞)C 、(－1，1)D 、(－∞，－1)∪(1，＋∞)11、设实数y x ，满足10<<xy 且xy y x +<+<10，那么y x ，的取值范围是 （ ） A 、1>x 且1>y B 、10<<x 且1<y C 、10<<x 且10<<y D 、1>x 且10<<y12、已知()x f 是定义在()3,3-上的奇函数，当30<<x 时，()x f 的图象如图所示，那么不等式()0cos <⋅x x f 的解集为（ ）A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⋃⎪⎭⎫⎝⎛--3,21,02,3ππ B ．()⎪⎭⎫⎝⎛⋃⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,21,01,2ππ C ．()()()3,11,01,3⋃⋃-- D ．()()3,11,02,3⋃⋃⎪⎭⎫⎝⎛--π二、填写题：（每小题4分，共16分）13、若对于任意x ∈R ，都有(m －2)x 2－2(m －2)x －4<0恒成立，则实数m 的取值范围是 ．14、设y x z +=2式中变量y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则z 的最大值为 ．15、对于满足0≤p ≤4的实数p ，使243x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 ．16、已知两个正数x,y 满足x ＋y=4，则使不等式yx 41+≥m 恒成立的实数m 的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10101y y x y x .（1）求y x z 2-=的最大值和最小值；（2）求208422+--+=y x y x μ的最小值.18、（本小题满分12分）解关于x 的不等式x m x m x --12＞0.19、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为1)(+=n kn g （k ＞0，k 为常数，Z ∈n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元．（1）求k 的值，并求出)(n f 的表达式； （2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?20、（1）已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．新课标第一网21、已知函数2()f x x px q =++，对于任意R θ∈,有(sin )0f θ≤，且(sin 2)0f θ+≥.（1）求p 、q 之间的关系式；（2）求p 的取值范围；（3）如果(sin 2)f θ＋的最大值是14，求p 的值，并求此时(sin f θ）的最小值。
高二数学一元二次不等式的解法2
3.3 一元二次不等式的解法 课件
问题：
2
（1）如何解一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
（2）二次函数y ax bx c(a 0) 的图象是
2
什么曲线？
2 ax bx c 0(a 0) 的 （3）一元二次方程
解与二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象 有什么联系？
分类标准，解含参数的不等式。
作业:
P79 练习A第3题(2)(4)
第5题(3)
石器时代，是考古学家假定的一个时间区段，为考古学上的术语。石器时代分为旧石器时代、中石器时代与新石器时代。 考古学对早期人类历史分期的第一个时代，即从出现人类到青铜器的出现，大约始于距今二三百万年，止于距今5000至 2000年左右。
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程 f(x)=0在△＞0时的两个根分别是x1、x2， 且x1＜x2。
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
△＝0
1
△＜0
x x x 或x x
2
一元二次方程ax bx c 0(a 0) 的解实
2
际上就是二次函数 y ax bx c(a 0)
2
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象
来解一元二次不等式。
首先，我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1)ax bx c 0(a 0)
b x R x 2 a
R
x x
高二数学解二次不等式的方法与技巧
高二数学解二次不等式的方法与技巧二次不等式是高中数学中重要的内容，掌握解二次不等式的方法和技巧对于学生提高数学水平至关重要。
本文将介绍解二次不等式的常用方法和技巧，帮助学生更好地理解和应用。
一、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法主要包括因式分解法、求值法和图像法。
1. 因式分解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的二次不等式，其中a、b、c为已知实数，可以通过因式分解的方法来解决。
首先，将原不等式变形为ax^2+bx+c=0的二次方程，然后通过求根公式或配方法得到方程的两个根x1和x2。
接下来，根据二次函数的性质和因式分解的方法，将二次方程对应的二次函数绘制成图像。
根据图像的特点，确定方程在数轴上的解集。
最后，根据不等式的符号确定解集。
2. 求值法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的二次不等式，其中a、b、c为已知实数，可以通过求值法来解决。
通过求解二次不等式对应的二次方程，得到方程的两个根x1和x2。
将数轴分成三个区间：(-∞,x1)，(x1,x2)，(x2,+∞)。
分别取每个区间中的一个点代入不等式，判断不等式在该点的取值情况。
由于二次函数的图像是开口朝上或朝下的抛物线，因此在区间中，二次函数的取值情况呈现出两种可能性，根据这些情况确定解集。
3. 图像法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的二次不等式，其中a、b、c为已知实数，可以通过图像法来解决。
首先，绘制出函数y=ax^2+bx+c的图像。
根据二次函数的图像特点，确定不等式的解集。
二、二元二次不等式的解法解二元二次不等式的方法包括配方法和图像法。
1. 配方法对于形如ax^2+by^2+cx+dy+e>0或ax^2+by^2+cx+dy+e<0的二元二次不等式，其中a、b、c、d、e为已知实数，可以通过配方法来解决。
首先，将二元二次不等式化简为含有平方项的二次不等式。
高二数学期末复习一(不等式2)
高二数学期末复习一（不等式2） 一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 2.若a 1<b 1<0；则下列不等式:①a +b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④a b +ba>2.正确的不等式有( ) 个个个个3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜QB.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x -11中最大的一个是__________. 12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1)(a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________.13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 16.比较下列两个数的大小:(1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内?21.已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-不等式(一)(A 卷)一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1 D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 解析:A.因为c 2≥0；所以只有c ≠0时才正确.c =0时；ac 2=bc 2；所以A 是假命题.变式:若ac 2＞bc 2；则a ＞b ；命题是真命题.B.a ＜b ；a ＜0⇒a 2＞ab ；a ＜b ；b ＜0⇒ab ＞b 2；B 是真命题.C.由性质定理a ＜b ＜0⇒a 1＞b 1；C 是假命题. D.例如－3＜－2＜0；32＜23；D 是假命题.答案:B 2.若a 1<b 1<0；则下列不等式:①a +b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④a b +ba >2.正确的不等式有( ) 个个个个分析:本题主要考查不等式的性质及均值不等式的适用条件. 解:由a 1<b1<0可知b <a <0；③不正确；②不正确. ∴a +b <0；ab >0.∴a +b <ab ；①正确. 由a b >0； b a >0；而a ≠b ；∴a b +ba>2；④正确. 答案:B3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜R C.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q分析:本题主要考查均值不等式与对数函数的单调性. 解:a ＞b ＞1⇒lg a ＞0；lg b ＞0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>+==⋅>+=Q b a ab b a R P b a b a Q )lg (lg 21lg )2lg(lg lg )lg (lg 21⇒ R ＞Q ＞P . 答案:B4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)分析:本题主要考查负数在不等式中的变化；不等式的性质.解:由x ＜y ；得x －y ＜0.又－π＜x －y ＜π；∴－π＜x －y ＜0. 答案:A5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 分析:本题主要考查不等式的性质；用排除法. 解:∵ab ＞0；∴a 、b 同号.又a +b ＞0； ∴a ＞0且b ＞0.①正确；排除B 、C. 由③b a －dc ＞0；得bd bc ad -＞0；不能保证ad ＞bc .③不正确.故应选D. 答案:D6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断分析:本题主要考查不等式的应用.本题关键是比较两种不同的购买方式的平均价格的 大小. 解:(1)按第一种策略购物；设第一次购物时价格为p 1；购n (kg)；第二次购物时价格为p 2；仍购n (kg).按这种策略购物时两次购物的平均价格为n n p n p 221+=221p p +. (2)若按第二种策略购物；第一次花m 元钱；能购1p m (kg)物品；第二次仍花m 元钱；能购2p m (kg)物品；两次购物的平均价格为212p mp m m +=21112p p +.比较两次购物的平均价格221p p +－21112p p +=221p p +－21212p p p p +=)(24)(2121221p p p p p p +-+=)(2)(21221p p p p +->0(∵p 1≠p 2)；∴第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格. 因而；用第二种策略比较经济. 答案:B 7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值解析:f (x )=x +x 4+3=－(－x +x-4)+3≤－4+3=－1. 故选D.答案:D8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )A.5 hB.10 hC.15 hD.20 h解析:时间t =［400+25(20v )2］÷v =v 400+40025v≥225=10.答案:B9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件 分析:本题主要考查含绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |；充要条件. 解:|a －b |=|(a －1)－(b －1)|≤|a －1|+|b －1|＜2h .故应选B. 答案:B10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2分析:本题主要考查222b a +≥(2b a +)2；参数隔离法.解:由2)()(22y x +≥(2y x +)2；∴2y x +≥2y x +；即a ≥22；a min =22.故应选A.答案:A二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x-11中最大的一个是__________. 解析:∵b －c =(1+x )－x-11=x x ---1112=－xx -12＜0；∴b ＜c .又b =1+x ＞2x =a ；∴c 最大. 答案:c12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1) (a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________. 分析:本题考查比较法；综合法证明不等式；凑平方. 解:①a 2+3－2a =(a －1)2+2＞0. ②a 为负值不正确.③a 5+b 5－a 3b 2－a 2b 3=a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2)=(a 3－b 3)(a 2－b 2)=(a +b )(a －b )2(a 2+ab +b 2)；其值大于零不一定成立.当a ≠b 且均为负值或一负值一零值时；其值为负值；当a =b 时其值为零.不正确.④a 2+b 2－2a +2b +2=(a －1)2+(b +1)2≥0. 答案:①④13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.分析:本题主要考查应用数学知识解决实际问题的能力.加糖以后；糖水变甜了；说明浓度变大了.解:加糖以前；糖水的浓度为b a ；而加入m g 糖以后；糖水浓度为mb m a ++；糖水变甜了；说明浓度变大了；即m b m a ++>b a. 答案: m b m a ++> ba14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.分析:本题考查综合运用不等式的性质；证明不等式.解:由②；abadbc -＞0；又ab ＞0⇒bc －ad ＞0； 即bc ＞ad ；说明由①②③.同理可证明其他情况. 答案:0三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 分析:本题考查不等式的性质与比较法.解:(5x 2+y 2+z 2)－(2xy +4x +2z －2)=(x －y )2+(2x －1)2+(z －1)2≥0. ∴5x 2+y 2+z 2≥2xy +4x +2z －2 (当且仅当x =y =21且z =1时等号成立). 16.比较下列两个数的大小: (1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明. 解法一:(变形后利用平方求差) (1)(2+3)2－(2+1)2=26－4＞0.故2+3＞2+1；即2－1＞2－3.(2)(2+5)2－(6+3)2=45－218=220－218＞0. 故2+5＞6+3；即2－3＞6－5.(3)一般结论:若n 是正整数； 则有1+n －n ＞3+n －2+n .证明过程与(1)(2)类似；从略. 解法二:(利用分子有理化)(1)∵2－1=121+；2－3=321+；而121+＞321+；故2－1＞2－3.(2)∵2－3=321+； 6－5=561+；而321+＞561+；故2－3＞6－5. (3)同解法一.注:本题的结论可推广到对一切n ∈R +都成立.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 思路一:从结论入手；探求、分析上一步成立的充分条件.证法一:(分析法)要证a b b a +≥b a +； 只要证a a +b b ≥a b +b a ； 即证3a +3b ≥ab (b a +).需证(b a +)(a －ab +b )≥ab (b a +)； 即a －ab +b ≥ab ；也就是要证a +b ≥2ab 成立.a +b ≥2ab 显然成立；∴原不等式成立. 思路二:从条件入手；利用已知不等式；逐次推理. 证法二:(综合法)∵a 、b 为正实数；∴a +b ≥2ab .又ba +b ≥2a ； ① a +ab ≥2b ；②①+②得b a +b +a +ab ≥2a +2b ；即abb a+≥b a +成立. 证法三:(作差比较法) (a b b a +)－(b a +) =(b a －b )+(ab －a )=b b a -+a a b -=abb a b a ))((--=abb a b a 2))((-+.∵a 、b 为正实数；∴b a +＞0；ab ＞0；(a －b )2≥0.于是有abb a b a 2))((-+≥0.∴ab ba +≥b a +.18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？分析:本题考查不等式在实际中的应用.解:设铁栅长x m ；一堵墙长y m ；则有S =xy . 由题意得40x +2×45y +20xy =3200.应用二元均值不等式；得3200≥229040y x ⋅+20xy =120xy +20xy =120S +20S . ∴S +6S ≤160.∴(S －10)(S +16)≤0.由于S +16＞0；∴S －10≤0；即S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2；当且仅当40x =90y ； 而xy =100；解得x =15； 即铁栅的长应为15 m.19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1). 分析:本题考查绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |的应用.证明:∵f (x )－f (a )=x 2－x +B －a 2+a －B =x 2－a 2－(x －a )=(x －a )(x +a －1)； 又∵|x －a |＜1；∴|f (x )－f (a )|=|x －a |·|x +a －1|＜|x +a －1|=|x －a +2a －1|≤|x －a |+|2a －1|＜1+|2a |+1=2(|a |+1). ∴|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内? 分析:本题主要考查函数、不等式等基本知识；考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.解:(1)依题意；y =)1600(3920vv ++≤160023920+=83920； 当且仅当v =v 1600；即v =40时；上式等号成立. 所以y max =83920≈11.1(千辆/小时).(2)由条件得160039202++v v v>10；整理得v 2－89v +1600<0； 即(v －25)(v －64)<0. 解得25<v <64.答:当v =40 km/h 时；车流量最大；最大车流量约为千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应大于25 km/h 且小于64 km/h.21已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-.分析:本题主要考查利用分析法证明不等式. 证明:要证原不等式；只需证 a b a 4)(2-<a +b －2ab <b b a 4)(2- ⇔(a b a 2-)2<(a －b )2<(b b a 2-)2⇔a b a 2-<a －b <bba 2-⇔a b a 2+<1<b ba 2+⇔1+a b <2<b a +1 ⇔ a b <1<ba ⇔a b <1<ba . (*)由题设知不等式(*)成立；以上过程可逆；原不等式成立.。
高中数学不等式
高中数学不等式高中数学不等式一:高中数学不等式有哪些学问点不等式是高中数学的重要内容，不等式就是用不等号可以将两个解析式连接起来所成的式子。
下面是我为大家细心推举高中数学不等式学问点总结，盼望能够对您有所关心。
高中数学不等式学问点归纳不等式的含义一般地，用纯粹的大于号“”、小于号“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(,,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等号也可以为，≤,≥，中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a bb a②传递性: a b, b ca c③可加性: a b a + c b + c④可积性: a b, c 0ac bc⑤加法法则: a b, c d a + c b + d⑥乘法法则：a b 0, c d 0 ac bd⑦乘方法则：a b 0, an bn (n∈N)⑧开方法则：a b 02.算术平均数与几何平均数定理：(1)假如a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)假如a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：假如为实数，则重要结论(1)假如积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)假如和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;遇到肯定值或根式，我们还可以考虑作平方差。
高二数学证明不等式的基本方法2
上海上自仪 [单选]建设工程勘察单位在编制建设工程勘察文件时，不作为编制依据的是()。A.项目批准文件B.城市规划C.项目投资概算D.国家规定的建设工程勘察深度要求 [判断题]付出现金时，银行封签对外是有效的。A.正确B.错误 [单选]对于卫星通信中天线接收外部噪声来说，有一段频谱噪声最小，移为“电波窗口”，它是（）A.1.0G以下B.1GHZ-10GHZC.10G-14GHZD.14G以上 [名词解释]地球化学省 [单选]相同厚度的同一材料分别承受硬射线和软照射，哪种情况下对射线的吸收较少？（）A、承受硬射线照射B、承受软射线照射C、两种情况下都一样D、以上都不对 [单选]下面哪一项是学龄期儿童的主要特点()A．好奇多问，模仿性强B．理解、分析、综合能力逐步完善C．易发生营养不良D．患感染性疾病E．易发生营养不良和消化紊乱 [单选]按照《建筑业企业资质管理规定》，企业取得建筑业企业资质后不再符合相应资质条件的，其资质证书将被（）。A．撤回B．撤销C．注销D．吊销 [判断题]人们常说的动力电电压是220伏。A.正确B.错误 [单选]300MW机组的火力发电厂，每台机组直流系统采用控制和动力负荷合并供电方式，设两组220kV阀控蓄电池。蓄电池容量为1800Ah，103只。每组蓄电池供电的经常负荷为60A。均衡充电时不与母线相连。在充电设备参数选择计算中下列哪组数据是不正确的（）？A.充电装置额定电流满足浮充 61.8AB.充电装置额定电流满足初充电要求为180～225AC.充电装置直流输出电压为247.2VD.充电装置额定电流满足均衡充电要求为240～285A [单选]与神学相区别的哲学起源于纪元前六世纪的（）。A、罗马B、希腊C、巴比伦 [单选]建设单位申请施工许可证时，向办证机关提供的施工图纸及技术资料应当满足（）。A．施工需要并按规定听过审查B．编织招标文件的要求C．主要设备材料订货的要求D．施工安全措施的要求 [单选,A2型题,A1/A2型题]铁染色常用于哪种疾病的诊断（）A.巨幼细胞贫血B.慢性疾病性贫血C.缺铁性贫血D.骨髓增生异常综合征E.溶血性贫血 [单选]直连螺旋桨并装有极限调速器的船舶主机运转中油门一定时，若海面阻力降低，该主机的运转工况变化是（）。A．转速降低后稳定工作B．减少油门后稳定工作C．转速增加后稳定工作D．增大油门后稳定工作 [单选]对于承建单位提出的工程变更申请，总监理工程师在签发意见之前，应就工程变更引起的进度改变和费用增减（）。A.进行分析比较，并指令承建单位实施B.要求承建单位进行比较分析，以供业主审批C.要求承建单位与业主单位进行协商D.与业主单位和承建单位进行协商 [单选]版样上如果有（）外的其他文字，应请专业人员翻译核对。A.汉语B.英语C.拼音D.印刷 [单选]装运货物要合理使用货车，车种要适合（）。A、形状B、货种C、重量D、体积 [单选]碘缺乏病ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人体产生的多种危害中不包括A．胎儿早产、死产B．单纯性聋哑C．视野缩小D．地方性克汀病E．地方性甲状腺肿 [填空题]早期商业票据的发展和运用几乎都在（），发行者主要是（）、（）、（）等非金融性企业。主要购买者（）。60年代得到迅速发展，现在已扩展到（）、（）、（）、（）、（）等。 [问答题,简答题]什么是近交系动物？ [单选,A1型题]颈部淋巴结结核的临床治疗，不恰当的是（）A.可不给予全身抗结核药物B.形成窦道的可行刮除术C.液化的可穿刺D.没液化的可切除E.口服抗结核药物 [单选]关于早期食管癌的病理分型哪项正确()A．乳头型多为原位癌B．斑块型少见C．乳头型最早D．隐伏型均为原位癌E．糜烂型为高分化 [单选,A1型题]不属于医学心理学相关学科的是（）。A.健康心理学B.变态心理学C.神经心理学D.药物心理学E.教育心理学 [单选]甘缓不峻，性平不偏，质润不燥，能平肝息风的药物是（）A.蜈蚣B.羚羊角C.地龙D.钩藤E.天麻 [单选,A1型题]判断血栓闭塞性脉管炎闭塞部位的准确方法是（）A.仔细检查肢体各动脉搏动情况B.静脉注射硫酸镁10mlC.肢体位置试验D.行交感神经阻滞E.动脉造影 [单选]氨合成催化剂还原是（）过程。A.吸热反应B.放热反应C.不吸热也不放热 [填空题]1948年，美国数学家（）发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。 [单选]男，41岁，发现右上颈包块2个月，病理活检为低分化鳞癌，原发灶最常位于()A．上颌窦B．鼻咽部C．下咽部D．扁桃体E．喉 [问答题,简答题]从猿到人行为特征的变化？ [单选]呼吸功能异常易引起的错位是（）A.单侧后牙反?B.后牙锁?C.佝偻病D.下颌后缩畸形E.以上都是 [单选,A2型题,A1/A2型题]DSA显示血管的能力与血管内碘浓度和曝光量平方根的乘积（）A.成正比B.成反比C.成无关D.成平方关系E.成开方关系 [单选]不属于煮炉加药前的准备工作的是（）。A.操作人员要配备工作服、胶皮手套、胶鞋、防护镜等劳保用品以及救护药品，操作地点附近要有清水B.准备好加药桶和其他工具C.不得将固体药品注入锅筒内，更不得使药液进入过滤器内D.将煮炉用药品先调成20%浓度的水溶液，搅拌均匀，使其充 并除去杂质 [单选]溶菌法检测细胞杀菌功能，其杀菌率的计算公式是()A．吞噬细菌的细胞数/计数的细胞数×100%B．胞内含着染菌体的细胞数/计数的细胞数×100%C．(1～30、60、90min的菌落数/0min菌落数)×100%D．(1～3h的菌落数/0min菌落数)×100%E．胞内含着染菌体的细胞数 胞数×100% [问答题,简答题]货运检查站应配备那些起主要工具和备品？ [单选]第一个成立的区域性港口国监督合作组织是（）。A.美国海岸警卫队B.巴黎备忘录C.东京备忘录D.加勒比备忘录 [单选]夜间行车，车速在30公里／小时以上，应使用（）。A、远光灯B、防雾灯C、近光灯 [单选]货币存量主要有五个层次，其中属于M2的是（）。A.旅行支票B.活期存款C.其他支票存款D.储蓄存款 [单选]堆叠场景下，主设备SIP用户A呼叫局外PSTN用户（主设备E1对接PSTN），通话建立后的RTP流情况为：（）A<->主设备B.主设备<->主设备C.A<->主设备<->主设备D.以上都不对 [单选]18岁未婚少女，14岁初潮，月经周期不规则，25日至60日，每次经期可达10余日，量多，无痛经。本例诊断最可能是（）。A.月经过多B.黄体功能不足C.子宫内膜不规则脱落D.无排卵性功血E.排卵性功血 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下陈述不对的是（）A.自杀已成为人类的10大死因之一B.自杀未遂者10～20倍于自杀死亡者C.自杀对社会和家庭均带来沉重的影响D.自杀是一个重要的公共卫生和社会问题E.我国男性自杀死亡率比女性高 [单选]为预防Rh阴性妇女发生致敏，下列哪些情况不适合预防性应用抗D球蛋白（）A.第1次分娩Rh阳性婴儿后，于72小时内应用B.Rh（-）女婴出生时即应用C.流产（自然或人工流产）后D.在羊膜腔穿刺后E.产前出血、宫外孕、妊娠期高血压疾病
高二数学绝对值三角不等式2(2019)
孟尝君好客 有居民间闭口不言 九百人屯大泽乡 苍狗为菑 已亲见近县 小馀六十二；蠲除肉刑 故退之 ’制曰‘下御史’ 慎毋降楚 诏曰：“有敢收视者 吕后释哙 人口议多怨公者 孔子摄相事 城门不闭 令先 奋至德之光
揭竿为旗 使人召孔子 田氏弗先 “適燕者曰
‘以胶东’ 作东越列传第五十四 於是天子乃召拜广为右北平太守 臣青翟等窃与列侯臣寿成等二十七人议 子家、子公将朝灵公 不信威 具知其事 癸巳 汤伐桀 由父省也 曰“此汉贵人也” ”是时丞相张苍好律历 以重吾不德也 常与田氏有卻 智 春夏则发 与盟而罢兵 台骀能业其官 乐
行而民乡方 景行乡之” ”太子前顿首 五年六年城就 荡荡兮八川分流 珠二斗 子一言而亡之 晋公子重耳反国 王又安能使之步行千里而行进取於齐哉 宽缓不苛 是为出公 久之 取阳城 立秦三将：章邯为雍王 秦拔我宜阳 令荥阳成皋间且得休 赐齐桓公为伯 恣意所伤 顾反命 宾客盖至者
数千人 里中社 秦惠王欲发兵以伐蜀 筮逆 有应见参 宋、卫、陈、郑皆火 左右卖国以取容 临死谓其父昆莫曰：“必以岑娶为太子 勃为人木彊敦厚 韩信已定魏地 去 ”试求之故府 今其適子为齐王 拟於巴蜀 项王不信 不满半岁竟灭亡 自其西大夏之属皆可招来而为外臣 夫高祖起微细
乃集其门 鲁人皆以儒教 於是尊荆卿为上卿 不敢止也 东杀龙且 说景公曰：“范、中行数有德於齐 使人召郦生 譬使仁者而必信 方辩天地之道 宋人共杀君御而立成公少子杵臼 嗟彼盖代 汉方复收士马 已闻此两人魏之名士也 岂不善始善终哉 楚有令名 ”穰苴曰：“将受命之日则忘其
家 ”齐王遂亨郦生 前日晁错是也 ”太后乃阴厚赐主腐者吏 齐人 王道失也 而匕首窃发；何以言匈奴轻老也 孰利 又东至于醴 何渠不若汉 拔宜阳 归楚 尽怀其馀肉持去 素有眦睚不快 自有传 物不屈於欲 盾遂奔 礼之质也；亲周 常称病不朝从 往来贩贱卖贵 ”王曰：“寡人固未之许
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不等式小结与复习（2）
教学目的：
1.会解不等式与函数、方程相关的综合题
2.不等式的简单应用.
3.学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质。
教学过程：
一、讲解范例：
（三）不等式与函数、方程
例11 方程)0,10(,02
1cos 21sin 2π≤≤<<=-++x a a x x a 有相异两实根，求a 的取值
例12 已知a 、b 、c 是实数，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，g(x)＝ax ＋b ， 当－1≤x ≤1时|f(x)|≤1.
①证明:|c|≤1；②证明:当－1≤x ≤1时，|g(x)|≤2；
③设a ＞0，当－1≤x ≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x).
例13 设函数f(x)＝1x 2+－ax ，其中a ＞0.
⑴解不等式f(x)≤1；⑵求a 的取值范围，使函数f(x)在区间[0，＋∞]上是单调函数.
（四）应用问题
例14 将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
例15 某地区上年度电价为0.8元/kw ·h ，年用电量为akw ·h.本年度计划将电价降到0.55元/kw ·h 至0.75元/kw ·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kWw ·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K).该地区电力的成本为0.3元/kw ·h.
(I)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式； (II)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？(注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价))。