离散型随机变量的均值与方差,正态分布
离散型随机变量的均值与方差 正态分布
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考向大突破三：正态分布
例3：(2013·大连测试)已知随机变量x服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－
2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.682 6，若μ＝4， σ＝1，则P(5＜x＜6)＝( ) A．0.135 8 B．0.1359 C．0.271 6 D．0.2718
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(2)设“选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件 C，“甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分”为事件C1， “甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分”为事件C2，“甲在 A区投篮得4分、在B区投篮得3分”为事件C3，则C＝ C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件． 则P(C)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝
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考点 • 大整合
1．牢记离散型随机变量X的均值、方差的三个基本问题
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2．把握两点分布与二项分布的均值、方差
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3．理清正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 1 (3)曲线在x＝μ处达到峰值 σ 2π ； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲 线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
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离散型随机变量均值和方差、正态分布
课堂互动讲练
ξ 0 2345 P 0.03 p1 p2 p3 p4
(1)求q2的值； (2)求随机变量ξ的数学期望Eξ； (3)试比较该同学选择都在B处投篮得 分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3 分的概率的大小．
课堂互动讲练
【思路点拨】 首先由P(ξ＝0)＝ 0.03计算出q2，从而可写出分布 列．本题便可求解．
课堂互动讲练
P(X≥7)＝P(X≤3) ＝12×[1－P(3＜X＜7)]， ＝12×(1－0.9544)＝0.0228， ∵P(4＜X＜6)＝0.6826， ∴P(5＜X＜6)＝12P(4＜X＜6) ＝0.3413.
课堂互动讲练
考点二 求离散型随机变量的均值与方差
求离散型随机变量X的均值与方差的步 骤：
【解】 (1)由题设知，“ξ＝0”对 应的事件为“在三次投篮中没有一次投 中”，由对立事件和相互独立事件性质 可知
P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03， 解得q2＝0.8.
课堂互动讲练
(2)根据题意 p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C21(1－q2)q2 ＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24. p2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－ 0.8)2＝0.01. p3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82 ＝0.48. p4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)q2 ＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24. 因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01 ＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.
基础知识梳理
参数μ，σ在正态分布中的实际 意义是什么？
【思考·提示】 μ是正 态分布的期望，σ是正态分布 的标准差．
1．若随机变量X的分布列如下，则X 的数学期望是( )
均值与方差正态分布
注：随机变量的方差与标准差都反映了随机变 量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.如果 DX 值越小, 则表示X 的取值越集中
若干结论：
若X服从两点分布，则DX p(1 p)
若X ~ B(n,p)，则DX np(1 p)
D(aX b) a2DX
n
Eξ=1.5
Dξ=2.75
a=b=2或a=-2,b=4
练习：设p为非负实数，随机变量ξ的概率 分布为：
ξ0 1 2
P
1 2
p
p
1 2
则Eξ的最大值为 ，Dξ的最大值为 1 。
3
2
注：公式的直接应用，注意p的范围。
类型2：离散型随机变量的期望与方差应用 例2、A、B代表队进行乒乓球对抗赛，每队 三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员 是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对 阵队员之间的胜负概率如下：
摸到红球都停止摸球。求随机变量ξ的分布列
及数学期望. (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为1 : 2，
将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球 的概率是 0.4 ，求p的值．
1)C24(
1)2( 3
2 3
)2(
31)
8 81
2)P(x
0)
C
50(
2 3
)5
P(x
1)
C15(
2 3
)4(
二、离散型随机变量取值的方差和标准差
一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：
x x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
DX (x1 EX)2 p1 (xi EX)2 pi (xn EX)2 pn
第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
结束
(2)若要求 P(X≤n)≥0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据， 在 n＝19 与 n＝20 之中选其一，应选用哪个？
解：(2)由(1)知 P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68， 故 n 的最小值为 19.
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离散型随机变量的均值与方差、正态分布
结束
[谨记通法] 求解正态总体在某个区间内取值的概率的 2 个关键点 (1)熟记 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ ＜X≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. ①正态曲线关于直线 x＝μ 对称，从而在关于 x＝μ 对称的区 间上概率相等． ②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．
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离散型随机变量的均值与方差、正态分布
结束
[小题体验]
1．有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地任 取 3 件，若 X 表示取到次品的次数，则 D(X)＝________.
1 1 3 9 解析：∵X～B3，4，∴D(X)＝3× × ＝ . 4 4 16
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[小题纠偏]
1．一个正四面体 ABCD 的四个顶点上分别标有 1 分，2 分， 3 分和 4 分， 往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数 为 X，则 X 的均值为________．
【高中数学】离散型随机变量的均值与方差、正态分布
【高中数学】离散型随机变量的均值与方差、正态分布【知识讲解】1．若离散型随机变量ξ的分布列为X x 1x 2 … x i… x n Pp 1 p 2 … p i…p n(1)则称E ξ＝ 为随机变量ξ的均值，也称为期望，它反映了离散型随机变量取值的 。
(2)把 叫做随机变量方差，D ξ的算术平方根D ξ叫做随机变量ξ的 ，记作 。
随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 偏离于均值的平均程度 。
其中标准差与随机变量本身有 相同单位 。
2．均值与方差的计算公式(1)若η＝a ξ+b (a,b 为常数)，则E η＝E(a ξ+b )=______________；D η＝D(a ξ+b )=____________； (2)若ξ服从两点分布，则E ξ＝ ，D ξ= ；(3)若X 服从二项分布，即~(,)B n p ξ，则E ξ＝ ，D ξ= 。
3．函数,()______________x μσϕ=的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。
4．对于任何实数a b <，随机变量X 满足()____________,P a X b <≤≈则称X 的分布为正态分布，正态分布完全由参数 确定。
因此正态分布常记作 ，如果X 服从正态分布，则记为 。
5．正态分布的特点：(1)曲线在 ；(2)曲线关于直线 对称； (3)曲线在x μ=时 ；(4)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线 ，表示总体的分布越 ；σ越小，曲线 ，表示总体的分布越 。
【巩固练习】离散型随机变量的均值与方差 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316，且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知随机变量X 的分布列为X －2 －10 1 2 3 P 112 m n 112 16 112其中m ，n ∈[0,1)，且E (X )＝16，则m ，n 的值分别为( )A.112，12B.16，16C.14，13D.13，14 3．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4004．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2B．2－4C．3·2－10 D．2－85．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6二、填空题(每小题6分，共24分)6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)＝______. 7．(2009·上海)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (ξ)＝__________(结果用最简分数表示)．8．(袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.9．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________.三、解答题(共41分)10．(13分)袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量ξ的概率分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．11．(14分)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．(1)若从袋子里一次取出3个球，求得4分的概率；(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求所得分数ξ的分布列及数学期望．12．(14分)某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物 化学 物理 数学 周一 14 14 14 14 12 周三 12 12 12 12 23 周五1313131323(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【巩固练习】均值与方差、正态分布基础热身1．下面说法正确的是( )A ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的概率的平均值B ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的概率的平均值2．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (2X ＋1)等于( )A.54B.52C ．3D.72 3．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X ，则X 的数学期望是( )A.15B.310C.45D.654．某种摸奖活动的规则是：在一个袋子中装有大小、质地完全相同、编号分别为1,2,3,4的小球各一个，先从袋子中摸出一个小球，记下编号后放回袋子中，再从中取出一个小球，记下编号，若两次编号之和大于6，则中奖．某人参加4次这种抽奖活动，记中奖的次数为X ，则X 的数学期望是( ) A.14 B.12 C.316 D.34能力提升5．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且E (X )＝15，则E (Y )等于( ) A ．5B ．10C ．15D ．206．[2010·课标全国卷] 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．已知离散型随机变量X的概率分布列为X 13 5P 0.5m 0.2则其方差D(X)等于()A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.48．[2010·广东卷] 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.15859．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A．7.8 B．8 C．16 D．15.610．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X，则X的数学期望E(X)＝________.11．体育课的投篮测试规则是：一位同学投篮一次，若投中则合格，停止投篮，若投不中，则重新投篮一次，若三次投篮均不中，则不合格，停止投篮．某位同学每次投篮的命中的概率为23，则该同学投篮次数X的数学期望E(X)＝________.12．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.13．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是________．14．(10分)[2011·泰兴模拟] 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．15．(13分)[2011·南漳一中月考] 不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3.取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，共取两次．设两次取出的小球上的数字之和为X.(1)求随机变量X的分布列；(2)求随机变量X的期望E(X)．难点突破16．(12分)[2011·衡阳联考] 低碳生活成为人们未来生活的主流，某市为此制作了两则公益广告：(1)80部手机，一年就会增加一吨二氧化碳的排放……(2)人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气……活动组织者为了解市民对这两则广告的宣传效果，随机从10～60岁的人群中抽查了n 人，统计结果如图K63－1表示抽查的n 人中，各年龄段的人数的频率分布直方图，下表表示抽查的n 人中回答正确情况的统计表．图K63－1广告一 广告二 回答正确 的人数 占本组人 数的频率 回答正确 的人数 占本组人数 的频率 [10,20) 90 0.5 45 a [20,30) 225 0.75 240 0.5 [30,40) 378 0.9 252 0.6 [40,50) 160 b 120 0.5 [50,60)150.2560.1(1)分别写出n ，a ，b 的值；(2)若上表中的频率近似值看作各年龄组正确回答广告内容的频率，规定正确回答广告一的内容得20元，正确回答广告二的内容得30元，组织者随机请一家庭的两成员(大人45岁，孩子17岁)回答两广告内容，求该家庭获得资金的期望(各人之间，两广告之间相互独立)．基础知识参考答案：1.【提示】1122n n x P x P x P +++ ,平均水平,21()nii i D xE P ξξ==-∑,标准差,σξ,偏离于均值的平均程度,相同单位2.【提示】AE ξ+b ，a 2D ξ，P ，P （1－P ），nP ，nP(1－P)3.【提示】22()21,2x e x R μσπσ--∈4.【提示】,()bax d x μσϕ⎰，μ和σ，2(,)N μσ，2~(,)X N μσ5.【提示】位于x 轴上方，与x 轴不相交，x μ=，达到峰值12πσ，1，越“矮胖”，分散巩固练习参考答案：10. 解 (1)随机变量ξ可取的值为2,3,4，P (ξ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (ξ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310； P (ξ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量ξ的概率分布列为：ξ 23 4 P35310110(2)随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝2·35＋3·310＋4·110＝52；随机变量ξ的方差 D (ξ)＝(2－52)2·35＋(3－52)2·310＋(4－52)2·110＝920.P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫252＝425， 故ξ的分布列为ξ 23 4 P9251225425故ξ的数学期望E (ξ)＝2×925＋3×1225＋4×425＝145.P (ξ＝1)＝C 14×12×⎝⎛⎭⎫1－123×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－124×23＝18； P (ξ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－122×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 14×12×⎝⎛⎭⎫1－123×23＝724；P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－122×23＝13； P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫124×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 34×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－12×23＝316； P (ξ＝5)＝⎝⎛⎭⎫124×23＝124.所以，随机变量ξ的分布列如下：ξ 01 2 3 4 5 P1481872413316124故E (ξ)＝0×148＋1×18＋2×724＋3×13＋4×316＋5×124＝83.【基础热身】1．C [解析] 离散型随机变量X 的期望E(X)反映了X 取值的平均水平，它的方差反映X 取值的离散程度．2．D [解析] 因为X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，所以E(X)＝54，所以E(2X ＋1)＝2E(X)＋1＝2×54＋1＝72. 3．D [解析] X ＝0,1,2.P(X ＝0)＝C 22C 25＝110，P(X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610，P(X ＝2)＝C 23C 25＝310.所以E(X)＝65.4．D [解析] 根据乘法原理，基本事件的总数是4×4＝16，其中随机事件“两次编号之和大于6”含有的基本事件是(3,4)，(4,3)，(4,4)，故一次摸奖中奖的概率为316.4次摸奖中奖的次数X ～B ⎝⎛⎭⎫316，4，根据二项分布的数学期望公式，则E(X)＝4×316＝34.【能力提升】5．B [解析] 因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E(X)＝n2，又E(X)＝15，则n ＝30. 所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13，故E(Y)＝30×13＝10. 6．B [解析] X 的数学期望概率符合(n ，p)分布；n ＝1 000，p ＝0.1，∴E(X)＝2×1 000×0.1＝200. 7．C [解析] 因为0.5＋m ＋0.2＝1，所以m ＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4， D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.8．B [解析] 通过正态分布对称性及已知条件得P(X ＞4)＝1－P 2≤X ≤42＝1－0.68262＝0.1587，故选B .9．A [解析] X 的取值为6,9,12，相应的概率P(X ＝6)＝C 38C 310＝715，P(X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P(X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.10．1.4 [解析] X ＝0,1,2.P(X ＝0)＝0.2×0.4＝0.08，P(X ＝1)＝0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44，P(X ＝2)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝1.4.11.139 [解析] 试验次数X 的可能取值为1,2,3，且P(X ＝1)＝23， P(X ＝2)＝13×23＝29，P(X ＝3)＝13×13×⎝⎛⎭⎫23＋13＝19. 随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P232919所以E(X)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.12．2 [解析] 每次取球时，红球被取出的概率为12，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X ～B ⎝⎛⎭⎫12，8，故D(X)＝8×12×12＝2.13．(1 000,20 000) [解析] X 表示保险公司在参加保险者身上的收益，其概率分布为X 100 100－a P0.9950.005E(X)＝0.995×100＋(100－a)×0.005＝100－a200.若保险公司获益，则期望大于0，解得a<20 000，所以a ∈(1 000,20 000)．14．[解答] (1)记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知P(A)＝C 23C 26＝15.(2)X 可取1,2,3,4.P(X ＝1)＝C 13C 16＝12，P(X ＝2)＝C 13C 16·C 13C 15＝310，P(X ＝3)＝C 13C 16·C 12C 15·C 13C 14＝320，P(X ＝4)＝C 13C 16·C 12C 15·C 11C 14·C 13C 13＝120；故X 的分布列为X 1 2 3 4 P12310320120E(X)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.答：X 的数学期望为74.15．[解答] (1)由题意知随机变量X 的取值为2,3,4,5,6.P(X ＝2)＝210×210＝125，P(X ＝3)＝210×310＋310×210＝325，P(X ＝4)＝210×510＋510×210＋310×310＝29100，P(X ＝5)＝310×510＋510×310＝310，P(X ＝6)＝510×510＝14.所以随机变量X 的分布列为X 2 3 4 5 6 P1253252910031014(2)随机变量X 的期望为E(X)＝2×125＋3×325＋4×29100＋5×310＋6×14＝235.【难点突破】16．[解答] (1)根据频率分布表，可知年龄在[10,20)岁的人数为900.5＝180.根据频率分布直方图可得180n ＝0.015×10，得n ＝1200，∴a ＝45180＝14，160b ＝1200×0.02×10，b ＝23.∴n ＝1200，a ＝14，b ＝23.(2)依题意：孩子正确回答广告一、广告二的内容的概率分别是P 1＝12，P 2＝14.大人正确回答广告一、广告二的内容的概率分别为P 3＝23，P 4＝12.设随机变量X 表示该家庭获得的资金数，则X 的可能取值是：0,20,30,40,50,60,70,80,100. 其分布列为X 020 30 40 50 60 70 80 100 P116316112181414816116124∴E(X)＝0×116＋20×316＋30×112＋40×18＋50×14＋60×148＋70×16＋80×116＋100×124＝4556.。
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
及曲线所表示的意义．
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1．设 X 为随机变量，X～B(n，13)，若随机变量 X 的数学期
望 E(X)＝2，则 n 等于
()
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵X～B(n，13)，∴E(X)＝n3＝2，∴n＝6.
答案： D
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2．设随机变量ξ～N(0,1)，若P(X>1)＝p，则P(－1<ξ <0)＝
D．p(1－p)
()
解析：E(X)＝0·(1－p)＋1·p＝p， D(X)＝(0－p)2·(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2＝p(1－p)．
答案： D
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4．(2011·上海高考)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概
率分布律如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x) ？ ！ ？
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看
第 十章
计数 原理 、概 率、 随机 变量 及分 布列
第九 节 离散 型随 机变 量的 均值 与方 差 、正 态分 布
高考成功方案第一步 高考成功方案第二步 高考成功方案第三步 高考成功方案第四步
考纲点击 1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一
p2
…
Pi
…
(1)均值
称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
xn pn
为随机变
量X的均值或 数学期望 ，它反映了离散型随机变量
取值的平均水平 ．
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(2)方差
n
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
p； (3)①若 X 服从两点分布，则 EX＝__ np ②若 X～B(n，p)，则 EX＝____.
③若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何 nM 分布，则 E(X)＝ N .
2．方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为
X P
x1 p1
x2 p2
… …
xi piຫໍສະໝຸດ … …xn pn则称 DX＝ (xi－EX) pi 为随机变量 X
ξ P
0 1 6 a 125
2
3 24 b 125
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成 绩的概率； (2)求p，q的值； (3)求数学期望Eξ.
6 【思路分析】 利用 P(ξ＝0)＝ ，P(ξ 125 24 ＝3)＝ ，求 p，q 的值． 125 【解】 记事件 Ai 表示“该生第 i 门课
程取得优秀成绩”， i＝ 1,2,3. 由题意知 4 P(A1)＝ ，P(A2)＝p，P(A3)＝q. 5
DX 越大表明平均偏离程度越大， 说明 X 的取值越分散；反之，DX 越小，X 的 取值越集中在 EX 附近，统计中常用 DX来描述 X 的分散程度． (2)DX 与 EX 一样， 也是一个实数， 由X 的分布列唯一确定．
失误防范
1 ．对于应用问题，必须对实际问题进行 具体分析，一般要先将问题中的随机变量 设出来，再进行分析，求出随机变量的概 率分布列，然后按定义计算出随机变量的
【思路分析】
性，P(6＜X＜7)＝P(3＜X＜4)． 【解】 由已知μ＝5，σ＝1.
∵P(4＜X＜6)＝0.6826，
P(3＜X＜7)＝0.9544.
∴P(3＜X＜4)＋P(6＜X＜7)
＝0.9544－0.6826＝0.2718.
如图，由正态曲线的对称性可得 P(3＜X＜4)＝P(6＜X＜7) 0.2718 ∴P(6＜X＜7)＝ ＝0.1359. 2
离散型随机变量的均值与方差、正态分布-概率、统计与统计案例
直线x=μ
1 a 2π
对称；
; ；
处达到峰值 1
（4）曲线与x轴之间的面积为
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿 平移； （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越 小 曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越 大 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
x轴
， ，
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考点一 求期望与方差 一接待中心有A，B，C，D四部热线电话,已知某一时 刻电话A，B占线的概率均为0.5,电话C，D占线的概率 均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该 时刻有ξ部电话占线,试求随机变量ξ的概率分布和它的 期望. 返回目录
P（a<X≤b）=
∫
b φμ,σ(x)dx, a
则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和 N(μ,σ2) .如果随机变量 σ确定，因此正态分布常记作 N(μ,σ2) . X服从正态分布，则记为X~ 正态曲线有以下特点: 返回目录
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于
【分析】利用ξ,η的分布列，用期望、方差公式计算 出它们的值，再根据期望、方差的实际意义作出分析. 【解析】依题意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1 +7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85（环）. Eη=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2
返回目录
【解析】因为灯管的使用寿命X~N（1 000，
302），为了查表方便，先化为标准正态分布N(0,1);令
Y= X - 1 000 ,即X=1 000+30Y,故Y~N(0,1).
第十章 第十节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)
3．正态分布密度函数满足的性质 ． (1)函数图像关于直线 x＝ 对称． 函数图像关于直线 ＝ 对称． (2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”． 的大小决定函数图像的“ ”“瘦 的大小决定函数图像的 (3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝ － ＋ ＝ P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝ － ＋ ＝ P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝ － ＋ ＝ 68.3% . 95.4% . 99.7% .
＋0× × (0＋ ＋
＋1× × )2×
＝－ ＋ (1＝0)＝ ＝ ＝ 答案： 答案：C
，故①③正确，②错误． ①③正确， 错误． 正确
4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出 个球，以X表 ．从装有 个红球， 个白球的袋中随机取出2个球， 表 个红球 个白球的袋中随机取出 个球 示取得红球的个数， 示取得红球的个数，则P(X＝1)＝______________，EX ＝ ＝ ， ＝ ______________. 解析：由已知可得 ＝ ＝ 解析：由已知可得P(X＝0)＝ 0.6，P(X＝2)＝ ， ＝ ＝ 答案： 答案：0.6 1.2 ＝0.1，P(X＝1)＝ ， ＝ ＝ ＝
某市出租车的起步价为6元 行驶路程不超过 某市出租车的起步价为 元，行驶路程不超过3 km 时，租车费为6元，若行驶路程超过 km，则按每超出 租车费为 元 若行驶路程超过3 ，则按每超出1 km(不足 km也按 km计程 收费3元计费．设出租车一次行 不足1 也按1 计程)收费 元计费． 不足 也按 计程 收费 元计费 驶的路程数X(按整 数计算，不足 km的自动计为 km)是 的自动计为1 驶的路程数 按整km数计算 不足1 按整 数计算， 的自动计为 是 一个随机变量，则其收费也是一个随机变量． 一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司 机在某一天每次出车都超过了3 机在某一天每次出车都超过了 km，且一次的总路程数可 ， 能的取值是20、 、 、 、 、 能的取值是 、22、24、26、28、30 (km)，它们出现的概 ， 率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2＋3a、4a. 率依次是 、 、 、 、 、
高三一轮复习离散型随机变量的均值与方差、正态分布要点
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1．(2014·北京东城区统一检测)为迎接 6 月 16 日的“全国爱 眼日”，某高中学校学生会随机抽取 16 名学生，经校医用对 数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点 前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视 力测试结果不低于 5.0，则称为“好视力”．
E(Y)＝51×125＋48×145＋45×25＋42×15 ＝34＋64＋5 90＋42＝46.
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的 所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差 公式进行计算． (2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的， 可用二项分布的均值与方差公式计算，则更为简单．
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
2．两点分布与二项分布的均值、方差
均值
方差
变量X服从 两点分布
E(X)＝p
D(X)＝_p_(_1_－__p_)_
X～B(n， p)
E(X)＝___n_p____
D(X)＝np(1－p)
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
3.正态曲线的特点 (1)曲线位于 x 轴__上__方____，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线__x_＝__μ___对称； (3)曲线在 x＝μ 处达到峰值 1 ；
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第9课时 离散型随机变量的均值 与方差、正态分布
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1．离散型随机变量的均值与方差 (1)离散型随机变量X的分布列
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
[例1] 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记 上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个，ξ表示所取球的标 号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值． [课堂记录] (1)ξ 的分布列为
ξ0 1 2 3 4
P
1 2
(1)X的概率分布；
(2)X的数学期望．
解：摸球的情形有以下5种：甲1白，乙2白(0元)；甲1红，乙2 白或甲1白，乙1红1白(10元)；甲1红，乙1红1白(20元)；甲1白，乙 2红(50元)；甲1红，乙2红(60元)．
(1)X的所有可能的取值为0,10,20,50,60， P(X＝0)＝(190)3＝1702090； P(X＝10)＝110×(190)2＋190×11082＝1204030； P(X＝20)＝110×11082＝110800；
D(ξ)的算术平方根 Dξ叫做随机变量 ξ 的标准差，记作 σξ 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波 动、集中与离散的程度．(标准差与随机变量本身有相同的单位) (3)若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则 Eξ ＝ np ， Dξ ＝ np(1 － p) ． 两 点 分 布 ， 则 Eξ ＝ p ， Dξ ＝ p(1 － p)．
解析：随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,4，P(ξ＝0)＝34，P(ξ＝1)＝19，P(ξ ＝2)＝19，P(ξ＝4)＝316，因此 Eξ＝49.
答案：49
5．随机变量 ξ 的分布如下：
ξ －1 0 1
P a bc
其 a，b，c 成等差数列．若 Eξ＝13，则 Dξ 的值是________．
a＋b＋c＝1
2．均值、方差的性质及应用 (1)EC＝C(C为常数)； (2)E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b为常数)； (3)D(aξ＋b)＝a2Dξ.
第十章第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布1
2.设两个正态分布N(μ1，σ )(21σ1＞0)和N
(μ2，σ )(22σ2＞0)的密度函数图像如图
所示，则有
()
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
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解析：由概率密度曲线的性质可知N(μ1，σ
2 1
)、N(μ2，σ
2 2
[答案] C
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！) 5．(2019·朝阳区调研)设随机变量ξ～N(1,4)，若P(ξ≥a
＋b)＝P(ξ≤a－b)，则实数a的值为__________．
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解析：∵P(ξ≥a＋b)＝P(ξ≤a－b)， ∴a＋b＋2 a－b＝1. ∴a＝1.
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记“该运动员获得第一名”为事件C，依题意得 P(C)＝P(AB)＋P( A B)＝34×34＋14×34＝34. 该运动员获得第一名的概率为34.
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(2)若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50,70,90,110，则P(X＝50) ＝110×110＝1100， P(X＝70)＝110×190＝1900， P(X＝90)＝190×110＝1900，
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1．均值与方差的作用 均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平 均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波 动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均 值情况的估计．方差越大表明平均偏离程度越大，说 明随机变量取值越分散．反之，方差越小，随机变量 的取值越集中．
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2．服从正态分布的随机变量X的概率特点 若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率 为0，即P(X＝a)＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所 以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(X＜a) ＝P(X≤a)是成立的，这与离散型随机变量不同．
10-9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
高效
训练
正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
山 东
解析：由 E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－31，故①正确．
金 太
阳
由 D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，知②不正确．
书 业
有
由分布列知③正确．
限
公
答案：C
司
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（理）
提素能 高效
度，而D(X)＝ni＝1 (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了
训 练 随机变量X与其均值E(X)的 平均偏离程度 ．称D(X)为随机变量X的方
差，其算术平方根为随机变量X的标准差．
山 东
2．D(aX＋b)＝ a2D(X) ．
金 太
3．若X服从两点分布，则D(X)＝ p(1－p) ．
阳 书
4．若X～B(n，p)，则D(X)＝ np(1－p)
．
业 有
限
公
司
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题
能力 提升
____________________[通关方略]____________________
提素能
随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系
高效
训练
随机变量的均值、方差是常数，它们不依赖于样本的抽取，而样
本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化．
山 东
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
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高考总复习 A 数学（理）
高二数学创新白老师 4离散型随机变量的均值与方差、正态分布
则 X 的均值为____2____.
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考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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考点一 离散型随机变量的均值与方差 [师生共研过关]
[典例精析]
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为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑
雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时
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[熟记常用结论]
若 Y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中 k 为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； (5)若 X1，X2 相互独立，则 E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2). (6)若 X～N(μ，σ2)，则 X 的均值与方差分别为：E(X)＝μ， D(X)＝σ2.
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[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量.( √ )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均
值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度
越小.
(√)
(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因
此它们是一回事.
(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择
方差最小(或最大)的方案作为最优方案.
[过关训练]
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某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”
项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底
8 第8讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
第8讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为(1)称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ．(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 4．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称． (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π .(4)曲线与x 轴之间的面积为1．(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．导师提醒牢记均值与方差的七个常用性质若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则(1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数． (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )． (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)． (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2)． (6)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(7)若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×已知X 的分布列为设Y ＝2X A.73 B ．4 C ．－1D ．1解析：选A.E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( ) A.329B.89C.439D.599解析：选A.由题意知，D (ξ)＝4×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝89， 因为η＝2ξ＋3，所以D (η)＝4·D (ξ)＝4×89＝329.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2解析：选A.由P (ξ＜4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x ＝2对称，则P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，所以P (0＜ξ＜4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6.一个正四面体ABCD 的四个顶点上分别标上1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次，记不在地面上的顶点的分数为X ，则X 的均值为________．解析：X 的分布列为所以E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52.答案：52一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时就放对了，否则就放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望为________．解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38， P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1. 答案：1离散型随机变量的均值与方差(多维探究)角度一 离散型随机变量的均值与方差的计算某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望与方差．【解】 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.方差D (X )＝415(0－1)2＋715(1－1)2＋415(2－1)2＝815.角度二 二项分布的均值与方差的计算(2019·成都第一次诊断性检测)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的 用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差．【解】 (1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A ，则P (A )＝C 14C 28C 312＋C 38C 312＝168220＝4255.(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为13.X 的所有可能取值为0，1，2，3， 易知X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13，P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫13k⎝⎛⎭⎫233－k，k ＝0，1，2，3，则P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝127.所以随机变量X 的分布列为数学期望E (X )＝3×13＝1，D (X )＝3×13×⎝⎭⎫1－13＝23.(1)求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 ①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值； ②求ξ取每个值的概率； ③写出ξ的分布列； ④由均值的定义求E (ξ)； ⑤由方差的定义求D (ξ)． (2)二项分布的期望与方差如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ；D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量． [提醒] 均值E (X )由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 取值的平均水平．1．(2019·洛阳市第一次统一考试)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A 、B 、C 三个城市进行治霾落实情况抽查．(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X ，求X 的分布列和期望．解：(1)随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C 13(C 14A 22＋C 24)＝42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281＝1427.(2)设事件A ：“一个城市需复检”，则P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫124＝1516，X 的所有可能取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 03·⎝⎛⎭⎫1163＝14 096，P (X ＝1)＝C 13·⎝⎛⎭⎫1162·⎝⎛⎭⎫15161＝454 096，P (X ＝2)＝C 23·⎝⎛⎭⎫1161·⎝⎛⎭⎫15162＝6754 096，P (X ＝3)＝C 33·⎝⎛⎭⎫15163＝3 3754 096. 所以X 的分布列为 X ～B ⎝⎭⎫3，1516，E (X )＝3×1516＝4516. 2．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA 化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA ，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验．(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA ，再从另一组中任取一只进行化验，其恰好含有病毒DNA ，此种情况的概率为C 35C 36×1C 13＝16；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为C 25C 36×1C 13＝16.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为16＋16＝13.(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.P (η＝10)＝16，P (η＝18)＝56×15＝16，P (η＝24)＝56×45×14＝16，P (η＝30)＝56×45×34×13＝16，P (η＝36)＝56×45×34×23＝13，则化验费η的分布列为所以E (η)＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元)．均值与方差的实际应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220 [2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．均值与方差的实际应用(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用D（X）来描述X的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．1．(2019·广东省七校联考)某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图．注：尺寸数据在[63.0，64.5)内的零件为合格品，频率作为概率． (1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为ξ，求ξ的分布列与期望． (2)从产品中随机抽取n 个，全是合格品的概率不小于0.3，求n 的最大值．(3)为了提高产品合格率，现提出A ，B 两种不同的改进方案进行试验．若按A 方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数X 的期望是2；若按B 方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数Y 的期望是4.你会选择哪种改进方案？解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为(0.75＋0.65＋0.2)×0.5＝0.8，即抽取1个产品为合格品的概率为45，从产品中随机抽取4个，合格品的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫154＝1625， P (ξ＝1)＝C 14×45×⎝⎛⎭⎫153＝16625，P (ξ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫452×⎝⎛⎭⎫152＝96625， P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫453×15＝256625， P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫454＝256625. 所以ξ的分布列为ξ的数学期望E (ξ)＝4×45＝165.(2)从产品中随机抽取n 个产品，全是合格品的概率为⎝⎛⎭⎫45n，依题意得⎝⎛⎭⎫45n≥0.3，故n 的最大值为5.(3)设按A 方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是a ，则随机抽取15个产品，不合格品个数X ～B (15，a )；设按B 方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是b ，则随机抽取25个产品，不合格品个数Y ～B (25，b )．依题意得E (X )＝15a ＝2，E (Y )＝25b ＝4，所以a ＝215，b ＝425.因为215＜425，所以应选择方案A .2．(2019·辽宁五校联合体模拟)某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；(2)该商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖机会，若中奖一次，则获得数额为n 元的奖金；若中奖两次，则获得数额为3n 元的奖金；若中奖三次，则获得数额为6n 元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是14，请问：该商场将奖金数额n 最高定为多少元，才能使促销方案对该商场有利？解：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，共有C 39种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 36种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为 P (A )＝1－C 36C 39＝1－521＝1621.(2)设顾客三次抽奖所获得的资金总额(单位：元)为随机变量ξ， 则其所有可能的取值为0，n ，3n ，6n .当ξ＝0时，表示顾客在三次抽奖中都没有中奖． 所以P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫140⎝⎛⎭⎫1－143＝2764，P (ξ＝n )＝C 13⎝⎛⎭⎫141⎝⎛⎭⎫1－142＝2764，P (ξ＝3n )＝C 23⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫1－141＝964， P (ξ＝6n )＝C 33⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫1－140＝164.所以顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 E (ξ)＝0×2764＋n ×2764＋3n ×964＋6n ×164＝15n16，由15n16≤60，解得n ≤64， 所以该商场将奖金数额n 最高定为64元，才能使促销方案对该商场有利．正态分布(师生共研)(1)(2019·惠州市第二次调研)设随机变量ξ服从正态分布N (4，3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4(2)已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X >2)＝0.15，则P (0≤X ≤1)＝( ) A ．0.85 B ．0.70 C ．0.35D ．0.15【解析】 (1)由随机变量ξ服从正态分布N (4，3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x ＝4，又P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，所以x ＝a －5与x ＝a ＋1关于直线x ＝4对称，所以(a －5)＋(a ＋1)＝8，即a ＝6.选B.(2)P (0≤X ≤1)＝P (1≤X ≤2)＝0.5－P (X >2)＝0.35. 【答案】 (1)B (2)C正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．1．(2019·太原模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2<X <4)＝( )A ．0.682 6B ．0.341 3C ．0.460 3D ．0.920 7解析：选A.因为随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (x ≥4)＝0.158 7，所以P (X ≤2)＝0.158 7，所以P (2<X <4)＝1－P (X ≤2)－P (X ≥4)＝0.682 6，故选A.2．某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人．解析：因为成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)， 所以其正态分布曲线关于直线x ＝90对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的12×⎝⎛⎭⎫1－35＝15，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有15×900＝180(人)．答案：180利用期望与方差进行决策某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买．则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X 的分布列：(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一．应选用哪个？【解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.利用期望与方差进行决策的方法(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量ξ1，ξ2的期望，当E(ξ1)＝E(ξ2)时，不应误认为它们一样好，需要用D (ξ1)，D (ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离程度小的更好．(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近．(3)若对平均水平或者稳定性没有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差来确定哪一个更好．若E (ξ1)与E (ξ2)比较接近，且期望较大者的方差较小，显然该变量更好；若E (ξ1)与E (ξ2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定．(2019·洛阳第一次统考)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表(1)3天送餐单数都不小于40的概率．(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望E (X )；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ， 则P (M )＝C 325C 350＝23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a ， 当a ＝38时，X ＝38×6＝228， 当a ＝39时，X ＝39×6＝234，当a ＝40时，X ＝40×6＝240， 当a ＝41时，X ＝40×6＋1×7＝247， 当a ＝42时，X ＝40×6＋2×7＝254.所以X 的所有可能取值为228，234，240，247，254. 故X 的分布列为 X 228 234 240 247 254 P110151525110所以E (X )＝228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110＝241.8.②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元． 由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元． 因为238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘．[基础题组练]1．设随机变量X 服从正态分布N (0，1)，若P (X >1)＝p ，则P (－1<X <0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 解析：选D.因为随机变量X 服从正态分布N (0，1)，所以正态分布曲线关于直线x ＝0对称，所以P (X >0)＝P (X <0)＝12，P (X >1)＝P (X <－1)＝p ，所以 P (－1<X <0)＝P (X <0)－P (X <－1)＝12－p .2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C ．2D.83解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X 的可能取值为2，3，所以P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 11C 23＝23，所以E (X )＝2×13＋3×23＝83. 3．(2018·安徽合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ＝0.954 5) A ．4 093件 B ．4 772件 C ．6 827件D ．8 186件解析：选D.由题意可得，该正态分布的对称轴为x ＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98，102]内的产品的概率为P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率为0.682 7＋0.954 5－0.682 72＝0.818 6，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8186(件)．4．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6，2.4 B ．2，2.4 C ．2，5.6D ．6，5.6解析：选B.由已知随机变量X ＋η＝8，所以η＝8－X . 因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.5．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A ．3 B.83 C ．2D.53解析：选B.在一轮投篮中，甲通过的概率为P ＝89，未通过的概率为19.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X 的可能取值为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫193＝1729， P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫891×⎝⎛⎭⎫192＝24729P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫892×⎝⎛⎭⎫191＝192729， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫893＝512729. 所以随机变量X 的分布列为数学期望E (X )＝0×1729＋1×24729＋2×192729＋3×512729＝83.6．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (72，4)，则P (X <70或X >76)等于________．(附：(P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5)解析：因为随机变量X 服从正态分布N (72，4)，所以μ＝72，σ＝2，所以P (70<X <74)＝0.682 7，P (68<X <76)＝0.954 5，所以P (X <70)＝0.158 65，P (X >76)＝0.022 75，所以P (X <70或X >76)＝0.158 65＋0.022 75＝0.181 4.答案：0.181 47．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝________．解析：易知a ，b ∈[0，1]，由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8，又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3，解得a ＝0.3，b ＝0.5，则a －b ＝－0.2.答案：－0.28．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________．解析：由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3. P (ξ＝0)＝12×12×23＝212，P (ξ＝1)＝12×12×23＋12×12×23＋12×12×13＝512，P (ξ＝2)＝12×12×23＋12×12×13＋12×12×13＝412，P (ξ＝3)＝12×12×13＝112.所以E (ξ)＝0×212＋1×512＋2×412＋3×112＝43.答案：439．(2019·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)．解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克，而50个样本中小球重量的平均数为x ＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均数为24.6克． (2)该盒子中小球重量在[5，15]内的概率为15，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15，X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151×⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35.(或者E (X )＝3×15＝35.)10．(2019·长沙模拟)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．解：(1)设下周一无雨的概率为p ，由题意得，p 2＝0.36，解得p ＝0.6，基地收益X 的可能取值为20，15，10，7.5，则P (X ＝20)＝0.36，P (X ＝15)＝0.24，P (X ＝10)＝0.24，P (X ＝7.5)＝0.16.所以基地收益X 的分布列为E (X )＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)， 所以基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益E (Y )＝20×0.6＋10×0.4－a ＝16－a (万元)，E (Y )－E (X )＝1.6－a (万元)． 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．[综合题组练]1．某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理．(1)若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：瓶，n ∈N )的函数解析式；(2)鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量(单位：瓶)，绘制出如下的柱形图(例如：日需求量为25瓶时，频数为5)：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列及数学期望；②若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说明理由．解：(1)当n ≥30时，y ＝30×(7－3)＝120；当n ≤29时，y ＝(7－3)n －3(30－n )＝7n －90.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧7n －90，0≤n ≤29120，n ≥30，n ∈N .(2)①X 的可能取值为85，92，99，106，113，120， P (X ＝85)＝0.05，P (X ＝92)＝0.1， P (X ＝99)＝0.1， P (X ＝106)＝0.05， P (X ＝113)＝0.1， P (X ＝120)＝0.6. X 的分布列为E (X )＝(85＋106)×0.05＋(92＋99＋113)×0.1＋120×0.6＝111.95.②购进29瓶时，当天利润的数学期望为t ＝(25×4－4×3)×0.05＋(26×4－3×3)×0.1＋(27×4－2×3)×0.1＋(28×4－1×3)×0.05＋29×4×0.7＝110.75，因为111.95＞110.75，所以应购进30瓶．2．(2019·洛阳尖子生第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市(1)当p ＝14时，求q 的值．(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围．(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．解：(1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋13＋q ＝1.又p ＝14，所以q ＝512.(2)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝AB ∪AB ∪AB ，且A ，B 独立． 由题意可知，P (A )＝12，P (B )＝p ，所以P (C )＝P (AB )＋P (AB )＋P (AB ) ＝12(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p . 因为P (C )＝12＋12p ＞45，所以p ＞35.又p ＋13＋q ＝1，q ≥0，所以p ≤23.所以p 的取值范围为⎝⎛⎦⎤35，23.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X 的分布列为则E (X )＝4×12＋0×18＋(－2)×38＝54.假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)， 所以随机变量Y 的分布列为则E (Y )＝2×12＋0×13＋(－1)×16＝56.因为E (X )＞E (Y )，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．3．(2019·高考全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i ＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.(ⅰ)证明：{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．解：(1)X的所有可能取值为－1，0，1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为(2)(ⅰ)证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此p i＝0.4p i－1＋0.5p i＋0.1p i＋1，故0.1(p i＋1－p i)＝0.4(p i－p i－1)，即p i＋1－p i＝4(p i－p i－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．(ⅱ)由(ⅰ)可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)。
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三种分布 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；
(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝n M . N
六条性质
(1)E(C)＝C(C为常数)； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)； (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2； (4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)； (5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)(a，b为常数)．
解 (1)当 n≥16 时，y＝80. 当 n<16 时，y＝10n－80.
所以 y 关于 n 的函数解析式为
y＝1800n，－n8≥0，16n<16， (n∈N)． (2)①X 可能的取值为 60,70,80，
并且 P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X 的分布列为
答案二：花店一天应购进 17 枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位： 元)，那么 Y 的分布列为
Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54
E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. 由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利 润．故花店一天应购进 17 枝玫瑰花．
的 正 态 分 布 或 高 斯 分 布,记 为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
(2)正态曲线的特点 ①曲线位于 x 轴 上方 与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； ③曲线在 x＝μ 处达到峰值 1 ；
愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则
学期望 （结果用最简分数表示）
E 4
7 超几何分布
E nM
N
正态分布
正态分布的概率密度与分布函数
１.定义
定 义 设 连 续 型 随 机 变 量X 的 概 率 密 度 为
p( x)
1
( x μ)2
e 2σ2 , x ,
2 πσ
其 中 μ, σ(σ 0) 为 常 数,则 称 X 服 从 参 数 为μ, σ
【例 2】►设随机变量 X 具有分布 P(X＝k)＝15，k＝ 1,2,3,4,5，求 E(X＋2)2，D(2X－1)， DX－1. 解 ∵E(X)＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3. E(X2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11. D(X)＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15 ＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2. ∴ E(X ＋ 2)2 ＝ E(X2 ＋ 4X ＋ 4) ＝ E(X2) ＋ 4E(X) ＋ 4 ＝ 11 ＋ 12＋4＝27. D(2X－1)＝4D(X)＝8， DX－1＝ DX＝ 2.
(2)方差
n
称 D(X)＝ xi－EX2pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机
i＝1
变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度 ，其 算术平方根 DX 为随机变量 X 的标准差．
两个防范 在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意： (1)D(aX＋b)≠aD(X)＋b，(2)D(aX＋b)≠aD(X)．
【例 1】►(2012·新课标全国)某花店每天以每枝 5 元 的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元 的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾
处理．
(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单 位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，n∈N)的函数解 析式．
(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)， 整理得下表：
【例3】篮球投篮比赛中，已知某选手的命中率为0.6
⑴求一次投篮时命中次数1 的期望与方差；
两点分布
E1 p 0.6 D1 p(1 p) 0.24
⑵求重复2次投篮时命中次数 2的期望与方差；
二项分布
E2 np 1.2 D2 np(1 p) 0.48
(3)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志
X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7 ＝44.
②答案一：花店一天应购进 16 枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位： 元)，那么 Y 的分布列为
离散型随机变量的均 值与方差
考点梳理
离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 X 的分布列为
(1)均值
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
称 E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均
值或 数学期望 ，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 ．
日需求量 n
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
2 0
频数
1211111 00665ห้องสมุดไป่ตู้0
以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生
的概率．
①若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润 (单位：元)，求 X 的分布列、数学期望及方差． ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为 应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由．