中山市2007—2008学年度第一学期高三级期末考试(数学.理)

中山市2007—2008学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分. 共120分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3．考试结束，将答题卡与第Ⅱ卷交回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合2{|32,},{|ln(2)}P y y x x x R Q x y x ==-+∈==-，则P Q = A ．R B ．1[,)4-+∞ C ．(2,)+∞ D ．φ2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若245,,a a a 成等比数列，则2a 的值为A ．－10B ．－8C ．－6D ．－43. 某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂八年来这种产品的产量y 可用图像表示的是4．已知α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确．．．的是 A ．//,,m αβα⊥则m β⊥B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αC ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥β D. m ∥β，m ⊥n ，则n ⊥β5．已知11mni i=-+，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则2()z m ni =+在复平面内对应的点Z 位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6．经济林是指以生产果品、食用油料、饮料、工业原料和药材等为主要目的的林木，是我国五大林种之一，也是生态、经济和社会效益结合得最好的林种. 改革开放以来，广东省林业蓬勃发展同时，广东经济林也得到快速的发展，经济林产业已成为广东林业的重要支柱产业之一，在改善生态环境、优化林业产业结构、帮助农民脱贫致富等方面发挥了积极的作用. 我市林业局为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么估计在这片经济林中，底部周长不小于110 cm 林木所占百分比为A ．30%B ．60%C ．70%D ．93% 7．函数()cos (cos sin ),[0,]2f x x x x x π=+∈的值域是A. [0,1]B.C. D.8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的表面积和体积分别是A ．2348,3cm cm B ．2388,3cm cm C．234(4,3cm cm + D．238(4,3cm cm +中山市2007—2008学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷（理科）第II 卷（非选择题共110分）统考考\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\周长(cm)0.010.020.04二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分．）9．已知向量||5,||6a b ==，且15a b ∙=- ，则向量a 与b的夹角为 .10．6(2)(1)x x ++的展开式中，5x 的系数是 .（用数字作答）11．我市某旅行社组团参加香山文化一日游，预测每天游客人数在50至130人之间，游客人数x （人）与游客的消费总额y （元）之间近似地满足关系：224010000y x x =-+-．那么游客的人均消费额最高为 元．12．如果执行右侧的程序框图，那么输出的S = .13．偶函数()()f x x R ∈满足：(4)(1)0f f -==，且在区间[0,3]上递减，在区间[3,)+∞上递增，则不等式'()0x f x < 的解集为 .14．在平面直角坐标系上，设不等式组00(4)x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为()n a n N *∈. 则1a 的值为 ，经推理可得到n a 的表达式为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）15. （本题满分13分）在ABC △中，3tan 4A =，1tan 7B =． （1）求角C 的大小；（2）若AB 边的长为，求BC 边的长．16．（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且点1(,)n n S S +在直线1y kx =-上（1）求k 的值；（2）求证{}n a 是等比数列；（3）记n T 为数列{}n S 的前n 项和，求10T 的值.17．（本题满分13分）如图，矩形ABCD 中，AD ABE ⊥平面，F 为CE 的中点.（1）求证：//AE BFD 平面；（2）若90AEB ∠=︒，求AE 与BF 所成角的大小.18．（本题满分13分）小李和小王同时到某商场购物，并参加购物促销的抽奖活动. 抽奖规则是：一袋中有大小相同的红球5个，白球2个，红球上分别标有数字1，2，3，4，5. 每次购物满100元可抽奖1次，200元可抽奖2次，以此类推. 每次抽奖时，从袋中任意取出两个球（不放回），如果两个球都是红色则中奖，球上标记的数字之和表示所得奖金（单位：元）. （1）小李购物100元，求他没有中奖的概率； （2）小王购物200元，求他的奖金数的期望.19．（本题满分14分）已知2()(2,)f x x ax a a x R =++≤∈，()x g x e -=，()()()x f x g x Φ= . （1）当a =1时，求()x Φ的单调区间；（2）求()g x 过点(0,1)的切线与直线1x =及曲线()g x 所围成的封闭图形的面积； （3）是否存在实数a ，使()x Φ的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.20．（本题满分14分）设函数2()1f x ax bx =++（a ,b 为实数），()(0)()()(0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.（1）若(1)f -=0且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 表达式；（2）在（1）的条件下，当[]3,3x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m >0，n <0且m +n >0, a >0且()f x 为偶函数，求证：()()0F m F n +>.高三数学科试卷（理科）答案一、选择题： CBBD AABC二、填空题：9．120° 10．27 11． 40 12．42013．(3,0)(0,3)- 14．6； 6n .三、解答题：15．解：（1）π()C A B =-+ ， ……（1分）∴ 3147tan tan()131147C A B +=-+=-=-- ． ……（4分） 又0πC << ，3π4C ∴=． ……（6分） （2）由22sin 3tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π(0)2A ∈，，得3sin 5A =． ……（9分）sin sin AB BCC A=，3sin 6sin AB A BC C ∴=== ． ……（13分）16. 解：（1）∵ 点 1(,)n n S S +在直线1y kx =-上， ∴11n n S kS +=-， ……（1分）当n =1时，1211a a ka +=-， ……（2分）又121,2,a a == 则1221k +=-，∴k = ……（4分）（2） 由 （1） 知 121n n S S +=- ①， 当2n ≥时，121n n S S -=- ② ……（6分）①－②，得12(2)n n a a n +=≥ ， ……（8分） 又212a a =，易见0()n a n *≠∈N ，∴12()n na n a *+=∈N ……（9分） 所以，{}n a 是等比数列. ……（10分）（3）由（2）知，{}n a 的公比为2， ……（11分）所以1[12]2112n n n S ⋅-==--， ……（12分） 10102[12]10203812T ⋅-=-=-. ……（13分）17. 解：（1）证明：连接AC ，交BD 于G . 连GF . ……（1分） 依题意可知G 是AC 中点， ……（2分）又 F 是EC 中点，∴ 在AEC ∆中，//FG AE . ……（4分）∴//AE BFD 平面. ……（6分） （2） AD ABE ⊥平面，//AD BC ，∴BC ABE ⊥平面，则AE BC ⊥. ……（8分）又 90AEB ∠=︒，则AE BE ⊥，∴AE BCE ⊥平面. ……（11分） 又 BF BCE ⊂平面，∴AE EC ⊥，即AE 与BF 所成角的大小为90°.……（13分）18. 解：（1）记没有中奖为事件A ，由题设得5411()17621P A ⨯=-=⨯. ……（4分） （2）中奖一次后的奖金结果为{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}，共10种， ……（6分）记一次中奖后的奖金数为X ，则3,4,5,6,7,8,9X =，其分布列为：所以，11222113456789610101010101010EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……（10分）因为抽奖一次后中奖的概率为54107621⨯=⨯，所以小王购物200元，他的奖金数的期望为10120622121⨯⨯=（元）. ……（13分） BC19. 解：（1）当221,()(1),'()()x x a x x x e x e x x --=Φ=++Φ=-+时. ……（1分）'()0,01;'()0,10.x x x x x Φ><<Φ<><当时当时或 ……（3分）∴()x Φ的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：(,0)-∞，(1,)+∞. ……（4分） （2）切线的斜率为0'(0)|1x x k g e -===-=-， ∴ 切线方程为1y x =-+. ……（6分） 所求封闭图形面积为1121000111[(1)](1)()|22xx x S e x dx e x dx e x x e---=--+=+-=-+-=-⎰⎰. ……（8分） （3）22'()(2)()[(2)]x x x x x a e e x ax a e x a x ---Φ=+-++=-+-， ……（9分） 令'()0,02x x x a Φ===-得或. ……（10分）由表可知，2()(2)(4)a x a a e -Φ=Φ-=-极大. ……（12分）设22()(4),'()(3)0a a a a e a a e μμ--=-=->，∴()(,2)a μ-∞在上是增函数，……（13分） ∴ ()(2)23a μμ≤=<，即2(4)3a a e --≠，∴不存在实数a ，使()x Φ极大值为3. ……（14分）20. 解：（1）∵ (1)0f -=， ∴1b a =+. ……（2分）由()0f x ≥恒成立，知2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤， ∴ a =1. ……（4分）从而2()21f x x x =++.∴ 22(1)(0)()(1)(0)x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩. ……（5分）（2）由（1）可知2()21f x x x =++， ∴2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+. ……（6分） 由于()g x 在[]3,3-上是单调函数，知232k --≤-或232k--≥， ……（8分） 解得4k ≤-或8k ≥. ……（9分）（3）∵ ()f x 是偶函数，∴ ()()f x f x -=，得0b =. ……（10分） 而a >0，∴2()1f x ax =+在[0,)+∞上为增函数. ……（11分）依据()(0)()()(0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩，知：当x >0时，－x <0，()()()()F x f x f x F x -=--=-=-； 当x <0时，－x >0，()()()()F x f x f x F x -=-==-.∴ ()F x 是奇函数且()F x 在(0,)+∞上为增函数. ……（13分） 由m >0，n <0，m +n >0，知0m n >->，则()()F m F n >-，∴ ()()F m F n >-，即()()0F m F n +>. ……（14分）1. 由实验高中供题理科第1小题改编2. 由龙山中学供题理科第3小题改编3. 由仙逸中学供题文科第7小题改编4. 由古镇高中供题理科第4小题改编5. 由中山一中供题理科第3小题改编6. 由中山二中供题理科第2小题改编7. 由东区中学供题理科第8小题改编8. 由实验高中供题文科第5小题改编9. 由中山二中供题文科第8小题改编 10. 由东区中学供题理科第9小题改编 11. 由中山一中供题理科第15小题改编 12. 由民众中学供题理科第6小题改编 13. 由中山一中供题理科第7小题改编 14. 由桂山中学供题文科第19小题改编15. 由坦洲理工供题文科第15小题、华师附中供题理科第15小题改编 16. 由实验高中供题文科第19小题改编 17. 由小榄实验高中供题文科第19小题改编 18. 由东升高中供题文科文17小题改编。