排队论论文上交

计算机通信基础期末论文
排队论在生活中的应用
——超市收银问题
摘要
本文通过排队论的方法，为超市收银问题建立模型，从而研究顾客排队结账时间的影响因素，通过一系列的计算分析，得出影响最大因素，从而减少顾客的排队时间，改善用户的购物体验。

排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。

本文将根据超市收银台前排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，从而找出可以减少排队时间的最大影响因素。

关键词
排队论；M/M/s模型；超市收银排队
引言
在超市里，常常可以看到这样的情况：周末，许多顾客到超市购物采购一周所需要的生活用品，小小的收银窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，每个收银台的前面变得拥挤不堪。

等待收银结账的时间过长，导致本来惬意美好的周末变得十分焦躁。

对于超市的管理者而言，过长的排队队伍，会影响顾客对超市购物的体验，造成顾客的流失。

因此，减少收银过程中的排队等待时间，是超市管
理者十分关心的问题。

一、排队系统简介
1.1排队系统的基本组成
排队过程的基本组成为：顾客到达、排队规则和服务机构的服务，如图1所示。

下面，分别对顾客的到达、排队规则和服务机构的服务进行简要的介绍
1.1.1顾客的到达过程
顾客的到达过程考察的是顾客到达服务系统的规律。

它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。

在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点属于确定型输入。

随机型的输入是指在时间t内顾客到达数 n（t）服从一定的随机分布。

如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为
1.1.2服务时间
服务时间是指顾客从开始接受服务到服务完成所花费的时间。

由于每位顾客要办理的业务不一定一样，有存在很多影响服务机构服务时间的随机因素，服务时间是一个随机变量。

1.1.3排队规则
排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。

当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。

在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务。

如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。

有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。

1.1.4服务机构
可以是一个或多个服务台。

多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列的。

服务时间一般也分成确定型和随机型两种。

下图说明了这些其中一些情况：
1.2排队系统的数学模型
排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C 。

其中：X 表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y 表示服务时间的分布；Z 表示服务台的个数；A 表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B 表示顾客源的数目；C 表示服务规则。

排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。

当系统运行一定时间达到平稳后，对任一状态n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”。

据此，可得任一状态下的平衡方程如下：
由上述平衡方程，可求的：
平衡状态的分布为：
)1(,2,1,0 ==n p C p n n 其中：)2(,2,1,11021 ==---n C n n n n n μμμλλλ
有概率分布的要求：10=∑∞=n n p ，有：1
100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=p C n n ，则有：
)3(11
00 ∑∞=+=n n
C p
注意：（3）式只有当级数∑∞=o n n C 收敛时才有意义，即当∑∞=〈∞o n n C
时才能由上
述公式得到平稳状态的概率分布。

二、实例分析
2.1模型假说
假定顾客在周末购物高峰期这段时间到超市购物的人数是无限的，并且依次以参数λ的泊松过程达到，达到的时间间隔是随机的，服从负指数分布。

每个收银台以并联的方式连接，且每个收银窗口对顾客来说都是一样的，服务时间服从参数为μ的负指数分布。

收银台收银实行先来先服务原则，且顾客可自由在队列间进行转移，并总向最短的队列转移，没有顾客会因为队列过长而离去，故可认为排队方式是单一队列等待制。

一般结账结束的顾客马上离开超市，并且超市足够大，故我们可认为，超市可容纳顾客的数量是足够的，所以解决顾客结账的等待时间较长的现象，主要是解决排长队与收银窗口的问题。

在这个大型超市进行数据采集，我们收集到以下数据。

购物高峰期超市的顾客流分布情况：共统计了3059人次的数据(以10秒为一个单位)，见下表：
由概率论的知识可知，若分布满足k p p k k λ=-1，则该分布为泊松分布。

(其中k
p 为泊松分布的密度，λ为泊松分布的参数)
由上表可知λ=3.39。

2.2模型建立及求解
基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多服务台等待模型(M/M/s).
该模型的特点是：服务系统中有s 个窗口(即s 个服务员)，顾客按泊松流来到服务系统，到达强度为λ；服务员的能力都是μ，服务时间服从指数分布，每个顾客的平均服务时间t 。

当顾客到达时，如果所有服务员都忙着，顾客便参加排队等待服务，一直等到有服务员为他服务为止。

由调查数据可知6,5.1,39.3===s t λ(超市现有窗口6个)带入以上各式可得： 服务员能力：67
.01==t
μ 系统服务强度：09.5==μλρ，因为85.0609.5===s s ρρ<1,所以极限存在。

空闲概率：()031.0!!1100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=∑ρρρn n i p n n i i
系统中排队顾客的平均数：
()271!20=-=s s
s q s p L ρρρ 顾客平均排队时间：
96.739.327===λq q L W 顾客平均逗留时间：46.95.196.7=+=+=t W W q
系统中顾客的平均数：09
.3209.527=+=+=ρq L L 由此可见，当我们在这个时间段去超市购物时，一进门就会发现里面已经是人满为患了，几乎不可能找到空闲的收银台。

而且，已经有32个顾客在排队，27个人这在排队等待，平均一个窗口5人。

当我们开始排队时要过80秒钟才轮到我们，要过95秒钟才能够收银完毕，离开超市。

2.3模型分析
对于顾客来说等待收银的时间过长，会变得十分焦躁，造成时间的浪费，会极大的影响顾客对这次购物的体验，因此，尽量缩短顾客排队等待的时间对顾客来说，十分重要。

同时，顾客在超市的排队的平均逗留时间q W 很大程度上可以
决定顾客对超市的选择，所以超市的经营者也希望尽可能的满足顾客的要求。

研究顾客平均逗留时间q W 将是解决本模型的关键所在，平均逗留时间q W 是由平均排队时间W 和平均服务时间t 组成。

我个人认为15秒的平均服务时间t 对于服务员来说已经是极限了，如果在加快速度反而可能手忙脚乱，增大出错的可能性，到时反而会降低效率，因此，我认为平均服务时间t 不可改变，是个常数。

至于平均排队时间W 我们有公式可知它由顾客到达强度λ，每个顾客的平均服务时间t 和窗口数S 来决定的，由于超市周围居民区的居民是一定的，所有居民对于生活用品的需求是一定的。

即每周都会去这个超市购物，因此我们可以认为顾客流是稳定的，即λ为常数，由上面的分析可知t 也是常数因此能对平均排队时间构成影响的就只有窗口S 了。

因此如果要增强顾客的购物体验，使得顾客结账时等待时间不至于过长，对于这个大型超市来说，应当增加窗口的数目。

从而保证超市利益的最大化。

参考文献：
[1]胡运权，运筹学教程 清华大学出版社，1988
[2]许久平，运筹学（I 类）（第二版）科学出版社，2004
[3]韩中庚，数学建模方法及其应用（第二版）高等教育出版社，2009
[4]陆传赉，排队论 北京邮电大学出版社，2009。