九年级数学 专题11 二次函数图象和性质

专题11 二次函数图象和性质
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1.【江苏省徐州市市区、铜山县2015届九年级中考模拟数学试题】将抛物线y=x 2
+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A ． y=（x+2）2
+2 B ．y=（x+2）2
﹣2 C ．y=（x ﹣2）2
+2 D ．y=（x ﹣2）2
﹣2 【答案】B ．
【考点定位】二次函数图象与几何变换．
2.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】抛物线y=ax 2
+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系的图象可能是（ ）
【答案】A ．
【解析】A 、由二次函数的图象可知a ＞0，﹣
＞0，可得b ＜0，此时直线y=ax+b 经过一，三，四象限，故A 正确；B 、由二次函数的图象可知a ＞0，﹣
＞0，可得b ＜0，此时直线y=ax+b 经过一，三，四象限，故B 错误；C 、二次函数的图象可知a ＜0，对称轴在y 轴的右侧，可知a 、b 异号，b ＞0，此时直线y=ax+b 经过一、二、三象限，故C 错误；D 、二次函数的图象可知a ＜0，对称轴在y 轴的右侧，可知a 、b 异号，b ＞0，此时直线y=ax+b 经过一、二、三象限，故D 错误；正确的只有A ．故选A ．
2b
a
2b
a
【考点定位】1.二次函数的图象；2.一次函数的图象．
3. 【江苏省常州市2015年中考数学试题】已知二次函数，当x ＞1时，
y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D ．
【考点定位】二次函数的性质．
4.【江苏省江阴市华士实验中学2015届九年级下学期期中考试数学试题】在平面直角坐
标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线
解析式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B.
【解析】已知抛物线
先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，根据抛物线
的平移规律“左加右减，上加下减”可得新抛物线解析式为，故选B.
【考点定位】抛物线的平移规律.
5.【江苏省苏州市吴中、相城、吴江区2015届九年级中考一模数学试题】若二次函数y=ax 2
+bx+c （a ＜0）的对称轴为直线x=-1，图象经过点（1，0），有下列结论：①abc ＜0；②2a-b=0；③a+b+c ＞0；④b 2
＞5ac ，则以上结论一定正确的个数是 。

【答案】2.
2
(1)1y x m x =+-+1m =-3m =1m ≤-1m ≥
-2
4y x =-2(2)2y x =++2(2)2y x =--2
(2)2y x =-+2
(2)2y x =+-2
4y x =-2
(2)2y x =--
【考点定位】二次函数图象与系数的关系．
6.【江苏省苏州市吴中、相城、吴江区2015届九年级中考一模数学试题】设抛物线y=-x 2
+2x+3的顶点为E ，与y 轴交于点C ，EF ⊥x 轴于点，若点M （m ，0）是x 轴上的动点，且满足以MC 为直径的圆与线段EF 有公共点，则实数m 的取值范围是 . 【答案】-≤m ≤5． 【解析】根据题意表示出圆心的坐标、圆的半径、圆心到EF 的距离，列出不等式求出答案．如图：
∵M （m ，0），C （0，3），∴圆心N 的坐标（，），圆N 的半径为：，圆心到EF
的距离为：|1-|，
由题意得，|1- |≤
-≤m ≤5． 【考点定位】1.直线与圆的位置关系；2.二次函数的性质．
7.【江苏省淮安市2015年中考数学试题】二次函数图象的顶点坐标
为 ．
5
4
2m 32292m +2
m
2m 292
m +54322
+-=x x y
【答案】（1，2）．
【考点定位】二次函数的性质．
8. 【江苏省常州市2015年中考数学试题】二次函数图象的顶点坐标
是
． 【答案】（1，﹣2
）．
【考点定位】二次函数的性质．
9.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴上，二次函数y=
+bx+c 的图象经过B 、C 两点． （1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象探索：当y ＞0时，x 的取值范围．
2
23y x x =-+-2
23
x
【考点定位】1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数与不等式（组）.
10.【江苏省苏州市2015年中考数学试题】如图，已知二次函数（其
中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接PA 、PC ，PA =PC ． （1）∠ABC 的度数为 °；
（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）45，（2）（3）存在，当Q 点坐标为（，0）或（0，）时，PQ 的长度最小.
形为等腰直角三角形，求出∠ABC 的度数；
()2
1y x m x m =+-
-11,2
2m m -+-⎛⎫
⎪⎝⎭25-2
5
（3）存在，由P 点的坐标，A （-1,0），可根据勾股定理的逆定理判断△APC 是等腰直角三角形，然后可由相似判断出△QBC 是等腰直角三角形，结合图①②，可分两种情况讨论,并且由二次函数的最值问题求出点的坐标.
试题解析：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则，
解得，．∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴
OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，
∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°．
解法二：连接PB ．由题意得，抛物线的对称轴为． ∵P 在对称轴l 上，∴PA =PB ．∵
PA =PC ，∴PB =PC ．∵△BOC 是等腰直角三角形，且OB =OC ，∴P 在BC 的垂直平分线上． ∴P 点即为对称轴与直线的交点．∴P 点的坐标为．
11,2
2m m -+-⎛⎫
⎪⎝⎭()210
x m x m +--=11x =-2x m =12
m
x -+=y x
=-12m x -+=
y x =-11,2
2m m -+-⎛⎫
⎪⎝⎭
（3）存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为，∴PA 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2
=．∵AC 2=，∴PA 2
+
PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△PAC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，∴△QBC 是等腰直角三角形． ∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或
（0，m ）．
①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x
轴垂直，则
，解得，
PQ =
．若
PQ 与
x 轴不垂
直，则
．∵0＜m ＜1，∴当时，取得最小值，PQ ＜，∴当，即Q 点的坐标为（，0）时， PQ 的长度最小．
②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则，解得，PQ =
．若PQ
与
y 轴不垂
直，则
． ∵0＜m ＜1，∴当时，取得最小值，PQ
＜，∴当，即Q 点的坐标为（0，）时， PQ 的长度最小． 综上：当Q 点坐标为（，0）
或（0，
）时，PQ 的长度最小． 【考点定位】二次函数与几何综合.
图①图②
11,2
2m m -+-⎛⎫
⎪⎝⎭2
2
2
2
21111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
21m +12
m
m -+=-13m =1
3
2
2
2
2
2
2
21151521
222222510
m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+=++=-+=-+
⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭25m =
2
PQ 11010101325m =2
5
-12
m
m -=13m =13
2
2
2
2
2
221151521
222222510
m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+=+-=-+=
-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭25m =
2
PQ 1101325m =252
5
-2
5。