07-082数理统计IIB

北京林业大学 2007--2008学年第二学期考试试卷试卷名称： 数理统计II （B 卷） 课程所在院系： 理学院 考试班级： 学号： 姓名： 成绩： 试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。

本试卷共4页，共八大部分，请勿漏答；2. 考试时间为120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 所有试题答案写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，参与公平竞争!答题中可能用到的数据：8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，(0.4243)0.6228Φ=，(1.414)0.9213Φ=，0.025 1.96z =，,.)(.7764240250=t ,.)(.14311402502=χ20.025(5)12.833χ=一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，每小题３分，总计２１分） 1. 设A 、B 为任意两事件，且,()0,A B P B ⊂>则下列选择必然成立的是 (C) 。

()()()A P A P A B <; ()()()B P A P A B >;()()()C P A P A B ≤ ; ()()()D P A P A B ≥2. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是 (D) （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。

（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。

３.设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则2()E Y = (C) ．(A) 1. (B) 9. (C)10. (D ）6.４．每次试验结果相互独立，设每次试验成功的概率为p 。

则重复进行试验直到第10次才取得k )101(≤≤k 次成功的概率等于 (C) ．（A ）109(1)k k k C p p --; (B)11010(1)k k k C p p ---;(C)1109(1)k k k C p p ---; (D)910(1)k kk C p p --５．设~(1.5, 4)X N ，则P{-2<x<4}= (A)(A) 0.8543 (B) 0.1457 (C) 0.3541 (D) 0.2543 ６．已知1021,,x x x 是来自总体X 的简单随机样本，μ=EX 。

令610171ˆ8i ii i x A x θ===+∑∑，则当=A (C) 时，ˆθ为总体均值μ的无偏估计 (A) １／８ (B) １／４ (C) １／１６ (D) １／１０ ７.若X ～()t n 那么2X ～ (A ） ．(A ）(1,)F n (B ）(,1)F n (C ）2()n χ (D ）()t n二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，每空３分，总计27分）1. 同时掷 5 颗骰子，5 颗骰子恰有 2 颗同点的概率等于 25/54 (或0.463 ) 。

2．某厂有甲、乙、丙三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30%，25%，45％；甲、乙、丙三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。

则全厂的该产品的次品率等于 0.034 ；现在从该厂中随机抽取一件该类产品，发现它为次品，则抽到的这个产品为甲流水线产品的概率等于 0.441 。

３．设二维随机向量121212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ其中12,0 , -1<1σσρ><，当ρ＝ 0 时，X 和Y 相互独立。

4.设离散型随机变量X 分布律{}5(1/2)(1,2,)kP X k A k ===⋅⋅⋅则A= 0.2 。

5. 设()()25,36,0.4XYD X D Y ρ===，则()D X Y += 37 。

6．总体(20,3)N 的容量分别为１０和１５的两个独立样本的均值分别记为X 和Y ，则{||0.3|}P X Y -<= 0.2456 。

7．设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，μ和2σ均未知，记11n i i X X n ==∑,221()ni i Q X X ==-∑,则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量T ＝,拒绝域为:2||(1)T t n α≥- 三（6分）．设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，而且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg ，标准差为0.1．用中心极限定理求5000只零件的总重量超过2510的概率。

解：设i X )100,2,1( =i 表示第i 个零件的重量，X 表示5000只零件的总重量，则1001,i i X X ==∑50000.52500,50000.0150EX DX X =⨯===，3分由中心极限定理可以认为X 近似服从(2500,50)N ， 3分(2510)1(2510)1(P X P X P X ∴>=-≤=-≤ 4分001110.92130.0787≈-Φ=-Φ=-= 6分四（８分）．把一枚均匀的硬币连抛三次，以X 表示出现正面的次数，Y 表示出现正面和反面的次数之差的绝对值 ，求（１）),(Y X 的联合分布律与边缘分布；（２）X 和Y 的相关系数． 解（1）------４分（2）133133130123, 1388882442EX EY =⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯= ()E XY =94,cov(,)()0XY X Y E XY EXEY ρ=-===从而 ------８分五（6分）若连续型随机变量X 的分布函数1221)(-+-=x xX e x f π，求21Y X =+的概率密度函数()Y f y 。

解：法1：(){}1 {21}1{(1)}221{(1)}42Y X F y P Y y P X y P X y F y =≤=+≤=≤-=- 分分分两边对y 求导，得 11()().22Y X y f y f -=22121[1]24y yy -++---==------6分法2： 12Y X -=， 2分 所以22121[1]2411()().()4226Y X y y y y y f y f -++-----'===分 =分六（10分）．设连续型随机变量X 的密度为 5,0()0,0.x Ke x f x x -⎧>=⎨≤⎩(1)确定常数K ; (2)求}2.0{>X P ;（３）求X 的分布函数．解:(1)由密度函数性质知:50()15x Kf x dx Ke dx ∞∞--∞===⎰⎰, 所以 K=5 ------３分 (2) }2.0{>X P =51025x e dx e ∞--=⎰------６分(3) X 的分布函数5500, 0 ()51, 0x xxif x F x e dx e if x --≤⎧⎪=⎨=->⎪⎩⎰------１０分七（12分）．设二维随机变量Y 与X 的联合密度函数为2,01, 0<y<2(,)30,xyx x f x y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它 (1)求{1}P X Y +≤；(2)分别求关于X 与关于Y 的边缘密度函数；（３）判断X 与Y 是否相互独立． 解: （1）1120:11320{1}(,)()3527()63672xD x y xy P X Y f x y dxdy dx x dy x x x dx -+<+≤==+=-++=⎰⎰⎰⎰⎰------４分（2）22202(,)()2, 01()330, X xy f x y dy x dy x x if x f x else∞-∞⎧=+=+<<⎪=⎨⎪⎩⎰⎰ ------７分 1211(,)(), 02()3360, Y xy f x y dx x dx y if y f y else∞-∞⎧=+=+<<⎪=⎨⎪⎩⎰⎰ ------１０分 （３）显然，(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以Ｘ和Ｙ不独立． ------１２分八（10分）．某批电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布,现从这批元件中随机抽取5只做寿命试验，测得这5只元件的使用寿命X 的均值为1160，方差为9950,在置信水平0.95下,求：(1)该批电子元件的寿命均值μ置信区间；(2)该批电子元件的寿命的方差2σ的置信区间．解：22(((X t n X t n ααμ∈--+- ------2分(1160 2.7764 2.7764=-+ ------４分 (1160123.3,1160123.3)(1036.7,1283.3)=-+= ------５分22222122(1)(1)3980039800,,(3571.7,82231.4)(1)(1)11.1430.484n Sn S n n αασχχ-⎛⎫-- ⎪⎛⎫∈== ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎝⎭------７分 ------９分 ------１０分。