Chp_11振动波动和波动光学

π π 2 1 π 2 6 3 3π 2 2 3π 2π 5π Δ 2 3 6 Δ ω Δt Δ 5π 5 Δt s ω 6π 6
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t1
3π 2
2π 3
x
t2
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振动学基础
例11-3: 两质点作同方向、同频率的简谐运动，振幅相
2 A 2

2 A 2
o x
图可见，振动的初相为：
3 5 0 , 4 4
M
P
又由曲线可知，t=0.5s时，x=0, v>0, 此振动状态对应矢量OP，即旋转矢量由t=0 时的OM 经转至OP，共旋转了
t 0.5
，所以
4
t 0.5s

4
解得
2
2
3 5 2 则该质点的振动方程 x 4 10 cos( t )m x 4 10 cos( t )m 2 4 2 4
1 1 2 2 2 E Ek Ep m A kA 2 2
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振动学基础
讨论：
振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化， 但任一时刻总机械能保持不变。 位移最大，势能最大， 但动能最小。在振动曲 线的峰值。 位移为0，势能为0， 但动能最大。在振动曲 线的平衡位置。
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振动学基础
例：如图所示为某质点作简谐
振动的曲线，求该质点的振动 方程
x/cm 4
P 0 0.5 2 2 M -4
t/s

2 A 2
o x
M
P
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振动学基础
解：由振动曲线可知，t=0 时
v0 0 对应的旋转矢量如图所示。由
x0
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振动学基础
简谐运动的旋转矢量(rotating vector )图示法 • 旋转矢量 A 的模即为简谐运
t

动的振幅。
• 旋转矢量 A 的角速度即为
x
振动的角频率。
• 旋转矢量 A 与x轴的夹角
P
(t+)为简谐运动的相位。 • t =0时， 与x轴的夹角 A 即为简谐振动的初相位。
x0 0.04m,
2
v0 0, 6.0s
1
振幅： A x0
v0
2 2
0
x0 x0
得： x 0.04 cos 6.0t m
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振动学基础
x (2) x A cos( t ) t arccos A
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振动学基础
§11-1 简谐运动的描述 简谐运动(simple harmonic motion) 是最基本、最 简单的振动，运动规律由余(正)弦函数描述。
弹簧振子
单摆
基本特征 任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本 的简谐运动所合成的。
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波动光学： 研究光的波动性
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振动学基础
第11章
振动学基础
振动是普遍存在的一种运动形式： 1. 物体的来回往复运动(弹簧振子、单摆等) 2. 电流、电压的周期性变化 振动(vibration)：任何一个物理量(物体的位置、电流 强度、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近的反 复变化。 机械振动(mechanical vibration)：物体在一定位置(中心) 附近作来回往复的运动 机械振动的原因： 物体所受的回复力和物体所具有的惯性
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振动学基础
振动过程：
F
O A x
-A
振动的条件: (1)存在恢复力；(2)物体具有惯性 由牛顿第一定律得 令:
k m
2
d x F m 2 k x dt
2
简谐运动的微分方程
d x 2 x 0 2 dt
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2
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振动学基础
t = 0时，相位为 ，称振动的“初相位”
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振动学基础
由初始条件确定振幅和初相位的方法：
(1)设 t =0时，振动位移：x = x0
振动速度：v = v0 位移方程：x 速度方程：v
2 0
A cos ( t )
v
2 0 2 2 2
x0 A cos
振动学基础
简谐运动表达式
x A cos(t )
A：振幅(amplitude) 离开平衡位置的最大位移 系统的运动状 态，与初始条件有关
：初相
x
A
T
：角频率(angular frequency)
2秒内往复振动的次数 O
t
：频率 (frequency)
T：周期(period)
一次的时间
结 论： 投 影点 的 运动 为简谐运动。
• 旋转矢量 A 旋转一周，P点完
成一次全振动。
x A cos( t )
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周期：
T
2π

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振动学基础
相位差
A
x1 A cos( t )
x2 A cos( t )
相位差：

a t 0 .5s dv π 2 0.12 π cos(π t ) t 0 .5s dt t 0 .5 s 3
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1.0 m/s 2
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振动学基础
(3)如果在某时刻质点位于x = -6cm，且向x轴负方向运动， 求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
振动学基础
(2) t = 0.5s时，质点的位置、速度和加速度
x t 0.5s
π 0.12 cos( π t ) t 0.5s 0.10 m 3
dx π v t 0.5s 0.12π sin( π t ) t 0.5s dt t 0.5s 3 0.19 m/s
vmax A
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amax A
2
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振动学基础
例11-1: 一轻弹簧，一端固定，另一端连接一定质量 的物体。整个系统位于水平面内，系统的角频率为 6.0s-1 。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放， 试求：(1)简谐运动表达式；(2)物体从初始位置运动 到第一次经过A/2处时的速度。 解：(1)
微分方程的解：
d x 2 x 0 2 dt x A cos(t )
振动表达式(简谐运动位移)
2
A、 为积分常量，由初始条件确定。
任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足 简谐运动的微分方程，或遵从余弦(或正弦)规律，则 广义地说，这一物理量在作简谐运动。
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等。当质点1在 x1=A/2 处，且向左运动时，另一个质点2 在 x2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。
解： x
1
A cos ( t 1 )
-A
x2 A cos ( t 2 )
-A/2
O
A/2
A
A π v 0 t 1 质点1： x 2 3 A 4π 质点2： x v 0 t 1 2 3 4π π ( t 2 ) ( t 1 ) π 3 3
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单位 时间内往复振动的次数 往复振动
周期、频率与角频率关系：
1 2π T
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振动学基础
简谐运动的速度
dx v dt A sin( t ) π vm cos( t ) 2
x A cos(t )
简谐运动的加速度
A2 1 π 5π t arccos arccos (或 ) A 2 3 3
A π 按题意 : x A x , v 0 t 2 3 π v A sin t 0.04 6.0(sin ) 3
0.208 m s
1
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解：(1)
A 0.12 m
x 0.12 cos( πt ) m
t = 0 时， x0 = 0.06m ,
6cm
2π T 2s π s1 T
v0 > 0
x
振动表达式：
π 3
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π x 0.12 cos( π t ) m 3
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A

x
(t ) (t ) ( )t ( )
当二个振动的频率相同时，相位差为

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振动学基础
例11-2: 一质点沿x轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为 2s。当t = 0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求: (1) 振动表达式；(2) t = 0.5s时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x = -6cm，且向x轴负方向运动， 求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
振动学基础
为何讨论的重点是简谐运动？
复杂运动可分解为若干简谐运动
振动的运动学规律？
简谐振动的动力学特征？
振动能量的变化周期？
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振动学基础
振动
波动
物质基本运动形式
周期性运动 振动的传播
声波、计时器、无线电信号、生物信号等 横跨经典物理各子科：机械振动、机械波； 电磁振荡、电磁波；量子力学又称波动力学； 光是电磁波……