一阶电路详解

t0
ab
都等于

ab
u C (t 0 )
' u C (t 0 )

U 0e
t0

(U 0 e

(
1

))
④ =RC，可用改变电路的参数的办法加以调节或控制;
⑤ 能量转换关系：电容不断放出能量，电阻不断消耗能量，最 后，原来储存在电容的电场能量全部为电阻吸收并转换为热能。
例7－1：下图所示电路中， t = 0 时，开关 S 由 a 投向 b， 在此以前电容电压为 U0 ，试求 t 0 时，电容电压及电流。
从而得到所求变量（电流或电压）的方法。 用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解
答中的积分常数。
电路独立初始条件：uC(0+)和 iL(0+)
二. 电路的初始条件 1. 电容的电荷和电压
q (t ) q C (t 0 ) C u (t ) u (t ) C 0 C
V
二. RL电路的零输入响应
t = 0 , 换路; t <0，S1与 b 端相接， S2 打开，L通电; t > 0，S1 投向 c 端， S2 同时闭合.
电路的微分方程及其解为
di L R iL 0 L dt i (0) I 0 L
i（ t ） I 0 e L
2 S
能量与
R 的大小无关
又因
WC
1 CU 2
2 S
， 可见
WC W R
二. RL电路的零状态响应
类似于RC电路，可求出零状态响应为
iL (t ) U
S
R
(1 e

R t L
)
t 0
① 当电路达到稳态时，电容相当于开路，而电感相当于短路，
由此可确定电容电压或电感电流稳态值；
稳态值
2. 动态电路的方程：电路中有储能元件（电容或电感）时， 因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达 的。根据KCL、KVL和支路方程式（VCR）所建立的电路方程是 以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。 一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC，RL）。 3. 动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变 时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可 能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。
解: t = 0- 时，开关尚未断开瞬间， uC(0-)=12 V, iC(0-)= 0 (隔直)；
t = 0+ 时，开关刚断开瞬间， uC(0+)= uC(0-)=12 V ；
u C (t ) u C (0 ) e
t

t0
将电容用电压源 uC(t) 进行替代后，得电阻网络如上图，则
i (t )
a. 越小，达到稳态值越快；
b. t = 4 , 充电达到稳态值的 98%，可以认为已充电完毕； c. uc 从零值按指数规律上升.
例7－3：在下图所示电路中，t = 0 时，开关 S 由 a 投向 b, 并设在 t = 0 时，开关与 a 端相接为时已久,试求 t 0 时，电 容电压及电流，并计算在整个充电过程中电阻消耗的能量。
u C (t ) R eq
1e

t 12
A
4 i1 ( t ) i ( t ) 0 . 25 e 12 12 4
t
A
12 i2 (t ) i ( t ) 0 . 75 e 12 12 4
t
A
t 12

u ab ( t ) 4 i1 ( t ) 3 i 2 ( t ) 1 . 25 e
t
RC
RI
S
t 0
其中 u C ( 0 ) K RI S 0
u C ( t ) RI
S

K RI S

t
RC
e
RI
S
RI
t
RC
S
(1 - e
)
t 0
① ucp 为稳定分量，与外施激励的变化规律有关，又称强制分量
② uch (齐次方程的通解) 取决于特征根，与外施激励无关，也称为 自由分量 ，自由分量按指数规律衰减, 最终趋于零, 又称为瞬态分量。
若 iC M (有限) , 则 0
q C (0 ) q C (0 ) u C (0 ) u C (0 )
0

i C ( )d 0
，且
电容上电荷和电压不发生跃变！
① 若 t = 0- 时，qC(0-) = q0 , uC(0-) = U0 ,则有 qC(0+) = q0 ,
uC(0+) = U0 , 故换路瞬间，电容相当于电压值为U0 的电压源； ② 若 t = 0- 时， qC(0-) = 0, uC(0-) = 0 , 则应有 qC(0+) =0 , uC(0+) = 0 ，则换路瞬间，电容相当于短路。
2. 电感的磁链和电流
t ( t ) L ( t 0 ) u L ( ) d L t0 t i (t ) i (t ) 1 L 0 t 0 u L ( )d L L
0

u L ( )d 0
,且
电感的磁链和电流不发生跃变！
① 若 t = 0- 时, L(0-) = 0 ,iL(0-) = I0 ，则有 L(0+) = 0 ，
iL(0+) = I0 ，故换路瞬间，电感相当于电流值为 I0 的电流源；
② 若 t = 0- 时, L(0-) = 0 ,iL(0-) = 0 ,则应有 L(0+) = 0 ,
t
t
0
i C ( )d
1 t i ( )d C t 0 C
取 t0 = 0- , t = 0+ ,则
q ( 0 ) q ( 0 ) 0 i ( )d C 0 C C 1 0 u C (0 ) u C (0 ) 0 iC ( )d C
出零状态响应。
例7－4：在下图所示电路中,t = 0时，开关S 闭合，求 iL(t), i(t). 。
解: S1：求iL(t) , 可用戴维南定理将原电路化简
U oc 6 18 15 V , 6 1.2
① 取独立电源 t = 0 + 时的值； ② 把电容用 uS = uC(0+)的电压源代替，把电感用 iS = iL(0+) 的电流源代替；
③ 画出 t = 0 + 时的等效计算电路；
④ 列方程求解电阻电路可得其他初始值。
§7-2 一阶电路的零输入响应
零输入响应：无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应
一 . RC电路的零输入响应
t <0，S1 闭合 , S2 断开， C 被充电; t = 0 , 换路(开关瞬时动作); t > 0，S1断开, S2 闭合, C 放电. 电路的微分方程为
du C uC 0 RC dt u (0 ) U C 0 t 0

u C (t ) U 0 e
iL(0+) = 0, 则换路瞬间，电感相当于开路。 3. 独立初始条件uC(0+)和 iL(0+) 由 t = 0- 时的 uC(0-)和 iL(0-) 确定。非独立初始条件（电阻电压或电流、电容电流、 电感电压）需要通过已知的独立初始条件求得。 例7-1
PP 139
初始值计算
4. 确定初始值的方法
i L ( ) 相当于 L 支路的短路电流 u C ( ) 相当于 C 支路的开路电压
② 固有响应，微分方程通解中的齐次方程的解，因其随时间的 增长而衰减到零，又称为暂态响应分量； ③ 强制响应，微分方程通解中的特解，其形式一般与输入形式 相同. 如强制响应为常量或周期函数，又可称为稳态响应； ④ RC、RL电路，输入DC，贮能从无到有，逐步增长。所以， uC , iL 从零向某一稳态值增长，且为指数规律增长； ⑤ 零状态比例性，若外施激励增大 倍，则零状态响应也增 大 倍，如果有多个独立电源作用于电路，可以运用叠加定理求
u L (t ) L
t
t 0 ( 因电感电流不能跃变
t0
)

时间常数 L
t
R
di L dt
R I0 e

由
L R
，L 越小，或R 越大，则电流、电压衰减越快。
① 零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生的，它取 决于电路的初始状态和电路的特性；
② 零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，因为没有外施电 源，原有的贮能总是要逐渐衰减到零的； ③ 零输入比例性，若初始状态增大 倍，则零输入响应也相 应地增大 倍； ④ 特征根具有时间倒数或频率的量纲，故称为固有频率。
§7-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应：在零初始状态下，由在初始时刻施加于电路的 输入所产生的响应
一. RC电路的零状态响应
t < 0，开关闭合,电容通过 R 放电完毕 ; t = 0，开关打开; t > 0，电流源与 RC 电路接 通;
电路的微分方程为
du c 1 C uC IS dt R u C (0 ) 0
换路：电路或参数的改变引起的电路变化。
t = 0 ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 0 + ； t = 0 -：换路前的最终时刻； t = 0 +：换路后的最初时刻 。 4. 经典法（时域分析法）：根据KCL、KVL 和 VCR 建立描述
电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，