311与312空间向量及其加减与数乘运算2个课时精品PPT课件
《空间向量及其加减与数乘运算》(课件)
(2) 加法结合律:
(a b) c a (b c)
(3) 数乘分配律:
4. 空间向量的加法与数乘向量运算律: (1) 加法交换律:
abba
(2) 加法结合律:
(a b) c a (b c)
(3) 数乘分配律: (a b) a b
4. 空间向量的加法与数乘向量运算律:
CA OA OC a b
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O a
B
b
A
OB OA OC OA AB a b
CA OA OC a b
P
a
O
a
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O a
B
b
A
OB OA OC OA AB a b
CA OA OC a b
a b
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a
b
O
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a
b
O
a A
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O
a A
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
O a
B
b
A
3. 向量的加减运算与数乘运算:
a b
C b
结果为零向量的个数有____个.
[练习2] 已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，点M 是棱AA1中 点，点G 在对角线CA1 上，且
CG : GA=1 : 2，设 CD a,CB b,
CC1 c, 试用a, b, c表示向量CA,CA1,
3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算-数学选修2-1
一、空间向量的基本概念
平面向量 空间向量
定义
表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB
向量的大小
a
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB
向量的大小
a
AB
AB
长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量
三、空间向量的数乘运算
a 仍然是一个向量.
⑴当 ⑵当 ⑶当
与平面向量一样 , 实数 与空间向量 a 的乘积
0 时, a 与向量 a 的方向相同; 0 时, a 与向量 a 的方向相反; 0 时, a 是零向量.
例如: a
3a
(2) OP 2OA 2OB OC ；
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
由平面向量基本定理知，如果 e1 ， e2
a e2 e1
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 2 使a 1e1 2e2 只有一对实数 1，
3a
四、空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；
课件15：3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算
解：(1)∵P 是 C1D1 的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b. (2)∵N 是 BC 的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N ＝－a＋b＋12B→C＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b＋12c.
(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c. 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝12A→D＋A→A1＝12c＋a， ∴M→P＋N→C1＝(12a＋12b＋c)＋(a＋12c)＝32a＋12b＋32c.
典例 2 如图，已知长方体 ABCD—A′B′C′D′，化简下列向 量表达式，并在图中标出化简结果的向量. (1)A→A′－C→B； (2)A→A′＋A→B ＋B→′C′.
解：(1)A→A′－C→B＝A→A′－D→A＝A→A′＋A→D＝A→D′. (2)A→A′＋A→B＋B→′C′ ＝(A→A′＋A→B)＋B→′C′ ＝A→B′＋B→′C′＝A→C′. 向量A→D′、A→C′如图所示．
令M→Q＝λM→N＋μM→P，则－12a＋b＋12c＝12(μ－λ)a＋12λb＋12μc，
12(μ－λ)＝－12 ∴12λ＝1
12μ＝12
，∴λμ＝＝21 .
∴M→Q＝2M→N＋M→P，因此向量M→Q、M→N、M→P共面， ∴四点 M、N、P、Q 共面．
〔跟踪练习 5〕如图，已知 E、F、G、H 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点．用向量法证明 E、F、 G、H 四点共面．
共面向量
对空间任意一点 O，点 P 在直 点 P 位于平面 ABC 内的充要
人教版高中数学选修3.1.2空间向量的数乘运算 (2)ppt课件
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 . 12
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量. A 注意：空间任意两个向量是 O 共面的，但空间任意三个向 量就不一定共面的了。 a
2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与 向量 a 、 b 共面的 充要条件是存 在唯一的 有 序实数对 ( x, y ) 使 p xa yb .
1 (4) AB AD+ CC1＝AM . 2
6
复习回顾 平面向量共线定理
7
复习回顾 平面向量共线定理
平面任意两个向量 ，使 a b a // b 的 充要条件是存在实数 规定 : o 与任一向量 a 是共线向量
平面向量共线定理：
a
b （ b ≠ 0 ），
即“平面向量的基本定理”就是 空间向量的共面定理
p
b
A
a
B
13
例3 (课本例)已知
ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：四点E、F、G、H共面；
O
点评：根据共面向量定理，只要满足下列条件四 点共面。
EG x EH y EF
3.1.2
空间向量的数乘运算
回顾： 上一节课 ,我们把平面向量的有关概念及加减运
§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算
第一章空间向量与立体几何§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____学习目标1、掌握空间向量单位向量、相反向量的定义2、用空间向量的运算意义及运算律解决问题3、掌握空间向量的数乘运算4、理解共线向量、共面向量的定理及推论5、用数乘运算把未知向量用已知向量表示自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理）1、空间向量的有关概念（1）定义：在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量;（2）长度：向量的___叫做向量的长度或__（3）表示法：①几何表示法：空间向量用_____表示②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作_____，其模记为_____或_____。
4、空间向量的数乘运算：实数λ与空间向量的乘积____，成为向量的数乘运算。
5、向量a与向量λa的关系（1）分配律：λ（a+b)=________（2）结合律：()______aλμ=7、共线向量与直线的方向向量（1）共向向量的概念：表示空间向量的有向线段所在的直线______共线向量也叫______（2）两向量共线（平行）的充要条件：对于空间任意两个向量,(0)a b b≠，则a b的充要条件是存在实数λ，使______（3)直线的方向向量：如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OA OP ta=+①，其中a叫做直线l的______8、共面向量（1）共面向量的定义：平行于______的向量（2）三个向量共面的充要条件：如果两个向量,a b______，那么向量p与向量,a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,),x y使____p=【突破·核心知识】【知识梳理】【题型归纳】【随堂∙自我测评】1、对于空间非零向量AC BC AB ,,下列各式一定不成立的是（ ）A 、AB →+BC →=AC → B 、AB →-AC →=BC →C 、AB →+BC →=CA →D 、AB →-AC →=CB →2、设有四边形ABCD 中，o 为空间任意一点，且OCDO AO →→→→+=+OB ，则四边形ABCD 是A 、平行四边形B 、空间四边形C 、等腰梯形D 、矩形 3、→→→≠=ba，且ba →→、不共线时ba →→+与ba →→-的关系是（ ）A 、共面B 、不共面C 、共线D 、无法确定4、已知两个非零向量21,e e不共线，如21A B e e =+ ，2128AC e e =+ ，2133AD e e =- 求证：,,,A B C D 共面．5已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠ ，若//a b，求实数,x y 的值6.已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC=++，试判断：点P与,,A B C 是否一定共面？【课后∙知能提升】1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式：①(111A D A A - )－AB； ② (1BC BB + )－11D C ；③ (1A D A B - )+1DD ； ④ (111B D A A -)－1DD，其中运算结果为向量11B D的是（ ） A 、①② B 、③④ C 、②④ D 、①③2．在空间四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =，M 点是BD 的中点，则下列对应关系正确的是( )A ．1()2MA a b =+B ．1()2MC a b =+C ．1()2MD b a =- D ．1()2MB b a =-3．空间四边形ABCD 中，AB a =，，，BC b AD c == 则CD =( )A ．a b c +-B ．c a b --C ．a b c --D ．b a c -+4.在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，向量AB '、AD ' 、BD是( )A .有相同起点的向量B .等长的向C .共面向量D .不共面向量5、向量,,a b c两两夹角都是60 ，||1,||2,||3a b c === ，则||a b c ++= 。
311空间向量及其加减法-文档资料
C1
F2
D B C
F1
小结
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 零向量 相等向量 相反向量 加法:平行四边形法则 加法:平行四边形法则 或三角形法则 加、 或三角形法则 减法 减法:三角形法则 运算 减法:三角形法则 不共面的三个向量的和：
平行六面体法则 运 算 律
加法交换律 加法结合律
ab ba
(a b) c a (b c)
类比方法
数形结合思想
（二）平面向量的加法、减法法则及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连 C ab b
A
2.向量加法平行四边形法则:
B
a
a b b
C 特点:共起点
b
a
B
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
a
O
B
b
a
A
BA a b
b 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
OB OA AB a b, CA OA OC a b,
b a
b
C
B
O
a
A
空间向量加法的推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An An
D1 A1 B1 C1
a
D A B C
平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是平行四边形。
典例剖析：
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列 向量表达式 (如图)
人教A版高中数学 选修2-1 3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算 课件 (共13张PPT)
A C D
B
E C
D E
４.向量的模：a
５.特殊向量：零向量和单位向量
６.向量的基线：表示向量的有向线段所在的直线
７.共线（平行）向量： a // b
A B C D
规定：零向量与任意向量共线 注意：平行向量的基线可能重合
E A
C D
B E
交换a律 b： ba
有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变 结合 (a律 b)c： a(bc)
(1)ABAD AA D
(2)DDABBC
A
(3) AB AD
D
1 ( DD BC )
2
A
C B
M C
B
三个不共面的向量的和等于以这三个向 量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向 量
D
A C
O
B
例2如图M ， ，N分别是四A面 B体 C的 D棱 AB，CD的中点，
a
c
bb
a
a+ b
二、空间向量的加法运算 a
b
平行四边形法则
A
a b
O
B
C
三角形法则
多边形法则 封口向量
a b
A O
B
ab
A
B
D C
A B
D C
三、空间向量的减法运算
三角形法则
a b
A
a
ab
O
b
B
a
A ab
O
ab B
b C
OCab BAab |a||b| |ab| |a||b| |a||b| |ab| |a||b|
不改变向量a的方向（当>0时），也可以改 变向量a的方向（当 <0时）。
高二数学最新课件-312空间向量的数乘运算 精品
回 顾
a
b
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
C1 D1 A1
B1
回 顾
a+b+c C
c
B
a
D
b
数乘向量的运算法则 数乘空间向量的运算法则
例如:
a
3a
3a
空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即：( a b ) a b （ ） a a a
点P在直线L上 ⇔ ∃t∈ ， 非零向量a叫做直线L的方向向量。 点P在直线L上 ⇔ ∃t∈ ，
O
（） 1 （） 2
（1）、（2）都称为空间直线的向量表示式。 即：空间直线由空间一点及直线的方向向 L 量唯一确定
A
B
P
a
问题；如图；已 知空间四边形 A B C D中， 向量AB = a， AC = b， AD = c，若M为BC的中点， G为ΔBCD的重心，试用a、 b、 c表示下列向 量：（1）DM （2） AG
= 2(AD + AB + AA1 )
∴ x = 2.
D A B C
= 2AC1
A1
问题
在正方体AC1中,点E是面AC’ 的中心, 若 AE = AA ' + xAB +yAD ，求实数x,y.
A E B C D
A B C
D
作业：P 1 、2 106
( )a ( )a
A
P 96 练习 1 （）、（ 1 2 ）、（） 3
D F B E C
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例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC
D1
C1
(2) AB AD AA1
(3)
1 3
( AB
AD
AA1 )
(4) AB
AD
1 2
CC1
解：(1) AB BC＝AC;
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) k a＋kb
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
数乘分配律 k(a b) k a＋kb
加法结合律： (a b) c a (b c)
O
a
A
b B
C
c
O
a
b+c
C
A
b
c
B
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC
(2) AB AD AA1
(3)
1 3
( AB
AD
AA1 )
(4) AB
AD
1 2
CC1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
a
D
D1 A1
C1 B1
CD
C
A
BA
B
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a
A1 G
D A
B1 M
C B
(2) AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F3 F1
F1=10N F2=15N F3=15N
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) k a＋kb
加法交换律 a b b a
成立吗？ 加法结合律
3.1. 空间向量的 加减法及其数乘运算
复习回顾：平面向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
F2
F3 F1
F1=10N F2=15N F3=15N
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
b
O
a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
a
kห้องสมุดไป่ตู้a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) k a＋kb
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
(1) AB1 A1D1 C1C x AC
D1
A1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1D1 C1C x AC
解(1) AB1 A1D1 C1C
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) k a＋kb
C
a+ b
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
B
b
(2) 2 AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1 ) AD1 D1C1 AC1
x 1.
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) AC AB1 AD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1
D1
AB1 B1C1 C1C A1
C1 B1
AC x 1.
D A
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
C B
(3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
(AD AB) (AA1 AB) (AA1 AD)
D1
2(AD AB AA1)
A1
2AC1
x 2. D
C1 B1
C
A
B
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简