1.3.2函数的奇偶性(优质课)

(3)定义域为{x|x≠0}
(4)定义域为{x|x≠0}
∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即 f(-x) = -f(x)
即 f(-x)=f(x)
∴ f(x)是奇函数.
∴ f(x)是偶函数.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
教材36页练习：
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有 f(－x)=-f(x)
f(x)为奇函数
如果都有 f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数
2、两个性质：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数
它的图象关于y轴对称
课后作业
1.教材39页习题1.3 A组第6题B组第3题 2.教辅第19页~20页 3.教辅练习册第8页 1.3.3 奇偶性 4.教材第40页~41页实习作业
1.3.2 奇偶性
情景导入
情景1:观察下列图形,回顾轴对称与中心对称概念及其特征.
情景2：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少 具有对称特征的美丽图像,比如 y = x2, y = 1 等函数图像.
x f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称 本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性.
当∴只x需∈要[0，先+画∞出) 时f(，x)在[0，+∞)的图象， 再f (根x)据对 x称2 性2，x 可3画 出( x整个1)图2 象4 ..
.4.y.
由图象可知：
. f(x)单调增区间为(－∞, －1], [0,1]；
.
f(x)单调减区间为 [－1, 0], [1,+∞). -3 -1 0 1 3 x
例1、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(2) f ( x) x5
(3) f ( x) x 1 x
解：(1)定义域为(-∞,+∞) ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即 f(-x)=f(x) ∴ f(x)是偶函数.
1 (4) f ( x) x2
(2)定义域为(-∞,+∞) ∵ f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x) 即 f(-x) = -f(x) ∴ f(x)是奇函数.
定义
偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注 意：
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性. 2、定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域 上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 . 3、由定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是， 对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的 （即定义域关于原点对称）．
综上：f(－x)=－f(x) 故f(x)为奇函数.
奇函数偶函数的图象性质：
f(x)=x2
f(x)=x2
• 偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一 个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是 偶函数。
• 奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一 个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是 奇函数；
说明：利用这个性质，可以简化函数图象的画法。
则 b≥-x1> -x2≥a， ∵已知f(x)在[a，b]上是增函数， ∴ f(-x1) > f(-x2) . 又 f(x)是偶函数， ∴ f(x1) >f(x2) . 由此可知，函数y=f(x)在[-b，-a]上是减函数。
重要结论： 1.奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，则f(x)在[-b，-a] 上也是增函数。 奇函数f(x)在[a，b]上是减函数，则f(x)在[-b，-a]上 也是减函数。 即奇函数在其对称区间上单调性是一致的。 2.偶函数f(x)在[a，b]上是增函数，则f(x)在[-b，-a] 上是减函数。 偶函数f(x)在[a，b]上是减函数，则f(x)在[-b，-a] 上是增函数。 即偶函数在其对称区间上单调性是相反的。
（2） f ( x) x 1 . x
解：∵函数的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞) ，y
且
f
(
x)
x
1 x
(
x
1 x
)
f
(x)
f (x) x 1 是奇函数 . x
... . . 4
y=x
3
2
1
. . ... -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
∴只需要先画出 f(x)在(0，+∞)的图象，
∴ f(x) 是偶函数.
(2)∵ 函数的定义域是R，且 f(x)=0， f(-x)=0. ∴ f(-x)=-f(x) ， f(-x)=f(x).
∴函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数.
(3) f ( x) ( x 1)
1 1
x x
； （4）f ( x)
x(1
x(1
x) x)
(x (x
教材导读 阅读教材P33—36，体会函数奇偶性的概念.
观察下图，思考并讨论以下问题： (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？
f(x)=x2
f(x)=|x|
f(-3)=9=f(3)
f(-3)=3=f(3)
f(-2)=4=f(2)
f(-2)=2=f(2)
0) 0) .
解：
(3)
Q
1 1
x x
0
(x
1)( x
1)
0( x
1)
1
x
1
∴函数的定义域[-1，1) 关于原点不对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，
当x＞0时，－x＜0， ∴f(－x)=(－x)[1－(－x)]=－x(1+x) =－f(x) (x＞0). 当x＜0时，－x＞0， ∴f(－x)= (－x)[1＋ (－x)]=－x(1－x) =－f(x) (x＜0)，
f(-3)=-3=-f(3)
f(-3)=-1/3=-f(3)
f(-2)=-2=-f(2)
f(-2)=-1/2=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)
f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这 时我们称函数y=x为奇函数.
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
-1
-2
再根据对称性，可画出整个图象.
-3
x
-4
f (x)单调增区间：(，1)，(1， )，
单调减区间：[1，0)，(0，1] .
例3 已知函数 y=f(x) 是奇函数, 且在[a，b]上是增函数，
证明: y=f(x)在[-b，-a]上也是增函数。
证明：设 -b≤x1< x2≤-a， 则 b≥-x1> -x2≥a，
练习： 判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) | x 1 | | x 1 | ； (2) f ( x) 0 ；
(3) f ( x) ( x 1)
1 x ； 1 x
（4）f ( x)
x(1
x(1
x) x)
(x (x
0) 0) .
解：(1)∵ f(x)的定义域是 R ，
且 f ( x) | x 1 | | x 1 | | x 1 | | x 1 | f ( x)
∵已知f(x)在[a，b]上是增函数，
∴ f(-x1) > f(-x2) . 又 f(x)是奇函数，
∴ -f(x1) >-f(x2)， 即 f(x1) < f(x2) . 由此可知，函数y=f(x)在[-b，-a]上是增函数。
若 已知函数 y=f(x) 是偶函数, 且在[a，b]上是增函数， 则 y=f(x)在[-b，-a]上是增函数还是减函数？为什么？ 解：设 -b≤x1< x2≤-a，
f(-1)=1=f(1)
f(-1)=1=f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数.
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
两个函观数察图函象数有f(x什)=么x和共f同( x特) 征1x的吗图？象(下图)，你能发现
例2 作出下列函数的图象，并指出单调区间：
(1) f(x) = -x2 + 2|x| + 3 .
（2） f ( x) x 1 . x
解：（1）∵函数的定义域是 R ， 且
f(-x) = -(-x)2 + 2|-x| + 3 = -x2 + 2|x| + 3 = f(x) ,
∴函数f(x)= -x2 + 2|x| + 3是偶函数.