3.2简单的三角恒等变换1(最新课件)
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三角恒等变换(1)-PPT课件
5
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
高一数学 3.2简单的三角恒等变换(一)课件
3.2 简单的三角 恒等变换(一)
复习引入
1. 三角函数的和(差)公式:
s i n ) ( s ic n o cs o s i sn
si n ) s ( ic n o cso sisn co ) s c (o co s ss isn in co ) s c (o co s ss isn in
讲授新课
思考： 与 有 什 么 样 的 关 系 ？
2
讲解范例：
例1. 试 以 cos表 示 sin2,co2s,
22
tan2.
2
思考：
代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式 的变换．对于三角变换，由于不同的三角 函数式不仅会有结构形式方面的差异，而 且还会有所包含的角，以及这些角的三角 函数种类方面的差异，因此三角恒等变换 常常首先寻找式子所包含的各个角之间的 联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
讲解范例：
例2. 已知sin 5 ,且在第二象 , 限
13
求tan的 值 .
2
讲解范例：
例3. 求证：
(1 )sin co s1[s i n ) (sin ()] (2 )si nsin 2 2sin co s.
22
讲解范例：
例3. 求证：
(1 )sin co s1[s i n ) (sin ()] (2 )si nsin 2 2sin co s.
22
思考：
在例3证明中用到哪些数学思想？
讲解范例：
例3. 求证：
(1 )sin co s1[s i n ) (sin ()] (2 )si nsin 2 2sin co s.
22 (1)式是积化和差的形式;
讲解范例：
复习引入
1. 三角函数的和(差)公式:
s i n ) ( s ic n o cs o s i sn
si n ) s ( ic n o cso sisn co ) s c (o co s ss isn in co ) s c (o co s ss isn in
讲授新课
思考： 与 有 什 么 样 的 关 系 ？
2
讲解范例：
例1. 试 以 cos表 示 sin2,co2s,
22
tan2.
2
思考：
代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式 的变换．对于三角变换，由于不同的三角 函数式不仅会有结构形式方面的差异，而 且还会有所包含的角，以及这些角的三角 函数种类方面的差异，因此三角恒等变换 常常首先寻找式子所包含的各个角之间的 联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
讲解范例：
例2. 已知sin 5 ,且在第二象 , 限
13
求tan的 值 .
2
讲解范例：
例3. 求证：
(1 )sin co s1[s i n ) (sin ()] (2 )si nsin 2 2sin co s.
22
讲解范例：
例3. 求证：
(1 )sin co s1[s i n ) (sin ()] (2 )si nsin 2 2sin co s.
22
思考：
在例3证明中用到哪些数学思想？
讲解范例：
例3. 求证：
(1 )sin co s1[s i n ) (sin ()] (2 )si nsin 2 2sin co s.
22 (1)式是积化和差的形式;
讲解范例：
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
简单的三角恒等变换PPT教学课件
＝－18sin70°＋18(sin110°＋sin30°)
＝－18sin70°＋18sin70°＋116＝116.
解法二：原式＝12cos20°cos40°cos80°
＝sin20°cos22s0i°nc2o0s°40°cos80°＝sin40°4csoisn4200°°cos80°
＝sin88s0i°nc2o0s°80°＝1s6insi1n6200°°＝116.
[答案]
－2 5 5
－
5 5
2
[解析] ∵|cosθ|＝35，52π<θ<3π，
∴cosθ＝－35，54π<θ2<32π.
∵cosθ＝1－2sin22θ，
∴sinθ2＝－ 1－2cosθ＝－
1＋2 35＝－2
5
5 .
又 cosθ＝2θcos2θ2－1，有 cosθ2＝－ ∴tanθ2＝ sin2θ＝2.
＝sin32x·cos2x3－x cosx32x·sin2x＝sin332xx－2xx
cos 2 cos2
cos 2 cos2
＝coss32ixncxos2x＝cosx2＋sincxos2x.
求证：1c＋osc2ox＋ s2(cxo＋s2yy)＝ccooss((xx－＋yy)). [证明] 左边＝2cos2(xc＋osy2()xc＋os(yx)－y) ＝ccooss((xx－ ＋yy))＝右边.
原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＋(a＋b)(a－b)
＝3a2＋b2
＝34cos220°＋34sin220°＝34.
• [点评] 解法一：通过对该题中两个角的 特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化 和差公式．当然运用降次、和积互化也是 一般方法．
• 解法二：利用正余弦函数的互余对偶，构 造对偶式，组成方程组，解法简明．
3.2简单的三角恒等变换(优质课课件)
1 sin cos sin sin 2
2018年1月12日星期五
1 sin sin ; 2 2sin sin 2 sin . cos 2 2
(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos 设 +=, -=
2018年1月12日星期五
例1 试用cos 表示 sin
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
.
解 是
2 2 在公式 cos 2 1 2 sin 中, 以代替2 , 以 代替 , 2 2 cos 1 2 sin 2 1 cos 2 sin ① 2 2
1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 tan 1 cos 2
2
1 cos 2 sin 2
2
升角降次
2018年1月12日星期五
1-cos2 sin2 = 2 1+cos2 cos2 = 2 1-cos2 tan2 = 1+cos2 称为降幂公式
8
2018年1月12日星期五
小结
1.降幂公式
2 1 cos 2 cos . 2 2 2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用.
3.三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子 结构. 4.换元思想.
2018年1月12日星期五
sin
2
1 cos
2 =
，
2018年1月12日星期五
例3 求证 1sin cos
解 (1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所
2018年1月12日星期五
1 sin sin ; 2 2sin sin 2 sin . cos 2 2
(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos 设 +=, -=
2018年1月12日星期五
例1 试用cos 表示 sin
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
.
解 是
2 2 在公式 cos 2 1 2 sin 中, 以代替2 , 以 代替 , 2 2 cos 1 2 sin 2 1 cos 2 sin ① 2 2
1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 tan 1 cos 2
2
1 cos 2 sin 2
2
升角降次
2018年1月12日星期五
1-cos2 sin2 = 2 1+cos2 cos2 = 2 1-cos2 tan2 = 1+cos2 称为降幂公式
8
2018年1月12日星期五
小结
1.降幂公式
2 1 cos 2 cos . 2 2 2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用.
3.三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子 结构. 4.换元思想.
2018年1月12日星期五
sin
2
1 cos
2 =
，
2018年1月12日星期五
例3 求证 1sin cos
解 (1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所
3.2简单的三角恒等变换(一) 公开课一等奖课件
练习：
教材P.142练习第1、2、3题.
课堂小结
要对变换过程中体现的换元、 逆向使用公式等数学思想方法加 深认识，学会灵活运用．
课后作业
1. 阅读教材P.139到P.142; 2. 《习案》作业三十三.
语文
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附赠 中高考状元学习方法
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前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
讲解范例： 例3. 求证：
1 (1) sin cos [sin( ) sin( )]; 2 ( 2) sin sin 2 sin cos . 2 2 (1)式是积化和差的形式; (2)式是和差化积的形式，在后面的练 习当中还有六个关于积化和差、和差 化积的公式．
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青 春 风 采
湖南省长沙市一中卫星远程学校
高考总分：
692分(含20分加分) 文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩 --何旋 湖南省长沙市一中卫星远程学校
简单的三角恒等变换PPT教学课件
a
2时
f
(x)大
a2 4
1 2
a 4
当a 2
1即a
2时
当sin x 1时
f
(x)大
3 4
a
1 2
当
a 2
0即a
0时
sin
x
0时 f
(x)大
1 2
a 4
3 4
a
1 2
(a
2)
即M
(a)
a2 4
a 4
1 2
(0
a
2)
1 2
a 4
(a
0)
(2)当M
(a)
2时,
解得a
10 3
或a
6
小结:
对公式我们不仅要会直接的运用，还 要会逆用、还要会变形用，还要会与 其它的公式一起灵活的运用。
2
log 1 (sin x cosx) f (x)
2
T 2
练习2.f(x)=cos2x+asinx-
a 4
-
1 2
(0≤x≤2 )
①用a表示f(x)的最大值M(a)
②当M(a)=2时，求a的值
解：
(1)
f
(x)
(sin
x
a 2
)2
a2 4
1 2
a 4
0
x
2
0
x
1
当0
a 2
1即0
2
sin2 cos2 1
2
解法2：
原式 1 (1 cos2 )(1 cos2 ) 1 (1 cos2 )(1 cos2 )
4
4
1 cos2 cos2
2
1 (1 cos2 cos2 ) 1 cos2 cos2
三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt
电磁学
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
3.2.1简单的三角恒等变换(一)课件人教新课标
cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ
得 cos(α+β) -cos(α-β)= 2sinαsinβ 所以有 sinαsinβ= [c1os(α+β)-cos(α-β)]．
2
3．求证：(1) sinθ-sinψ= 2cos
θ+ψsin
2
(2) cosθ+cosψ= 2cos θ+ψcos
本题证明中用到换元思想和方程思想，(1)式是 积化和差的情势，(2)式是和差化积的情势．
如果记 sinαcosβ = x，sinαcosβ = y． 则有 x+y=sin(α+β) ，x-y=sin(α-β)．
只要解上述方程组，就可以求出x，y．
1．求证：tan
α＝பைடு நூலகம்
2
sinα 1＋cosα
＝
1－cosα．
θ-ψ．
2
θ-ψ．
2
θ-ψ．
2
cos(α+β) -cos(α-β)= 2sinαsinβ
设α+β=θ，α-β=ψ
则θ= θ+2ψ，ψ =
θ-ψ
2
所以 cosθ-cosψ= -2sin
θ+ψsin
2
θ-ψ．
2
4．求证：3+cos4α- 4cos2α=8sin4α.
证明：左边=3+2cos2 2α-1- 4cos2α =2cos2 2α- 4cos2α+2 =2(cos 2α-1) 2 =2(1-2sin2α-1) 2 =8sin4α=右边
三角函数的和（差）公式
sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ
《-简单的三角恒等变换(第一课时)》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】全
问题3 （1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
第一，从所含角的角度考虑，等式左侧包含角α及β，
而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发，
借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的形式；
第二，从运算结构的角度考虑，等号左侧是sin α与cos β的乘积，
简单的三角恒等变换
第一课时
高中数学人教A版必修第一册（新课标）
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？
这两种思考方法是本质上是一致的．
新知探究
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
问题3 （1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
新知探究
问题4 注意观察（2）式的左右两侧，它与（1）的结构特征有何区别？两个等式之间有什么联系？
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β，
新知探究
（1）
例2 求证：
新知探究
（1）
（2）
例2 求证：
在变换中经常用到化归思想、转化思想、方程思想以及换元法．
回顾小结
问题5 我们在进行三角恒等变换时，应该怎样进行分析？在变换中经常会用到哪些数学思想或方法？
求证：
3
谢谢大家
再见
作业：教科书习题5.5第9，10，11，19题．
作业布置
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
第一，从所含角的角度考虑，等式左侧包含角α及β，
而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发，
借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的形式；
第二，从运算结构的角度考虑，等号左侧是sin α与cos β的乘积，
简单的三角恒等变换
第一课时
高中数学人教A版必修第一册（新课标）
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？
这两种思考方法是本质上是一致的．
新知探究
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
问题3 （1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
新知探究
问题4 注意观察（2）式的左右两侧，它与（1）的结构特征有何区别？两个等式之间有什么联系？
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β，
新知探究
（1）
例2 求证：
新知探究
（1）
（2）
例2 求证：
在变换中经常用到化归思想、转化思想、方程思想以及换元法．
回顾小结
问题5 我们在进行三角恒等变换时，应该怎样进行分析？在变换中经常会用到哪些数学思想或方法？
求证：
3
谢谢大家
再见
作业：教科书习题5.5第9，10，11，19题．
作业布置
3.2简单的三角恒等变换课件人教新课标
[类题尝试] 已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有 f(x)＝1－c2os 2x－1－cos22x－π3 ＝12
12cos
2x＋
3 2 sin
2x
－
1 2
cos
2x ＝
6 A. 6
B．－
6 6
30 C. 6
D．－
30 6
解析：由题意知α2∈0，π2，所以 cos α2＞0，
α2＝
1＋cos 2
α＝
30 6.
答案：C
3．已知 cos α＝35，α∈32π，2π，则 sin α2等于(
)
A.
5 5
B．－
5 5
4
25
C.5
D. 5
解析：由题知α2∈34π，π，所以 sin α2>0，
2 θ 2
＝
1 θθ
cos 2sin 2
＝sin2 θ＝右边．
所以原式成立．
法二 左边＝（（1＋1＋sinsiθn－θ＋cocsoθs）θ）2＋（（1＋1＋sisninθθ－＋cocsosθθ））2
＝2（（11＋＋ssiinn
θ）2＋2cos2 θ θ）2－cos2 θ
＝2si4n＋θ＋4s2insiθn2 θ
1．半角公式
[知识提炼·梳理]
温馨提示 对于半角公式，要求会推导，不要求记忆．
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)cos φ＝
a a2＋b2，
sin φ＝ a2b＋b2，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象
简单的三角恒等变换 课件
即
时,3 6
得到简化
简单的三角恒等变换
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
2
2
2
解 是 的二倍角
2
在公式cos 2 1 2sin2 中,以代替2,以 代替,
2
cos 1 2sin2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替
2
cos 2 cos2 1
可表示为:
2
sin 1 cos
cos2
2
1
cos
2
2
② cos
2
2
1 cos
2
① 得 ②
tan 2 1 cos 2 1 cos
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin
在Rt△OAD中,
DA tan 60 3 OA
OA 3 DA 3 BC 3 sin
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3
设矩形ABCD的面积为S,则
S
AB • BC
cos
3 3
sin
sin
sin cos 3 sin2
2
2sin sin 2sin cos .
2
2
解 (1) sin(+) ＝ sincos+cossin
sin(-) ＝ sincos-cossin
两式相加,得
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
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例 已知sin( ) 1 ,sin( ) 1 ,则tan tan ?
2
3522源自2所以： tan2
2
sin2
2
cos2
1 cos 1 cos
2
思考：不同的三角函数式不仅会有结构形式方 面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角 的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换 常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系， 这是三角式恒等变换的重要特点．
例２、求证：
（1）sin
3.2 简单的三角恒等变换(一)
例1、试以cos表 示: sin2 , cos2 , tan2
2
2
2
解：我们可以通过二倍角 cos 2cos2 1 和
2
cos 1 2sin2 来做此题．
2
因为 cos 1 2sin2 ，可以得到：sin2 1 cos
2
2
2
因为cos 2cos2 1 ，可以得到：cos2 1 cos
即
sin
cos
1 2
sin
sin
（２）
由（１）得：
sin sin 2sin cos ①；
设 , 那么 ,
2
2
把 , 的值代入①式中得
sin sin 2sin cos
2
2
例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和 差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后 面的练习（P142页）当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式．
cos
1 2
sin
sin
（2）sin sin 2sin cos
2
2
证明（１）因为 sin 和sin 是我们所 学习过的知识，因此我们从等式右边着手
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
两式相加得；2sin cos sin sin