(完整word)一年级数学几何图形常见考题及答案(奥数)

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北师大版一年级下数学奥数题(word版含解析)

小学一年级奥数题及解析1.找规律(1)2，3，5，8，12，( );(2)2，3，5，8，13，( );(3)2，3，5，6，8，9，( )，( );(4)( )，2，3，6，5，10，7，( )。

2.小兔的萝卜小白兔有12 个萝卜，它给了小灰兔3 个萝卜后，它俩的萝卜就一样多，小灰兔原来有多少个萝卜?3.两位数在所有的两位数中，个位数字与十位数字相同的一共有多少个?请你写出来.4.星星合唱队星星合唱队原有52人，有9名同学毕业了，新加入了15人，合唱队现在有多少人?5.数字朋友像18+81这样十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数是好朋友，它们相加和是99，请问像这样的相加和是99的好朋友有几对?6.长跑比赛形跑道上正在进行长跑比赛。

一位运动员前面有7个人在跑，这位运动员后面也有7个人在跑。

跑道上一共有多少个运动员?7.买钢笔小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支钢笔6元钱，还剩多少元钱?8.奇偶数前十个自然数即1，2，3，……10的和是奇数还是偶数?9.排队排好队，来报数，正着报数我报七，倒着报数我报九，一共多少小朋友?10.赠照片小学毕业时，阿庆、阿立、阿福三人互相赠照片一张，他们一共互赠了多少张照片?11.上楼小宏与爸爸一起上楼，小宏走得慢，爸爸走得快，小宏上了1层时，爸爸已上了2层，问小宏上到3楼时，爸爸上到几楼?12.外婆家的小兔子外婆买了15个胡萝卜，给家里的每只小兔子喂一个胡萝卜，最后剩下3个胡萝卜。

小朋友想一想，外婆一共养了多少只小兔子呢？13.看太阳如果今天半夜12点下雨，再过24小时，能否见到太阳?14.小鸡吃食一天鸡妈妈带着10只小鸡去吃食，一会儿，2只小鸡吃饱回家了;又过了一会儿，又有2只小鸡吃饱回家了.这时，还剩下多少只鸡在吃食?15.妈妈买糖妈妈买了三袋糖，第一袋有8颗，第二袋有15颗，第三袋有10颗，怎样才能使三个袋子的糖一样多，那怎么分配糖果?分配后每一袋糖果有多少颗?16.随机问题一个密封的箱子里有6只白色袜子和6只红色袜子，问至少选出几只可以保证至少有一双颜色相同?17.妈妈买蛋妈妈买回一些鸭蛋和12个鸡蛋，吃了8个鸡蛋后，剩下的鸡蛋和鸭蛋同样多，问妈妈买回的鸭蛋是几个?18.希望小学希望小学一年级A班有40个人，上体育课的时候，王老师让他们每十个人排成一排，最后一排只剩6个人。

一年级奥数天天练试题及答案

一年级奥数天天练及答案1.1（年龄问题）难度：★★★★【年龄问题】哥哥今年12岁，小明7岁，哥哥比小明大几岁？两年前，小明比哥哥小几岁？难度：★★★★★妹妹今年6岁，两年后，妹妹比姐姐小3岁。

请问姐姐今年多大了？难度：★★★★【年龄问题】哥哥今年12岁，小明7岁，哥哥比小明大几岁？两年前，小明比哥哥小几岁？【答案】12-7=5（岁），哥哥比小明大5岁，即小明比哥哥小5岁；年龄问题的主要特点之一就是：大小年龄差是个不变的量，所以两年前小明也比哥哥小5岁。

难度：★★★★★妹妹今年6岁，两年后，妹妹比姐姐小3岁。

请问姐姐今年多大了？【答案】年龄问题的主要特点之一就是：大小年龄差是个不变的量。

所以今年妹妹也是比姐姐小3岁，姐姐今年6+3=9（岁）。

一年级奥数天天练及答案 1.2（数一数）难度：★★★★【数一数】小红和5个同学修桌椅，后来又来了6个，现在一共有多少个同学？难度：★★★★★小明家门前有一排小树苗，柳树左边有6棵杨树，它的右边有10棵松树，这排小树苗一共有多少棵？难度：★★★★【数一数】小红和5个同学修桌椅，后来又来了6个，现在一共有多少个同学？【答案】小朋友容易把小红落掉，正确的解法是1+5+6=12（个）同学。

难度：★★★★★小明家门前有一排小树苗，柳树左边有6棵杨树，它的右边有10棵松树，这排小树苗一共有多少棵？【答案】小朋友容易把柳树落掉，正确的解法是1+6+10=17（棵）树苗。

一年级奥数天天练及答案 1.3（算一算）难度：★★★★【算一算】已知：△＋○＝14，△－○＝2则△＝( ) ○＝( )难度：★★★★★下图中每种水果各代表一个数，算一算，它们各代表几?【算一算】已知：△＋○＝14，△－○＝2则△＝( ) ○＝( )【答案】两个式子相加得到2个△=16，所以△=16÷2=8，再根据第一个式子得到○＝14-8=6.一年级奥数天天练及答案 1.4（计数问题）1、难度：★★一个数比78大，比89小，且十位和各位上的数相同，这个数是多少？2、难度：★★★★小明出去玩的时候，看了一下钟，时针在2和3之间，分针指向6，他回来的时候时针在6和7之间，分针指向6，小明一共外出了几小时？【解析】882.【解析】出去的时候：2：30，回来的时候6：30，一共出去4个小时。

一年级认识图形奥数题有答案

一年级认识图形奥数题有答案It was last revised on January 2, 2021一年级。

上册第一讲认识图形（一）1．这叫什么？这叫“点”。

用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。

点在纸上占一个位置。

2．这叫什么？这叫“线段”。

沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。

线段有两个端点。

3．这叫什么？这叫“射线”。

从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。

射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。

4．这叫什么？这叫“直线”。

沿着直尺用笔可以画出直线。

直线没有端点，可以向两边无限延伸。

5．这两条直线相交。

两条直线相交，只有一个交点。

6．这两条直线平行。

两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。

7．这叫什么？这叫“角”。

角是由从一点引出的两条射线构成的。

这点叫角的顶点，射线叫角的边。

角分锐角、直角和钝角三种。

直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。

教室里天花板上的角都是直角。

锐角比直角小，钝角比直角大。

习题一1．点（1）看，这些点排列得多好！（2）看，这个带箭头的线上画了点。

2．线段下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！（1）一根小棍。

可以横着摆，也可以竖着摆。

（2）两根小棍。

可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖摆。

（3）三根小棍。

可以像下面这样摆。

3．两条直线哪两条直线相交？哪两条直线垂直？哪两条直线平行？4．你能在自己的周围发现这样的角吗？第二讲认识图形（二）一、认识三角形1．这叫“三角形”。

三角形有三条边，三个角，三个顶点。

2．这叫“直角三角形”。

直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。

它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边。

3．这叫“等腰三角形”。

它也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长（相等），相等的两条边叫“腰”，另外的一条边叫“底”。

4．这叫“等腰直角三角形”或叫“直角等腰三角形”。

它既是直角三角形，又是等腰三角形。

(word完整版)小学一年级奥数题及答案-_汇总,

〔100 道综合练习题〕一、填空题。

( 共 9 题 )1.妈妈买红扣子 18 个，白扣子 10 个，黑扣子 8 个。

(1)红扣子比白扣子多 ()个?(2)黑扣子比白扣子少 ()个?2.下面的题你会算吗 ?1+3+5+2+4+6+3+5+7=()1+10-9+8-7+3-4+5=()3.1,1,2,3,5， (),13,21,344. 2 只小鸭 =4 只小鸡 3 只小鸭 =6 只小鹅 1 只小鹅 =()只小鸡5.方框中应该填什么数呢 ?3+()+4-5+10=156.找出下面的数列的规律并填空 .1，1，2，3，5，8，13，()，()，55，897.黑兔、灰兔和白兔三只兔子在赛跑。

黑免说："我跑得不是最快的，但比白兔快。

"请你说说， ()跑得最快， ()跑得最慢。

8.在()里填数字，使下面的两位数都是双数3()8()6()1()2()9. 10、20、11、19、12、18、()、()、()二、计算题。

( 共 29 题)1.汽车总站有 13 辆汽车，开走了 3 辆，还有几辆 ?答：2.第一个盘子里有 5 个梨，第二个盘子里有 4 个梨，把第一个盘里拿 1 个放到第二个盘里，现在一共有多少个梨 ? 答3.小明和小亮想买同一本书，小明缺 1 元 7 角，小亮缺 1 元 3 角。

假设用他们的钱合买这本书，钱正好。

这本书的价钱是多少?他们各带了多少钱 ? 小明带了 3 元-1 元 7 角=1 元 3 角小亮带了 3 元-1 元 3 角=1 元 7 角答:4.小明出去玩的时候，看了一下钟，时针在 2 和 3 之间，分针指向6，他回来的时候时针在 6 和 7 之间，分针指向6，小明一共外出了几小时?答:5.学校要把 12 箱文具送给山区小学，已送去7 箱，还要送几箱 ?答:6.学校开运动会，一年级同学站成一排，昊昊往左数了数，自己左面有 1个人 ;往右数了数，自己右面有 8 个人。

老师问昊昊这排有多少人 ?答:7.在一个箱子里面，乱七八糟的放着 4 只红色袜子和 4 只白色袜子。

一年级奥数有趣的立体图形

立体几何图形是数学中一个重要的组成部分。

这节课通过看一看、认一认、想一想等活动使大家认识最基础的立体几何图形，从而增加对图形的感性认识，培养初步的图形概念认识，为以后的学习打下良好的基础。

【例1】这是（）。

有（）个面，（）条棱，其中（）条长，（）条宽，（）条高，（）个顶点。

并在括号里面填上相应的名称。

并在展开图上标出相同的面。

【例2】这是（）。

有（）个面，（）条棱，（）个顶点。

并在括号里面填上相应的名称。

并在展开图上标出相对的面。

【例3】这是（）。

它是由（）个圆和（）个长方形组成的。

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )例题精讲知识框架有趣的立体图形【例4】这是（）。

它是由（）个圆和（）个扇形组成的。

【例5】这是（）。

它是由（）个三角形和（）个长方形组成的。

【例6】这些是（）。

【例7】这是（）。

【例8】这是（）。

【随练1】认一认，请在下面的括号里填上正确的名称。

【随练2】将下图中(1)、(2)号棱锥剪开铺平后，哪一个是它对应的展开图，请用线连起来。

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )课堂检测家庭作业【作业1】看看摸摸，并在自己周围寻找具有这些形状的物体。

1．长方体2．正方体3．圆柱4．圆锥5．棱锥6．球【作业2】下图有哪些图形组成？【作业3】下列图中的（1）（2）（3）号盒子剪开铺平后，展开图是哪一个，请你用线连起来。

【作业4】用一些立体图形画一幅画吧！【作业5】请你将能找到的包装盒如：月饼盒、冷饮盒、鞋盒等等，用剪刀剪开，平铺在桌面上观察并画出展开图。

一年级数学几何图形常见考题及答案(奥数)

姓名：分数：一、认一认，数一数，填一填（10分）二、你能数出图形中有几个三角形吗？（9分）( )个)个( )个三、数一数，下面的图形中有多少个正方形？（9分）( )个( )个( )个四、数一数，下面共有多少个长方形？（9分）（）个（）个（）个五、数一数，图中共有多少个圆？（8分）（）个（）个六、辨一辨。

（对的画“√”，错的画“×”）（10分）1、两个三角形一定能拼成一个长方形。

（）2沿虚线对折，折后的图形是三角形。

（）3、是由6个阴影部分的小三角形组成的。

（）4、一个能剪成两个相同的三角形或正方形。

（）5、用2个（）七、选一选。

（把正确答案的序号填在括号里）（15分）1、把一个正方形的纸折一次，可能折出图（）2、用两个能拼成一个（）正方形长方形三角形3、用（）个相同的可以拼成一个大正方形。

2 484、至少用（）根同样长的拼成一个长方形。

4 685、图中共有（）个三角形？6 78八、折一折，填一填。

（9分）正方形的对面是（）三角形的对面是（）长方形的对面是（）九、数一数，填一填。

（9分）（)块（)块（)块十、用4个可以拼成,还可以拼成以下图形。

你知道分别是怎样拼成的吗？请在图中分一分，画一画。

（12分）答案一、4，7，4，4，4二、6，7，12三、5，3，10四、7，9，5五、11，5六、1(X), 2 (√ )，3 (√ ), 4(X), 5(√ )七、1. 2. 3. 4. 5.八、圆形、星星、平形四边形九、5，5，10十本文档部分内容来源于网络，如有内容侵权请告知删除，感谢您的配合！。

小学奥数：几何图形的认识.专项练习及答案解析

本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．几何图形的定义：1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．（1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置．（2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．（3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．（4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸（5）两条直线相交：两条直线相交，只有一个交点．（6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．（7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．（8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角．教室里天花板上的角都是直角．锐角比直角小，钝角比直角大．（9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．边边顶点直角锐角钝角知识点拨（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边．（11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．（12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．（13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．（14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角．（15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．（16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．（17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．顶角顶角边边角角角顶角边直角边斜边直角边腰腰底直角边直角边斜边腰腰底边边边角角角（18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．（19）菱形：菱形的四条边都相等，对角分别相等．（20）圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．（21）扇形：（22）长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．（23）正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．（24）圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆．（25）圆锥：圆锥的底面是圆．（26）棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱．腰腰下底上底半径直径半圆直径弧半径半径高宽长底面底面（27）棱锥：这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．底面（28）三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”．三棱锥的每一个面都是三角形．（29）球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．例题精讲模块一、几何图形的认识【例 1】请看下图，共有个圆圈。

小学一年级奥数试卷【含答案】

小学一年级奥数试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数字是偶数？A. 3B. 4C. 5D. 62. 一个篮子里有苹果和橘子共计10个，苹果比橘子多2个，苹果有多少个？A. 4B. 5C. 6D. 73. 小明有3个玩具，他想要每个玩具至少有一个朋友，那么他至少需要几个朋友？A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列哪个数字是质数？A. 12B. 17C. 20D. 215. 小华有10块巧克力，他每天吃2块，吃完需要几天？A. 3天B. 4天C. 5天D. 6天二、判断题（每题1分，共5分）1. 1+1=3 （）2. 9是3的倍数。

（）3. 一个正方形的四条边都相等。

（）4. 0是最小的自然数。

（）5. 2+2=4是错误的。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 7+8=_____2. 15-9=_____3. 4×6=_____4. 18÷3=_____5. 2的3次方等于_____四、简答题（每题2分，共10分）1. 请列举出前5个奇数。

2. 请写出3个3的倍数。

3. 请计算2+3+4+5的和。

4. 请问一个三角形的内角和是多少度？5. 请问一个正方形的对角线长度是如何计算的？五、应用题（每题2分，共10分）1. 小红有10个气球，她给了小明3个，请问小红还剩下几个气球？2. 小刚有5个苹果，他想要平均分给他的3个朋友，请问每个朋友能分到几个苹果？3. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，请问这个长方形的面积是多少平方厘米？4. 一个班级有20个男生和女生总共30人，请问这个班级有多少个女生？5. 小华每天早上跑步10分钟，一个星期（7天）后，他总共跑步多少分钟？六、分析题（每题5分，共10分）1. 小明有10个糖果，他每天吃1个，吃完需要几天？如果小明每天多吃1个糖果，吃完需要几天？2. 小刚有5个橘子，他想要平均分给他的3个朋友，请问每个朋友能分到几个橘子？如果小刚再买2个橘子，他能平均分给他的3个朋友吗？为什么？七、实践操作题（每题5分，共10分）1. 请你用10个小木块拼成一个正方形。

(完整word版)小学奥数练习题

图形的面积（一）第一组例题讲学例1 已知平行四边形的面积是28平方厘米, 求阴影部分的面积。

【思路点拨】4厘米既是平行四边形的高, 也是阴影三角形的高, 平行四边形的面积是28平方厘米, 它的底为28÷4=7（厘米）, 平行四边形的底减去5厘米就是三角形的底, 7-5=2（厘米）。

根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。

求阴影部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积；还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。

这两种是最常用最简便的方法。

同步精练1.下面的梯形中, 阴影部分的面积是150平方厘米, 求梯形的面积。

2. 已知平行四边形的面积是48平方厘米3. 如果用铁丝围成如图一样的平行四边形,需要用铁丝多少厘米? /答案解:(厘米)(厘米)答:需要用铁丝40厘米.解析先依据平行四边形的面积公式计算出它的面积,进而利用这个公式即可求出12厘米的邻边,再根据长方形的周长公式即可求解.此题主要考查平行四边形的面积公式,以及长方形的周长公式的灵活应用.图形的面积（一）第二组例题讲学例2 下图中甲和乙都是正方形, 求三角形ABC部分的面积。

（单位: 厘米）【思路点拨】图中三角形ABC的三条边的长都不知道, 三条边上的高也不知道。

所以, 无法用公式计算出它的面积。

仔细观察本题的图, 我们可以发现, 如果延长GA和FC, 它们会相交（设交点为H）, 这样就得到长方形GBFH（如下图）, 它的面积很容易求, 而长方形GBFH中除阴影部分之外的其他三部分（△AGB、△BFC及△AHC）的面积都能直接求出。

同步精练1.求右图中阴影部分的面积。

（单位: 厘米）2.求右图中阴影部分的面积。

（单位: 厘米）图形的面积（一）HC46B E FAG乙甲第三组例题讲学例3 如图所示: , 甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米, 求CE 的长度。

【思路点拨】题目中告诉我们, 甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米, 即甲-乙=6（平方厘米）, 而甲和乙分别加上四边形ABCF 后相减的结果还是6平方厘米, 即: 甲-乙=6（平方厘米）（甲+四边形ABCF ）-（乙+四边形ABCF ）=6（平方厘米）即: 正方形ABCD - △ABE=6（平方厘米）这就是说正方形ABCD 的面积比三角形ABE 的面积大6平方厘米。

经典小学奥数题型(几何图形)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA为．【解析】连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABG ABCDS S=△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等．长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHCS S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHDS S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为．B【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为．ABB【解析】如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=；1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OEDABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙．又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．GFE DC BAABC DE FG【解析】连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCD E【解析】连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DCB13131212【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠，所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．【解析】如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△， 111111122323212DEFDEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABCS S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=； ⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCDEF GABCD EF G【解析】连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形．因为12AED ABCD SS =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFDABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．A BCDEF【解析】连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 18】已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．BB【分析】连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=，所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)，所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于．E【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =，那么325m n +=+=．【例 22】如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形．EGF A D CB【解析】设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形．【解析】设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此Q E GNMF P AD CB4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDBM GFAEDCBGFAEDCB【解析】方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点，BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．MHGF E D CBAA【解析】解法一：由题意可得，E 、F是AB、AD的中点，得//EF BD，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=；又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA 【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER AB EF =，所以2RB AB EF EF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=；那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=；同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△ 得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的倍．BCB【分析】如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==．类似分析可得215AGI S ∆=．又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=．那么，111742184CGKJS =-=．根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABES S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANGAFCS S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA的三等分点,求阴影部分面积.GC BACB【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△ 所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEPABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习：练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEFS =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB AAB CDEFGH【解析】连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCES AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形． EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，练习4. 如图，已知4cmAB AE ==，BC DC=，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cmAC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S SS S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).。

一年级奥数认识图形60题

小学一年级奥数60题（认识图形）1.习题2.习题3.习题4.习题5.习题6.习题7.看图形，按要求填空8.习题9.数一数10.习题11.数一数12数一数13.数一数，填一填14.数一数15．用哪些图形可以画出右边的图形？圈一圈16.找出对应的物体17.把不一样的图形用“/”划去。

18.数一数，完成下题。

19.这是什么图形？（）20.正方形有6个面，每个面都是（）。

21.图中，有（）个圆柱。

22.看图数一数，填一填。

23.你能说出生活中的物品组合吗？填一填。

24.看图形，按要求填空。

25.用（）根火柴棒能摆成一个正方形，至少用（）根火柴棒能摆成长方形。

26.填一填27.看图，填一填各种图形的名称。

28.下图有（）个长方体，有（）个正方体。

29.用右侧哪个物体可以画出左侧的图形，圈一圈。

30.用下面的长方体、正方体和圆柱可以画出哪些图形？连一连。

31.认一认，下面这些物体是什么形状的？再连线。

32.请你给正方体涂上绿色。

33.找朋友（同一类型的用线连起来）。

34.在稳定的图形下面化“✓”。

35.36.三角形是（）。

37.教室里讲桌的表面是（）形。

38.找规律，画一画。

39.40.41.数一数，填一填。

42.把序号填在横线上。

43.将原图形加倍并涂色。

44.涂上颜色。

45.数一数这里有多少个正方形？46.数一数这个图形里有多少个三角形？47.下图是什么，判断具体有多少种“材料”组成，各种“材料”有多少？48.考考你的想象力。

如下图形，沿着虚线旋转一周，看形成了什么物体？49.数一数，下面图形中的三角形、长方形、圆形和正方形的数目分别是多少？50.填一填，涂一涂。

51.找一找，数一数，填一填。

52.53.我的小火车：54.按要求涂颜色。

55.56.习题57. 认识这些图形吗？数数每种图形各有几个？58.数一数，填一填。

59.把下面的图形按不同标准分类。

60.下面图形不是轴对称图形的是？（）。