有限解释下一阶谓词公式的相对真度
最新2.2谓词公式与解释
四、谓词公式的类型
西
设A是公式。如果A在任何的解释下都
华
大 是真的，则A是永真式；如果A在任何的
学 解释下都是假的，则A是永假式；如果A
在一些解释下为假，一些解释下为真，
则A是非永真的可满足式。
例如： x A(x) x A(x)是永真式； x A(x)∧x A(x）是永假式。
代换实例
西华设A0是含命题变元p1, p2, …, pn的命题逻辑公式，
2.2谓词公式与解释
一、合式公式的定义：
原子公式： f(x1,x2,,xn) 为n元谓词符号，t1,t2,…,tn 是
项，则 f(t1,t2,,tn) 是原子公式；
西 合式公式的归纳定义：
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式，则xA、xA是公式；
3、若A、B是公式，则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式；
2. 对于某些简单的公式，特别对于简单的闭式，
西 华
可在假定给定任意解释的前提下该公式的真值
大 学
都为真（或者为假）来证明该公式是永真式
（或矛盾式）。
3. 要证明一个公式是可满足式，只要找到一个 解释，使得该公式的真值为真即可。同时为了 证明它不是永真式，只要找一个解释，使得该 公式的真值为假即可。
解释的说明
(1) 一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下, 可以得到确定的真值,不同的解释下可能得到不同的 真值。
(2) 公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自 由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的 真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。
3）有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解 释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能 将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表 可列。
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
第六讲谓词演算的永真公式
二、谓词演算的基本永真公式
5 量词的分配形式 ① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ② x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ③ x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ④ xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) 证： ①因为对一切x，A(x) B(x)为真，等价于对一切x， A(x)为真且B(x)为真。 ② 对① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
二、谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式。 因为谓词演算是命题演算的扩充，所以列于表 1.2 -1 , 表1.2 -2 的恒等式和永真蕴含式同样适用于 谓词演算。 2.量词的增加与删除 1）
xA A xA A
A中不含自由变元x
因为A不含自由变元x，所以A的真值与x无关，故恒等 式成立。
谢谢同学们的主动配合！ 愿大家天天快乐！
一、谓词演算基本概念
4. 两个任意谓词公式A和B,
1) A与B等价， A B iffA B 永真； E 2)在E上A与B等价，A B iffA B 在E上永真.
5. 两个任意谓词公式A和B, 1) A永真蕴含B ， A B iff A → B 永真； E 2)在E上A永真蕴含B， A B iff A → B 在E上永真.
将y代以w，得xP(x, w) Q(w, w)
注意： 换名规则的对象：只用于约束变元，换名后所得公式与原式等价；
代入规则的对象：只用于自由变元，换名后所得公式与原式一般
不等价，除非是永真式。
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a) P Q P Q，
1.7谓词演算的永真公式
（15） （16） （17）
例如：设个体域D为联欢会上所有的人组成的集合， A(x)：x唱歌。 B(x)：x跳舞。
1 x(A(x)∧B(x))： 联欢会上所有的人既唱歌又跳舞。 与 xA(x)∧xB(x)： 联欢会上所有的人唱歌且所有的人
跳舞。（含义相同） 2 x(A(x)∨B(x))： 联欢会上有人唱歌或跳舞。 与 xA(x)∨xB(x)： 联欢会上有人唱歌，或联欢会上有
人跳舞。（含义相同）
14
NUIST
证明：设D为任意一个个体域，I为任意一个指派。 x(A(x)∧B(x))：对于D中所有的ｘ，A(x)和B(x)都是真的。 xA(x)∧xB(x)：对于D中所有的ｘ，A(x)是真的；同时对
于D中所有的ｘ，B(x)也是真的。---两个命题是等价的。
x(A(x)∨B(x))：D中存在ｘ，能使Ａ(ｘ)或者Ｂ(ｘ)为真。 xA(x)∨xB(x)：D中存在ｘ能使Ａ(ｘ)为真，或者D中存在
指定：1.个体域D为全总个体域
2.Ｐ(x)：x是人；Ｑ(x)：x是黄种人。
则x(P(x)→Q(x))：所有的人都是黄种人。 F
思考：若 个体域D为实数集
Ｐ(x)：x是自然数；Ｑ(x)：x是有理数。
2
NUIST
例1-7-1 给定一个解释I： D={2，3}； D中的特定元素 a=2 D上的特定谓词 F(x)为：F(2)=0，F(3)=1 L(x,y)为：L(2,2)= L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0.
等价（永真蕴含） 1 若A和B在任意个体域上都是等价的，则称谓词公式A和B
等价，记作：AB。 2 若A和B在任意个体域上都有A永真蕴含B，则称谓词公式A
永真蕴含B，记作：AB。
8
个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化一阶逻辑公式及其
(2) xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美
(1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x))
1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公
式
7
实例3
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>yF(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于北美洲 .
(2) F( 2 )G( 3 ),
其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 (3) F(2, 3)G(3, 4)，其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x<y
6
实例2
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
11
一阶语言L 的项与原子公式
定义4.2 L 的项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项.
(2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的 n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项.
ch41 一阶谓词公式
二、谓词的符号即一阶逻辑命题的符号化 1、个体常项 独立存在的个体，如“杨圣洪” 独立存在的个体， 杨圣洪” 、 2、个体变元 表示某个范围 个体域 任意对象。 表示某个范围 个体域)任意对象 范围(个体域 任意对象。 、 3、谓词 大写字母表示 ，G，H 大写字母表示F， ， 、 刻画一个对象 性质或多个对象之间的关系。 对象的 或多个对象之间的关系 刻画一个对象的性质或多个对象之间的关系。 4、量词 ∀ All 、 “所有的”、 “全部”、 “一切”、…… 所有的” 全部” 一切” 所有的 F(x)表示 男人是坏蛋 , ∀xF(x) x值域为男人集 表示x男人是坏蛋 表示 值域为男人集 L(x,y)表示 人与 人是同事 ∀x∀yL(x,y) x,y值域为 表示x人与 人是同事, 表示 人与y人是同事 ∀ 值域为 计通院的老师集” “计通院的老师集”。 5、量词 ∃ Exist 、 “存在有”、 “某些”、 “一部分”、…… 存在有” 某些” 一部分” 存在有 F(x)表示 男人是坏蛋 , ∃ xF(x) x值域为男人集 表示x男人是坏蛋 表示 值域为男人集 L(x,y)表示 人与 人是同事 ∃ x ∃ yL(x,y) x,y值域为 表示x人与 人是同事, 值域为 表示 人与y人是同事 湖南大学的职工集” “湖南大学的职工集”。
二、谓词的符号即一阶逻辑命题的符号化 1、个体常项 独立存在的个体，如“杨圣洪” 独立存在的个体， 杨圣洪” 、 2、个体变元 表示某个范围 个体域 任意对象。 表示某个范围 个体域)任意对象 范围(个体域 任意对象。 、 3、谓词 刻画对象的性质或对象之间的关系。 刻画对象 性质或对象之间的关系。 对象的 之间的关系 、 4、量词 ∀ All “所有的”、 “全部”、 …… 所有的” 全部” 、 所有的 5、量词 ∃ Exist “存在有”、 “某些”、…… 存在有” 某些” 、 存在有 有的人用左手写字。 如：(1)凡人都人呼吸 (2)有的人用左手写字。 凡人都人呼吸 有的人用左手写字 当个体域为“人类” 解：当个体域为“人类”时 其中B(x)表示 人呼吸 表示x人呼吸 ∀xB(x),其中 其中 表示 人呼吸breath. 表示x用左边写字 ∃xWL(x)，其中 ，其中WL(x)表示 用左边写字。 表示 用左边写字。 个体域为全总个体域(宇宙万物组成 宇宙万物组成)默认域 当个体域为全总个体域 宇宙万物组成 默认域 表示个体x是人类 ∀x(H(x)→B(x)) H(x)表示个体 是人类 → 表示个体 表示x用左边写字 ∃x(H(x) ∧WL(x))，其中 ，其中WL(x)表示 用左边写字。 表示 用左边写字。 注意：前者不能 不能∀ 注意：前者不能∀x(H(x)∧B(x)),”宇宙所有个体是人且呼 ∧ 宇宙所有个体是人且呼 吸”
山西师范大学学报(自然科学版)2008年总目录目次表
有限解释下一阶谓词公式的相对真度 …………………………………………… 秦晓燕
焦淑云（２ １ ．５）
运用 Ｓ Ｓ Ａ 软件系统对商品批发单价的回归分析 ………………………………… 张春秀 史建红 （２ １ ．８） 思维 品质 数字 化模 式 的理论 构建 …… …… …… …… …… …… …… … ……… … 田果 萍 崔 克 忍（２２ ．１） 基于 Ａ ｍ ｇｌ Ｔ ｅａ６的智能电子负载设计 …………………………………………… 丁锐 霞 马秀坤 （２２ ．４） 智 能组 卷 系统 的设计 与 实现 …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 赵 忠平 杨 浩 （２ ２ ） ．８ 山西师大主校区三维虚拟校园的建设研究 ……………………………………… 黄小刚 李伟程（２ ３ ．３）
乔 建 国 史建红 （ ４ ６ ） ．
具有指数相关的纵向数据模型中的齐性检验 …………………………………… 范俊花
回归 系数 的 ｓ ｉ ｔ ｎ型广 义 主相关 估计 … …… …… …… …… …… …… … 赵 英 慧 ｅ
பைடு நூலகம்
关于次序统计量的两个距离 …………………………………………………………・ ……一 王志祥（４ １ ．Ｏ）
Ｄｅ ｃ． ２０ ０８
山西 师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）０ ８年 总 目录 ２０
目
数学与计算机科 学 ・
菲 高会双 唐小文 王治文 董改芳（ １ １ ） ． 张忠辅 （ １５ ） ． 杨爱民（ １８ ） ．
次
表
・
二阶矩阵代数上的保谱半径 的可加映射 …………………… 赵
一
些联图的邻点可区别 的均匀边染色 ………………………………… 闰丽宏
谓词公式的解释
谓词公式的解释谓词公式是一种用于形式化描述逻辑关系的重要数学工具，最常见的应用领域包括计算机科学中的图灵机理论，数理逻辑学中的表示定理证明，和程序设计语言中的语法表示。
一. 什么是谓词公式谓词公式（Predicate Calculus）是形式逻辑中的一种用来描述复杂逻辑关系的工具。
它是一个根据指定的规则，使用符号表示客观事实的工具，既可以表示逻辑性的事实，也可以表示关系，或表明某件事是否存在。
它包括3个基本元素：1. 变量：变量是用来引述客观事实和客观关系封装在谓词公式中的一种复杂符号，一般在低级语言或数学语言中使用；2. 函数：函数是一种用来构建复杂表达式的符号，它可以表示逻辑关系和多个已知变量的组合；3. 关系：关系是用来表达客观关系的抽象概念，它可以用来描述两个变量之间的关系和前提条件。
二. 谓词公式的用途谓词公式有多种用途，这些用途不仅限于形式化描述逻辑关系，还可以用于计算机科学、数理逻辑学和程序设计语言等领域。
最常见的用途如下：1. 图灵机理论：谓词公式可以用来描述图灵机的解，给出具体的计算机程序设计方案和执行结果。
这种常用的符号公式有助于编写出可以有效求解图灵机的编程语言，并有效运行。
2. 表示定理证明：谓词公式可以用来描述推理过程，表达式可以用来将复杂的定理证明过程精简，使之更容易理解和验证。
3. 语法表示：谓词公式可以用来描述程序设计语言中的语法结构，展示代码之间的逻辑关系，帮助开发者实现意图的语法及代码的有效组织。
三. 谓词公式的优势1. 数学表达：谓词公式涉及到数学表达，比如变量、函数和等式，使得逻辑关系更易于理解。
2. 推理过程：谓词公式可以用来描述推理过程，使得逻辑性更加易懂，有助于深入理解和记忆，也有助于识别假设、论据和结论等关系式。
3. 生成代码：谓词公式可用于生成程序设计语言中的代码，可以根据谓词公式推断出程序对应的实现，也可以正确地分析给定程序的逻辑关系结构和执行路径。
数理逻辑中的谓词函数与谓词公式
数理逻辑中的谓词函数与谓词公式数理逻辑（mathematical logic）是研究形式逻辑（formal logic）的一个分支，它运用数学方法来研究逻辑的基本原理与推理规则。
在数理逻辑中，谓词函数和谓词公式是非常重要的概念。
本文将介绍谓词函数与谓词公式的概念、性质及其在数理逻辑中的应用。
一、谓词函数的定义与性质在数理逻辑中，谓词函数（Predicate Function）是一种将一组变量映射到真值的函数。
它通过变量的赋值将谓词的真值确定下来。
谓词函数的定义可以用集合和映射来描述。
1.1 谓词函数的定义设P是一个谓词，n是一个正整数，X1, X2, ..., Xn是n个变量，则称(P, n)为一个n元谓词，也称为谓词函数。
通常用P(x1, x2, ..., xn)来表示一个具体的n元谓词函数。
1.2 谓词函数的性质（1）真值集合：对于给定的变量赋值，谓词函数的结果是一个命题（proposition），即取值要么为真，要么为假。
谓词函数的真值集合可以用集合来表示。
（2）变元：谓词函数中的变量称为变元（arguments）。
变元的个数决定了谓词函数的元数（arity）。
（3）布尔函数：谓词函数可以看作是一种特殊的布尔函数，即输入是布尔值，输出也是布尔值的函数。
（4）值域：谓词函数的取值范围称为值域（range）。
值域通常是真值集合{真, 假}。
二、谓词公式的定义与性质谓词公式（Predicate Formula）是由谓词函数和逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含、等价等）通过逻辑运算得到的复合命题。
谓词公式可以描述系统中的关系、属性和规则等。
2.1 谓词公式的定义谓词公式由谓词及其变元，逻辑连接词和量词（如全称量词∀、存在量词∃等）组成。
谓词公式可以使用自由变量或约束变量形式来表示。
2.2 谓词公式的性质（1）合法公式：符合数理逻辑规则的谓词公式称为合法公式，也称为良构公式。
（2）可满足性：对于合法公式，如果存在一种变量赋值使该谓词公式成为真命题，则称该谓词公式是可满足的。
一阶逻辑基本概念知识点总结
一阶逻辑基本概念知识点总结一阶逻辑是一种形式化的逻辑系统，也称为一阶谓词演算。
它由一组基本的概念组成，包括：1. 项（Term）：一阶逻辑中的项是指个体或对象，可以是常量、变量或函数应用。
常量是指已知的个体，变量是指代未知个体，函数应用是将一个函数应用于一组参数得到的结果。
2. 公式（Formula）：一阶逻辑中的公式是用来描述真假性的陈述。
公式可以是原子公式或复合公式。
原子公式是一个谓词应用，谓词是一个描述性的关系符号，用来描述个体之间的关系。
复合公式是由逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）连接的一个或多个公式。
3. 量词（Quantifier）：一阶逻辑中的量词用来描述一个谓词在某个个体集合上的性质。
常见的量词包括全称量词（∀，表示对所有个体都成立）和存在量词（∃，表示存在至少一个个体成立）。
4. 推理规则（Inference Rule）：一阶逻辑中的推理规则用来进行逻辑推理，在给定一组前提条件的情况下，得出结论的过程。
常用的推理规则包括引入规则（例如全称引入和存在引入）、消去规则（例如全称消去和存在消去）、逆反法和假设法等。
5. 自由变量和限定变量：一阶逻辑中的变量可以分为自由变量和限定变量。
自由变量是没有被量词约束的变量，限定变量是被量词约束的变量。
6. 全称有效性和存在有效性：一阶逻辑中的一个论断是全称有效的，如果它在所有模型中都为真；一个论断是存在有效的，如果它在某个模型中为真。
这些是一阶逻辑的基本概念，它们提供了一种描述和推理关于个体和关系之间的真假性的形式化方法。
一阶逻辑在数学、人工智能、计算机科学等领域有广泛的应用。
17 谓词演算的永真公式
南京信息工程大学数理学院
谓词公式类型的判断
方法一：真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的，谓词变元的解释也 是有限的时，原则上可以用真值表来判断。 方法二：指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的，或谓词变元的解释 是无限的时，谓词公式A的指派就是无限多个，无法实 现用真值表来判断，一般根据联结词、量词的意义，直 接用自然语言来叙述进行证明。
南京信息工程大学数理学院
二、谓词演算中的逻辑等价式和永真蕴含式
遍及个体域E等价（永真蕴含） 给定个体域E上的两个谓词公式A和B，若对E中的任意指派I， 1 A、B 都具有相同的真值（即谓词公式A↔B为永真式）， 则称谓词公式A和B在E上等价，记作：在E上AB。 2 当A为真时，B也为真（即谓词公式A→B为永真式）， 则称谓词公式A在E上永真蕴含B，记作：在E上AB。
P(x)∧xP(x)在E上可满足， xP(x)在E上永真。
南京信息工程大学数理学院
2 ∀xP(x)→∃xP(x) 解： 未指明个体域与谓词P(x)的含义 ---任意多组解释 设D为任意一个个体域，I为任意一个指派。 若∀xP(x)为真， 即对于D中任意x，P(x)均为真。 此时在D中当然至少有一个x，使P(x)为真。 则∃xP(x)为真。 所以在指派I下，∀xP(x)→∃xP(x)取值为真。 由I的任意性，∀xP(x) →∃xP(x)为永真式。
例如：对 x(P(x)→Q(x)) 指定：1.个体域D为全总个体域 2.Ｐ(x)：x是人；Ｑ(x)：x是黄种人。 则x(P(x)→Q(x))：所有的人都是黄种人。 F 思考：若 个体域D为实数集 Ｐ(x)：x是自然数；Ｑ (x)：x是有理数。 南京信息工程大学数理学院
例1-7-1 给定一个解释I： D={2，3}； D中的特定元素 a=2 D上的特定谓词 F(x)为：F(2)=0，F(3)=1 L(x,y)为：L(2,2)= L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0. 在这个解释下，求下列各式的值。 1 ∀x(F(x)∧L(x,a)) (F(2)∧L(2,2))∧(F(3)∧L(3,2)) (0∧1)∧(1∧1) 0 2 ∀x∃y L(x,y) ∀x(L(x,2)∨L(x,3)) (L(2,2)∨L(2,3))∧(L(3,2)∨L(3,3)) (1∨0)∧(0∨1) 1
主要内容个体词、谓词、量词一阶逻辑命题符号化F的合式
例如 (1) 他是三好学生。 (2) 7 是质数。
(3) 每天早晨作广播体操是好习惯。
(4) 5大于3。
(5) 张三位于李四和王五之间。
一般我们用大写字母表示谓词，用小写字母
表示客体名称（主语）
例： A(x)：x是个学生 c：张三 A(c ): 张三是个学生。
用谓词表达命题，必须包括客体和谓词两个部分。 在谓词中所包含的个体词数称为元数。 如A(x）称为一元谓词,B(x,y)称为二元谓词，依此类推。
原子公式：把形如 体变元。
A( x1 , x2 ,, xn )
称作谓词演算的原子公式，其中：x1 , x2 ,..., xn 是客 合式公式：谓词演算的合式公式，由如下各条组成：
（1）原子谓词公式是合式公式。 A
（2）若A是合式公式，则
是一个合式公式。
（3）若A和B都是合式公式，则下列是合式公式。
x(A(x) Q(x)) x(A(x) Q(x))
几点注意：
1元谓词与多元谓词的区分
无特别要求，用全总个体域 量词顺序一般不要随便颠倒
否定式的使用
① 没有不呼吸的人 ② 不是所有的人都喜欢吃糖 ③ 不是所有的火车都比所有的汽车快 以上命题应如何符号化？
4.2 一阶逻辑公式及解释 一、合式公式
定义：设Ａ为一谓词公式，如果Ａ在任何解释下都 是真的，称Ａ为逻辑有效式（永真式），如果Ａ在 任何解释下都是假的称Ａ是矛盾式（永假式），若 至少存在一个解释使Ａ为真，称Ａ是可满足式。 定义：设A0是含命题变项，P1，P2…Pn的命题公式， A1，A2，…，An是n个谓词公式，用Ai(1≤i≤n)处处 代换Pi，所得公式A称为A0的代换实例。
不是约束出现的其他变项的出现称为自由出现。
谓词演算 公理 -回复
谓词演算公理-回复什么是谓词演算？在逻辑学中，谓词演算是一种形式化的语言，用于描述和推理关于对象的性质和关系的命题。
它由谓词、变量和逻辑联结词构成，可以表示一些复杂的命题和论证过程。
谓词演算有两种形式：一阶谓词演算和二阶谓词演算。
在本文中，我们将重点关注一阶谓词演算。
一阶谓词演算由两个基本部分组成：术语和公式。
术语用于表示对象，可以是变量、常量或函数。
变量是可以在一个特定领域内取值的未知量，常量是固定的、不可变的对象，函数是一种根据给定的输入返回特定输出的映射关系。
公式用于描述对象之间的关系和性质。
公式由谓词和术语组成。
谓词是一个描述对象之间关系和性质的关键字，它可以是一元谓词、二元谓词或多元谓词。
一元谓词只需要一个术语作为参数，例如“爱”、“是”等；二元谓词需要两个术语作为参数，例如“大于”、“等于”等；多元谓词需要多个术语作为参数，例如“包含”、“属于”等。
一阶谓词演算使用逻辑联结词来构建复杂的公式。
逻辑联结词有且、或、非和蕴含等。
且（∧）用于表示两个条件都满足的关系，或（∨）用于表示至少一个条件满足的关系，非（¬）用于表示取反的关系，蕴含（→）用于表示如果一个条件成立，则另一个条件也成立的关系。
在一阶谓词演算中，我们可以使用量词来描述一组对象的性质。
存在量词（∃）用于表达存在一个对象使得给定条件成立，全称量词（∀）用于表达所有对象都满足给定条件。
基于这些概念，我们可以构建谓词演算的公理系统。
公理是被认为是真实和不可证明的命题，公理系统是基于这些公理的一组推理规则和推理规则。
这些推理规则被用于推导出更复杂的命题。
谓词演算的公理系统可以用于证明数学和计算机科学中的一些重要结果。
谓词演算的公理系统通常由逻辑公理和量词公理组成。
逻辑公理是描述逻辑运算的公理，它们包括各种逻辑联结词的定义和性质。
量词公理是描述量化关系的公理，它们包括量词的定义和量化关系的性质。
使用谓词演算的公理系统可以帮助我们推导出一些有关对象性质和关系的重要结果。
第二讲谓词公式及其性质
4、自由变元的代入
(1)对于谓词公式中的自由变元可以代入，代入时需对公 式中出现该自由变元的每一处进行； (2)用以代入的变元与原公式中所有变元名称不能相同。 (x)(F(x,y) P(y))∧(x)(Q(x,y) R(z) ) ∧(y)B(y) (x)(F(x,w) P(w))∧(x)(Q(x,w) R(z) ) ∧(y)B(y)
2. 相应概念
量词的指导变元 (x)P(x) (x)P(x) 量词作用域 (x)( …… (y)(……) )
量词的作用域是邻 接其后的公式，除 非作用域是个原子 公式，否则应在公 式的两侧插入圆括 号。
约束变元 (x)( …P(x)…） (x)(…Q(x)…）
自由变元 (y)( …P(x)…Q(x,y)…） (y)(…Q(x)…R(x,y)…）
说明下列各式的作用域和变元约束情况
1、(x)(A(x) ( y)(B(y) ∧ F(x,y))) 2、(x)(P(x) ( y)(Q(y) ∧ F(x,y,z))) 3、(x) (y)(P(x,y) ∧Q(y,z) 呈自由出现，又呈约束出现 设A(x)：x是大学生 论域：我们班全体学生 (x)A(x) (y)A(y) (z)A(z)
5、量化断言与命题的关系
假设个体域D={a1, a2，…，an} (x) (P(x)) P(a1) ∧ P(a2) ∧ … ∧ P(an) ( x)(P(x)) P(a1) ∨ P(a2) ∨ … ∨ P(an)
如何由命题函数变成命题？
具体客体名称取代客体变元获得命题 用量化客体变元的方法获得命题
3、约束变元的换名
换名的目的： 避免由于变元的约束与自由同时出现而引起的混乱。
谓词公式的分类与解释
第二节 谓词公式的分类与解释为了给出谓词公式的定义，先给出项和原子公式的定义。
定义2.1 项：（1） 个体常项和个体变项是项；（2） 设),...,,(21n x x x ϕ是任意的n 元函数，n t t t ,...,,21是项，则),...,,(21n t t t ϕ是项；（3） 有限地使用（1），（2）形成的符号串是项。
定义2.2 设),...,,(21n x x x R 是任意的n 元谓词，n t t t ,...,,21是项，则称),...,,(21n t t t R 是原子公式。
定义2.3合式公式：（1） 原子公式是合式公式；（2） 若A 是合式公式，则)(A ¬也是合式公式；（3） 若B A ,是合式公式，则)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧也是合式公式；（4） 若A 是合式公式，则(),()xA xA ∀∃也是合式公式。
其中x 为任意的个体变项；（5） 有限次地应用（1）～（4）形成的字符串是合式公式。
这样定义的合式公式又称作谓词公式，简称公式。
合式公式的最外层括号可以省去。
定义2.4（1） 在公式xA ∀和xA ∃中，A 是相应量词的辖域，x 称为指导变量。
（2） 在公式xA ∀和xA ∃中，x 的所有出现都是约束出现的，不是约束出现的变项称为自由出现的。
例如：在公式))),,()((),((z y x L y G y y x F x ∧∃→∀中，∀的辖域为))),,()((),((z y x L y G y y x F ∧∃→∃的辖域为)),,()((z y x L y G ∧x ∀中的x 和y ∃中的y 都是指导变量。
x 的出现都是约束的，),(y x F 中的y 是自由出现的，)(y G 与),,(z y x L 中的y 是约束出现的，z 的出现是自由的。
一般情况下，在一个谓词公式A 中，除了可能含若干个个体常项，函数常项，谓词常 项外，还可能含个体变项，函数变项，谓词变项等。
[数理逻辑]一阶谓词演算自然推演系统N_{l}常见公式总结
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3. ∀ ∃ 和 ∧ ∨ 的量词移位： 对 于 ∀ 而 言 ： x 不 在 α 中 自 由 出 现 ： α ∧ ∀xβ | − ∀x(α ∧ β)∀x(α ∧ β) | − α ∧ ∀xβ 恒 成 立 x 不 在 β 中 自 由 出 现 :α ∨ ∀xβ | − | ∀x(α ∨ β) 对 于 ∃ 而 言 ： x 不 在 α
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[数理逻辑 ]一阶谓词演算自然推演系统 N_{lห้องสมุดไป่ตู้常见公式总结
一阶谓词演算自然推演系统NL 中常见公式总结 以 下 是 对 “ 自 由 出 现 ” 和 “ 自 由 " 的 个 人 理 解 ： 1.x 在 α 在 β 中 若 有 自 由 出 现 ， 可 以 认 为 α 和 β 公 式 的 真 假 与 x 有 关 ， 即 原 公 式 成 立 或 否 对 x 有
关于量词移位
1. ∀ ∃ 和 ⟶ 的量词移位： ∀x(α ⟶ β)： 当 x 不 在 α 自 由 出 现 时 ： ∀x(α ⟶ β) | − | α ⟶ ∀xβ 当 x 不 在 β 自 由 出 现 时 ： ∀x(α ⟶ β) | − | ∃xα ⟶ βx 在 α 对 β 是 否 自 由 出 现 未 知 ： ∀x(α ⟶ β) | − | ∀xα ⟶ ∃x(α ⟶ β)： x 在 α 中 没 有 自 由 出 现 ： ∃x(α ⟶ β) | − α ⟶ ∃βα ⟶ ∃β | − ∃x(α ⟶ β) 恒 成 立 x 在 β 中 没 有 自 由 出 现 ： ∃x(α ⟶ β) | − ∀xα ⟶ β∀xα ⟶ β | − ∃x(α ⟶ β) 恒 成 立
一阶逻辑公式及解释
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19
（1）x(F(x)→G(x))
取解释I1：个体域为实数集合R，F(x):x是整 数，G(x):x是有理数。
在解释I1下， 公式为真，所以不是矛盾式。 取解释I2：个体域为实数集合R，F(x):x是有 理数，G(x): x是整数。
说明：在使用一个解释I解释一个公式A时， 将A中的个体常项、函数和谓词分别用I中指定的 个体常项、函数和谓词代替。
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10
例4.8 给定解释I：
（a）个体域D=N（自然数集合）；
（b）a=0；
（c）f(x, y)=x+y、 g(x, y)=x*y；
（d）F(x, y)：x=y。
在I下，判断下列公式的真值？ （1）F(f(x, y), g(x, y)) （2）F(f(x, a), y) →F(g(x, y), z) （3）xF(g(x, y), z) （4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) （5）xF(g(x, a), x) （6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) （7）xyzF(f(x, y), z)
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例 判断下列公式的类型？ （1）x(F(x)→G(x)) （2）x(F(x)∧G(x)) （3）xyF(x, y)→xyF(x, y)
（4）xF(x)→xF(x)
判断方法：如果公式不是命题逻辑永真式或矛盾式的代 换实例，则只能通过构造解释的方法来进行判断。
（1）对于非永真的可满足式，需要分别具体构造一个成 真解释和一个成假解释来说明。
词公式
简单起见，谓词公式简称为公式。
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5
定义4.5（量词的辖域） 在公式xA和xA中，称x是指导变元，A为
一阶模糊谓词逻辑公式的有限解释真度和可数解释真度的理论及其应用
一阶模糊谓词逻辑公式的有限解释真度和可数解释真度的理论
及其应用
张兴芳;孟广武
【期刊名称】《计算机科学》
【年(卷),期】2005(032)010
【摘要】通过引进公式变元集赋值的新概念给出了一阶模糊谓词逻辑(或一阶模糊语言)公式的有限解释真度及可数解释真度的定义,并讨论了它们的一系列性质及其在近似推理中的应用,从而为一阶谓词逻辑的近似推理理论提供了一种带度量的框架.
【总页数】5页(P1-5)
【作者】张兴芳;孟广武
【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城252059
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
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1.一阶模糊谓词逻辑公式的可测集解释真度理论 [J], 王庆平;张兴芳;高芹
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红霞
5.一阶模糊谓词逻辑公式的区间解释真度理论 [J], 张兴芳;王国俊;孟广武
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谓词公式及解释
一个是在马路上散步的“李勇”，
为了避免这种“误会”出现，要对“约束变元”改名。
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 分析x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z))变
元身份 解：尽管x在公式x(F(x)G(y))出现，又在
y(H(x)L(x,y,z))出现，但两个x不是一回事， 只是恰巧二个名字相同而矣，
x是量词的指导变元。 (F(x,y)G(x,z))是量词的辖域 在 (F(x,y)G(x,z))中x是约束出现，出现2次。 在(F(x,y)G(x,z))自由出现的变元y/z，各一次。
谓词公式及解释-个体变元的身份 量词指导变元：xA和xA中的x 量词辖域：xA和xA中的A为量词/辖域 变元的约束出现：指导变元的每次出现(称约束变元)。 变元的自由出现：不是约束出现的变元(称自由变元) 。 例题 x(F(x,y)G(x,z)) 例题 x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z)) 解：
与变元约束情况
解：x、y的作用域是(P(x,y)Q(y,z))， x的作用域是P(x,y)。
将与自由变元同名约束变元yr， 将与前一个同名约束变元xs，则原公式
xr(P(x,r)Q(r,z))sP(s,y)
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 x(P(x)xQ(x,z)yR(x,y))Q(x,y)
(4)同一样公式在不同的论域下真值不同，究竟 如何确定一个公式的真值呢？
谓词公式及解释
非逻辑符号:个体常元、函数符号、谓词符号 逻辑符号:个体变元、量词符号、联结词、逗号、 括号。
项的定义：个体常元与变元及其函数式为项。
(1)个体常元和个体变元是项。 (则2)若(t1,(tx2,1…,x,2,t…n)是, x项n)是。n元函数,t1,t2,…tn是n个项， (3)有限次使用(2)得到的表达式是项。 原子公式：
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ｌ ）＝（ × ： …× ）Ｅ （ ｌ × （）ｍ＝１ ， ， ， …） ２ 被称为｛ ｝ 的无限积． ： 概率测度空间（ Ａ 简 ，，）
收 稿 日期 ： ０ ８０ —６ ２０ －１１ 作者简介 ： 晓燕 （９ １ ） 女 ， 秦 １８ 一 ， 山西 临汾人 ， 山西师范大学 数学与 计算机科 学学 院助教 ， 硕士 ， 主要从 事非 经典数理 逻辑 方 面 的研 究 ．
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山西师范大学学报 （ 自然科学版 ） 第２ ２卷第 ２期 ２０ ０ ８年 ６月
Ｊ ｕ ａ ｆＳ ａ ｘ ｒ ｌＵ ｉｅｓｔ ｏ ｒｌ ｏ ｈ ｎ ｉＮｏｍａ ｎｖ ｒｉ ｎ ｙ
Ｎ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｏ ａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｉ Ｖｏ ． ２ Ｎ ， １２ ｏ ２
∈ ， 使得 ）＝ （ （ 后＝１２ …） 因此 ， ，， ． 在 与 之间存在一一对应的 ， 中 ． 其 （）＝
Ｊ ｎ ，２ ０ ｕｅ ０８
文章编 号 ：０ ９４ ９ （０ ８ ０ －０ ５０ １０ － ０ ２ ０ ）２０ １ －３ ４
有 限解 释 下 一 阶 谓 词 公 式 的相 对 真 度
秦 晓燕 焦 淑 云 ，
（．山西师范大学数学与计算机科学学院， １ 山西 临汾 ０ １０ ； ． ４０４ ２ 信阳师范学院数学与信息科学学院， 河南 信阳４４０ ） ６００ 摘 要： 本文在二值谓词逻辑系统 中引入一类特殊 解释 ， 即论域有 限的解释 ， 给出了一阶谓词 公式 Ａ的
相对 于某一个 特定解 释下的相对 真度定义 ， 并证 明了与命题逻辑 系统的真度理论相对应 的某 些结论 ， 如 Ｍ Ｐ规 则与 ＨＳ规则． 本文为建 立一 阶谓词 公式 的绝对 真度 ， 进而建 立谓词逻辑 系统 中的近似推理理 论 提供 了理论基础 ． 关键词 ：有限解释 ； 概率测度 空间 ； 相对真度 ；Ｍ Ｐ规则 ；Ｈ 规则 Ｓ
统 中的近似 推理 理论提 供 了理论 基础 ．
设 是 不 含 函数 符号 的一 阶语 言 （ 是合 理 的 ， 文献 ［０ 这 在 １ ］中证 明 了这 种语 言 的一般 性 ）Ｍ ＝（ ， ， Ｄ
（ ） ， ）） Ｐ （ 是 的一个解释 ， 中Ｄ 是一个非空集 ， 其 称为解释 的论域 ； 是与谓词符号 Ｐ Ｐ 对应的Ｄ 上
中 图分 类 号 ： １ １ １ ０ ４ ．２ 文 献 标 识 码 ：Ａ
１５ ９２年 Ｒ ｓ ｒ Ｔ ｒ ｕｔ 出 区分 二值 命题 逻辑 中公 式 的可靠 程度 思想后 ， ｏｓ 与 ｕｅ ｔ ｅ ｑ ｅ提 多年来 许多 学者从 不 同 角度研 究 了这一 论题 ～］２０ 王 国俊教 授在 文 ［ ］ ．０ ２年 ８ 中就 二 值命 题 逻 辑 中 的公 式 给 出 了公式 真 度 的一 个 精确 刻 画 ， 随后 文 ［ ］ ９ 又基 于类 似方 法在 某些 ｎ一 题逻 辑 中给 出 了公 式真 度 的刻 画． 值命 但对 于谓 词逻辑 而言 ， 即使 是最 简单 的一 阶谓词 逻辑 ， 式真度 的刻 画 问题 要 复杂 的多 ， 是 因为 谓词 逻 辑 中一 阶 语 言解 公 这 释 的任 意性 ， 它超 出了集 合 的范 围 ， 以上 述 方法并 不 适用 于 谓词 逻 辑． 文 尝 试 在论 域 非 空有 限 的解 释 所 本 下建立 二值 谓词 逻辑 中公式 的相 对 真度理 论 ， 而 为建 立一 阶谓 词公式 的绝 对真 度 ， 而 建立谓 词 逻辑系 从 进
的关 系 ； 是与个 体 常元 ｃ 对应 的 Ｄ 中的元． 在 中的赋 值 ： Ｄ 是 从 的项集 到 Ｄ — Ｍ 的一 个 映射 ， 且 满足 （ ）＝ ，（ ｃ ）∈Ｄ ， 中 ｃ 其 为个 体 常元 ， 为变 元 ， Ｖｔ Ｔ ｔ 且 ∈ ，为个 体常 元或 变元． 本文 记全 体谓 词公 式 之集 为 Ｆ， 体 在 中的赋值 之集 为 ，又 记全 体变元 集 为 Ｓ， 体论 域 为非空 有 限集 的解 释 之 全 ． 全 类 为 ， Ｖ ∈ ， 且 若 满足公 式 Ａ， 为 ｌ 记 ｌ ｌ ｌ Ａ
势 为 Ｉ Ｉ Ｄ ＿
＝ １否则 记为 ｌ ； ｌ ｌ ｌ Ａ
＝０ 记非 空有 限论域 Ｄ ． Ｍ的
，
１ 相对真度 的定义
定义 １ 设 （ ， ） 概率 测度 空 间 ， 中 是 Ｘ 上 的概 率 测度 ， 是所有 一 Ａ， 是 其 Ａ、 可测子 集之 族
ｎ＝１ ，， ． ＝兀 ， ， ３…）假定 ２ 则兀Ａ产生一个 上的ｏ 代数Ａ且存在 上惟一的测度 使得：ｉ ｒ 一 ， 上 有 一 测 集族；ｉ若Ｅ 是 所 可 子 （） 是兀Ｘ 上的 个可 集， ｉ 一 测子 则Ｅ×兀 Ｘ是 一 可测的， Ｅ× 且 （
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１ ６・
山 西师 范大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
２０ ０ ８年
记 为 ・
∞
设 ∈ 令 ＝ 是 上的均匀分布概率测度（ ，，， ． ＝ｌＸ ， 是｛ ｝ 。 吩， Ｄ ， ｎ＝１ ３…）令 ２ ｌ ：
ｎ＝ １
的无 限积． 由于 在 中的赋值 由 口 ｓ上 的 限制 Ｉ 在 ｓ而定 ， 以设 ∈ 所
，（ （ ｖｘ ）＝ 后＝ １２ …） ，， ，
则有惟 一 的 ＝ （。 ， ， ， ， … …）∈Ｘ Ｍ与之对应 ； 过来 ， 反 若 ＝ （。 ， ， ， ）∈Ｘ 则 存在 惟一 的 ， … … ，