高考复习：直线与圆

第八部分.平面解析几何
解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门科学，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题，解决问题的思路往往比较简单，而概念公式多、规律性强、运算过程往往比较复杂、对运算能力、恒等变形能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高，特别是新课程标准实施以来，向量、导数作为一种重要的数学工具渗透到解析几何中，使得题型在变，解题方法也在不断创新，这里要注意通性通法，淡化特殊技能技巧，努力提高定势思维能力.掌握解析几何的常用方法：解析法、数形结合法、待定系数法，体会转换法、特殊值法、设而不求法、函数与方程思想、设元的技巧，运算的技巧，从而简化、优化解题过程和方法，进一步提高综合能力。

第一讲 直线与圆的方程
一.高考要求：
(1).直线是最简单的几何图形,是解析几何最基础的部分,考查重点:(1).与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题；(2).直线的平行和垂直；(3).与距离有关的问题等；
(2).圆是解析几何的重要内容,曲线模型相对独立,命题形式多样,考查重点：(1).圆的基本构成要素；(2).圆的方程；(3).直线与圆的位置关系（4）圆与圆的位置关系；
解析几何小题注重对概念、标准方程、及基本量的考查，试题中等偏易；而大题则注重与其他知识如函数、导数、不等式、平面向量等综合,考查数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想的理解能力、综合运用知识的能力，学生感到比较棘手.
(3).中心对称与轴对称问题虽然在《考试大纲》中没有提及，但却是高考的重点，复习时应很好地掌握.
二.答题策略
1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(倾斜角、斜率、截距)等问题，对于斜率问题一要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的取值范围，三.要注意借助正切函数的图象和性质. 如(1).直线x cos θ＋y －1＝0(θ∈R )的倾斜角的取值范围是
2.求直线方程的基本方法是：直接法或待定系数法，除直线方程的一般式外其他方程都有特定的限制条件和各自适用的范围，要防止“零截距”和“无斜率”照成的丢解！如过圆外一点求圆的切线方程或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时；又如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”，“截距互为相反数”，“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m 倍（m ＞0）”等。

通用的解决方法是待定系数法；根据所给条件选择恰当的方程形式是解题的关键；克服各类方程局限性的手段是分类讨论；开阔思路分析问题的措施是数形结合，含参数的直线方程问题用数形结合法常常简捷些.
如(2).过点)1,2(--P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 .
如(3).过点(2,1)且与坐标原点的距离为2的直线方程是 .
如(4).若直线mx+y+2=0与线段AB 有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，则实数m 的取值范围是 另外. 对直线方程的一般式Ax+By+C=0的要求A,B 不能同时为零；过一定点P 作直线与两定点A 、B 的距离相等的直线有两条，易忽视过AB 中点的直线；已知两直线关于某条直线对称，求这条对称直线也有两条！可使用轨迹法求解.
如(5).过点P(1,3)作直线l ，且点M(2,3),N(4,5)到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为
如(6)两直线y =
3
3x 和x =1关于直线l 对称，直线的l 方程是___________ 如(7).若直线ax+2ay+1=0和(a-1)x-(a+1)y-1=0相互垂直,则a 的值为 .
3.圆有标准方程和一般方程两种，常用求法是直接法或待定系数法，处理直线与圆的位置关系问题有几何法和代数法(首选几何法)，结合圆所具有的几何性质数形结合常常能使解题过程简化，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长之半组成直角三角形”，相交弦定理、切割弦定理、两圆相交，连心线垂直平分相交弦、弦切角定理、若四边形ABCD 对角互补，则A 、B 、C 、D 四点共圆等.但当几何法无法解决时需要用代数法处理，常用方法是借助韦达定理，设而不求，整体处理.
4.对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称，中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具. 三．重点、难点、热点突破
1.求直线的方程.
例1.在△ABC 中，BC 边的中点为M(2
125，-),直线AC 的方程为x+1=0，直线AB 的方程为x+y-1=0,求直线BC 的方程。

例2.已知点P(6,4)与直线1l ：y=4x,直线2l 过点P 与直线1l 相交于第一象限内的点Q ，且与x 轴的正半轴交于点M ，求使△OMQ 面积最小时直线2l 的方程.
2.求圆的方程
例3.一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.
例4.一个圆和已知圆x 2+y 2
-2x=0外切，并与直线l ：x+3y=0相切于点M(3,-3),求该圆的方程.
3.直线与圆的位置关系
例5.已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点,且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），
求该圆的方程.
例6.已知圆2225x y +=，ABC ∆内接于此圆，A 点的坐标(3,4)，O 为坐标原点．
（1）若ABC ∆的重心是5(,2)3G ,求直线BC 的方程；
（2）若直线AB 与直线AC 的倾斜角互补，求证：直线BC 的斜率为定值．
例7. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆x 2+y 2-12x+32=0的圆心为Q ，过点P （0，2）且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B 。

(1).求k 的取值范围；
(2).是否存在常数k ，使得向量OB OA +与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由。

三.强化训练 1.函数y=asinx+bcosx 的一条对称轴为x=4
π,则直线ax-by+c=0的倾斜角为 . 2.过点(5，2)，且在x 轴上截距是在y 轴上截距的2倍的直线方程是
3.不过原点的直线l 是曲线y=lnx 的切线，且直线l 与x 轴y 轴的截距之和为0，则直线l 的方程为
4.“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的 条件.
5.“a ＝3”是直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行的 条件.
6.已知ABC ∆的顶点坐标为A(4,3) ,B(5,2),C(1,0).则ABC ∆外接圆的方程为 .
7.圆心在直线2x-3y+5=0上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 .
8.若直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a=
9.若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是
10.直线过点A （3，2）且被0103:1=+-y x l 和082:2=--y x l 所截的线段恰以A 为中点， 求直线l 的方程.
11.直线l 过点P(2,1)，且分别与x,y 轴的正半轴于A,B 两点，O 为原点.
求(1).AOB △面积最小值时l 的方程，
(2). |PA|∙|PB|取最小值时l 的方程.
12.已知点O 为坐标原点，圆C 过点(1, 1）和点(－2 , 4），且圆心在y 轴上.
（Ⅰ）求圆C 的标准方程；
（Ⅱ）如果过点P(1, 0)的直线l 与圆C 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围；
（Ⅲ）如果过点P(1, 0)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，且|AB |＝32，试求直线l 的方程.
13.已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线l 1过定点A (1，0).
（Ⅰ）若l 1与圆C 相切，求l 1的方程；
（Ⅱ）若l 1的倾斜角为45°，l 1与圆C 相交于P ，Q 两点，
求线段PQ 的中点M 的坐标； （Ⅲ）若l 1与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 并求此时直线l 1的方程.
14.已知⊙C 过点)1,1(P ,且与⊙M :(x+3)2+(y+3)2=r 2(r>0)关于直线x+y+3=0对称.
（Ⅰ）求⊙C 的方程； （Ⅱ）设Q 为⊙C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅ 的最小值；
（Ⅲ）过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标
原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?说明理由.
15.已知圆M ：2342222=-+y y x ,直线l 0：x ＋y ＝8 上一点A 的横坐标为a , 过点A 作圆M 的两条切线l 1 , l 2 , 切点分别为B ,C.
（Ⅰ）当a ＝0时，求直线 l 1 , l 2 的方程；
（Ⅱ）当直线 l 1 , l 2 互相垂直时，求a 的值；
（Ⅲ）是否存在点A ，使得BC 长为10？若存在，
求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由.。