高二数学数列2(1)

（2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款 数额相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1 个月第2次付款……购买后一年第12次付清.那么每 期应付款多少元？ 主要思路：
思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零. 思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑.
思路3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑.
第一题提示：
(1)n次之后溶液的浓度为： 3 n 1 3 n 1 3 n 2 3 1 ( ) r % p % [( ) ( ) ( ) 1] 4 4 4 4 4 3 n p % ( p r )% ( ) . 4 3 n pq (2)由p % ( p r )% ( ) q %, 解得n log 3 . 4 pr 4
第20年末木材存有量为 5 20 5 1 5 2 5 19 a ( ) x[1 ( ) ( ) ( ) ] 4 4 4 4 5 20 1 [1 ( ) ] 5 20 4 a ( 5 ) 20 4 x ( 5 ) 20 4 x a( ) x 5 4 4 4 1 4 5 20 依题意( ) 86.74且 4 86.74a 4 86.74 x 4 x 4a 解之得x 0.24a
则
x x x x 1 2 3 12 1.01 1.01 1.01 1.01
以下同解法一.
例5（1996年全国高考试题）某地现有耕地10000公顷， 规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有 量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕 地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷， 设1.0110=1.1045） [ [分析 解] ]这是一个实际应用问题.由于考虑的是人口平均 增长率，因此每年年底的人口总数组成一个等比数列， 设耕地每年至多只能减少x公顷，那么10年后耕地面积 而每年年底的耕地数组成一个等差数列. 为（10000-10x）公顷. 设该地区现有人口为P，那么10年后人口为P· （1+1%）10. 设现在粮食单产为M吨/公顷，那么10年后粮食单产为M （1+22%）吨/公顷.
（1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后…… 一年后顾客欠商场本利和 . [解] 1个月后欠商场本利和：1+1×1%=1×(1+1%)=1.01万元,
2个月后欠商场本利和:1.01×(1+1%)=1.02万元,
3个月后欠商场本利和:1×1.013=1.03万元,
பைடு நூலகம்……
一年后欠商场本利和:1×1.0112=1.13万元.
第三题提示： 甲方案 10年共获利
10 1 . 3 1 9 1 (1 30%) (1 30%) 42.63. 1.3 1 扣除贷款本息净收益为 ： 42.63 10(1 10%)10 16.7万元. 乙方案10年共获利 10(1 5.5) 1 1.5 (1 9 1.5) 32.5, 2 到期时，银行贷款本息 为 10 1 . 1 1 1 (1 10%) (1 10%) 9 15.94, 1.1 1 净收益32.5-15.94=16.6万元 所以甲方案优于乙方案.
由1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x=0 得x + 1.01x +……+1.0110x + 1.0111x = 1.0112
1 (1 1.0112 ) 即x 1.0112 1 1.01
1.0112 0.01 1.13 0.01 x 0.087 12 0.13 1.01 1
思路3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑.
[解法3] 货款初为1万元. 设每期付款x元,则
x 万元， 第1期所付的x元,在货款初只值 1.01 x 万元， 第2期所付的x元,在货款初只值 2 1.01 x 万元， 第3期所付的x元,在货款初只值 3 1.01 …… x 万元. 第12期所付的x元,在货款初只值 12 1.01
答：每年的砍伐量最大 值为0.24a.
例4.顾客从商场购买一台售价为1.25万元的电脑， 采用分期付款的方法，先付款(也称首付)0.25万元， 余款以后再付，但要支付利息.如果按月利率1%,每 月利息按复利计算(即每月利息记入下月本金) （1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后…… 一年后顾客欠商场本利和 . （2）余额也采用分期付款的方法， 要求每期付款数额相同，购买后 第1个月月底第1次付款，再过1个 月第2次付款……购买后一年第12 次付清.那么每期应付款多少元？
关系，便于确定模型的类型（等差或等比）；
弄清项与项数的关系，便于确定计算公式；遇
到问题按等比增长时，对次数的理解要准确.
例1.（1994年全国高考试题）某种细菌在培养过程 中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3 小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个 [分析]由题意，这种细菌原有的个数，经过20分钟， 40分钟，60分钟，…分裂后的个数分别为1，2，22， 23，… .这是一个等比数列，公比为2.因此经过3小时， 这种细菌的个数为a10=1· 210-1=29=512.故本题应选B.
[说明]此类问题切忌硬套类型、公式.要注重对问题 分析过程的思考（这里即细菌个数随时间变化的规律 的考察），这样即使不套用等比数列的公式，也会得 出29 的结果.
时间
细菌个数
经过1个20分钟 经过2个20分钟 经过3个20分钟
2=21 4=22 8=23
……
经过3小时
……
29 =512
例2.有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地 上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时； 但它们是每隔相同的时间投入工作的，每一台投入工 作后都一直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割时 间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片土地 上的小麦需用多少时间？
pq 1 当 log 3 .为自然数m，则至少要进行 m次操作； pr 4

pq 2 当 log 3 . (m, m 1), 其中m为自然数， pr 4

则至少要进行 m 1次操作.
第二题提示： 96年底沙漠化土地面积为:(25200-x) · 1.04;
97年底沙漠化土地面积为: [(25200-x) · 1.04-x] · 1.04 =25200· 1.042-x(1.042+1.04);
由②得，a1+a2+…+an=24n,
n(a1 a n ) 即 24n, 也就是a1 a n 48. ③ 2
由①、③联立方程组得，
a1 5a n a1 a n 48 .
解之得，a1=40，an=8.
答：用这种方法收割完这片土地上的全部小 麦需用40小时.
5 [解][分析 ]木材的增长率是一个等比数列的问题， 第一年末木材存有量为 a(1 25%) x a x 4 翻几翻问题也是等比数列问题，原来 a ，翻一 第二年末木材存有量为 翻2a，翻两翻4a，依次类推.
思考题：
1 1.已知一容器装有浓度为 r %的溶液a克，倒出溶液的 后， 4 a 再向溶液中注入浓度为 p%的溶液 克，进行搅拌，如此 4 继续下去，问： (1)第n次操作后溶液的浓度是 多少？ (2)今需得到的溶液浓度不 小于q%，至少要进行多少次上 述操作？（p q r）
思考题： 2. 环境问题严重危害人民群众身心健康，也直 接影响着北京举办2008年奥运会.2000年我国北方 地区发生的多起沙尘暴，主要是由于土地沙漠化 引起的.据调查，沙漠化土地面积每年以4%的速度 递增.北京市以北地区1995年底有沙漠化土地面积 25200亩，计划从1996年起每年在沙漠上种植相同 面积的树木，以改造沙漠为森林，计划在2007年 年底前完成对沙漠的改造任务，问每年至少植树 多少亩？(1.0412=1.601)
思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零.
[解法1] 设每月付款x元，
1个月后欠 1· （1+1%）-x=1.01-x
2个月后欠 （1.01-x） · 1.01-x=1.012-1.01x-x
3个月后欠（1.012-1.01x-x） · 1.01-x =1.013-1.012x-1.01x-x …… 12个月后欠1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x
由x + 1.01x +…+ 1.0110x + 1.0111x = 1.0112
1 (1 1.0112 ) 得x 1.0112 1 1.01
1.0112 0.01 1.13 0.01 x 0.087万元. 12 0.13 1.01 1
答：每月还870元.
……
2007年底沙漠化土地面积为: 25200· 1.0412-x(1.0412+1.0411+…+1.04). 答案：每年至少植树2582亩.
思考题：
3.银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后 即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.现 在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案— 一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后 每年比上一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1 万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年 增加5千元.两种方案使用期限都是10年，到期一 次性还本付息.若银行贷款利息均按年利息10%计 算，试比较两种方案的优劣（计算时，精确到千 元，并取1.110≈2.594,1.310≈13.79）
[分析]依题意，这些联合收割机投入工作的时间组成 一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间 等于第一台收割机所需要的时间，即求数列的首项.
解：设从每一台工作起，这n台收割机工作 的时间依次为a1，a2， … an小时， 依题意，{an}是一个等差数列， 1 且每台收割机的工作效 率为 ，则有 24 n ① a1 5a n an a1 a2 ② 24n 24n 24n 1.
(a 5 5 5 5 x) x a ( ) 2 x(1 ) 4 4 4 4
例3.某林场原有木材量为a，木材以每年 25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的 木材量为x，为了实现经过20年达到木材 存有量翻两翻，求每年砍伐量x的最大值. （设1.2520=86.74）
第三年末木材存有量为 ： 5 3 5 5 2 5 2 5 5 a ( ) x [ 1 ( ) ] [a ( ) x(1 )] x 4 4 4 4 4 4
北师大版高中数学必修5第 一章《数列》
法门高中姚连省制作
数列的应用
与数列有关的应用题大致有三类： 一是有关等差数列的应用题；
二是有关等比数列的应用题；
三是有关递推数列中可化为等差、等比数列的问题.
数列的应用
解决有关数列的应用题与解决其它应用题 相似的是要认真理解题意（可以通过列表、画
图等来加强对题意的理解），弄清各项之间的
M 104 现在人均粮食占有量为 , P M (1 22%) (104 10x) 10年后人均粮食占有量为 , 10 P (1 1%) 依题意列不等式：
M (1 22%) (104 10x) M 104 (1 10%) 10 P P (1 1%) 1.22 (104 10x) 即 11000 , 1.1045 11 11045 3 x 10 4.1. x 4. 122 答：按规划耕地平均每年至多只能减少4公顷.
答：每月还870元.
思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑.
[解法2] 商品购买1年后货款全部付清时
货款增值为1×1.0112万元. 设每期付款额为x万元 第12期付款x万元时,没有增值,还是x万元， 第11期付款x万元,经过1个月增值为x· 1.01万元， 第10期付款x万元,经过2月增值为x· 1.012万元， …… 第1期付款x万元,经过11月增值为x· 1.0111万元.