02数字信号处理2

k=
x(k) zk =zmX(z)
一般收敛区不变，也有特例。
例2-11
x(n)= (n) X(z)=1
0 ≤ z ≤ 0 ≤ z < 0 <z≤
x(n+1)=(n+1) X1(z)=z x(n1)=(n1) X2(z)=z1
3、单边z变换的位移性
e
z = z ej0
cos(0n)u(n)= 1 (ej0n+ ej0n) u(n) 2
1 2
z z + j 0 z ej0 z e
z(z cos0) = 2 z 2z cos0+1
z>1
sin(0n)u(n)= 1 (ej0n ej0n) u(n) j2
1 A= 1az1 1 W(z) = 1a
1 = z 1 = 1 1 a
1 B= 1 z 1
a = z1 = 1/a 1a z>1
1 a 1z1 1az1
1 (1 an+1 ) u(n) w(n)= 1 a 应用：求离散系统的零状态响应。 x(n) X(z) y(n)= x(n) h(n) h(n ) H(z) Y(z) =X(z)H(z)
RX<z< RX+
x (n)z n 交换运算次序 nx(n) zn1


d n z = x(n) dz n=
n=
= n=


= z1 nx(n) zn = z1 Z[nx(n) ]
利用
z x(n)=u(n) X(z) = z 1
z>1
(z1) 1 z d z nu(n) z = z = 2 dz z 1 (z 1) (z 1)2 z(z+1) d z z = dz (z 1)2 (z 1)3 z2 z z (n 1)u(n)= nu(n)u(n) = 2 z 1 (z 1)2 (z 1) n 2u ( n ) 2z z ( z+ 1) z = n(n 1)u(n)=n2u(n)nu(n) 3 3 2 ( z 1) (z 1) (z 1)
(1) 若序列x(n)的单边z变换为 x(n)u(n) X(z)
则序列左移后单边z变换为 x(n+m) u(n) zm X(z) x(k) zk
k=0
m 1
m >0
证明 Z[x(n+m)u(n)]=

n=0


x(n+m) zn
令n+m=k
= x(n+m) z(n+m) zm
n=0
两式相乘得到z平面的收敛区为：
RXRY <z< RX + RY +
证明 W(z) =Z[x(n)y(n)] 将
= x(n)y(n)zn
n=

(1) 代入(1)
1 x(n)= j2 W(z) =
c
X(v)vn1dv
RX<v< RX+
n=


1 j2
c
Z{Re[x(n)]}= Z Z{jIm[x(n)]}= Z
1 1 [x(n)+x (n)] = [X(z)+ X(z)] 2 2 1 [x(n)x(n)] 1 [X(z) X(z)] = 2 2
7、初值定理 条件——因果序列 证明 X(z)= x(0)=lim X(z)
z→
(2.4-10)
k=m
序列右移后单边z变换的示意图如图2-7所示。
1
x(n )
X(z)
0
n
1
x(nm) u(n) zm X(z) 图2-7 n
加
0
特别的，
x(n1)u(n) z1 X(z)+x(1 ) x(n2) u(n) z2X(z)+z1 x(1)+zx(2)
(3) 若x(n)为因果序列
1 例2-13已知 x(n)=u(n) X(z)= 1 z 1 y(n)=an u(n) 1 (a<1) Y(z)= 1az1
z>1
z > a
求 w(n)= x(n) y(n) 1 1 解 W(z) =X(z) Y(z) = 1z1 1az1 A B = 1z1 1az1
n→
z →1
(2.4-11)
9、时域卷积定理
已知 x(n) X(z)
y(n) Y(z)
RX<z< RX+ RY<z< RY +
若 则
w(n)= x(n) y(n)
W(z)=X(z)Y(z) R<z<R+ R+ =min[RX +， RY+ ]
其中 R=max[RX ， RY ]
z>max[e0， e0 ]
2、双边序列移位 若 则 证明 x(n)X(z) RX<z< RX+
x(n+m)zmX(z) Z[x(n+m)]=

RX<z< RX+


n=
x(n+m) zn
= x(n+m) z(n+m) zm
n=
令n+m=k ，代入上式 Z[x(n+m)]= zm
计算一般用留数法（作复变函数积分困难），即 W(z) = Res[X(v) Y(z/v)v1, ak] 其中ak是v平面上X(v) Y(z/v)v1在围线c内的全部极点。 应用时必须正确确定哪些极点位于积分围线内。
§2.5 z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 傅里叶变换、拉普拉斯变换以及z变换是在此之前学 习过的三种变换。下面讨论这三种变换之间的内在联 系与关系。 要讨论z变换与拉普拉斯变换的关系，先要研究z平面 与s平面的映射（变换）关系。§2.1节通过理想采样 将连续信号的拉普拉斯变换与采样序列的z变换联系 起来，引进了复变量z，它与复变量s有下面的映射
X(v)vn1dv y(n)zn 交换积分、求和次序
1 X(v)v1 = j2 c
n=


y(n)(z/v)n dv RY<z/v< RY+
1 X(v)v1 = j2 c 1 = j2
n=


y(n)(z/v)n dv
R<v<R+
c
X(v)Y(z/v)v1dv
关系
z=esT
1 或s= lnz T
式中T是采样间隔，对应的采样频率s=2/T 。 为了更清楚地说明(2.5-1)式的映射关系，将s=+j 代入(2.5-1)，得
z=esT =e(+j)T = rej
因此得到 r=eT (2.5-2)
= T
式中是数字域频率。
由(2.5-2)式具体讨论s与z平面的映射关系。 (1)s平面的虚轴(=0)映射到z平面的单位圆ej ， s平面 左半平面(<0)映射到z平面单位圆内(r=eT <1) ； s平面右半平面(>0)映射到z平面单位圆外(r=eT >1)。 (2) =0时， =0，s平面的实轴映射到z平面上的正 实轴。 s平面的原点( = =0)，映射到z平面单位
6、复序列的共轭
若
则 x(n) X(z) x(n) X(z)
n=
RX<z< RX+
RX<z< RX+
n=
证 Z[x(n) ]
应用
n = x (n ) z =

[x(n)(z)n]
=[ x(n)(z)n] =X(z)
n=
10、序列相乘——复卷积定理
(2.4-13) 若w(n)= x(n) y(n) 则 1 W(z) = j2
c
X(v)Y(z/v)v1dv
R<v<R+
R=max[RX ,z/RY + ]<v<min[RX + ,z/RY ]=R+ 其中c是v平面收敛区内一条逆时针封闭曲线 即由 RX<v< RX + RY<z/v< RY +
X(z)= X1(z) + zN X1(z) + z2N X1(z) + = X1(z) (1+ zN + z2N +)
= X1(z)
zmN
m=0

1zmN = X1(z) lim m→ 1zN
1 zN = X1(z) = X1(z) N 1 z zN 1
n=0

x(n)zn =x(0)+ x(1)z1 + x(2)z 2 +
对等式两边取极限
z→
lim X(z) =lim[x(0)+ x(1)z1 + x(2)z 2 + ] = x(0)
z →
8、终值定理
若x(n)是因果序列、除单位圆上可有一个z=1的一阶
极点外，其余极点均在单位圆内。则 lim x(n)=lim (z1) X (z)
利用
z x(n)=u(n) X(z) = z 1
z>1
1z a z n 1 a x(n) X(a z)= = 1 a z 1 z a
a1z>1
+ j0 z) ej 0nu(n)X(e
=
e
j + 0
+ j0
z > a
z z 1 z>1
z(z cosh0) = 2 z 2z cosh0+1 z>max[e0， e0 ]