21.1 一元二次方程 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第21章21.1 一元二次方程
21.1一元二次方程一、教学目标【知识与技能】1.通过设置具体问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念得到一元二次方程的定义；2．一元二次方程的一般形式及其有关概念.【过程与方法】了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.【情感态度与价值观】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．二、课型新授课三、课时第1课时，共1课时。
四、教学重难点【教学重点】通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．【教学难点】一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．五、课前准备多媒体课件六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）教师问1：观察图片。
要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？学生回答：设雕像下部高x m，依题意得方程x2=2(2-x),整理，得x2+2x-4=0.教师问2：上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？（二）探索新知探究一一元二次方程的概念见教材第2页问题1.(出示课件4)有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm，则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?【讨论结果】(出示课件5)设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.见教材2~3页问题2.(出示课件6)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？教学过程中,教师可设置如下问题:(1)这次排球赛共安排场;(2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它个队各赛一场，这样共应有场比赛；(3)由此可列出的方程为，化简得.教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.【讨论结果】（课件6展示）设应邀请x 个队参赛，通过分析可得到12·x ·（x-1）=28,化简，得x 2-x=56，即x 2-x-56=0.观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：(出示课件7)（1）方程各项都是整式； （2）方程中只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2. 【归纳结论】(出示课件8)一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.想一想21109000x x --=是一元二次方程吗？（出示课件9）共同总结：不是.等号左边含有分式；化简整理后，未知数的最高次数为3次.例1 下列选项中，关于x 的一元二次方程的是（ ）(出示课件10) A.2210x x+= B.3x 2-5xy+y 2=0 C.（x-1）（x-2）=0 D.ax 2+bx+c=0 师生共同讨论，总结如下：方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．三个条件：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足，缺一不可．生1：A 不满足整式方程；生2：B含有两个未知数；生3：C整理结果为x2-3x+2=0，满足三个条件，为正确答案生4：D若a=0，则不满足未知数最高次数为2条件。
(贵州)RJ人教版 九年级数学 上册(教学设计 电子教案)第二十一章 一元二次方程(全单元教案 含反思)
第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x的方程(k＋1)x＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k－1|＝2，k＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝3或k＝－1，k≠－1.∴k＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x2－2＝5x；(2)9x2＝16；(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x2－9x－3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m，则由图可知剩下部分的长为(2－2x)m，剩下部分的宽为(1.4－2x)m.∵剩下部分面积为1.6m2，∴可列方程(2－2x)(1.4－2x)＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解【类型一】判断一元二次方程的解方程x－2x＝0的解为( )A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝12，x2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的x1＝0，x2＝2都能使方程x2－2x＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( ) A．1 B．－1C．0 D．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.21．2.1 配方法 第1课时 直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用(2014·山东济宁中考)若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m －4，则ba＝________.解析：∵ax2＝b，∴x＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴ba＝2，∴ba＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________．解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.第2课时配方法1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究探究点：配方法【类型一】配方用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( ) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【类型二】利用配方法解一元二次方程用配方法解方程：x－4x＋1＝0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝± 3.∴x1＝2＋3，x2＝2－ 3.方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．【类型三】用配方解决求值问题已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求x－2yx2＋y2的值．解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝－2－613＝－813.【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x－4x＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零．(2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等．【类型五】配方法与不等式知识的综合应用证明关于x的方程(m－8m＋17)x＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程．解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0.证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m －4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程．三、板书设计教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式.21．2.2公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋14＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程(a－1)x－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a>2 B．a<2C．a<2且a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x的方程2x＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，由题可得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x＋12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝－b±b2－4ac2a＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x1＝－2，x2＝32.(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x1＝－2＋6，x2＝－2－ 6.(3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x 2＋12x ＋9＝0.∵b 2－4ac ＝0，∴x 1＝x 2＝－32.方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x 2－10x ＋21＝0的解，则第三边的长为( )A ．7B ．3C ．7或3D ．无法确定解析：解一元二次方程x 2－10x ＋21＝0，得x 1＝3，x 2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x ＜8.所以第三边的长x ＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.21．2.3因式分解法1．认识用因式分解法解方程的依据．2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．一、情境导入我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求出(x＋3)(x－5)＝0的解吗？二、合作探究探究点一：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5；(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x －7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解为x1＝5，x2＝7.【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0，则(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解为：x1＝x2＝3.(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解为x1＝167，x2＝43.方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．探究点二：用因式分解法解决问题若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC 的形状．解析：先分解因式，确定a，b，c的关系，再判断三角形的形状．解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a ＝b，∴△ABC为等腰三角形．三、板书设计利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1·x2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则1m＋1n的值为( ) A．－1 B.12C．－12D．1解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，所以m＋n＝12，mn＝－1，1m＋1n＝n＋mmn＝12－1＝－12.故选C.方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( ) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数5，则a的值是( )A．－1或5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a ≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.21．3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一元二次方程1．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理．2．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键．一、情境导入某细菌利用二分裂方式繁殖，每次一个分裂成两个，那么五次繁殖后共有多少个细菌呢？二、合作探究探究点：传播问题与一元二次方程【类型一】疾病传染问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染源”，每个人又传染给了x个人，这样，在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根据等量关系可列一元二次方程解答．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，解之，得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)7×64＝448(人)．答：又将有448人被传染．方法总结：建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键．【类型二】分裂增长问题月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1＋x＋x2＝73，解得：x1＝8，x2＝－9(舍去)．答：每个支干长出8个小分支．三、板书设计教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键．特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数.第2课时平均变化率与一元二次方程1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】增长率问题某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2014年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2，所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型二】利润问题一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.当x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型三】方案设计问题菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解．解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为20%；(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．三、板书设计教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.。
人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程(1)》教学设计
人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析《一元二次方程（1）》是人教版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是后续学习高中数学的基础。
通过本节的学习，学生能够了解一元二次方程在实际生活中的应用，培养其解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程有一定的了解。
但在解一元二次方程方面，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步掌握一元二次方程的解法。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，培养学生探究问题的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，合作解决问题。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、教学辅助材料等。
2.学生准备：课本、练习本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义，呈现一元二次方程的解法，引导学生理解并掌握解法。
3.操练（10分钟）学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。
4.巩固（5分钟）对学生的练习进行讲解，解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程在实际生活中的应用，让学生尝试解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调一元二次方程的定义和解法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些一元二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》一. 教材分析《一元二次方程》是人民教育出版社九年级上册数学的一个重要内容，它标志着学生从简单方程的认识过渡到更复杂的一元二次方程的解决。
本节内容通过实例引入一元二次方程，使学生了解一元二次方程的定义、特点以及解法。
教材通过问题驱动，引导学生探索求解一元二次方程的方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了简单方程的解法、不等式的性质等知识，具备了一定的数学基础。
但一元二次方程较为抽象，学生可能难以理解其定义和解法。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知困难，通过实例和问题引导学生理解和掌握一元二次方程。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义和特点；2.学会求解一元二次方程的配方法、公式法等基本方法；3.能够应用一元二次方程解决实际问题；4.培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和特点；2.一元二次方程的解法；3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实际问题，引导学生认识一元二次方程；2.问题驱动：提出问题，引导学生探索求解一元二次方程的方法；3.小组合作：分组讨论，共同探索一元二次方程的解法；4.归纳总结：引导学生总结一元二次方程的解法，并应用于实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的定义、解法等知识；2.实例材料：准备生活中的实际问题，用于导入和巩固知识；3.练习题库：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于巩固和拓展知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如抛物线与x轴的交点问题，引导学生认识一元二次方程。
通过问题驱动，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义、特点和解法。
通过实例演示和讲解，使学生理解和掌握一元二次方程的基本解法。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同探索一元二次方程的解法。
人教版九年级数学第二十一章21.1一元二次方程教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
a)一元二次方程的定义：强调方程ax^2+bx+c=0（a≠0）中a、b、c的系数条件，以及x的二次方项是核心内容。
-举例：解释为何a≠0是必要条件，以及如何从实际情境中抽象出一元二次方程。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、求解方法以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节一元二次方程的课程后，我思考了一些关于教学过程的问题。首先，我发现学生在理解一元二次方程的定义时，对a≠0这个条件感到有些困惑。在今后的教学中，我需要更加明确地解释为什么a不能为0，可以通过具体的例子来说明这一点，让学生更好地理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一元二次方程的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
d)根的判别式的应用：学生需要理解判别式的意义，并能准确判断方程根的情况。
-难点：对于判别式的符号判断与实际根的情况之间的联系。
-举例：解释Δ=0时方程有一个重根，Δ>0时有两个不同实根，Δ<0时方程无实根。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
人教版九年级上册21.1一元二次方程 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
21.1 一元二次方程教学设计兴业县卖酒镇第二初级中学吴崇清学习目标1．理解一元二次方程的概念；2．掌握一元二次方程的一般式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项．重点难点一元二次方程的概念及其一般式教学过程一、回顾旧知1、什么是一元一次方程？只含有一个未知数（元），未知数次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程。
2、一元一次方程的一般式ax+b=0(a,b为常数，a≠0)二、探究1、有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100-2x）cm ,宽为 (50-2x)cm根据方盒的底面积为3600cm2,得.即：2、正方形桌面的面积是 4 m2，求它的边长？分析：正方形的面积=边长×边长xm3、要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?分析：全部比赛共 4x7=28场设应邀请 x 个队参赛,每个队要与其他（x-1）个队各赛1场由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛(x-1)x=284、观察下列各方程有什么共同点1等号两边都是整式②只有一个未知数③未知数最高次数是25、一元二次方程的概念（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：(a≠0)（3）一元二次方程的项和各项系数是二次项 a是二次项系数是一次项 b是一次项系数 c是常数项反问：为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？三、初步应用1、判断下列方程中,哪些是一元二次方程?（1） (2) (3)（4） (5)2、说出下列方程的二次项系数、一次项系数及常数项解：由原方程得：二次项系数是 1，一次项系数是 -1，常数项是 -56四、小结1、一元二次方程的概念2、一元二次方程的一般式。
一元二次方程 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
,则中间地毯的宽表示为，整理得根据题意，可列方程为整理得知识讲解（难点突破）合作探究（1）4x2 -26 x +22 ＝0 （2）（3）x2 - x -56＝0观察三个方程有什么共同特点？类比一元一次方程，有什么相同之处和不同之处？师生活动：学生先独立思考，然后小组交流，汇报.引导学生得出方程共同特点，并进行板书.【归纳总结】（1）都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）;（2）只含有一个未知数;（3）未知数的最高次数是2.教师追问1：类比一元一次方程的定义，以及对“元”“次”的理解，能不能给以上方程下一个定义？师生活动：学生口答，师生共同归纳出一元二次方程的定义.教师引导学生认识二次项及系数，一次项及系数，常数项.【归纳总结】一元二次方程的概念：等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．教师追问2：为什么要求二次项系数？b和c能不能是？师生活动：学生独立思考并回答，教师进行强调.新知应用例1 判断下列方程，哪些是一元二次方程？师生活动：引导学生根据一元二次方程的定义进行判断，学生独立思考后，进行回答.【解】（1）（2）（3）（4）（7）（8）是一元二次方程．教师追问：要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？师生活动：根据例题先让学生自己独立思考总结，然后小组交流，汇报.引导学生总结出判断是否为一元二次方程的标准.【归纳总结】首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程的等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是.例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2−x=2x2；（2）(a−1)x|a|+1−2x−7=0.师生活动：学生先独立思考，然后同桌交流，教师组织进行展示，然后师生共同总结解决这一类问题的方法.【解】(1)将方程化为一般形式，得,所以当a−2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.(2)由|a|+1=2，且a−1≠0知，当a=−1时，原方程是一元二次方程.【归纳总结】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．例3 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.师生活动：教师先引导学生确定二次项，一次项以及常数项时首先要把方程化为一般式.学生独立思考，学生代表回答.，得；形式为的一个实数根,求的解?。
人教版九年级数学上册：21.1 《一元二次方程》教学设计1
人教版九年级数学上册：21.1 《一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程》是人教版九年级数学上册第21.1节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了方程和不等式的基础上，进一步引导学生学习一元二次方程。
一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是高考中的热点题型。
通过学习一元二次方程，学生可以更深入地理解数学中的代数思想，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数知识有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的概念、解法以及应用可能还存在模糊的地方。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，引导学生逐步理解一元二次方程的内涵，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的概念，了解一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生探究问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，尤其是因式分解法和解的判断。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究一元二次方程的定义、解法和应用。
2.利用多媒体辅助教学，生动展示一元二次方程的解题过程，提高学生的学习兴趣。
3.通过小组讨论、互助学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.安排学生在课前预习一元二次方程的相关内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法来解决这些问题。
从而引出一元二次方程的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示例，向学生介绍一元二次方程的定义、解法和应用。
同时，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，深入理解一元二次方程的内涵。
3.操练（10分钟）教师布置一些练习题，让学生独立完成。
人教版九年级数学上册教案-21.1 一元二次方程2带教学反思
1.课本练习
2 补充：
1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
④3x2- 5 =0 x
第2页共3页
2）.关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 范围________． 3).已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________ 4).关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？ 四、小结归纳 1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一 般形式，并正确指出其各项系数. 2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程 的根. 五、作业设计 必做：P4：1.2.4.6.7 选做：.P29：3.5.7 教学反 思
探究课本问题 2
师生分析概念和一般形式. 二次方程的概念
分析：
学生根据相关概念作答，复 达到共识，从而为
1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？
习巩固.
掌握概念作准备.
2.全部比赛场数是多少？若设应邀请 x 个队参赛，如何用含 x 的代数
学生类比一元一次方程的解 全面理解和掌握
式表示全部比赛场数？
~
第3页共3页
（1）x2-64=0（2）x2+1=0 （3）x2-3x=0 （4） x2 2x 1 0
4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？ 5.排球邀请赛问题中，所列方程 x2 x 56 的根是 8 和-7，但是答案 只能有一个，应该是哪个？ 归纳： ○1 一元二次方程的根的情况 ○2 一元二次方程的解要满足实际问题 三、课堂训练
初中数学_21.1一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
课题：21.1一元二次方程【教学目标】【知识与技能】1.理解一元二次方程的概念；2.了解一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项；3.了解一元二次方程的解（根）；【过程与方法】通过类比与观察，归纳一元二次方程的概念及一般形式；【情感态度与价值观】1. 从实际问题中抽象出一元二次方程，向学生渗透转化思想，在经历数学建模过程中，培养学生解决问题的能力；2. 激发学生兴趣，培养学生自主学习和合作交流的意识。
【教学重点、难点】重点：一元二次方程的概念、一般形式及其有关概念难点：从实际问题中抽象出一元二次方程，向学生渗透转化思想，在经历数学建模过程中，培养学生解决问题的能力。
教学过程：【温故知新】分别指出下面的方程叫做什么方程？(l)3x+4=l ；(2)6x-5y=7；(3)一元一次方程的一般形式是：ax+b=0(a,b 为常数，且a ≠0）设计目的：为下面学习一元二次方程的定义与一般形式做准备，也从而引出本节课。
【走进生活】问题情境：(1) 设计师在设计人体雕像时，一般都考虑到美学角度。
比如下面我们看到的雷锋纪念馆前的雷锋雕像，就符合黄金分割比例：腰部以上AC 与腰部以下BC 的高度比等于腰部以下BC 与全身高度AB 的比.（AC ：BC= BC ：2 ）即：BC 2=2AC根据题意列方程: 整理得: ①师先降低难度,给出明确的等量关系再让学生列出方程，可调动学生的兴趣，师生一起整理，规范步骤，也为下面化成一般形式做铺垫(2) 有一个面积为54 m 2的长方形，将它的一边剪去5 m ，另一边剪去2 m ，恰好变成一个正方形，设剪切后的正方形边长为x ，那么原来长方形长是m ，宽是 3435=-xx42=x 2112xx x =-+-22)2(4+=-x x m ，得方程，整理得 ②. 学生独立思考，指一名学生回答，并板书【观察思考】 (1)方程①②中两边是整式还是分式？(2)方程①②中各有几个未知数？(3)方程①②中未知数的最高次数各是多少？（类比一元一次方程的定义归纳）一元二次方程的定义：注意三方面：【跟踪训练】判断下列方程是否为一元二次方程？（1）3x+2=5y-3 （2） （3）（4） 老师抽号接龙检查设计意图：巩固定义，并为遇到类似（4）方程需整理再判断做要求【再探新知】观察：两个一元二次方程等号左边是一个什么整式，右边？x 2+2x-4=0 x 2＋7x －44 ＝0学生举例：老师也举一个，并让学生整理（目的引导学生明白所有的一元二次方程都可转化为一种形式，为下面归纳一般式做准备）请类比一元一次方程一般形式ax+b=0(a,b 为常数，且a ≠0给上面的方程规定一个一般形式：引出：一元二次方程的一般形式： (a,b,c 为常数，a ≠0） 为什么要限制a ≠0，b,c 可以为零吗？若a=0，则方程变成：若a ≠0时，b=0则方程变为：若a ≠0时，c=0则方程变为：若a ≠0时，b=c=0则方程变为：总结一元二次方程三种特殊形式：介绍一元二次方程一般式中的各部分：二次项及系数： 一次项及系数： 常数项：【赛前热身】在组内互相说一说以上两个一元二次方程 ①②的二次项系数、一次项系数和常数项为后面的抢答比赛做准备，也是对一般形式掌握情况的检测老师采取顺时针检查的形式【学以致用】抢答：指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项2x 2+x +4=0 -4y 2+2y=0 3x 2-x -1=0 4x 2-5=0 关于x 的方程(m-3)x 2-(m-1)x-m=0(m ≠3) 3x(x-1)=5(x+2)说明：要找到一元二次方程的各项系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。
一元二次方程 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
21．1 一元二次方程第 课时 第 周 年 月 日 星期课 题21．1 一元二次方程授课时间教学目标知识与技能 1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.教学重点一元二次方程的概念及其一般表现形式.教学难点从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.教学用具班班通、ppt 教学方法自助探究合作学习教学资源状元大课堂，教师用书教 学 设 计二次备课环节一：复习展标（5-8分钟）（一）复习引入 1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l)3x+4=l； (2)6x-5y=7； 3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”（二）展标解读1. 一元二次方程概念2.一元二次方程一般式及有关概念．3.一元二次方程的根环节二：自主学习：（15-17分钟）（三）自学互学1、阅读教材：P 1-3页，引例，问题1,2 例3问题1:实际操作无盖方盒的折叠过程，启发学生设未知数，列方程并整理问题2：可思考一下问题（1）全场比赛共__________场（2）设邀请X个队参赛，则每个队与其他_________队各赛一场，共赛___________场(3 )由此可列方程________________化简为________________ _______2.互动互助,探究新知（1）这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．（2）一元二次方程的一般形式注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，可化为：x2+5x-150=0． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．【注意】二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了,b，c可为任意实数．(3.)一元二次方程的(四)达标展示: 教材P4 练习1、2复习巩固第3题环节三： 拓展提升（15-20分钟）（五）．能力拓展（一）已知关于X的方程（a-2）x2+ax-3=0(a为常数)（1） 求a为何值时该方程为一元二次方程？求a为何值时该方程为一元一次方程？（二））已知关于X的方程X2-kx-6=0的一个根为X=3则K=____(三)关于X的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是X=1则2013-a-b=（六）巩固提升复习巩固21.1 4 5 6 7。
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
24.1《一元二次方程的概念》教学设计主备人：李诚九年级数学一、教案背景1、面向学生：九年级学生2、学科：九年数学3、课时：1课时4、学生情况：我校是一所城区学校，学生的基础一般，因此针对学生的实际特点和学习经验设计本节教案。
二、教材分析本章的主要内容包括两个方面：1、一元二次方程的基本概念及其解法；2、一元二次方程在实际问题中的应用。
全章共包括三节：一元二次方程、降次——解一元二次方程、实际问题与一元二次方程。
本节以正方体表面积问题、制作方盒问题和做花坛的问题这三个问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，让学生感受一元二次方程这一概念的内涵，并通过提出问题，要求学生观察思考方程中未知数的个数和次数，引导学生联想并类比一元一次方程，以便更好地理解一元二次方程的有关概念。
这样编排，既有利于学生理解并接受新知识，又充分地反映出一元二次方程及其有关概念来源于现实世界，是刻画现实世界的一个有效数学模型。
三、教学任务分析教学目标知识技能1、理解一元二次方程的概念。
2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。
教学思考1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力。
2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性。
3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
解决问题在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
情感态度1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
重点一元二次方程的概念及一般形式。
难点1、由实际问题向数学问题的转化过程。
2、正确识别一般式中的“项”及“系数”。
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
一元二次方程教学目标1、理解一元二次方程的概念，能将一些一元二次方程化为一元二次方程的一般形式。
2、能判断哪些方程是一元二次方程，并能用一元二次方程的概念来解决一些与一元二次方程有关的问题。
3、通过学习培养学生化归的数学思想方法和灵活运用知识解决问题的能力。
教学重点、难点1、一元二次方程的概念的理解。
2、会判断一元二次方程，能用一元二次方程的概念来解决与一元二次方程有关的问题。
教学过程一、复习提问：我们已经学习了哪些方程？（学生回答）二、以课本的问题引入新课问题一有一块长100cm，宽50cm的铁皮，在它的四周各减去一个同样大的正方形，然后制作成一个无盖的底面积为3600cm2的盒子，切去的正方形的边长应为多少？设切去的正方形边长为xcm,则盒底的长（100－2x)cm，宽为（50－2x)cm,据题意得：（100－2x) (50－2x)＝3600,整理得：x2－75x＋350=0 （1）问题二要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要进行一场比赛，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设比赛组织者应邀请x个队参赛,则1/2x(x-1)=28x2－75x＋350=0 和1/2x(x-1)=28显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1） 都是整式方程（2） 只含有一个未知数（3） 未知数的最高次数是2三．归纳一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0 (a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。
其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数，c 叫做常数项四、例题与练习例1 下列方程中哪些是一元 二次方程。
（1）（2）（3） (4)（a,b,c 均为常数）例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （1） 2)2()43)(3(+=-+x x x（2）（x-2）(x+3)=8随堂练习1.将下列方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项（1）2x(x-1)=3(x-5)-4 （2）xx 3222-=2．方程（2a—4）x 2 —2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程?220x xy y ++=263x =210x +=20ax bx c ++=3. 选择题(1)方程（m －1)x 2＋mx ＋1=0为关于x 的一元二次方程则m 的值为＿＿＿A 任何实数B m ≠0C m ≠1D m ≠0 且m ≠1(2).关于x 的方程中一定是一元二次方程的是A. ax 2＋bx ＋c ＝0B .mx 2＋x －m 2＝0 C. (m ＋1)x 2＝(m ＋1)2D.（m 2＋1) x 2－m 2＝0课后练习1.关于x 的方程0)3(2=++-m nx x m （1）在什么条件下是一元二次方程？（2）在什么条件下是一元一次方程？2. 关于x 的方程（2m 2＋m －3)x 2＋1＋5x ＝13 可能是一元二次方程吗？3.若方程kx 3－(x －1)2＝3(k －2)x 3＋1是关于x 的一元二次方程，则k ＝＿＿＿4.K 为何值方程（k 2－9)x 2＋(k －5)x ＋3=0不是关于x 的一元二次方程。
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
课题：一元二次方程（1）设计：李爱霞时间：5 月15日班级：九（1 ）姓名：成绩：【学习目标】1.能理解一元二次方程的概念，并能够辨别一元二次方程各项的系数系数.2.能利用一元二次方程概念解决相关问题.【学习重点】一元二次方程的概念和它的一般形式.【学习重点】对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定.一、情景导入，激发兴趣问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？二、揭示目标，认知导航三、自主学习，解惑质疑1.观察问题1与问题2得到两个方程并对比发现有哪些共同特点？（1）2753500x x-+=；（3）1(1)2x x-＝28．学生活动：请口答下面问题．（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？2.一元二次方程的定义：方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程叫一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式是： .四、互动探究，拓展提升知识点1.一元二次方程的概念（重点）1.下列方程是一元二次方程的有：（1）（2）2y2+3y-2=0 （3）x2+3=3x（4）x2-x=0A. 1个B. 2个C. 3个D.4个知识点2.一元二次方程的一般形式.2．关于x的方程 3x2-2x-1=0的一次项系数和常数项分别是（）A.3,1B.-2,1C.-2,-1D.3,-13.把下列方程化成一般形式，且指出其二次项，一次项和常数项(1)2x(x-5)=3-x (2) (2x-1)(x+5)=6x五、检测评价，激励发展1．下列方程中是一元二次方程的是（）.（A）232=-+yxx（B）122=+xx（C）xx312=+（D）2212xx=-2方程(1)(3)12x x-+=化为20ax bx c++=形式后，a b c、、的值为（）.（A）1、-2、-15（B）-1、-2、-15（C）1、2、-15（D）-1、2、-153.关于x的方程22(4)(2)10m x m x----=，当m时是一元二次方程；当m时是一元一次方程．4.如果(m－2)x|m｜＋mx－1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为多少？2330x xx+=。
21.1.1 认识一元二次方程 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
《21.1一元二次方程》教学设计
一、〖教学目标〗
知识与技能： 1、了解一元二次方程的概念及一般形式；
2、应用一元二次方程概念解决一些简单题目.
过程与方法：通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.
情感、态度与价值观：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情
.二、〖教学重点、难点〗
教学重点：一元二次方程的概念及其一般形式和用这些概念解决问题．
教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
三、〖教学手段〗
PPT课件
四、〖教学方法〗
激趣法、讨论法和总结法相结合。
三、教学过程
⑶＋
场，依题意列方程得：；
-=0。
21.1 一元二次方程 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
1、理解一元二次方程的概念，并利用概念找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。2、能判定一个数是否是一元二次方程的根。
教学方式与策略
所以本节课主要采用游戏互动、启发式、递进式的教学方法，通过“游戏互动--问题情境--数学模型--概念归纳--小组练习”的模式进行教学。本节课借助多媒体辅助教学，提高同学们的课堂参与度。
“教学设计”模板
教学课题
21.1 一元二次方程
学科
初中数学
年级
九年级
时长
1课时
教学背景分析
一元二次方程是中学数学的重要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，不但可以对已经学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等内容进行巩固，同时又为学习第22章二次函数、高中学习可化为一元二次方程的高次方程、一元二次不等式等知识奠定基础。
教学活动设计
活动内容
活动意图
时间分配
判断下列式子是否是方程
复习旧知
1分钟
实际情境列方程
引入一元二次方程的概念
5-8分钟
游戏比赛那些是一元二次方程
巩固一元二次方程概念
3分钟
微课
引入二次项系数、一次项系数和常数项
5-8分钟
挑战答题第一关
调动学生答题积极性
5分钟
挑战答题第二关
随堂检测
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板书设计Βιβλιοθήκη 21.1 一元二次方程1、一元二次方程的概念： 例题1：
（1)只含有一个未知数
（2）所含未知数的最高次数是2 例题2：
（3)是整式方程
2、一元二次方程的一般形式：
，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项）
教学特色与反思
人教版数学九年级初三上册 21.1一元二次方程的概念 名师教学教案 教学设计反思
总结:判断一个数是否为方程的解,可以将这个数代入方程,判断方程左、右两边的值是否相等．
将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、样利用概念判断一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0),特别强调a≠0.
2．一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项．
点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉．
课题
第二十一章 一元二次方程
21．1一元二次方程
教学目标
知识与技能:了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．
过程与方法:会进行简单的一元二次方程的试解；会检验一个数是不是一元二次方程的解．
情感态度价值观:通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点
通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题．
教学难点
一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．
教法
指导教学法
学法
自主学习法
课前准备
教学过程
修订、增减（二次备课）
一、复习旧知
1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？
2．什么是方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式．
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方程概念解决一些简单题目．
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目．
4．态度、情感、价值观
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难点关键
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念
解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概
念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一
丈，问户高、广各几何？”
大意是说：已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各
分析：一元二次方程的一般形式 是 ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（52x）=18 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22． 例 2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成 一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数 项．
是多少？
如果假设门的高为 x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．
整理、化简，得：__________．
问题（2）如图，如果
AC AB
CB AC
，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点．
A
C
B
如果假设 AB=1，AC=x，那么 BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 问题（3）有一面积为 54m2 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好变成 一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意， 得：_______．
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax2 是二次项，a 是二次项 系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
例 1．将方程（8-2x）（5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项 系数、一次项系数及常数项．
2
整理，得：________． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（ 2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）都有 等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次 数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
1
课时划分
本单元教学时间约需 16 课时，具体分配如下：
21．1 一元二次方程
2 课时
21．2 降次──解一元二次方程 7 课时
21．3 实际问题与一元二次方程 4 课时
教学活动、习题课、小结 3 课时
21．1 一元二次方程
第一课时
教学内容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
教学目标
了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次
第二十一章 一元二次方程
单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的， 它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中 数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二 次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识 解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模 型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等． （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元 二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程． （4）通过用已学的配方法解 ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着 讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通过复习八年级上册《整式》的第 5 节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解 一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二 次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解 因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情 景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用 激发学生的学习兴趣． 教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题． 教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别． 教学关键 1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导．