2020天津卷高考数学试题及答案

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2020年天津市高考数学试卷-解析版

2020年天津市高考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，则A∩(∁U B)=()A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3}2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π)−0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为()6.设a=30.7，b=(13A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b7. 设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A. x 24−y 24=1B. x 2−y 24=1C. x 24−y 2=1D. x 2−y 2=18. 已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i2+i =______．11. 在(x +2x 2)5的展开式中，x 2的系数是______．12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值；(Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD =1，CE =2，M 为棱A 1B 1的中点．(Ⅰ)求证：C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅲ)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19. 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3).(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1b n+1,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．20.已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)当k=6时，(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(ⅰ)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9的单调区间和极值；x> (Ⅱ)当k≥−3时，求证：对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2f(x1)−f(x2)．x1−x2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题．进行补集、交集的运算即可．【解答】解：全集U ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A ={−1,0，1，2}，B ={−3,0，2，3}，则∁U B ={−2,−1,1}， ∴A ∩(∁U B)={−1,1}，故选：C ．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解得a 的范围，即可判断出结论．【解答】解：由a 2>a ，解得a <0或a >1，故a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件，故选：A ．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y =f(x)=4xx 2+1，则f(−x)=−4xx 2+1=−f(x)，则函数y =f(x)为奇函数，故排除C ，D ，当x >0是，y =f(x)>0，故排除B ，故选：A ．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出直径落在区间[5.43,5.47)的频率，再乘以样本的个数即可．【解答】解：直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个，5.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．正方体的体对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，所以2R=√(2√3)2+(2√3)2+(2√3)2=6，所以R=3，S=4πR2=36π．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：a=30.7，b=(13)−0.8=30.8，则b>a>1，log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=−b(x−1)，∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴−ba =−b，ba⋅(−b)=−1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2−y2=1，故选：D．【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2<x1)图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D．10.【答案】3−2i【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i，故答案为：3−2i11.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．在(x+2x2)5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵(x+2x2)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r2r x−2r=2r C5r x5−3r，令5−3r=2，得r=1，∴x2的系数是2×C51=10，故答案为10．12.【答案】5【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x−√3y+8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2=d2+(|AB|2)2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2=r2的圆心为(0,0)，半径为r；则圆心到直线x−√3y+8=0的距离d=√1+3=4，若|AB|=6，则有r2=d2+(|AB|2)2=16+9=25，故r=5；故答案为：513.【答案】16；23【解析】【分析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13，则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−12)(1−13)=1−13=23，故答案为：16，23．14.【答案】4【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．由12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b=a+b 2+8a+b，利用基本不等式即可求出．【解答】解：a >0，b >0，且ab =1，则12a+12b+8a+b=a+b 2ab+8a+b=a+b 2+8a+b≥2√a+b 2⋅8a+b=4，当且仅当a+b2=8a+b，即a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号，故答案为：415.【答案】16 ；132【解析】【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， ∵∠B =60°，AB =3， ∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．16.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13，可得sinA = asinC c=2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313，则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513，∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小； (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值；(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．17.【答案】解：以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)，(Ⅰ)证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0，∴C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)依题意，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)，设n⃗ =(x,y ，z)为平面DB 1E 的法向量，则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +z =02x −z =0，不妨设x =1，则n⃗ =(1,−1,2)， ∴cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√66， ∴sin <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1−16=√306， ∴二面角B −B 1E −D 的正弦值√306；(Ⅲ)依题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，由(Ⅱ)知，n⃗ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量， ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√33， ∴直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33．【解析】(Ⅰ)建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明； (Ⅱ)先平面DB 1E 的法向量n ⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅱ)求出cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k 2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k ⋅32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2−3k +1=0，解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．【解析】(Ⅰ)根据可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程； (Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，则1+4d =5d ，可得d =1， ∴a n =1+n −1=n ，∵b 1=1，b 5=4(b 4−b 3)， ∴q 4=4(q 3−q 2)，解得q =2， ∴b n =2n−1；证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n =n(n+1)2，∴S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3)，(S n+1)2=14(n +1)2(n +2)2，∴S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0， ∴S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；解：(Ⅲ)，当n 为奇数时，c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时，c n = a n−1b n+1=n−12n，对任意的正整数n ，有∑c 2k−1n k=1=∑(n k=122k2k+1−22k−22k−1)=22n2n+1−1，和∑c 2k n k=1=∑2k−14knk=1=14+342+543+⋯+2n−14n，①，由①×14可得14∑c 2k n k=1=142+343+⋯+2n−34 n +2n−14n+1，②，①−②得34∑c 2k n k=1=14+242+243+⋯+24 n −14--2n−14n+1， ∴∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n，因此∑c 2k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n2n+1−6n+59×4n −49．数列{c n }的前2n 项和4n2n+1−6n+59×4n−49．【解析】(Ⅰ)分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； (Ⅱ)根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明； (Ⅲ)分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n 项和．本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．20.【答案】解：(I)(i)当k =6时，f(x)=x 3+6lnx ，故f′(x)=3x 2+6x ，∴f′(1)=9， ∵f(1)=1，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=9(x −1)，即9x −y −8=0． (ii)g(x)=f(x)−f′(x)+9x =x 3+6lnx −3x 2+3x ，x >0， ∴g′(x)=3x 2−6x +6x −3x 2=3(x−1)3(x+1)x 2，令g′(x)=0，解得x =1，当0<x <1，g′(x)<0，当x >1，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， x =1是极小值点，极小值为g(1)=1，无极大值证明：(Ⅱ)由f(x)=x 3+klnx ，则f′(x)=3x 2+kx ，对任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1>x 2，令x 1x 2=t ，t >1，则(x 1−x 2)[f′(x 1)+f′(x 2)]−2[f(x 1)−f(x 2)]=(x 1−x 2)(3x 12+k x 1+3x 22+kx 2)−2(x 13−x 23+kln x1x 2)，=x 13−x 23−3x 12x 2+3x 1x 22+k(x 1x 2−x 2x 1)−2kln x1x 2，=x 23(t 3−3t 2+3t −1)+k(t −1t −2lnt)，①令ℎ(x)=x−1x−2lnx，x>1，当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，∴当t>1，ℎ(t)>ℎ(1)=0，即t−1t−2lnt>0，∵x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3，∴x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)>t3−3t2+3t−1−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1，②，由(Ⅰ)(ii)可知当t>1时，g(t)>g(1)即t3−3t2+6lnt+3t>1，③，由①②③可得(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，∴当k≥−3时，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．【解析】(Ⅰ)(i)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(ii)根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；(Ⅱ)要证不等式成立，只要证明(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)−f(x2)]>0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。

2020年天津高考数学试卷及答案

x2 18
y2 9
消去 y ，可得 1,
2k 2 1
x2
12kx
0
，解得
x
0
，或
x
12k 2k 2 1
．依
题意，可得点
B
的坐标
12k 2k 2
1
,
6k 2k
2 2
3 1
．因为
P
为线段
AB
的中点，点
A
的坐
标为
(0,
3)
，所以点
P
的坐标为
6k 2k 2 1
,
3 2k 2 1
．由
3OC
n(n 1)(n
2)(n
3) ，
S2 n1
1 4
(n
1)2
n
2 2
，从而
SnSn2
S2 n1
1 2
(n
1)(n
2)
0
，所以
SnSn2
S2 n1
．
（Ⅲ）解：当 n 为奇数时， cn
3a2)
2n1 n2
2 n 1 n
；当 n 为偶
数时， cn
2n
项和为
4n 2n 1
6n 5 94n
4 9
．
20．（Ⅰ）（i）解：当 k 6 时， f (x) x3 6 ln x ，故 f (x) 3x2 6 ．可得 f (1) 1， x
．
由①②得 3
4
n
c2k
k 1
1 2 4 42
2 4n
2 n 1 4 n1
2 4
1
1 4n
1 1
1 4
2 n 1 4 n1
，从而得
4

2020年天津卷高考数学试题及答案

（Ⅱ）解：因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以．依题意，直线和直线的斜率均存在．设直线的方程为．由方程组消去，可得，解得，或．依题意，可得点的坐标．因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为．由，得点的坐标为，故直线的斜率为，即．又因为，所以，整理得，解得，或．
（Ⅱ）解：依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则即不妨设，可得．
因此有，于是．
所以，二面角的正弦值为．
（Ⅲ）解：依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
18．满分15分．
（Ⅰ）解：由已知可得．记半焦距为，由可得．又由，可得．所以，椭圆的方程为．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分15分）
已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
11．在的展开式中，的系数是_________．
12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
（Ⅰ）解：在中，由余弦定理及，有．又因为，所以．
（Ⅱ）解：在中，由正弦定理及，可得．

2020年天津卷数学高考试题及答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UA B =∩A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A ．10B ．18C ．20D ．365．若棱长为23 A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(2)4A +的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学参考解答一．选择题：每小题5分，满分45分．1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．32i - 11．1012．513．16；2314．4 15．16；132三．解答题 16．满分14分．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=．所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．17．满分15分．依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是sin ,CA 〈〉=n ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为6．（Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ．所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3． 18．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．19．满分15分．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<．（Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==．对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k nn k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑．因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑．所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯． 20．满分16分．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=．令()0g x '=，解得1x =．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+．对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x xx x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故23336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。

(精校版)2020年天津卷数学高考试题(含答案)

2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A． () 2
C． (, 0) (0, 2 2)
D． (, 0) (2 2, )
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共 11 小题，共 105 分．
二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答
18．（本小题满分 15 分）
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的一个顶点为
A(0, 3) ，右焦点为 F
，且| OA || OF
| ，其中 O 为原
点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点 C 满足 3OC OF ，点 B 在椭圆上（ B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以 C 为圆心的圆
[5.45, 5.47),[5.47, 5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间
[5.43,5.47) 内的个数为
A．10
B．18
C．20
D．36
5．若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A．12π
B． 24π
C． 36π
D．144π

2020年天津市高考数学试卷

2020年天津市高考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，B={-3，0，2，3}，则A∩（）=（）A. {-3，3}B. {0，2}C. {-1，1}D. {-3，-2，-1，1，3 }2.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=的图象大致为（）A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31，5.33），[5.33，5.35），…，[5.45，5.47），[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47）内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6.设a=30.7，b=（）-0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A. a＜b＜cB. b＜a＜cC. b＜c＜aD. c＜a＜b7.设双曲线C的方程为-=1（a＞0，b＞0），过抛物线y2=4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）A. -=1B. x2=1C. -y2=1D. x2-y2=18.已知函数f（x）=sin（x+）．给出下列结论：①f（x）的最小正周期为2π；②f（）是f（x）的最大值；③把函数y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数y=f（x）的图象．其中所有正确结论的序号是（）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9.已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）-|kx2-2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A. （-∞，-）∪（2，+∞）B. （-∞，-）∪（0，2）C. （-∞，0）∪（0，2）D. （-∞，0）∪（2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.i是虚数单位，复数=______．11.在（x+）5的展开式中，x2的系数是______．12.已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|=6，则r的值为______．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14.已知a＞0，b＞0，且ab=1，则++的最小值为______．15.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且=λ，•=-，则实数λ的值为______，若M，N是线段BC上的动点，且||=1，则•的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2，b=5，c=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A的值；（Ⅲ）求sin（2A+）的值．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．18.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，-3），右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3=，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．19.已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，a1=b1=1，a5=5（a4-a3），b5=4（b4-b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求证：S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ）对任意的正整数n，设c n=求数列{c n}的前2n项和．20.已知函数f（x）=x3+k ln x（k∈R），f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）当k=6时，（ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ⅱ）求函数g（x）=f（x）-f′（x）+的单调区间和极值；（Ⅱ）当k≥-3时，求证：对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有＞．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题.进行补集、交集的运算即可．【解答】解：全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，B={-3，0，2，3}，则={-2，-1，1}，∴A∩（）={-1，1}，故选：C．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解得a的范围，即可判断出结论．【解答】解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y=f（x）=，则f（-x）=-=-f（x），则函数y=f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0是，y=f（x）＞0，故排除B，故选：A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出径径落在区间[5.43，5.47）的频率，再乘以样本的个数即可．【解答】解：直径径落在区间[5.43，5.47）的频率为（6.25+5）×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47）内的个数为0.225×80=18个，故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．正方体的对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，所以2R==6，所以R=3，S=4πR2=36π．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：a=30.7，b=（）-0.8=30.8，则b＞a＞1，log0.70.8＜log0.70.7=1，∴c＜a＜b，故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），则直线l的方程为y=-b（x-1），∵双曲线C的方程为-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴-=-b，•（-b）=-1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2-y2=1，故选：D．8.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f（x）=sin（x+），①由周期公式可得，f（x）的最小正周期T=2π，故①正确；、②f（）=sin（）=sin=，不是f（x）的最大值，故②错误；可得到函数y=f（x）的图象，故③正确．故选：B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f（x）=|kx2-2x|有四个根，⇒y=f（x）与y=h（x）=|kx2-2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k＜0时，当k＞0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g（x）=f（x）-|kx2-2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）=|kx2-2x|有四个根，即y=f（x）与y=h（x）=|kx2-2x|有四个交点，当k=0时，y=f（x）与y=|-2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k＜0时，y=|kx2-2x|与x轴交于两点x1=0，x2=（x2＜x1）图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k＞0时，y=|kx2-2x|与x轴交于两点x1=0，x2=（x2＞x1）只需y=x3与y=kx2-2x在（，+∞）还有两个交点，即可，即x3=kx2-2x在（，+∞）还有两个根，即k=x+在（，+∞）还有两个根，函数y=x+≥2，（当且仅当x=时，取等号），所以，且k＞2，所以k＞2，综上所述，k的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．故选：D．10.【答案】3-2i【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数===3-2i，故答案为：3-2i11.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．在的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵的展开式的通项公式为T r+1=x5-r 2r x-2r=2r x5-3r，令5-3r=2，得r=1，∴x2的系数是2×=10，故答案为10．12.【答案】5【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x-y+8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2=d2+（）2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2=r2的圆心为（0，0），半径为r；则圆心到直线x-y+8=0的距离d==4，若|AB|=6，则有r2=d2+（）2=16+9=25，故r=5；故答案为：513.【答案】【解析】【分析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，则甲、乙两球都落入盒子的概率×=，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1-（1-）（1-）=1-=，故答案为：，．14.【答案】4【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．由++=+=+，利用基本不等式即可求出．【解答】解：a＞0，b＞0，且ab=1，则++=+=+≥2=4，当且仅当=，即a=2+，b=2-或a=2-，b=2+取等号，故答案为：415.【答案】【解析】【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出λ的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B=60°，AB=3，∴A（，），∵BC=6，∴C（6，0），∵=λ，∴AD∥BC，设D（x0，），∴=（x0-，0），=（-，-），∴•=-（x0-）+0=-，解得x0=，∴D（，），∴=（1，0），=（6，0），∴=，∴λ=，∵||=1，设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，∴=（x-，-），=（x-，-），∴•=（x-）（x-）+=x2-4x+=（x-2）2+，当x=2时取得最小值，最小值为，故答案为：，．16.【答案】解：（Ⅰ）由余弦定理以及a=2，b=5，c=，则cos C===，∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由正弦定理，以及C=，a=2，c=，可得sin A===；（Ⅲ）由a＜c，及sin A=，可得cos A==，则sin2A=2sin A cosA=2××=，∴cos2A=2cos2A-1=，∴sin（2A+）=（sin2A+cos2A）=（+）=．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．（Ⅰ）根据余弦定理即可求出C的大小；（Ⅱ）根据正弦定理即可求出sin A的值；（Ⅲ）根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．17.【答案】解：以C为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3），（Ⅰ）证明：依题意，=（1，1，0），=（2，-2，-2），∴•=2-2+0=0，∴C1M⊥B1D；（Ⅱ）依题意，=（2，0，0）是平面BB1E的一个法向量，=（0，2，1），=（2，0，-1），设=（x，y，z）为平面DB1E的法向量，则，即，不妨设x=1，则=（1，-1，2），∴cos＜，＞==，∴sin＜，＞==，∴二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅲ）依题意，=（-2，2，0），由（Ⅱ）知，=（1，-1，2）为平面DB1E的一个法向量，∴cos＜，＞==-，∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；（Ⅱ）先平面DB1E的法向量，再根据向量的夹角公式，求出二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅱ）求出cos＜，＞值，即可求出直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知可得b=3，记半焦距为c，由|OF|=|OA|可得c=b=3，由a2=b2+c2，可得a2=18，∴椭圆的方程为+=1，（Ⅱ）：∵直线AB与C为圆心的圆相切于点P，∴AB⊥CP，根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y=kx-3，由方程组，消去y可得（2k2+1）x2-12kx=0，解得x=0，或x=，依题意可得点B的坐标为（，），∵P为线段AB的中点，点A的坐标为（0，-3），∴点P的坐标为（，），由3=，可得点C的坐标为（1，0），故直线CP的斜率为=，∵AB⊥CP，∴k•=-1，整理可得2k2-3k+1=0，解得k=或k=1，∴直线AB的方程为y=x-3或y=x-3．【解析】（Ⅰ）根据可得c=b=3，由a2=b2+c2，可得a2=18，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y=kx-3，联立方程组，求出点B的坐标，再根据中点坐标公式可得点P的坐标，根据向量的知识求出点C的坐标，即可求出CP的斜率，根据直线垂直即可求出k的值，可得直线AB的方程．本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=1，a5=5（a4-a3），则1+4d=5d，可得d=1，∴a n=1+n-1=n，∵b1=1，b5=4（b4-b3），∴q4=4（q3-q2），解得q=2，∴b n=2n-1；证明（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n=，∴S n S n+2=n（n+1）（n+2）（n+3），（S n+1）2=（n+1）2（n+2）2，∴S n S n+2-S n+12=-（n+1）（n+2）＜0，∴S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；解：（Ⅲ），当n为奇数时，c n===-，当n为偶数时，c n==，对任意的正整数n，有c2k-1=（-）=-1，和c2k==+++…+，①，由①×可得c2k=++…++，②，①-②得c2k=+++…+---，∴c2k=-，因此c2k=c2k-1+c2k=--．数列{c n}的前2n项和--．【解析】（Ⅰ）分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出；（Ⅱ）根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则课证明；（Ⅲ）分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n项和．本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．20.【答案】解：（I）（i）当k=6时，f（x）=x3+6ln x，故f′（x）=3x2+，∴f′（1）=9，∵f（1）=1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=9（x-1），即9x-y-8=0．（ii）g（x）=f（x）-f′（x）+=x3+6ln x-3x2+，x＞0，∴g′（x）=3x2-6x+-=，令g′（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1，g′（x）＜0，当x＞1，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，x=1是极小值点，极小值为g（1）=1，无极大值证明：（Ⅱ）由f（x）=x3+k ln x，则f′（x）=3x2+，对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，令=t，t＞1，则（x1-x2）[f′（x1）+f′（x2）]-2[f（x1）+f（x2）]=（x1-x2）（3x12++3x22+）-2（x13-x23+k ln），=x13-x23-3x12x2+3x1x22+k（-）-2k ln，=x23（t3-3t2+3t-1）+k（t--2ln t），①令h（x）=x--2ln x，x＞1，当x＞1时，h′（x）=1+-=（1-）2＞0，∴h（x）在（1，+∞）单调递增，∴当t＞1，h（t）＞h（1）=0，即t--2ln t＞0，∵x2≥1，t3-3t2+3t-1=（t-1）3＞0，k≥-3，∴x23（t3-3t2+3t-1）+k（t--2ln t）＞t3-3t2+3t-1-3（t--2ln t）=t3-3t2+6ln t+-1，②，由（Ⅰ）（ii）可知当t≥1时，g（t）＞g（1）即t3-3t2+6ln t+＞1，③，由①②③可得（x1-x2）[f′（x1）+f′（x2）]-2[f（x1）+f（x2）]＞0，∴当k≥-3时，对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有＞．【解析】（Ⅰ）（i）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（ii）根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；（Ⅱ）要证不等式成立，只要证明（x1-x2）[f′（x1）+f′（x2）]-2[f（x1）+f（x2）]＞0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。

2020年天津卷数学高考试题及其答案

初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店第 1 页共 11 页 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2020年新高考天津卷数学试题(含解析)

所以，直线
AB
与平面
DB E 1
所成角的正弦值为
3
.
3
18.已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的一个顶点为 A(0, 3) ，右焦点为F
，且 | OA || OF
|，其中O为原点．
（1）求椭圆方程；
（2）已知点 C 满足3OC OF ，点 B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于
f ( x) |x|
恒有 3 个不同交点，满足题意；
当 k 0时，如图 3，当 y kx 2 与 y x2相切时，联立方程得 x2 kx 2 0 ，
令 0得 k2 8 0，解得 k 2 2 （负值舍去），所以k 2 2 .
综上， k 的取值范围为 (,0) (2 2, ) .
二、填空题
2 2 6
6 6，
sin CA, n 1 cos2 CA, n
30
．
6
所以，二面角 B B E D 的正弦值为 1
30 ； 6
（3）依题意， AB 2,2,0 ．
由（2）知 n 1,1,2为平面 DB1E 的一个法向量，于是cos AB, n
AABBnn 2
4 2
6
3 3．
x2 y2 A. 4 4 1
y2 B. x2 4 1
x2 C. 4 y2 1
D. x2 y2 1
答案：D
a b
解答：由题可知
b
(
b) a
1
a
b
1，所以双曲线 C
的方程为 x2 y2
1.
8.已知函数
f
( x)
sin x
3
．给出下列结论：

精品解析：2020年天津市高考数学试卷(解析版)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（）A. {3,3}-B. {0,2}C. {1,1}-D. {3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U2,1,1B =--，则(){}U1,1AB =-.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3.函数241xy x =+的图象大致为（） A .B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可. 【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题. 5.若棱长为3 ） A. 12π B. 24πC. 36πD. 144π【答案】C 【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log ay x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A. 22144x y -=B. 2214y x -=C. 2214x y -=D. 221x y -=【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确. 故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（） A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞【答案】D 【解析】【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数82ii-=+_________．【答案】32i - 【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-. 故答案为：32i -.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.11.在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10 【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出．【详解】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5 【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =，即可求得r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】 (1). 16(2). 23【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23. 故答案为：16；23. 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4 【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解.【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++ 882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得23,23a b =-=+，或23,23a b =+=-时，等号成立. 故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】【分析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为333,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅱ）213sin A =（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+=⎪⎝⎭.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以4C π；（Ⅱ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==sin sin a C A c=== （Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A=13，进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）306；（Ⅲ）33. 【解析】【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．6cos ,26C CA n A C nA n ⋅<>===⋅⨯， 230sin ,1cos ,CA n CA n ∴<>=-<>=．所以，二面角1B B E D --30；（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是3cos ,226AB n AB n AB n⋅<>===⨯⋅．所以，直线AB 与平面1DB E所成角的正弦值为3. 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n nn n +--+⨯. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=∑和21nkk c=∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和223111211352321444444nnk kn n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k nn k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n nk n n n k n n c ++=⎛⎫-⎪--⎝⎭=+++-=---∑，由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-，从而得：21565994nk n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞. 当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

2020年天津卷数学高考试题及答案解析

在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ．已知 a 2 2,b 5, c 13 ．（Ⅰ）求角 C 的大小；（Ⅱ）求 sin A 的值；（Ⅲ）求 sin(2A π ) 的值．
4
17．（本小题满分 15 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， CC1 平面 ABC, AC BC, AC BC 2 ， CC1 3 ，点 D, E
2 5
2 17
2
．
4
4
4 13 2 13 2 26
17．满分 15 分．
依题意，以 C 为原点，分别以 CA, CB, CC1 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系
（如图），可得 C(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(0, 2, 0),C1(0, 0,3) ， A1(2, 0,3), B1(0, 2,3), D(2, 0,1), E(0, 0, 2) ，
19．（本小题满分 15 分）
已知an 为等差数列，bn 为等比数列， a1 b1 1, a5 5 a4 a3 , b5 4b4 b3 ．
（Ⅰ）求an 和bn 的通项公式；
（Ⅱ）记
an
的前 n
项和为
Sn
，求证： SnSn2
S2 n1
n N*
；
（Ⅲ）对任意的正整数 n
，设 cn
一．选择题：每小题 5 分，满分 45 分． 1．C 2．A 3．A 4．B 5．C
6．D
7．D
8．B
9．D
二．填空题：每小题 5 分，满分 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分．
10． 3 2i
11．10

2020年天津卷数学高考试题(含答案)

A． x2 y2 1 44
B． x2 y2 1 4
C． x2 y2 1 4
8．已知函数 f (x) sin(x π) ．给出下列结论： 3
① f (x) 的最小正周期为 2π ；
D． x2 y2 1
② f ( π ) 是 f (x) 的最大值； 2
③把函数 y sin x 的图象上所有点向左平移 π 个单位长度，可得到函数 y f (x) 的图象． 3
3 ，则实数 2
的值为_________，若 M , N 是线段 BC 上的动点，且| MN |1，则 DM DN 的最小值为_________．
三．解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ．已知 a 2 2,b 5,c 13 ．（Ⅰ）求角 C 的大小；（Ⅱ）求 sin A 的值；（Ⅲ）求 sin(2A π) 的值．
11．在
(x
2 x2
)5
的展开式中，
x2
的系数是_________．
12．已知直线 x 3y 8 0 和圆 x2 y2 r2 (r 0) 相交于 A, B 两点．若| AB | 6 ，则 r 的值为
_________．
13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 和 1 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落 23
[5.45,5.47),[5.47,5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间
[5.43,5.47) 内的个数为
A．10
B．18
C．20
D．36
5．若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

2020年天津市高考数学试卷(有详细解析)

2020年天津市高考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，则A∩(∁U B)=()A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3}2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6. 设a =30.7，b =(13)−0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b7. 设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A. x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C. x 24−y 2=1D. x 2−y 2=18. 已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i2+i =______．11. 在(x +2x 2)5的展开式中，x 2的系数是______．12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为______．13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______．15. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD =1，CE =2，M 为棱A 1B 1的中点． (Ⅰ)求证：C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值； (Ⅲ)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19. 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3).(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1bn+1,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．20. 已知函数f(x)=x 3+klnx(k ∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)当k =6时，(ⅰ)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (ⅰ)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9x 的单调区间和极值；(Ⅱ)当k ≥−3时，求证：对任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1>x 2，有f′(x 1)+f′(x 2)2>f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2．答案和解析1. C解：全集U ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A ={−1,0，1，2}，B ={−3,0，2，3}，则∁U B ={−2,−1,1}， ∴A ∩(∁U B)={−1,1}，2. A解：由a 2>a ，解得a <0或a >1，故a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件，3. A解：函数y =f(x)=4xx 2+1，则f(−x)=−4xx 2+1=−f(x)，则函数y =f(x)为奇函数，故排除C ，D ，当x >0是，y =f(x)>0，故排除B ，4. B解：直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个，5. C解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，所以2R =√(2√3)2+(2√3)2+(2√3)2=6，所以R =3，S =4πR 2=36π．6.D解：a=30.7，b=(13)−0.8=30.8，则b>a>1，log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，7.D解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=−b(x−1)，∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴−ba =−b，ba⋅(−b)=−1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2−y2=1，8.B解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．9.D解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2<x1)图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k 的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．10. 3−2i解：i 是虚数单位，复数8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i 5=3−2i ，11. 10解：∵(x +2x 2)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r x 5−r 2r x −2r =2r C 5r x 5−3r ，令5−3r =2，得r =1，∴x 2的系数是2×C 51=10，12. 5解：根据题意，圆x 2+y 2=r 2的圆心为(0,0)，半径为r ；则圆心到直线x −√3y +8=0的距离d =8√1+3=4，若|AB|=6，则有r 2=d 2+(|AB|2)2=16+9=25，故r =5；13. 16 ；23解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13，则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−12)(1−13)=1−13=23，14. 4解：a >0，b >0，且ab =1，则12a+12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2⋅8a+b =4，当且仅当a+b 2=8a+b ，即a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号，15. 16 ；132解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， ∵∠B =60°，AB =3， ∴A(32,3√32)， ∵BC =6， ∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16， ∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132，16. 解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=8+25−132×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13，可得sinA = asinC c=2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313，则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513， ∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．17. 解：以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)， (Ⅰ)证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)， ∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0，∴C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)依题意，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)，设n⃗ =(x,y ，z)为平面DB 1E 的法向量，则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +z =02x −z =0，不妨设x =1，则n⃗ =(1,−1,2)， ∴cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√66，∴sin <CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1−16=√306， ∴二面角B −B 1E −D 的正弦值√306；(Ⅲ)依题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，由(Ⅱ)知，n⃗ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量， ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√33， ∴直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33．18. 解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)， ∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k 2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k ⋅32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2−3k +1=0，解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．19. 解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，则1+4d =5d ，可得d =1，∴a n =1+n −1=n ， ∵b 1=1，b 5=4(b 4−b 3)， ∴q 4=4(q 3−q 2)，解得q =2， ∴b n =2n−1；证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n =n(n+1)2，∴S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3)，(S n+1)2=14(n +1)2(n +2)2，∴S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0， ∴S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；解：(Ⅲ)，当n 为奇数时，c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时，c n = a n−1b n+1=n−12n，对任意的正整数n ，有∑c 2k−1n k=1=∑(n k=122k 2k+1−22k−22k−1)=22n 2n+1−1，和∑c 2k n k=1=∑2k−14kn k=1=14+342+543+⋯+2n−14n，①，由①×14可得14∑c 2k n k=1=142+343+⋯+2n−34 n +2n−14n+1，②，①−②得34∑c 2k n k=1=14+242+243+⋯+24 n −14--2n−14n+1， ∴∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n ，因此∑c 2k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n 2n+1−6n+59×4n −49．数列{c n }的前2n 项和4n2n+1−6n+59×4n−49．20. 解：(I)(i)当k =6时，f(x)=x 3+6lnx ，故f′(x)=3x 2+6x ， ∴f′(1)=9， ∵f(1)=1，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=9(x −1)，即9x −y −8=0． (ii)g(x)=f(x)−f′(x)+9x =x 3+6lnx −3x 2+3x ，x >0， ∴g′(x)=3x 2−6x +6x −3x 2=3(x−1)3(x+1)x 2，令g′(x)=0，解得x =1，当0<x<1，g′(x)<0，当x>1，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，x=1是极小值点，极小值为g(1)=1，无极大值证明：(Ⅱ)由f(x)=x3+klnx，则f′(x)=3x2+kx，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，令x1x2=t，t>1，则(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)−f(x2)]=(x1−x2)(3x12+kx1+3x22+kx2)−2(x13−x23+kln x1x2)，=x13−x23−3x12x2+3x1x22+k(x1x2−x2x1)−2kln x1x2，=x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2lnt)，①令ℎ(x)=x−1x−2lnx，x>1，当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，∴当t>1，ℎ(t)>ℎ(1)=0，即t−1t−2lnt>0，∵x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3，∴x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)>t3−3t2+3t−1−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1，②，由(Ⅰ)(ii)可知当t>1时，g(t)>g(1)即t3−3t2+6lnt+3t>1，③，由①②③可得(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，∴当k≥−3时，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．。

2020年高考数学天津卷-答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：{}U 211B=--，，，则(){}U11A B =-，.故选：C .【考点】补集运算，交集运算 2.【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.求解二次不等式2a a ＞可得：1a ＞或0a ＜，据此可知：1a ＞是2a a ＞的充分不必要条件.故选：A . 【考点】二次不等式的解法，充分性和必要性的判定 3.【答案】A【解析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==+＞，选项B 错误.故选：A . 【考点】函数图象的识辨 4.【答案】B【解析】根据直方图确定直径落在区间[)5.435.47，之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.根据直方图，直径落在区间[)5.435.47，之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.435.47，内零件的个数为：800.22518⨯=.故选：B . 【考点】频率分布直方图的计算与实际应用 5.【答案】C【解析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C . 【考点】正方体的外接球的表面积的求法6.【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a ，b ，c 的大小关系.因为0.731a =＞，0.80.80.71333b a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭＞，0.70.7log 0.8log 0.71c ==＜，所以1c a b ＜＜＜.故选：D .【考点】抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，直线与直线的位置关系的应用 8.【答案】B【解析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.因为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以周期22T ππω==，故①正确；51sin sin 122362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故③正确.故选：B .【考点】正弦型函数的性质及图象的平移 9.【答案】D【解析】由()00g =，结合已知，将问题转化为2y kx =-与()()f x h x x=有3个不同交点，分0k =，0k ＜，0k ＞三种情况，数形结合讨论即可得到答案.注意到()00g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()2f x kx x-=恰有3个实根即可，令()()f x h x x=，即2y kx =-与()()f x h x x=的图象有3个不同交点.因为()()2010f x x x h x xx ⎧⎪⎨⎪⎩==，＞，＜，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0＜时，如图2，此时2y kx =-与()()f x h x x=恒有3个不同交点，满足题意；当0k ＞时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得)(22+∞，【考点】函数与方程的应用第Ⅱ卷二、填空题 10.【答案】32i -【解析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.()()()()8i 2i 8i 1510i32i 2i 2i 2i 5----===-++-.故答案为：32i -. 【考点】复数的四则运算 11.【答案】10【解析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出.因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()553155222012345rr r rr r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，，，，，，令532r -=，解得1r =.所以2x 的系数为15210C ⨯=.故答案为：10.【考点】圆的弦长，圆的标准方程，点到直线的距离公式【解析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为11111233⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23. 【考点】独立事件同时发生的概率，利用对立事件求概率 14.【答案】4.0a ＞，b 4b=，当且仅当【考点】应用基本不等式求最值【解析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点()0M x ，，则点()10N x +，（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值.AD BC λ=，AD BC ∴∥，180120BAD B ∴∠=-∠=，13cos12063922AB AD BC AB BC AB λλλλ⎛⎫⋅=⋅=⋅=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，6BC =，()60C ∴，，3AB =，60ABC ∠=，A ∴的坐标为32A ⎛⎝⎭，，又16AD BC =,则52D ⎛ ⎝⎭，，设()0M x ，，则()10N x +，（其中05x ≤≤），52DM x ⎛=- ⎝⎭，32DN x ⎛=- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132.故答案为：16；132. 【考点】平面向量数量积的计算，平面向量数量积的定义与坐标运算4Cπ【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可.在ABC △中，由a =，5b =，c =及余弦定理222cos 22a b c C ab +-===，又因为()0C π∈，，所以4Cπ.（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案.在ABC △中，由4Cπ，a =c sin sin a C A c===（Ⅲ）先计算出sin A ，cos A ，进一步求出sin2A ，cos2A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.由a c ＜知角A 为锐角，由sin A =，可得cos A =，进而12sin 22sincos 13A A A ==，25cos22cos 113A A =-=，所以125sin 2sin 2cos cos2sin 4441313A A A πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】正、余弦定理解三角形，三角恒等变换在解三角形中的应用17.【答案】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()000C ，，、()200A ，，、()020B ，，、()1003C ，，、()1203A ，，、()1023B ，，、()201D ，，、()002E ，，、()113M ，，.（Ⅰ）证明：依题意，()1110C M =，，，()1222B D =--，，，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥.【解析】（Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥.依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()000C ，，、()200A ，，、()020B ，，、()1003C ，，、()1203A ，，、()1023B ，，、()201D ，，、()002E ，，、()113M ，，.依题意，()1110C M =，，，()1222B D =--，，，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥. （Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果.依题意，()200CA =，，是平面1BB E 的一个法向量，()1021EB =，，，()201ED =-，，.设()n x y z =，，为平面1DB E 的法向量，则10n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()112n =-，，.cos CA ＜，26C CA n A n n ⋅⋅===⨯，230sin 1cos CA n CA n ∴=-=，，.所以，二面角1B B E D --的正弦值为6. （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.依题意，()220AB =-，，.由（Ⅱ）知()112n =-，，为平面1DB E 的一个法向量，于是cos 22AB n AB n AB n⋅===⋅，.所以，直线AB 与平面1DB E .【解析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程.椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的一个顶点为()03A -，，3b ∴=，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=.（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解. 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221kx k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为22212632121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()03-，，所以点P 的坐标为22632121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，由3OC OF =，得点C 的坐标为()10，，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【考点】椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，中点坐标公式以及直线垂直关系的应用19.【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得()12n n n S +=，故()()()211234n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而()()22111202n n n S S S n n ++-=-++＜，所以221n n n S S S ++＜. （Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯【解析】（Ⅰ）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果.设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得1d =从而{}n a 的通项公式为n a n =.由11b =，()5434b b b =-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可.证明：由（Ⅱ）可得()12n n n S +=，故()()()211234n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而()()22111202n n n S S S n n ++-=-++＜，所以221n n n S S S ++＜. （Ⅲ）分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=∑和21nkk c=∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.当n 为奇数时，()()()1112323222222n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121nnk k nk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和223111211352321444444nnkk n n k k k n n c-==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444nknn k n n c+=--=+++++∑② 由①②得22111211312221121441444444414nn k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，由于11211121221121156544143344124443414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-，从而得：21565994nk n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯.【考点】数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等 20.【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-（ii ）()g x 的极小值为()11g =，无极大值（Ⅱ）证明：由()3ln f x x k x =+，得()23k f x x x'=+. 对任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，令()121x t t x =＞，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.①令()12ln h x x x x=--，[)1x ∈+∞，. 当1x ＞时，()22121110h x x x x ⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭＞，由此可得()h x 在[)1+∞，单调递增，所以当1t ＞时，()()1h t h ＞，即12ln 0t t t--＞. 因为21x ≥，()33233110t t t t -+-=-＞，3k -≥，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭≥ 32336ln 1t t t t=-++-.② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t ＞时，()()1g t g ＞，即32336ln 1t t t t-++＞，故32336ln 10t t t t-++-＞③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+--＞. 所以，当3k -≥时，任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，有 ()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+--＞.【解析】（Ⅰ）（i ）首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可.（i ）当6k =时，()36ln f x x x =+，()263f x x x '=+.可得()11f =，()19f '=，所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.（ii ）首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可.依题意，()32336ln g x x x x x=-++，()0x ∈+∞，.从而可得()226336g x x x x x '=-+-，整理可得：()()()32311x x g x x -+'=，令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为()01，，单调递增区间为()1+∞，；()g x 的极小值为()11g =，无极大值. （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.证明：由()3ln f x x k x =+，得()23k f x x x'=+. 对任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，令()121x t t x =＞，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.① 令()12ln h x x x x=--，[)1x ∈+∞，. 当1x ＞时，()22121110h x x x x ⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭＞，由此可得()h x 在[)1+∞，单调递增，所以当1t ＞时，()()1h t h ＞，即12ln 0t t t--＞. 因为21x ≥，()33233110t t t t -+-=-＞，3k -≥，所以()()332323221133312ln 33132ln 36ln 1x t t t k t t t t t t t t t t t t t +⎛⎫⎛⎫-+-+-------=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t ＞时，()()1g t g ＞，即32336ln 1t t t t-++＞，故32336ln 10t t t t-++-＞③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+--＞. 所以，当3k -≥时，任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+--＞.【考点】研究函数的单调性，极值（最值）最有效的工具。

2020年天津市高考数学试卷-含详细解析

2020年天津市高考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，则A∩(∁U B)=()A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3}2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6. 设a =30.7，b =(13)−0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b7. 设双曲线C 的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24−y 24=1B. x 2−y 24=1C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=18. 已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i2+i =______．11. 在(x +2x 2)5的展开式中，x 2的系数是______．12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值；(Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD =1，CE =2，M 为棱A 1B 1的中点． (Ⅰ)求证：C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅲ)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．18. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19. 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3).(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1bn+1,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．20.已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)当k=6时，(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(ⅰ)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9的单调区间和极值；x> (Ⅱ)当k≥−3时，求证：对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2f(x1)−f(x2)．x1−x2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题．进行补集、交集的运算即可．【解答】解：全集U ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A ={−1,0，1，2}，B ={−3,0，2，3}，则∁U B ={−2,−1,1}， ∴A ∩(∁U B)={−1,1}，故选：C ． 2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解得a 的范围，即可判断出结论．【解答】解：由a 2>a ，解得a <0或a >1，故a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件，故选：A ． 3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y =f(x)=4xx 2+1，则f(−x)=−4xx 2+1=−f(x)，则函数y =f(x)为奇函数，故排除C ，D ，当x >0是，y =f(x)>0，故排除B ，故选：A ． 4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出径径落在区间[5.43,5.47)的频率，再乘以样本的个数即可．【解答】解：直径径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个，故选：B ． 5.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．正方体的对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，所以2R=√3×2√3=6，所以R=3，S=4πR2=36π．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：a=30.7，b=(13)−0.8=30.8，则b>a>1，log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=−b(x−1)，∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴−ba =−b，ba⋅(−b)=−1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2−y2=1，故选：D．8.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，(x2<x1)当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，(x2>x1)y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，在[0,2k只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D．10.【答案】3−2i【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i，故答案为：3−2i11.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．在(x+2x2)5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵(x+2x2)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r2r x−2r=2r C5r x5−3r，令5−3r =2，得r =1，∴x 2的系数是2×C 51=10，故答案为10． 12.【答案】5【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x −√3y +8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r 2=d 2+(|AB|2)2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x 2+y 2=r 2的圆心为(0,0)，半径为r ；则圆心到直线x −√3y +8=0的距离d =√1+3=4，若|AB|=6，则有r 2=d 2+(|AB|2)2=16+9=25，故r =5；故答案为：513.【答案】16 23【解析】【分析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13，则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−12)(1−13)=1−13=23，故答案为：16，23．14.【答案】4【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．由12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ，利用基本不等式即可求出．【解答】解：a >0，b >0，且ab =1，则12a+12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2⋅8a+b =4，当且仅当a+b 2=8a+b ，即a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号，故答案为：415.【答案】16 132【解析】【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， ∵∠B =60°，AB =3， ∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．16.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=8+25−132×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13，可得sinA = asinC c =2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313，则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513，∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小； (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值；(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．17.【答案】解：以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)，(Ⅰ)证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0，∴C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)依题意，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)，设n⃗ =(x,y ，z)为平面DB 1E 的法向量，则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +z =02x −z =0，不妨设x =1，则n ⃗ =(1,−1,2)， ∴cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√66， ∴sin <CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1−16=√306， ∴二面角B −B 1E −D 的正弦值√306；(Ⅲ)依题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，由(Ⅱ)知，n⃗ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量， ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√33，∴直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33．【解析】(Ⅰ)建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明； (Ⅱ)先平面DB 1E 的法向量n ⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅱ)求出cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k 2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k ⋅32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2−3k +1=0，解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．【解析】(Ⅰ)根据可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程； (Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，则1+4d =5d ，可得d =1， ∴a n =1+n −1=n ，∵b 1=1，b 5=4(b 4−b 3)， ∴q 4=4(q 3−q 2)，解得q =2， ∴b n =2n−1；证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n =n(n+1)2，∴S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3)，(S n+1)2=14(n +1)2(n +2)2，∴S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0，∴S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；解：(Ⅲ)，当n 为奇数时，c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时，c n = a n−1b n+1=n−12n，对任意的正整数n ，有∑c 2k−1n k=1=∑(n k=122k 2k+1−22k−22k−1)=22n 2n+1−1，和∑c 2k n k=1=∑2k−14kn k=1=14+342+543+⋯+2n−14n，①，由①×14可得14∑c 2k n k=1=142+343+⋯+2n−34 n +2n−14n+1，②，①−②得34∑c 2k n k=1=14+242+243+⋯+24 n −14--2n−14n+1， ∴∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n，因此∑c 2k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n 2n+1−6n+59×4n−49．数列{c n }的前2n 项和4n2n+1−6n+59×4n −49．【解析】(Ⅰ)分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； (Ⅱ)根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则课证明； (Ⅲ)分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n 项和．本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．20.【答案】解：(I)(i)当k =6时，f(x)=x 3+6lnx ，故f′(x)=3x 2+6x ，∴f′(1)=9， ∵f(1)=1，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=9(x −1)，即9x −y −8=0． (ii)g(x)=f(x)−f′(x)+9x =x 3+6lnx −3x 2+3x ，x >0， ∴g′(x)=3x 2−6x +6x −3x 2=3(x−1)3(x+1)x 2，令g′(x)=0，解得x =1，当0<x <1，g′(x)<0，当x >1，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，x=1是极小值点，极小值为g(1)=1，无极大值证明：(Ⅱ)由f(x)=x3+klnx，则f′(x)=3x2+kx，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，令x1x2=t，t>1，则(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]=(x1−x2)(3x12+kx1+3x22+kx2)−2(x13−x23+kln x1x2)，=x13−x23−3x12x2+3x1x22+k(x1x2−x2x1)−2kln x1x2，=x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2lnt)，①令ℎ(x)=x−1x−2lnx，x>1，当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，∴当t>1，ℎ(t)>ℎ(1)=0，即t−1t−2lnt>0，∵x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3，∴x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)>t3−3t2+3t−1−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1，②，由(Ⅰ)(ii)可知当t≥1时，g(t)>g(1)即t3−3t2+6lnt+3t>1，③，由①②③可得(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，∴当k≥−3时，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．【解析】(Ⅰ)(i)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(ii)根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；(Ⅱ)要证不等式成立，只要证明(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。

2020年天津市高考数学试卷(解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I 卷参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =（） A. {3,3}-B. {0,2}C. {1,1}-D. {3,2,1,1,3}--- 【答案】C【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--，则(){}U 1,1A B =-.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.3.函数241x y x =+的图象大致为（） A .B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 36 【答案】B【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.5.若棱长为3 ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π 【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即()()()2222323233R ++==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b << 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log ay x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等. 7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（） A. 22144x y -= B. 2214y x -= C. 2214x y -= D. 221x y -=【答案】D【解析】【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1y x b +=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1b b a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1y x b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（） A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C. (,0)(0,22)-∞ D. (,0)(22,)-∞+∞ 【答案】D【解析】【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i是虚数单位，复数82ii-=+_________．【答案】32i-【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详解】()()()()8281510322225i i i i i i i i ----===-++-. 故答案为：32i -.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.11.在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出．【详解】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5r r r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =，即可求得r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】 (1).16 (2). 23 【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23. 故答案为：16；23. 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b +++的最小值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=+，或22a b =+=-.故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题.15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1).16 (2). 132【解析】【分析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值.【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则5,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,2DM x ⎛=- ⎝⎭，3,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()2225321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4C π；（Ⅱ）sin A =（Ⅲ）sin 24A π⎛⎫+=⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在ABC 中，由5,a b c ===222cos22a b c C ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以4C π；（Ⅱ）在ABC 中，由4Cπ，22,13a c ==及正弦定理，可得222sin 2sin 13a CA c⨯===21313；（Ⅲ）由a c <知角A 为锐角，由213sin 13A =，可得2cos 1sin A A =-=31313，进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以12252sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=17226. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）306；（Ⅲ）33. 【解析】【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．cos ,62C CA n A C nA n ⋅<>===⋅⨯， 230sin ,1cos ,6CA n CA n ∴<>=-<>=．所以，二面角1B B E D --的正弦值为6；（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,22AB n AB n ABn⋅<>===⋅．所以，直线AB 与平面1DB E 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=∑和21nkk c=∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和223111211352321444444nnk kn n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ② 由①②得22111211312221121441444444414n nk n n n k n n c ++=⎛⎫-⎪--⎝⎭=+++-=---∑，由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-，从而得：21565994nk n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x xx x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭. ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞. 当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。