1989年全国高考数学试题及答案解析
1989年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分.一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ ）（A ）2x y = （B ）x x y 2= （C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ ）（A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ ）（A ）-1 （B ）257- （C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++ 且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ ） （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ ）（A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （）（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）59．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（ ） （A ）310 （B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）532 11．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数（B ）在区间（0，1）上是减函数（C ）在区间（-2，0）上是增函数（D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ ）（A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________ 16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____17．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分） 证明：x 2cos x cos x sin 22x tg 2x 3tg+=-20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log )ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用k I 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根}。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试89
高考数学普通高等学校招生全国统一考试89高考数学普通高等学校招生全国统一考试89本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷.答题卡规定的地方填写自己的座位号.姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中〝座位号.姓名.科类〞与本人座位号.姓名.科类是否一致.2．答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.4．考试结束,监考人员将试题卷和答题卡一并收回.参考公式:如果时间A.B互斥,那么如果时间A.B相互独立,那么如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率球的表面积公式,其中R表示球的半径球的体积公式,其中R表示球的半径第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M＝｛_｝,N＝｛yy＝3_2＋1,__Icirc;R｝,则M_Ccedil;N＝( C )A．_AElig; B. {___sup3;1} C.｛___gt;1｝ D. {_ __sup3;1或__lt;0}解:M＝｛___gt;1或__pound;0｝,N＝｛yy_sup3;1｝故选C2.已知复数z满足(＋3i)z＝3i,则z＝( D )A． B. C. D.解:故选D3.若a_gt;0,b_gt;0,则不等式－b_lt;_lt;a等价于( D )A．_lt;__lt;0或0_lt;__lt; B.－_lt;__lt; C.__lt;-或__gt; D.__lt;或__gt;解:故选D4.设O为坐标原点,F为抛物线y2＝4_的焦点,A是抛物线上一点,若＝－4则点A的坐标是(B )A．(2,±2) B. (1,±2) C.(1,2)D.(2,2)解:F(1,0)设A(,y0)则＝( ,y0),＝(1－,－y0),由· ＝－4_THORN;y0＝±2,故选B5.对于R上可导的任意函数f(_),若满足(_－1)_sup3;0,则必有( C )A．f(0)＋f(2)_lt;2f(1) B. f(0)＋f(2)_pound;2f(1)C.f(0)＋f(2)_sup3;2f(1) D. f(0)＋f(2)_gt;2f(1)解:依题意,当__sup3;1时,f_cent;(_)_sup3;0,函数f(_)在(1,＋_yen;)上是增函数;当__lt;1时,f_cent;(_)_pound;0,f(_)在(－_yen;,1)上是减函数,故f(_)当_＝1时取得最小值,即有f(0)_sup3;f(1),f(2)_sup3;f(1),故选C6.若不等式_2＋a_＋1_sup3;0对于一切__Icirc;(0,)成立,则a的最小值是( C )A．0 B. –2 C.- D.-3解:设f(_)＝_2＋a_＋1,则对称轴为_＝若_sup3;,即a_pound;－1时,则f(_)在〔0,〕上是减函数,应有f()_sup3;0_THORN;－_pound;__pound;－1若_pound;0,即a_sup3;0时,则f(_)在〔0,〕上是增函数,应有f(0)＝1_gt;0恒成立,故a_sup3;0若0_pound;_pound;,即－1_pound;a_pound;0,则应有f()＝恒成立,故－1_pound;a_pound;0综上,有－_pound;a故选C7.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若,且A.B.C三点共线(该直线不过原点O),则S200＝( A )A．100 B. 101 C.200 D.201解:依题意,a1＋a200＝1,故选A8.在(_－)_ 的二项展开式中,含_的奇次幂的项之和为S,当_＝时,S等于(B )A.23008B.-23008C.23009D.-23009解:设(_－)_＝a0__＋a1__＋…＋a__＋a_则当_＝时,有a0()_＋a1()_＋…＋a_()＋a_＝0 (1)当_＝－时,有a0()_－a1()_＋…－a_()＋a_＝23009 (2)(1)－(2)有a1()_＋…＋a_()＝－23009_cedil;2＝－23008故选B9.P是双曲线的右支上一点,M.N分别是圆(_＋5)2＋y2＝4和(_－5)2＋y2＝1上的点,则PM－PN的最大值为( D )A. 6B.7C.8D.9解:设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M.F1三点共线以及P与N.F2三点共线时所求的值最大,此时PM－PN＝(PF1－2)－(PF2－1)＝10－1＝9故选B10.将7个人(含甲.乙)分成三个组,一组3人,另两组2 人,不同的分组数为a,甲.乙分到同一组的概率为p,则a.p的值分别为( A )A．a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=解:a＝＝105甲.乙分在同一组的方法种数有(1)若甲.乙分在3人组,有＝15种(2)若甲.乙分在2人组,有＝10种,故共有25种,所以P＝故选A11.如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E.F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1,S2,则必有( )A.S1_lt;S2B.S1_gt;S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定解:连OA.OB.OC.OD则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共,故选C12.某地一年的气温Q(t)(单位:_ordm;c)与时间t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平均气温为10_ordm;c,令G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,G(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是( A )10_ordm;c10_ordm;ctO612OO图(1)B AD10_ordm;cG(t)O612tCG(t)10_ordm;c 612 t O解:结合平均数的定义用排除法求解理科数学第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡的相应位置.13.数列｛｝的前n项和为Sn,则Sn＝解:故14.设f(_)＝log3(_＋6)的反函数为f－1(_),若〔f－1(m)＋6〕〔f－1(n)＋6〕＝27则f(m＋n)＝___________________解:f－1(_)＝3_－6故〔f－1(m)＋6〕·〔f－1(_)＋6〕＝3m·3n＝3m ＋n＝27\m＋n＝3\f(m＋n)＝log3(3＋6)＝215.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,底面为直角三角形,_ETH;ACB＝90°,AC＝6,BC＝CC1＝,P是BC1上一动点,则CP＋PA1的最小值是___________解:连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,如图所示,A1C1BC连A1C,则A1C的长度就是所求的最小值.通过计算可得_ETH;A1C1C＝90°又_ETH;BC1C＝45°\_ETH;A1C1C＝135° 由余弦定理可求得A1C＝16.已知圆M:(_＋cosq)2＋(y－sinq)2＝1,直线l:y＝k_,下面四个命题:(A)对任意实数k与q,直线l和圆M相切;(B)对任意实数k与q,直线l和圆M有公共点;(C)对任意实数q,必存在实数k,使得直线l与和圆M相切(D)对任意实数k,必存在实数q,使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)解:圆心坐标为(－cosq,sinq)d＝故选(B)(D)三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)已知函数f(_)＝_3＋a_2＋b_＋c在_＝－与_＝1时都取得极值(1)求a.b的值与函数f(_)的单调区间(2)若对__Icirc;〔－1,2〕,不等式f(_)_lt;c2恒成立,求c的取值范围.解:(1)f(_)＝_3＋a_2＋b_＋c,f_cent;(_)＝3_2＋2a_＋b由f_cent;()＝,f_cent;(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝,b＝－2f_cent;(_)＝3_2－_－2＝(3_＋2)(_－1),函数f(_)的单调区间如下表:_(－_yen;,－)－(－,1)1(1,＋_yen;)f_cent;(_)＋－＋f(_)_shy;极大值_macr;极小值_shy;所以函数f(_)的递增区间是(－_yen;,－)与(1,＋_yen;)递减区间是(－,1)(2)f(_)＝_3－_2－2_＋c,__Icirc;〔－1,2〕,当_＝－时,f(_)＝＋c为极大值,而f(2)＝2＋c,则f(2)＝2＋c为最大值.要使f(_)_lt;c2(__Icirc;〔－1,2〕)恒成立,只需c2_gt;f(2)＝2＋c解得c_lt;－1或c_gt;218.(本小题满分12分)某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出2个红球可获得奖金50元,现有甲,乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次,令_表示甲,乙摸球后获得的奖金总额.求:(1)_的分布列 (2)_的的数学期望解:(1)_的所有可能的取值为0,10,20,50,60分布列为_10205060P(2)E_＝3.319.(本小题满分12分)如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M.N分别是边AB.AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,设_ETH;MGA＝a()(1)试将△AGM.△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为a的函数(2)求y＝的最大值与最小值解:(1)因为G是边长为1的正三角形ABC的中心, 所以 AG＝,_ETH;MAG＝,由正弦定理,得则S1＝GM·GA·sina＝,同理可求得S2＝.(2)y＝＝＝72(3＋cot2a)因为,所以当a＝或a＝时,y取得最大值yma_＝240当a＝时,y取得最小值ymin＝21620.(本小题满分12分)如图,在三棱锥A－BCD中,侧面ABD.ACD用空间向量求解,解答略21.(本大题满分12分)如图,椭圆Q:(a_gt;b_gt;0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A.B两点,P是线段AB的中点(1)求点P的轨迹H的方程(2) 在Q的方程中,令a2＝1＋cosq＋sinq,b2＝sinq(0_lt;q_pound; ),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与_轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?21.解:如图,(1)设椭圆Q:(a_gt;b_gt;0)上的点A(_1,y1).B(_2,y2),又设P点坐标为P(_,y),则1°当AB不垂直_轴时,_1_sup1;_2,由(1)－(2)得b2(_1－_2)2_＋a2(y1－y2)2y＝0\b2_2＋a2y2－b2c_＝0 (3)2°当AB垂直于_轴时,点P即为点F,满足方程(3)故所求点P的轨迹方程为:b2_2＋a2y2－b2c_＝0(2)因为,椭圆Q右准线l方程是_＝,原点距l的距离为,由于c2＝a2－b2,a2＝1＋cosq＋sinq,b2＝sinq(0_lt;q_pound;) 则＝＝2sin(＋)当q＝时,上式达到最大值.此时a2＝2,b2＝1,c＝1,D(2,0),DF＝1 设椭圆Q:上的点 A(_1,y1).B(_2,y2),三角形ABD的面积S＝y1＋y2＝y1－y2设直线m的方程为_＝ky＋1,代入中,得(2＋k2)y2＋2ky－1＝0由韦达定理得y1＋y2＝,y1y2＝,4S2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4 y1y2＝令t＝k2＋1_sup3;1,得4S2＝,当t＝1,k＝0时取等号.因此,当直线m绕点F转到垂直_轴位置时,三角形ABD的面积最大.22.(本大题满分14分)已知数列｛an｝满足:a1＝,且an＝(1)求数列｛an｝的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1·a2·……an_lt;2·n!22.解:(1)将条件变为:1－＝,因此｛1－｝为一个等比数列,其首项为1－＝,公比,从而1－＝,据此得an＝(n_sup3;1)…………1°(2)证:据1°得,a1·a2·…an＝为证a1·a2·……an_lt;2·n!只要证n_Icirc;N_时有_gt;…………2°显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个n_Icirc;N_,有_sup3;1－()…………3°用数学归纳法证明3°式:(i)n＝1时,3°式显然成立,(ii)设n＝k时,3°式成立,即_sup3;1－()则当n＝k＋1时,_sup3;〔1－()〕·()＝1－()－＋()_sup3;1－(＋)即当n＝k＋1时,3°式也成立. 故对一切n_Icirc;N_,3°式都成立.利用3°得,_sup3;1－()＝1－＝1－_gt;故2°式成立,从而结论成立.。
1989年全国高考数学试题及答案解析
1989年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)A(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是【】[Key] (2)D【】[Key] (3)C【】[Key] (4)A(A)8 (B)16(C)32 (D)48【】[Key] (5)B【】[Key] (6)C【】[Key] (7)D(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(A)4 (B)3(C)2 (D)5【】[Key] (8)B【】[Key] (9)C【】[Key] (10)D(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)(A)在区间(-1,0)上是减函数(B)在区间(0,1)上是减函数(C)在区间(-2,0)上是增函数(D)在区间(0,2)上是增函数【】[Key] (11)A(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个【】[Key] (12)C二、填空题:只要求直接填写结果.[Key] 二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .[Key][Key] (15)(-1,1)(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .[Key] (16)-2[Key] (17)必要,必要(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 .[Key] (18)三、解答题.[Key] 三、解答题.(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.证法一:证法二:(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.[Key] (20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.(Ⅰ)证明:如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON.∴点O在∠BAD的平分线上.(Ⅱ)解:∴平行六面体的体积(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.[Key] (21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.解法一:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题设知对称圆的圆心C到这条直线的距离等于1,即整理得12k2+25k+12=0,故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.解法二:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是即y+kx+3(1+k)=0.这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,以下同解法一.(22)已知a>0,a≠1,试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2有解的k的取值范围.[Key] (22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解由①得 2kx=a(2+k2). ④当k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.把⑤代入②,得当k<0时得k2>1,即-∞<k<-1.当k>0时得k2<1,即0<k<1.综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.(23)是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论.[Key] (23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.解法一:假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,令n=3 得70=9a+3b+c,经整理得解得a=3,b=11,c=10.于是,对n=1,2,3下面等式成立:记S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2.设n=k时上式成立,即那么S k+1=S k+(k+1)(k+2)2也就是说,等式对n=k+1也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.解法二:因为n(n+1)2=n3+2n2+n,所以S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+…+(n3+2n2+n)=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n).由于下列等式对一切自然数n成立:由此可知综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I k表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.(Ⅰ)求f(x)在I k上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数k,求集合M k={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}.[Key] (24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.(Ⅰ)解:∵f(x)是以2为周期的函数,∴当k∈Z时,2k是f(x)的周期.又∵当x∈I k时,(x-2k)∈I0,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.即对k∈Z,当x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.(Ⅱ)解:当k∈N且x∈I k时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax,整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0.它的判别式是△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:当a<-8k时:故所求集合。
1989年高考数学试题(全国理)及答案
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分）。
1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I是全集，那么等于（ A ）（A）（B）{d} （C）{a,c} （D）{b,e}2．与函数y=x有相同图象的一个函数是（ D ）（A）（B）（C）（D）3．如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ C ）（A）（B）（C）（D）4．的值等于（ A ）（A）-1 （B）（C）（D）5．已知是等比数列，如果且的值等于（ B ）（A）8 （B）16 （C）32 （D）48 6．如果的值等于（ C ）（A）（B）（C）（D）7．设复数z满足关系式，那么z等于（ D ）（A）（B）（C）（D）8．已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ B ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）59．已知椭圆的极坐标方程是那么它的短轴长是（C ）（A）（B）（C）（D）10．如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（ D ）（A）10 （B）（C）（D）11．已知如果那么（ A ）（A）在区间（-1，0）上是减函数（B）在区间（0，1）上是减函数（C）在区间（-2，0）上是增函数（D）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ C ）（A）60个（B）48个（C）36个（D）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）13．方程的解集是_________________答案：或14．不等式的解集是____________________ 答案：15．函数的反函数的定义域是_____________ 答案：（-1，1）16．已知那么____答案：-217．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的_______条件;的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）AOB18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴之间的距离等于________________ 答案：三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分）证明：证：20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;（Ⅱ）求这个平行六面体的体积A1 B1D CN D1 C1 OA M B（Ⅰ）证：连结A1O，则A1O⊥底面ABCD作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M= A1N∴OM=ON∴点O在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1∴AO=AM又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12-AO2=∴A1O=∴平行六面体的体积V=21．（本小题满分10分）A YCO X自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程解：已知圆的标准方程是（x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是（x-2)2+(y+2)2=1,设光线L所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心（2，-2）到这条直线的距离等于1，即故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.22．（本小题满分12分）已知试求使方程有解的k的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得解得：综合得，当k在集合内取值时，原方程有解23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论解：假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得于是，对n=1,2,3下面等式成立：记设n=k时上式成立，即那么也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间上以2为周期的函数，对,用表示区间已知当时，f(x)=x2.（1）求f(x)在上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合不等的实根}解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数，∴当时，2k也是f(x)的周期又∵当时，，∴即对，当时，（2）当且时，利用（1）的结论可得方程上述方程在区间上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a，故从（2），（3）可得即当a＜-8k时：易知无解，综上所述，a应满足故所求集合。
1989年全国统一高考数学试卷(文科)
1989年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e} 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．4．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 48 5．（3分）如果（1﹣2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7，那么a 1+a 2+…+a 7的值等于（ ） A ． ﹣2 B ． ﹣1 C ． 0 D ． 26．（3分）如果的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．7．（3分）直线2x+3y ﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（ ） A ． 3x ﹣2y+2=0 B ． 2x+3y+7=0 C ． 3x ﹣2y ﹣12=0D ． 2x+3y+8=08．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 5 9．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ ） A ．10 B ．C ．D ．11．（3分）如果最小值是（ ）A ．B ．C ．﹣1 D ．12．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13．（4分）给定三点A （1，0），B （﹣1，0），C （1，2），那么通过点A 并且与直线BC 垂直的直线方程 _________ ． 14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x 2﹣3x|＞4的解集是 _________ ．15．（4分）函数的反函数的定义域是 _________ ．16．（4分）已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 _________ 条件17．（4分）已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，如果＜1，那么x 的取值范围为 _________ ．18．（4分）如图，P 是二面角α﹣AB ﹣β棱AB 上的一点，分别在α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB ﹣β的大小是 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 19．（8分）设复数，求z 的模和辐角的主值．20．（8分）证明：．21．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上； （Ⅱ）求这个平行六面体的体积．22．（10分）用数学归纳法证明（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3）．23．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．24．（12分）给定椭圆方程，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标．1989年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e}考点： 交、并、补集的混合运算． 分析： 根据交集、补集的意义直接求解．或者根据（C I M ）∩（C I N ）=C I （M ∪N ）求解． 解答： 解：C I M={b ，e}，C I N={a ，c}，∴（C I M ）∩（C I N ）=∅，故选A点评： 本题考查集合的基本运算，较容易． 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1考点： 反函数． 分析： 欲寻找与函数y=x 有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=x 是不是定义域与解析式都相同即可．解答： 解：对于A ，它的定义域为R ，但是它的解析式为y=|x|与y=x 不同，故错；对于B ，它的定义域为x≠0，与y=x 不同，故错； 对于C ，它的定义域为x ＞0，与y=x 不同，故错；对于D ，它的定义域为R ，解析式可化为y=x 与y=x 同，故正确； 故选D ．点评： 本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题． 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 计算题． 分析： 根据圆锥的侧面积公式直接解答即可． 解答： 解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C ．点评： 本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．4．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 48考点： 极限及其运算；等比数列的前n 项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题意知，所以，S n=．解答：解：∵a1+a1q+a1q2=18，a1q+a1q2+a1q3=﹣9，∴．∴，∴S n=．故选B．点评：本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用．5．（3分）如果（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0D．2考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案．解答：解：令x=1代入二项式（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7得，（1﹣2）7=a0+a1+…+a7=﹣1，令x=0得a0=1∴1+a1+a2+…+a7=﹣1∴a1+a2+…+a7=﹣2故选择A点评：本题主要考查二项式定理的应用，一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是﹣1进行求解．本题属于基础题型．6．（3分）如果的值等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：由题目中给出的角θ的范围，确定余弦值，用余弦表示sin，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答：解：∵，∴，∵∴或，∵，∴，故选C点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式．7．（3分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）D．2x+3y+8=0A．3x﹣2y+2=0 B．2x+3y+7=0 C．3x﹣2y﹣12=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．分析：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点，关于点（1，﹣1）对称点求出，验证B即可得到答案．解答：解：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点（0，2），它关于点（1，﹣1）对称点（2，﹣4），显然（2，﹣4）不在2x+3y+7=0上．故选D．点评：选择题的解法，灵活多样，本题用排除、特值、验证的方法解答．本题是基础题．8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4B．3C．2D．5考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．解答：解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3故选B．点评：本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．9．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个考点：分步乘法计数原理．分析：偶数即个位数字只能是2或4解答：解：偶数即个位数字只能是2或4，其它位置任意排放共有C21•A44=2×4×3×2×1=48个故选B点评： 分步乘法计数原理的理解，偶数怎样选，注意没有0；当然也可以用概率解答．10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ ） A ． 10 B ．C ．D ．考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题．分析：由双曲线的第二定义可知点P 到双曲线右焦点的距离和点P 到它的右准线的距离之比等于离心率，由此可以求出点P 到它的右准线的距离．解答：解：设点P 到它的右准线的距离是x ，∵， ∴，解得．故点P 到它的右准线的距离是．故选D ．点评： 本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题．11．（3分）如果最小值是（ ）A ．B ．C ．﹣1 D ．考点： 函数的值域；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 压轴题． 分析：由|x|，可进一步得到sinx 的范围，借助二次函数求最值的配方法，就可以确定出函数的最小值．解答：解：函数f （x ）=cos 2x+sinx=1﹣sin 2x+sinx=∵|x|≤，∴∴∴时，故选D ．点评：本题有两点值得注意： （1）sin 2x+cos 2x=1（2）求函数最值的有效方法之一是函数思想，即求最值建函数．12．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，D ． 在区间（0，2）0）上是增函数上是增函数考点：复合函数的单调性．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：先求出g（x）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项．解答：解：因为f（x）=8+2x﹣x2，则g（x）=f（2﹣x2）=8+2x2﹣x4=﹣（x2﹣1）2+9，因为g′（x）=﹣4x3+4x，x∈（﹣1，0），g′（x）＜0，g（x）在区间（﹣1，0）上是减函数．故选A．点评：本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）给定三点A（1，0），B（﹣1，0），C（1，2），那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程x+y﹣1=0．考点：直线的点斜式方程．分析：先求得斜率，再用点斜式求得方程．解答：解：k=﹣∴过点A的直线方程：y=﹣（x﹣1）即：x+y﹣1=0故答案是x+y﹣1=0点评：本题主要考查如何求解直线方程．14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1，或x＞4}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解．解答：解：∵|x2﹣3x|＞4∴x2﹣3x＞4 或x2﹣3x＜﹣4由x2﹣3x＞4解得x＜﹣1或x＞4，x2﹣3x＜﹣4无解∴不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}故应填{x|x＜﹣1或x＞4}点评：考查绝对值不等式的解法，用绝对值的几何意义来进行转化．15．（4分）函数的反函数的定义域是（﹣1，1）．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求反函数的定义域，可以通过求在函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可．解答：解：由得，e x=．∵ex＞0，∴．＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）．故填：（﹣1，1）点评：本题主要考查反函数的性质，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域正好相反．属于基础题．16．（4分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题；阅读型．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．解答：解：由充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．故答案为：必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．17．（4分）已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，那么x的取值范围为（3，4）．考点：指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：根据条件0＜a＜1，0＜b＜1，以及指数函数、对数函数的单调性和特殊点，把不等式进行等价转化，从而得到x的取值范围．解答：解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，∴log b（x﹣3）＞0，∴0＜x﹣3＜1，∴3＜x＜4，故答案为：（3，4）．点评：本题考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，体现了等价转化的数学思想．18．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是90°．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：本题考查的知识点是二面角及其度量，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案．解答：解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45°∴QM=QN=aPM=PN= a又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形则MN= a解三角形QMN易得∠MQN=90°故答案为：90°点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠MQN 为二面角α﹣AB﹣β的平面角，通过解∠MQN所在的三角形求得∠MQN．其解题过程为：作∠MQN→证∠MQN是二面角的平面角→计算∠MQN，简记为“作、证、算”．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）设复数，求z的模和辐角的主值．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：首先把复数提出系数，变化为复数的三角形式，根据三角形式的乘方运算法则，写出5次方的结果，从复数的三角形式上看出模长和幅角的主值．解答：解：∵=∴复数z的模为32，的模和辐角的主值为点评：本题考查复数的代数形式转化为三角形式，复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．20．（8分）证明：．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数恒等式的证明；弦切互化．分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角与，右边是单角x和倍角2x．若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子的变化，仍从角入手，将x写成﹣，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同时还要考虑变半角为单角．解答：证明：=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多要强化记忆．21．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（Ⅰ）如图利用Rt△A1NA≌Rt△A1MA证明A1M=A1N，OM=ON，即证明顶点A1在底面ABCD 的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求出底面ABCD的面积，和高A1O，然后可求几何体的体积．解答：解：（Ⅰ）证：连接A1O，则A1O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON．∴点O 在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1，∴AO=AM．又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12﹣AO2=，∴A 1O=．∴平行六面体的体积V=．点评：本题考查棱柱的体积，以及射影问题，考查学生逻辑思维能力，是基础题．22．（10分）用数学归纳法证明（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3）．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．解答：证明：当n=1时，左边=﹣14，右边=﹣1•2•7=﹣14，等式成立假设当n=k时等式成立，即有（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）++[（2k﹣1）（2k）2﹣2k（2k+1）2]=﹣k（k+1）（4k+3）那么当n=k+1时，（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）++[（2k﹣1）（2k）2﹣2k（2k+1）2]+[（2k+1）（2k+2）2﹣（2k+2）（2k+3）2]=﹣k（k+1）（4k+3）﹣2（k+1）[4k2+12k+9﹣4k2﹣6k﹣2]=﹣（k+1）[4k2+3k+2（6k+7）]=﹣（k+1）[4k2+15k+14]=﹣（k+1）（k+2）（4k+7）=﹣（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据以上论证可知等式对任何n∈N都成立．点评：本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是要用上归纳假设．23．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件可知，原方程的解x应满足，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得．解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．点评：解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．24．（12分）给定椭圆方程，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：设所求双曲线的方程是，由题设知c2=α2+β2=a2﹣b2．由方程组，解得交点的坐标满足．由此可推出相应的四边形顶点坐标．解答：解：设所求双曲线的方程是由题设知c2=α2+β2=a2﹣b2．由方程组解得交点的坐标满足．由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积因为S与同时达到最大值，所以当时达到最大值2ab这时，因此，满足题设的双曲线方程是．相应的四边形顶点坐标是．点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．。
1989年全国高考数学试题及答案
1989年全国高考数学试题(理工农医类)一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)A(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是【】[Key] (2)D【】[Key] (3)C【】[Key] (4)A(A)8 (B)16(C)32 (D)48【】[Key] (5)B【】[Key] (6)C【】[Key] (7)D(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(A)4 (B)3(C)2 (D)5【】[Key] (8)B【】[Key] (9)C【】[Key] (10)D(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)(A)在区间(-1,0)上是减函数(B)在区间(0,1)上是减函数(C)在区间(-2,0)上是增函数(D)在区间(0,2)上是增函数【】[Key] (11)A(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个【】[Key] (12)C二、填空题:只要求直接填写结果.[Key] 二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .[Key][Key] (15)(-1,1)(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .[Key] (16)-2[Key] (17)必要,必要(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 .[Key] (18)三、解答题.[Key] 三、解答题.(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.证法一:证法二:(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.[Key] (20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.(Ⅰ)证明:如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON.∴点O在∠BAD的平分线上.(Ⅱ)解:∴平行六面体的体积(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.[Key] (21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.解法一:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题设知对称圆的圆心C到这条直线的距离等于1,即整理得12k2+25k+12=0,故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.解法二:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是即y+kx+3(1+k)=0.这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,以下同解法一.(22)已知a>0,a≠1,试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2有解的k的取值范围.[Key] (22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解由①得 2kx=a(2+k2). ④当k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.把⑤代入②,得当k<0时得k2>1,即-∞<k<-1.当k>0时得k2<1,即0<k<1.综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.(23)是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论.[Key] (23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.解法一:假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,令n=3 得70=9a+3b+c,经整理得解得a=3,b=11,c=10.于是,对n=1,2,3下面等式成立:记S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2.设n=k时上式成立,即那么S k+1=S k+(k+1)(k+2)2也就是说,等式对n=k+1也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.解法二:因为n(n+1)2=n3+2n2+n,所以S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+…+(n3+2n2+n)=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n).由于下列等式对一切自然数n成立:由此可知综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I k表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.(Ⅰ)求f(x)在I k上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数k,求集合M k={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}.[Key] (24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.(Ⅰ)解:∵f(x)是以2为周期的函数,∴当k∈Z时,2k是f(x)的周期.又∵当x∈I k时,(x-2k)∈I0,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.即对k∈Z,当x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.(Ⅱ)解:当k∈N且x∈I k时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax,整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0.它的判别式是△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:当a<-8k时:故所求集合。
1989年全国高考数学(理科)试题
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题满分36分，共12个小题.每一个小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.1.如果{},,,,I a b c d e =，{},,M a c d =，{},,N b d e =，其中I 是全集，那么()()I I C M C N =A. ∅B. {}dC. {},a cD. {},b e2.与函数y x =有相同图象的一个函数是A.yB.2x y x = C.log ,(0,1)a x y a a a =>≠ D.log ,(0,1)x a y a a a =>≠3.，高为2，那么它的侧面积是A. B. C. D. 4.43cos[arcsin()arccos()]55---的值等于A. 1-B. 725-C. 725D. 5- 5.已知{}n a 是等比数列，如果12318a a a ++=，2349a a a ++=-，12n n S a a a =+++，那么lim n n S →∞= A. 8 B. 16 C. 32 D. 486.如果1cos 5θ=，532πθπ<<，那么sin 2θ的值等于A. C. 7.设复数z 满足关系式2z z i +=+，那么z 等于 A. 34i -+B. 34i - C. 34i -- D. 34i + 8.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是A. 2B. 3C. 4D. 59.已知椭圆的极坐标方程是532cos ρθ=-，那么它的短轴的长是 A. 10310.如果双曲线2216436x y -=上一点P 到它的有焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是A. 10D. 32511.已知2()82f x x x =+-,如果2()(2)g x f x =-,那么()g xA.在区间(1,0)-上是减函数B.在区间(0,1)上是减函数C.在区间(2,0)-上是增函数D.在区间(0,2)上是增函数12.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有A.60个B.48个C.36个D.24个二、填空题: 本题满分24分，共6个小题，每小题4分，只要求直接填写结果.13.方程sin x x =的解集是 .14.不等式234x x ->的解集是 .15.函数11x x e y e -=+的反函数的定义域是 . 16.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++,那么127a a a +++= .17.已知,A B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 条件；A 是B 的 条件.18.如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4, ,A B 两点分别在两底面的圆周上,并且5AB =,那么直线AB 与轴OO '之间的距离等于 .三、解答题. 本题满分60分，共6个小题19.证明：（本小题满分8分）32sin tan tan 22cos cos 2x x x x x-=+. 20. （本小题满分10分） A BO O '如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知5AB =，4AD =,13AA =, AB AD ⊥,113A AB A AD π∠=∠= (1)求证:顶点1A 在底面ABCD 的射影O 在BAD ∠的平分线上；(2)求这个平行六面体的体积.21.（本小题满分10分） 自点(3,3)A -发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线L 所在直线的方程.22.（本小题满分12分）已知0,1a a >≠,试求使方程222log ()log ()a a x a x a -=-有解的k 的取值范围.23.（本小题满分10分）是否存在常数,,a b c 使得等式2222(1)1223(1)()12n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论.24.（本小题满分10分）设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上以2为周期的函数,对k Z ∈,用k I 表示区间(]21,21k k -+,已知当0x I ∈时2()f x x =.(1)求()f x 在k I 上的解析表达式;(2)对自然数k ,求集合{k M a =是方程()f x ax =在k I 上有两个不相等的实根}.A B CD O A 1B 1C 1D 1。
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y = （B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π244．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ） （A ）-1 （B ）257-（C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++ 且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ） （A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ） （A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5 9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ D ） （A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ） （A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________答案：}Z k ,12)1k 2(x ,127k 2x |x {∈π+π+=π+π=或 或}Z k ,34)1(k x |x {k ∈π+π-+π=14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________ 答案：}4x ,1x |x {>-<或15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________答案：（-1，1）16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____答案：-217．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________ 答案：233 三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分）证明：x2cos x cos xsin 22x tg 2x 3tg+=- 证：2x cos2x 3cos x sin 2x cos 2x 3cos 2x sin2x 3cos 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x sin 2x 3cos 2x 3sin 2x tg 2x 3tg =-=-=-Bx2cos x cos xsin 2+=20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积（Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M= A 1N ∴OM=ON ∴点O 在∠BAD 的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA 1,232133cos=⋅=π∴AO=AM .2234csc =π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,29299=-∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022345=⋅⋅21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程 解：已知圆的标准方程是 （x-2)2+(y-2)2=1,D 1 C 1A 1B 1A YC它关于x 轴的对称圆的方程是 （x-2)2+(y+2)2=1, 设光线L 所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k 待定）由题设知对称圆的圆心C '（2，-2）到这条直线的距离等于1，即.34k ,43k :,012k 25k 12:.k 1|5k 5|d 22-=-==++++=或解得整理得故所求的直线方程是),3x (343y ),3x (433y +-=-+-=-或 即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log )ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222 由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解 当k ≠0时，（4）的解是)5(.k2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+解得：.1k 01k <<-<<∞-或综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解 23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论解：假设存在a,b,c 使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得.10c ,11b ,3a :.10c b 3a 9,44c b 3a 4,24c b a ===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++解得 于是，对n=1,2,3下面等式成立：).10n 11n 3(12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 记.)1n (n 3221S 222n ++⋅+⋅=设n=k 时上式成立，即),10k 11k 3(12)1k (k S 2k +++=那么222k 1k )2k )(1k ()10k 11k 3(12)1k (k )2k )(1k (S S ++++++=+++=+ 2)2k )(1k ()5k 3)(2k (12)1k (k ++++++=]10)1k (11)1k (3[12)2k )(1k ()24k 12k 5k 3(12)2k )(1k (22++++++=+++++=也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n 成立 24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用kI 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根}解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数， ∴当Z k ∈时，2k 也是f(x)的周期 又∵当k I x ∈时，0I )k 2x (∈-， ∴.)k 2x ()k 2x (f )x (f 2-=-=即对Z k ∈，当k I x ∈时，.)k 2x ()x (f 2-=（2）当Z k ∈且k I x ∈时，利用（1）的结论可得方程).k 8a (a k 16)a k 4(.0k 4)a k 4(x :,ax )k 2x (22222+=-+=∆=++-=-它的判别式是整理得上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+].)k 8a (a a k 4[211k 2],)k 8a (a a k 4[211k 2,0)k 8a (a ⎪⎩⎪⎨⎧-≤++<+>+).3(,a 2)k 8a (a )2(,a 2)k 8a (a )1(,0)k 8a (a 化简得由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a ，故从（2），（3） 可得,a 2)k 8a (a -≤+即1k 21a 0.2a ,1)1k 2(.0a 2,)a 2()k 8a (a 2+≤<⎩⎨⎧<≤+⎩⎨⎧>--≤+即即 当a ＜-8k 时：,0k 82a 2<-<+ 易知a 2)k 8a (a +<+无解， 综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<故所求集合}1k 21a 0|a {M k +≤<=。
1989年高考数学试题(全国理)及答案
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分）。
1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ） （A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y =（B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y xa log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π244．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ）（A ）-1 （B ）257-（C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）48 6．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ） （A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）515 7．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ） （A ）i 43+-（B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+ 8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5 9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）3210．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ D ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数（C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________答案：}Z k ,12)1k 2(x ,127k 2x |x {∈π+π+=π+π=或或}Z k ,34)1(k x |x {k ∈π+π-+π= 14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________答案：}4x ,1x |x {>-<或15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________答案：（-1，1）16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____答案：-217．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________ 答案：233 三．解答题（本题满分60分，共6个小题.） 19．（本小题满分8分） 证明：x2cos x cos x sin 22x tg 2x 3tg +=- 证：2x cos2x 3cos x sin 2x cos 2x 3cos 2xsin2x 3cos 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x sin 2x 3cos 2x 3sin2x tg 2x 3tg =-=-=-x 2cos x cos x sin 2+= 20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π （Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上;（Ⅱ）求这个平行六面体的体积（Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M= A 1N ∴OM=ON∴点O 在∠BAD 的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA 1,232133cos =⋅=π∴AO=AM .2234csc =π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,29299=- ∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022345=⋅⋅21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程解：已知圆的标准方程是（x-2)2+(y-2)2=1,它关于x 轴的对称圆的方程是 （x-2)2+(y+2)2=1,设光线L 所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k 待定）由题设知对称圆的圆心C '（2，-2）到这条直线的距离等于1，即234:1225120,:,.43d k k k k =++==-=-整理得解得或故所求的直线方程是),3x (343y ),3x (433y +-=-+-=-或 即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log)ak x (log 222aa -=-有解的k 的取值范围 解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解当k ≠0时，（4）的解是 )5(.k 2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+ 解得：.1k 01k <<-<<∞-或 综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解123．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论 解：假设存在a,b,c 使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得.10c ,11b ,3a :.10c b 3a 9,44c b 3a 4,24c b a ===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++解得 于是，对n=1,2,3下面等式成立：).10n 11n 3(12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 记.)1n (n 3221S 222n ++⋅+⋅= 设n=k 时上式成立，即),10k 11k 3(12)1k (k S 2k +++= 那么222k 1k )2k )(1k ()10k 11k 3(12)1k (k )2k )(1k (S S ++++++=+++=+2)2k )(1k ()5k 3)(2k (12)1k (k ++++++=22(1)(2)(1)(2)(351224)[3(1)11(1)10]1212k k k k k k k k k ++++=+++=++++也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n 成立 24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用k I 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根} 解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数， ∴当Z k ∈时，2k 也是f(x)的周期又∵当k I x ∈时，0I )k 2x (∈-，∴.)k 2x ()k 2x (f )x (f 2-=-= 即对Z k ∈，当k I x ∈时，.)k 2x ()x (f 2-= （2）当Z k ∈且k I x ∈时，利用（1）的结论可得方程).k 8a (a k 16)a k 4(.0k 4)a k 4(x :,ax )k 2x (22222+=-+=∆=++-=-它的判别式是整理得上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+].)k 8a (a a k 4[211k 2],)k 8a (a a k 4[211k 2,0)k 8a (a ⎪⎩⎪⎨⎧-≤++<+>+).3(,a 2)k 8a (a )2(,a 2)k 8a (a )1(,0)k 8a (a 化简得由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a ，故从（2），（3）可得,a 2)k 8a (a -≤+即1k 21a 0.2a ,1)1k 2(.0a 2,)a 2()k 8a (a 2+≤<⎩⎨⎧<≤+⎩⎨⎧>--≤+即即当a ＜-8k 时：,0k 82a 2<-<+易知a 2)k 8a (a +<+无解，综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<故所求集合}1k 21a 0|a {M k +≤<=。
1989年高考数学试题(文理科)
一九八九年（理科）考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。
）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ） （A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y = （B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ）（A ）-1 （B ）257-（C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ）（A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ）（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）59．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ D ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个 二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试89(附答案)
高考数学普通高等学校招生全国统一考试89参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合M ＝｛x|3x0x 1≥（－）｝，N ＝｛y|y ＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则M ⋂N ＝（ C ） A ．∅ B. {x|x ≥1} C.｛x|x >1｝ D. {x| x ≥1或x <0}解：M ＝｛x|x >1或x ≤0｝，N ＝｛y|y ≥1｝故选C2、已知复数z ＋3i ）z ＝3i ，则z ＝（ D ）A ．32 B. 34 C. 32 D.34解：z 故选D3、若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ D ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a解： 故选D4、设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A •＝－4则点A 的坐标是（B ）A ．（2，±） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，)解：F （1，0）设A （20y 4，y 0）则O A ＝（ 20y 4，y 0），F A ＝（1－20y 4，－y 0），由O A • F A ＝－4⇒y 0＝±2，故选B5、对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ C ） A ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1）解：依题意，当x ≥1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f '（x ）≤0，f （x ）在（－∞，1）上是减函数，故f （x ）当x ＝1时取得最小值，即有f （0）≥f （1），f （2）≥f （1），故选C 6、若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的最小值是（ C ） A ．0 B. –2 C.-52D.-3 11bxb 001xx ba 11ax xa 0x x 1x 0x x bx 1011bx xx 1ax 01baxx 0a⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎪⇔⇔⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩＋＋－－－或－（＋）－或（－）或解：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－ 若a 2－≥12，即a ≤－1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）≥0⇒ －52≤x ≤－1 若a 2－≤0，即a ≥0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0若0≤a 2－≤12，即－1≤a ≤0，则应有f （a2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1≤a ≤0 综上，有－52≤a 故选C 7、已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ A ） A ．100 B. 101 C.200 D.201解：依题意，a 1＋a 200＝1，故选A8、在（x ）2006 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x 时，S 等于（B ）A.23008B.-23008C.23009D.-23009解：设（x ）2006＝a 0x 2006＋a 1x 2005＋…＋a 2005x ＋a 2006则当x 时，有a 0）2006＋a 12005＋…＋a 2005）＋a 2006＝0 （1）当x 时，有a 0）2006－a 12005＋…－a 2005）＋a 2006＝23009 （2）（1）－（2）有a 1）2005＋…＋a 2005）＝－23009÷2＝－23008 故选B9、P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ）A. 6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9故选B10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a 、p 的值分别为（ A ） A ． a =105 p=521 B.a=105 p=421 C.a=210 p=521 D.a=210 p=421 解：a ＝322742C C C 2！＝105甲、乙分在同一组的方法种数有（1） 若甲、乙分在3人组，有122542C C C2！＝15种（2） 若甲、乙分在2人组，有35C ＝10种，故共有25种，所以P ＝25510521＝ 故选A11、如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A. S 1<S 2B. S 1>S 2C. S 1=S 2D. S 1，S 2的大小关系不能确定 解：连OA 、OB 、OC 、OD则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFD V A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V AC－BEFD＝V A－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD＋S ABE＋S BEFD＝S ADC＋S AEC＋S EFC又面AEF公共，故选C12、某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ A ）A10ºBC解：结合平均数的定义用排除法求解理科数学第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。
1989年全国统一高考数学试卷(文科)
3分）与函数y=x有相同图象的一个函数是（ ）B．y=a log x．其D y=log a x．其3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ）B ．C．D．，那么S分）如果的值等于（ ）B ．C．D．分）如果双曲线上一点C ．D ．分）如果最小值是（ ）B ．C ．分）函数的反函数的定义域是 ，如果＜分）设复数，求分）证明：．AD=．，试求使方程有解的分）给定椭圆方程，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它3分）与函数y=x有相同图象的一个函数是（ ）B．y=a log x．其D y=log a x．其3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ）B ．C．D．解：圆锥的底面半径为，高为，母线长为：，那么它的侧面积：，那么S由题意知，所以，S n=．∴．∴，∴S n=．分）如果的值等于（ ）B ．C．D．sin，求出结果，容易出错的地方是，∵，∴，∵∴或，∵，∴，，半径为，的圆的半径是，，分）如果双曲线上一点C ．D．到双曲线右焦点的距离和点∵，∴，解得．故点到它的右准线的距离是．故选分）如果最小值是（ ）B ．C ．|x|，可进一步得到x+sinx= |x|≤，∴∴∴时，故选D．k=﹣分）函数的反函数的定义域是 （解：由得，=．∵ex＞0，∴．＞，如果＜，如果＜QM=QN=aPM=PN=aMPN=60°MN=a解三角形QMN分）设复数，求=，的模和辐角的主值为分）证明：．等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角与，右边是单角写成﹣，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同时还要考虑变证明：=AD=．的平分线上，1AO=AM．=，O=．V=．，试求使方程有解的应满足，当（因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性应满足因此只需解）的解是，得．分）给定椭圆方程，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它设所求双曲线的方程是，由题设知，解得交点的坐标满足．由此可推出相应的四边形解：设所求双曲线的方程是由方程组解得交点的坐标满足．与同时达到最大值，所以当时达到最大值这时，因此，满足题设的双曲线方程是．．。
1989年高考数学试题(文理科)
一九八九年（理科）考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。
）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e} 2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y = （B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ）（A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ）（A ）-1 （B ）257-（C ）257（D ）510-5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于（ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）48 6．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ）（A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于（ D ）（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+ 8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5 9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ D ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g（ A ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ）（A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个 二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分。
1989高考数学全国卷及答案理
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y = （B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π244．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ） （A ）-1 （B ）257-（C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++ 且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ） （A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ） （A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5 9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ D ） （A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ） （A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________答案：}Z k ,12)1k 2(x ,127k 2x |x {∈π+π+=π+π=或 或}Z k ,34)1(k x |x {k ∈π+π-+π=14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________ 答案：}4x ,1x |x {>-<或15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________答案：（-1，1）16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____答案：-217．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________ 答案：233 三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分）证明：x2cos x cos xsin 22x tg 2x 3tg+=- 证：2x cos2x 3cos x sin 2x cos 2x 3cos 2x sin2x 3cos 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x sin 2x 3cos 2x 3sin 2x tg 2x 3tg =-=-=-Bx2cos x cos xsin 2+=20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积（Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M= A 1N ∴OM=ON ∴点O 在∠BAD 的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA 1,232133cos=⋅=π∴AO=AM .2234csc =π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,29299=-∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022345=⋅⋅21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程解：已知圆的标准方程是 （x-2)2+(y-2)2=1,D 1 C 1A 1B 1A YC它关于x 轴的对称圆的方程是 （x-2)2+(y+2)2=1, 设光线L 所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k 待定）由题设知对称圆的圆心C '（2，-2）到这条直线的距离等于1，即.34k ,43k :,012k 25k 12:.k 1|5k 5|d 22-=-==++++=或解得整理得故所求的直线方程是),3x (343y ),3x (433y +-=-+-=-或 即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log )ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222 由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解当k ≠0时，（4）的解是)5(.k2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+解得：.1k 01k <<-<<∞-或综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论解：假设存在a,b,c 使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得.10c ,11b ,3a :.10c b 3a 9,44c b 3a 4,24c b a ===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++解得 于是，对n=1,2,3下面等式成立：).10n 11n 3(12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 记.)1n (n 3221S 222n ++⋅+⋅=设n=k 时上式成立，即),10k 11k 3(12)1k (k S 2k +++=那么222k 1k )2k )(1k ()10k 11k 3(12)1k (k )2k )(1k (S S ++++++=+++=+ 2)2k )(1k ()5k 3)(2k (12)1k (k ++++++=]10)1k (11)1k (3[12)2k )(1k ()24k 12k 5k 3(12)2k )(1k (22++++++=+++++=也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n 成立24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用kI 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根}解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数， ∴当Z k ∈时，2k 也是f(x)的周期又∵当k I x ∈时，0I )k 2x (∈-， ∴.)k 2x ()k 2x (f )x (f 2-=-=即对Z k ∈，当k I x ∈时，.)k 2x ()x (f 2-=（2）当Z k ∈且k I x ∈时，利用（1）的结论可得方程).k 8a (a k 16)a k 4(.0k 4)a k 4(x :,ax )k 2x (22222+=-+=∆=++-=-它的判别式是整理得上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+].)k 8a (a a k 4[211k 2],)k 8a (a a k 4[211k 2,0)k 8a (a ⎪⎩⎪⎨⎧-≤++<+>+).3(,a 2)k 8a (a )2(,a 2)k 8a (a )1(,0)k 8a (a 化简得由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a ，故从（2），（3） 可得,a 2)k 8a (a -≤+即1k 21a 0.2a ,1)1k 2(.0a 2,)a 2()k 8a (a 2+≤<⎩⎨⎧<≤+⎩⎨⎧>--≤+即即 当a ＜-8k 时：,0k 82a 2<-<+ 易知a 2)k 8a (a +<+无解， 综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<故所求集合}1k 21a 0|a {M k +≤<=。
(详细解析)1989年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
1989年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分.一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果{}{}{},,,,,,,,,,I a b c d e M a c d N b d e ===，其中I 是全集，那么M N 等于A ．∅B ．{}dC ．{},a cD ．{},b e 【答案】A 【解析】{}{},,MN b e a c ==∅．2．与函数y x =有相同图象的一个函数是A ．y =B ．2x y x=C ．log a xy a =，其中0,1a a >≠ D ．log x a y a =，其中0,1a a >≠【答案】D【解析】表示相同图象函数满足定义域和值域相同．A 中0y ≥；B 中0x ≠；C 中0x ≥，其中0,1a a >≠只有D 正确．3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】母线长l =S rl ππ===侧．4．已知{}n a 是等比数列，如果122312,6a a a a +=+=-且12n n S a a a =+++，那么lim n n S →∞的值等于A ．8B ．16C ．32D ．48 【答案】B【解析】两式相除得12q =-，则124a =，所以124[1()]2lim lim 1611()2nn n n S →∞→∞--==--．5．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，那么127a a a +++的值等于A ．2-B ．1-C ．0D ．2 【答案】A【解析】令1x =得70127(121)a a a a -⨯=++++，即01271a a a a ++++=-，又令0x =得70(120)a -⨯=，即01a =，所以1272a a a +++=-．6．如果15|cos |,352πθθπ=<<，那么sin 2θ的值等于 A ．510- B ．510 C ．515- D ．515 【答案】C【解析】由题设531,cos 4225πθπθ<<=-，∴sin 2θ===7．直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线是 A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --= D ．2380x y ++= 【答案】D【解析】设所求直线方程为230(6)x y m m ++=≠-=，解得8m =，所以所求直线方程为2380x y ++=．8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是A ．4B ．3C ．2D ．5 【答案】B【解析】设求的半径为r 1=，解得3r =．9．由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ．24个 【答案】B【解析】个位数为2,4时五位数为偶数，共有142448C A =个．10．如果双曲线2216436x y -=上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是A ．10B ．7732 C ．72 D ．532【答案】D【解析】由已知得8,6,10a b c ===，离心率54e =，点P 到它的右准线的距离d ，则854d =，得325d =．11．如果||4x π≤，那么函数2()cos sin f x x x =+最小值是 A ．212- B ．221+- C ．1- D ．221- 【答案】D【解析】2215()1sin sin (sin )24f x x x x =-+=--+，又sin 22x -≤≤，所以当sin 2x =-时函数有最小值221-．12．已知2()82f x x x =+-，如果2()(2)g x f x =-，那么()g x A ．在区间(2,0)-上是增函数 B ．在区间(0,2)上是增函数C ．在区间(1,0)-上是减函数D ．在区间(0,1)上是减函数 【答案】A【解析】22()82(1)9f x x x x =+-=--+，其单调增区间为(,1)-∞，单调减区间为(1,)+∞；而222()(2)(1)9g x f x x =-=--+，令221,t x u t =-=，所以2()9g x t =-+，两函数单调性相同，故A 正确．二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分.）13．给定三点(1,0),(1,0),(1,2)A B C -，那么通过点A 并且与直线BC 垂直的直线方程 ． 【答案】10x y +-=【解析】2011(1)BC k -==--，所求垂线斜率为1-，所求直线方程为10x y +-=．14．不等式2|3|4x x ->的解集是 ． 【答案】{|1x x <-或4}x >【解析】22|3|434x x x x ->⇒->或234x x -<-，解得{|1x x <-或4}x >，而234x x -<-无解．15．函数11x x e y e -=+的反函数的定义域是 ．【答案】(1,1)-【解析11x x e y e -=+的反函数为1ln 1x y x +=-，所以101x x +>-，解得(1,1)x ∈-．16．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 条 件；A 是B 的 条件． 【答案】2-【解析】令1x =得70127(121)a a a a -⨯=++++，即01271a a a a ++++=-，又令0x =得70(120)a -⨯=，即01a =，所以1272a a a +++=-．17．已知01,01a b <<<<，如果log (3)1b x a -<，那么x 的取值范围是 ．【答案】(3,4)【解析】由已知得log (3)0b x ->，又01b <<，所以0(3)1x <-<，得(3,4)x ∈．18．如图，P 是二面角AB αβ--棱AB 上的一点，分别在,αβ上引射线,PM PN ，如果45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒，那么二面角AB αβ--的大小是 ． 【答案】900 【解析】略．三．解答题（本题满分60分，共6个小题.） 19．（本小题满分8分）设复数5(1)z =，求z 的模和辐角的主值．【解】55551552525(13)2()32(cos sin )32(cos sin )23333i i i ππππ-==+=+32(cossin )33i ππ=+∴复数z 的模为32，的模和辐角的主值为3π．20．（本小题满分8分）证明：32sin tantan 22cos cos 2x x x x x-=+．α M P B A β N【证明】方法一：333sinsin sin cos cos sin3222222tan tan 22cos cos cos cos2222x x x x x xx x --=-= 3sin()sin 2sin 2233cos cos 2cos cos cos cos2222x x x x x x x x x x -===+． 方法二：333sin()sin cos cos sin2sin sin 222222333cos cos 2cos cos cos cos cos cos222222x x x x x x x x x x x x x x x x --===+ 3sin sin322tan tan 322cos cos 22x x x x x x =-=-．21．（本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，已知15,4,3,AB AD AA AB AD ===⊥，113A AB A AD π∠=∠=．（Ⅰ）求证：顶点1A 在底面ABCD 的射影O 在BAD ∠的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．（Ⅰ）证明：连结1AO ，则1AO ⊥底面ABCD ．作OM AB ⊥交AB 于M ，作O N A D ⊥交AD 于N ，连结11,A M A N ．由三垂线定理得11,A M AB A N AD ⊥⊥． ∵11AAM AA N ∠=∠，∴11RtA NA RtAMA ≅． ∴11A M A N =．∴OM ON =． ∴点O 在BAD ∠的平分线上．（Ⅱ）∵113cos3322AM AA π==⋅=，∴csc 4AO AM π==又在职1Rt AOA ∆中，2221199922AO AA AO =-=-=，∴1A O =∴平行六面体的体积54V =⋅22．（本小题满分10分）用数学归纳法证明222222(1223)(3445)[(21)(2)2(21)]n n n n ⋅-⋅+⋅-⋅++--+(1)(43)n n n =-++．证：当n=1时，左边=-14,右边=-1·2·7=-14，等式成立 假设当n=k 时等式成立，即有).3k 4)(1k (k ])1k 2(k 2)k 2)(1k 2[()5443()3221(222222++-=+--++⋅-⋅+⋅-⋅那么 当n=k+1时，].3)1k (4][1)1k )[(1k ()7k 4)(2k )(1k (]14k 15k 4)[1k ()]7k 6(2k 3k 4)[1k (]2k 6k 49k 12k 4)[1k (2)3k 4)(1k (k ])3k 2)(2k 2()2k 2)(1k 2[(])1k 2(k 2)k 2)(1k 2[()5443()3221(222222222222+++++-=+++-=+++-=++++-=---+++-++-=++-++++--++⋅-⋅+⋅-⋅这就是说，当n=k+1时等式也成立根据以上论证可知等式对任何N n ∈都成立 23．（本小题满分12分）已知0,1a a >≠，试求使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围．【解】由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足22222(),0,0.x ak x a x ak x a ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩当①，②同时成立时，③显然成立，因此只需解222(),0,x ak x a x ak ⎧-=-⎨->⎩由①得22(1)kx a k =+． ④ 当0k =时，由0a >知④无解，因而原方程无解．当0k ≠时，④的解是2(1)2a k x k+=． ⑤把⑤代入②，得212k k k+>．当0k <时得21k <，解得1k -∞<<-．当0k >时得21k <，解得01k <<．综合得，当k 在集合(,1)(0,1)-∞-内取值时，原方程有解．24．（本小题满分12分）给定椭圆方程22221(0)x y a b b a+=>>，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标解：设所求双曲线的方程是22221x y αβ-=-由题设知22222c a b αβ=+=-由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=α--α=+1,1222222222c y x a y b x 解得交点的坐标满足22222222,(1)b x y a c c αα==-，即||,||b x y c α==． 由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积4||4S xy ab ==因为S 与2222(1)c cαα-同时达到最大值，所以当21(2a c =时达到最大值2ab ． 这时222222221111(),()2222c a b c a b αβ==-==-， 因此，满足题设的双曲线方程是222222111()()22x y a b a b -=---．相应的四边形顶点坐标是(,),(,),(,,)22222222b a a ---．。
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1989年全国高考数学试题及答案解析
(理工农医类)
一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.
【】
[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)A
(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是
【】
[Key] (2)D
【】
[Key] (3)C
【】
[Key] (4)A
(A)8 (B)16
(C)32 (D)48
【】
[Key] (5)B
【】
[Key] (6)C
【】
[Key] (7)D
(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是
(A)4 (B)3
(C)2 (D)5
【】
[Key] (8)B
【】
[Key] (9)C
【】
[Key] (10)D
(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)
(A)在区间(-1,0)上是减函数
(B)在区间(0,1)上是减函数
(C)在区间(-2,0)上是增函数
(D)在区间(0,2)上是增函数
【】
[Key] (11)A
(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有
(A)60个(B)48个
(C)36个(D)24个
【】
[Key] (12)C
二、填空题:只要求直接填写结果.
[Key] 二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.
(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .
[Key]
[Key] (15)(-1,1)
(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .
[Key] (16)-2
[Key] (17)必要,必要
(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 .
[Key] (18)
三、解答题.
[Key] 三、解答题.
(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.
证法一:
证法二:
(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;
(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.
[Key] (20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.
(Ⅰ)证明:
如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.
由三垂线定理得
A1M⊥AB,A1N⊥AD.
∵∠A1AM=∠A1AN,
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.
∴A1M=A1N.
∴OM=ON.
∴点O在∠BAD的平分线上.
(Ⅱ)解:
∴平行六面体的体积
(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.
[Key] (21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.
解法一:
已知圆的标准方程是
(x-2)2+(y-2)2=1,
它关于x轴的对称圆的方程是
(x-2)2+(y+2)2=1.
设光线L所在直线的方程是
y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).
由题设知对称圆的圆心C到这条直线的距离等于1,即
整理得
12k2+25k+12=0,
故所求的直线方程是
即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.
解法二:
已知圆的标准方程是
(x-2)2+(y-2)2=1.
设光线L所在直线的方程是
y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).
由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是
因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是
即y+kx+3(1+k)=0.
这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,
以下同解法一.
(22)已知a>0,a≠1,试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2有解的k的取值范围.
[Key] (22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.
解:
由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足
当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解
由①得 2kx=a(2+k2). ④
当k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.
把⑤代入②,得
当k<0时得k2>1,即-∞<k<-1.
当k>0时得k2<1,即0<k<1.
综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.
(23)是否存在常数a,b,c使得等式
对一切自然数n都成立？并证明你的结论.
[Key] (23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.解法一:
假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,
令n=3 得70=9a+3b+c,
经整理得
解得
a=3,b=11,c=10.
于是,对n=1,2,3下面等式成立:
记S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2.
设n=k时上式成立,即
那么
S k+1=S k+(k+1)(k+2)2
也就是说,等式对n=k+1也成立.
综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.
解法二:
因为n(n+1)2=n3+2n2+n,所以
S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2
=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+…+(n3+2n2+n)
=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n).
由于下列等式对一切自然数n成立:
由此可知
综上所述,当a=3,b=11,c=10时,
题设的等式对一切自然数n成立.
(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I k表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.
(Ⅰ)求f(x)在I k上的解析表达式;
(Ⅱ)对自然数k,求集合M k={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}.
[Key] (24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.
(Ⅰ)解:∵f(x)是以2为周期的函数,
∴当k∈Z时,2k是f(x)的周期.
又∵当x∈I k时,(x-2k)∈I0,
∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
即对k∈Z,当x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.
(Ⅱ)解:当k∈N且x∈I k时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax,
整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0.
它的判别式是
△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).
上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足
化简得
由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:
当a<-8k时:
故所求集合。