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天津市滨海新区2017届高三12月八校联考数学(理)试卷Word版含答案

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天津市十二区县重点中学2017高三毕业班联考(数学理)(含答案)word版

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• 锥体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高.π π 22017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页.考试结束后，将 II 卷和答题卡一并交回.第 I 卷（选择题，共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它 答案，不能答在试卷上.参考公式：·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P ( AB ) = P ( A ) + P (B )•柱体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.13一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1. 已知复数 z = 1 - i ，则z 2 z - 1=A. 2B. －2C. 2iD. －2i2．命题“函数 y = f ( x ) ( x ∈ M ) 是偶函数”的否定是A ． ∀x ∈ M ， f (- x ) ≠ f ( x )B. ∃x ∈ M ,C. ∀x ∈ M ， f (- x ) = f ( x )D. ∃x ∈ M ,f (- x ) ≠ f ( x )f (- x ) = f ( x )3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A ． 3 3 32 + π2 25 32 32 128B ． 3 3 +C ． 9 3 +D ． 9 3 +25 25 25π1.621.5正视图俯视图4. 如果执行右面的程序框图，输入 n = 6, m = 4 ，那么输出的 p 等于A ．720 B. 360 C. 180 D. 60邻交点的距离等于πA.(ππ8．已知g(x )=mx+2，f(x)=x2-，若对任意的x∈[-1,2]，总存在x∈[1,3]，x25．已知函数f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)的图象与x轴的两个相π，若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位26得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间为ππππ,) B.(-,) C.(0,) D.(-,0)434433⎧2,x>16.已知函数f(x)=⎨，则不等式f(1-x2)>f(2x)的解集是⎩(x-1)2+2,x≤1A．{x|-1<x<-1+2}B．{x|x<-1,或x>-1+2}C．{x|-1-2<x<1}D．{x|x<-1-2,或x>2-1}1 17．在平行四边形ABCD中，AE=AB,AF=AD,CE与BF相交于G点.若34AB=a,AD=b,则AG=2 1 23 3 14 2A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b777777773x2-412使得g(x)>f(x)，则m的取值范围是12A．{0}B．(-1121,1)C．(-,)D．(,1) 23322017年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）第Ⅱ卷(非选择题，共110分)(t 为参数）与曲线： ⎨y = 3sin θ ( ) ( )( )2 ( ,注意事项：1．第Ⅱ卷共 6 页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中． 2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．题号 二三15 16 17 18 1920总分分数得分 评卷人二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为．⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ ⎩ （θ 为参数） 相交于 A , B 两点,则 | AB |= ．3 511．已知离心率为 的双曲线 C :5 x 2 y 2 - a 2 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物线 y 2 = 2mx 的焦点重合，则实数 m = _________．112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23f (3) + f ( - ) 的值等于 ．213. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为 1 3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6k -1 k14. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的 五位数的个数是 ．（用数字作答）三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos 2 ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．16．（本小题满分 13 分）得分 评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作 为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 (490,495]，(495,500]，. . . ， (510,515].由此得到样本的频率分布直方图，如图所示ξ 得分 评卷人17. （本小题满分 13 分）= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 2（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设ξ 为重量超过505 克的产品数量，求 的分布列； （Ⅲ）从流水线上任取 5 件产品，估计其中恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.如图，在三棱柱 ABC - A B C 中， AB ⊥ AC ，顶点 A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ， 1 1 11且 AB = AC = A B = 2 ．1（Ⅰ）证明：平面 A AC ⊥ 平面 AB B ；1 1（Ⅱ）求棱 AA 与 BC 所成的角的大小；1（Ⅲ）若点 P 为 B C 的中点，并求出二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值．1 1 1C 1A 1B 1CAB得分 评卷人18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；e 0 n +1=⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足0 f ' ( x ) 20 = (t - 1)2 ,并确定这样的 x 的个数. x 320．（本小题满分 14 分）得分 评卷人已知数列{a n}满足： a 1= 3 ， a3a - 2 nan， n ∈ N * ．⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；nnn +1nnnn n+1的最大值．（Ⅲ）设c=n2(a-2)，求c cn n2 ( ) ( ) ( )已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．( ,2017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）答案一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） ABCB ADCB二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为 ． 答案： 4π⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ (t 为参数）与曲线： ⎨⎩ y = 3sin θ（θ 为 参数）相交于 A , B 两点,则 | AB |= ． 答案： 43 511．已知离心率为 的双曲线 C : 5 x 2 y 2 - a 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物 线y 2 = 2 的焦点重合，则实数 m = _________． 答案： -6112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23 1f (3) + f ( - ) 的值等于 ．答案： -2 413. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6 k -1 k2答案： (2k - 1)314. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是 ．（用数字作答） 答案：540三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x2 4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．x x x解：（I ） f ( x ) = m ⋅ n = 3 sin cos + cos 24 4 4----------------1 分 = 3 x 1 x 1sin + cos +2 2 2 2 2 ----------------3 分x π 1= sin( + ) + ----------------4 分2 6 2x π 1 π x π 1∵ f ( x ) = 1 ∴ sin( + ) = ∴ cos( x + ) = 1 - 2sin 2 ( + ) = -------6 分2 6 23 2 6 2（II ）∵ (2a - c )cos B = b cos C ，由正弦定理得 (2sin A - sin C )cos B = sin B cos C -----------------8 分 ∴ 2sin AcosB - sin C cos B = sin B cos C ∴ 2sin A c os B = sin( B + C ) - ----------------9 分 ∵ A + B + C = π ∴ sin( B + C ) = sin A ，且 sin A ≠ 0,∵0<B<π∴B=----------------10分262ξ得分评卷人17.（本小题满分13分）∴cos B=1π23 2π∴0<A<----------------11分3πAππ1Aπ∴<+<,<sin(+)<1----------------12分6262226Aπ13Aπ13∴1<sin(+)+<∴f(A)=sin(+)+∈(1,)---13分2622216．（本小题满分13分）得分评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，...，(510,515].由此得到样本率分布直方图，如图所示（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率.解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是40⨯(0.05⨯5+0.01⨯5)=12件-------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2（只有当下述没做或都做错时，此步写对给1分）情况，它们的频P(ξ=0)=C228=C24063C1C156C211,P(ξ=1)=1228=,P(ξ=2)=12=,130C2130C21304040（以上（Ⅱ）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1分）ξ的分布列为ξ012P 635611130130130------9分（每个2分，表1分）（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为0.3，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则ξ~B(5,0.3)，------11分故所求的概率为p(ξ=2)=C2(0.3)2(0.7)3=0.3087------13分5如图，在三棱柱ABC-A B C中，AB⊥AC，顶点A在底面ABC上的射影恰为点B，1111且AB=AC=A B=2．1（Ⅰ）证明：平面A AC⊥平面AB B；11（Ⅱ）求棱AA与BC所成的角的大小；1（Ⅲ）若点P为B C的中点，并求出二面角P-AB-A的平面角的余弦值．111证明：（Ⅰ）∵A B⊥面ABC∴A B⊥AC,------1分11又AB⊥AC，AB A B=B1∴AC⊥面AB B，------3分1∵AC⊂面A AC，∴平面A AC⊥平面AB B；------4分111（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，11 1 AA ⋅ BC8 ⋅ 8 2则 ⎨ ,由 ⎨ 得 ⎨A 12 y = 0 ⎪⎩n AB = 0 ⎪⎩ AB = (0,2,0) ⎩而平面 ABA 的法向量 n =(1,0,0)，21xAn n 2 2 55 5 n n0 0 2 0 2 2 4 2 2 2 - 0 1 3 2⎪ ⎪ 1 1 2 B5= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 21则 C (2，， )，B (0，， )，A (0，， )，B (0，， ) ，C (2,2,2) 1 1 AA = (0，， ) ， BC = B C = (2， 2， )------6 分 1 AA ⋅ BC -4 1cos 〈 AA ，BC 〉 = = =- ，1 1故 AA 与棱 BC 所成的角是 π． ------8 分 1 3（Ⅲ）因为 P 为棱 B C 的中点，故易求得 P (1，， )． ------9 分1 1设平面 PAB 的法向量为 n = (x , y , z ) ，1z⎧n AP = 0 ⎧ AP = (1,3,2) ⎧ x + 3 y + 2 z = 0 C 11B 1令 z = 1 ，则 n = (-2，0， )------11 分 1C则 cos n , n = = -=- ------12 分1 2 y12由图可知二面角 P - AB - A 为锐角1故二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值是 2 51 ------13 分得分评卷人 18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2 b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7解：（Ⅰ）由题意，| FF |= 2c = 2,∴ A (a 2 ,0) -------1 分2AF = 2 A F ∴ F 为 AF 的中点------------2 分1 221∴ a 2 = 3, b 2 = 2即：椭圆方程为x 2 y 2+ = 1. ------------3 分 3 2（Ⅱ）当直线 DE 与 x 轴垂直时， | DE |= 2 b 2 4 =a 3，此时 | MN |= 2a = 2 3 ， 四边形 DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉；------------4 分同理当 MN 与 x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉； ------------5 分 当直线 DE ， MN 均与 x 轴不垂直时，设 DE : y = k ( x + 1) ， 代入消去 y 得： (2 + 3k 2 ) x 2 + 6k 2 x + (3k 2 - 6) = 0. ------------6 分⎪⎪ 1 2 + 3k 2 设 D ( x , y ), E ( x , y ), 则⎨ ------------7 分⎪x x = 3k 2 - 6 , 3k 2 + 2 2 + 3k 2 ⎩ = . | DE | ⋅ | MN | 1 4 3(k 2 + 1) k k= ⋅ ⋅ =e 03e x 0e33⎧ - 6k 2 x + x = ,21 12 2⎪ 1 22 + 3k 24 3 ⋅ k 2 + 1所以 | x - x |= ( x + x ) 2 - 4x x = ，------------8 分 1 2 1 2 1 24 3(k 2 + 1)所以 | DE |= k 2 + 1 | x - x |= ，------------9 分1 2 同理 | MN |= 1 1 4 3[(- )2 + 1] 4 3( + 1) k k 2 1 32 + 3(- )2 2 +k k 2------------11 分所以四边形的面积 S =由 S = 27 7⇒ k 2= 2 ⇒ k = ± 2 ， ------------12 分所以直线 lDE: 2x - y + 2 = 0 或 l DE: 2x + y + 2 = 0或 l: 2x - 2 y + 2 = 0 或 l : 2x + 2 y + 2 = 0---------13 分DEDE得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足的个数.f ' ( x ) 2= (t - 1)2 ,并确定这样的 xx解：（Ⅰ）因为 f '( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x + (2 x - 3) ⋅ e x = x ( x -1)⋅ e x--------------1 分由 f '( x ) > 0 ⇒ x > 1或x < 0 ；由 f '( x ) < 0 ⇒ 0 < x < 1,所以 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减 --------------3 分 要使 f ( x ) 在 [- 2, t ]上为单调函数,则 -2 < t ≤ 0-------------4 分 （Ⅱ）因为 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减， ∴ f ( x ) 在 x = 1 处有极小值 e-------------5 分又 f (-2) = 13 e 2< e ，∴ f ( x ) 在 [ -2, +∞) 上的最小值为 f (-2) -------------7 分 从而当 t > -2 时, f (-2) < f (t ) ，即 m < n-------------8 分（Ⅲ）证：∵f ' ( x ) f ' ( x ) 20 = x 2 - x ，又∵ 0 = (t - 1)2 ， 0 0x2 ∴ x 2 - x = (t - 1)2 , 0②当 1 < t < 4 时, g (-2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = - (t - 1)2 < 0 , (t - 1)2 = - 3 n +1 = ⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； n n +1 的最大值． 3a - 2 - 2 n +1 n = =n n = 2 ≠ 0 ，∴ ⎨ n ⎬ 等比数列，且公比为 2 ，----------3 分 a - 2 ⎩ a - 2 ⎭ a - 2 2n - 1令 g ( x ) = x 2- x - 2 2 (t - 1)2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x ) = x 2 - x - (t - 1)2 =0 在 (-2, t ) 上有 3 3 解,并讨论解的个数 -------------9 分 ∵ g (-2) = 6 - 2 2 (t + 2)(t - 4) , 3 3 2 1 g (t ) = t (t - 1) - (t - 1)2 = (t + 2)(t - 1) , ---------------- 10 分 3 3① 当 t > 4或 - 2 < t < 1 时, g (-2) ⋅ g (t ) < 0 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且只有一解 ---------------- 11 分2 3所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且有两解 ------------------- 12 分③当 t = 1 时, g ( x ) = x 2 - x = 0 ⇒ x = 0或x = 1 ,故 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有且只有一解；当 t = 4 时, g ( x ) = x 2 - x - 6 = 0 ⇒ x = -2或x = 3 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, 4) 上也有且只有一解 ------------------- 13 分综上所述, 对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ,满足 0 f ' ( x ) 2 0 = (t - 1)2 , e x 0 3且当 t ≥ 4或 - 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x 适合题意； 0 当1 < t < 4 时,有两个 x 适合题意. --------------14 分0 2 （说明:第（3）题也可以令ϕ ( x ) = x 2 - x , x ∈ (-2, t ) ,然后分情况证明 (t - 1)2 在其值域内,并讨论直 3 2 线 y = (t - 1)2 与函数ϕ ( x ) 的图象的交点个数即可得到相应的 x 的个数） 020．（本小题满分 14 分）得分 评卷人 已知数列{a n }满足： a 1 = 3 ， a 3a - 2 n a n ， n ∈ N * ． ⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n ⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；n n n +1 n n n （Ⅲ）设 c = n 2 (a - 2) ，求 c c n n 3a - 2 n - 1 a - 1 a 2(a - 1) 证明：（Ⅰ）∵ n +1 ， ------------2 分 a - 2 a - 2 n an又∴ a -1 2n +1 - 1 n = 2n ，解得 a = nn ； ------------4 分 （Ⅱ） b = a (a n nn +1 - 2) = 2n +1 - 1 2n +2 - 1 1 ( - 2) = 2n - 1 2n +1 - 1 2n - 1 ，------------5 分2 22 2n -1 [1- ( )n -1] = 1 + 2 2 1 2 n n +1 = 7∴当 n ≥ 2 时， b = n 1 1 1 = < ------------6 分 2n - 1 2n -1 + 2n -1 - 1 2n -11 1 1 S = b + b + b + + b < 1 + + + + n 123 n 1 1 1 = 2 - ( )n -1 < 2 ------------8 分 1 - 2 （Ⅲ） c = n 2 (a - 2) = n n n 2 n 2 (n + 1)2 ⇒ c c 2n - 1 (2n - 1)(2n +1 - 1) ----------9 分令 c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ > 1 ------------10 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n ⇒ [(n + 2)2 - 4n 2 ]2n > (n + 2)2 - n 2 ------------11 分⇒ (3n + 2)(2 - n )2n > 4n + 4 ⇒ n = 1c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ < 1 ⇒ n ≥ 2 ------------12 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n 所以： c c < c c > c c > 1 2 2 3 3 4 12 故 (c c ) = c c = ． ------------14 分 n n +1 max 2 3。

[精品]2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷及解析答案word版(理科)

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2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N=|x∈Z|＜2x+1＜4}，则M∩N=（）A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．∅2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．B．﹣3 C．D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（）A．5 B．4 C．3 D．24．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若cosA=，bcosC+ccosB=2，则△ABC外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π6．（5分）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x．若f（log 3x）+f（log x）≤2f（1），则x的取值范围（）A．（﹣∞]∪[3，+∞）B．[，3]C．[，1]D．[1，3]8．（5分）定义在R上的函数y=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知i是虚数单位，若复数z=（m∈R）是纯虚数，则m=．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）设a=cosxdx，则（a+）6展开式中的常数项为．12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．则直线l与圆C相交所得弦长为．13．（5分）已知抛物线（t为参数），过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），|AF|=3|FB|，过AB的中点且垂于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为．14．（5分）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=，=，则+的最小值为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值和最小值．16．（13分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店；5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取4名，求至多有一名倾向于选择实体店的女性购物者的概率；（Ⅱ）若分别从男性购物者和女性购物者中各随机抽取2名，设X表示抽到倾向于选择网购的人数，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABE，∠EAB=∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=AD=AE，P为线段BE的中点．（Ⅰ）求证：CP∥平面DAE；（Ⅱ）求平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在一点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知正项数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，且b n﹣b n=．+1（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n，并证明≤T n＜对一切n∈N*都成立．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）离心率为，它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，一条直线l与椭圆交于M、N两点，直线OM、ON的斜率之积为﹣，求△MON的面积．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2，g（x）=+x，且直线y=﹣是曲线y=f （x）的一条切线．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围；（Ⅲ）已知方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），若b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，求证：m＜0．2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N=|x∈Z|＜2x+1＜4}，则M∩N=（）A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．∅【解答】解：集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，则M∩N={﹣1，0}故选：B2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．B．﹣3 C．D．1【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由解得A（0，1）化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A（0，1）时，目标函数有最大值，为z=1+0=1．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：根据题意，得a=2017，i=1，b=﹣，i=2，a=﹣，b=，i=3，a=，b=2017，不满足b≠x，退出循环，输出i的值为3．故选：C．4．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”⇔△=a2﹣4＜0，⇔“|a|＜2”．∴“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若cosA=，bcosC+ccosB=2，则△ABC外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π【解答】解：由题意，cosA=，∴sinA=．由正弦定理：，可得：2RsinBcosC+2RsinCcosB=2．即R（sinBcosC+sinCcosB）=1．RsinA=1．∴R=3．圆的面积为：πR2=9π．故选：C．6．（5分）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，取顶点，一条渐近线为mx﹣3y=0，∵故选D．7．（5分）已知函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x．若f（log 3x）+f（log x）≤2f（1），则x的取值范围（）A．（﹣∞]∪[3，+∞）B．[，3]C．[，1]D．[1，3]【解答】解：函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x，x∈R，∴f（﹣x）=（e﹣x﹣e x）•（﹣x）=（e x﹣e﹣x）x=f（x），∴f（x）是定义域R上的偶函数；又f（x）=f（﹣log 3x）=f（log3x），∴不等式f（log 3x）+f（log x）≤2f（1）可化为f（log3x）≤f（1）；又f′（x）=（e x﹣e﹣x）+（e x+e﹣x）x，当x≥0时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；∴原不等式可化为﹣1≤log3x≤1，解得≤x≤3；∴x的取值范围是[，3]．故选：B．8．（5分）定义在R上的函数y=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），当n=2时，x∈[2，6]，此时﹣1∈[0，2]，则f（x）=f（﹣1）=×4（1﹣|﹣1﹣1|）=2（1﹣|﹣2|），当n=3时，x∈[6，14]，此时﹣1∈[2，6]，则f（x）=f（﹣1）=×2（1﹣|﹣|）=1﹣|﹣|，由g（x）=f（x）﹣log a x=0，得f（x）=log a x，分别作出函数f（x）和y=log a x的图象，若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B 时，两个函数有4个交点，则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），即满足，即，解得，即2＜a＜10，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知i是虚数单位，若复数z=（m∈R）是纯虚数，则m=﹣2．【解答】解：复数z===+i是纯虚数，则=0，≠0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图可知：该几何体左边是半圆柱，右边是四棱锥．∴该几何体的体积V=+=．故答案为：．11．（5分）设a=cosxdx，则（a+）6展开式中的常数项为240．【解答】解：a=cosxdx==2，则的展开式中通项公式：T r==26﹣r，+1令3﹣=0，解得r=2．∴常数项==240．故答案为：240．12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．则直线l与圆C相交所得弦长为．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，展开可得：ρsinθ+=1，化为直角坐标方程：x+y﹣2=0．圆C的参数方程为（θ为参数），化为普通方程：=4，可得圆心，半径r=2．圆心C到直线l的距离d==．∴直线l与圆C相交所得弦长=2=2=．故答案为：．13．（5分）已知抛物线（t为参数），过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），|AF|=3|FB|，过AB的中点且垂于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为．【解答】解：抛物线（t为参数），消去参数化为：y2=4x．设直线l的方程为：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：k2x2﹣（4+2k2）x+k2=0，△＞0，∴x1+x2=，x1x2=1，（*）可得线段AB的中点M．∵|AF|=3|FB|，∴=3，∴1﹣x1=3（x2﹣1），与（*）联立可得：k2=3，取k=．∴M，∴过AB的中点且垂于l的直线方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0，可得G，∴点G到直线l的距离d==．|AB|===．∴△ABG的面积S=•d•|AB|=×=．故答案为：．14．（5分）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=，=，则+的最小值为3．【解答】解：由向量共线定理可得：=m+（1﹣m）=+（1﹣m）×．==+．∴，（1﹣m）×=．化为：a﹣1=．∴+=b﹣2+≥2，当且仅当b=a=3时取等号．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．根据正切函数的性质可得x+≠，k∈Z，可得：x≠，k∈Z，函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠，k∈Z}．将函数f（x）化简可得：f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+．=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣=sin2x﹣cso2x=sin（2x﹣）∴函数f（x）的最小正周期T=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=sin（2x﹣）当x∈[﹣，0]上时，可得：2x﹣∈[，]．当2x﹣=时，f（x）取得最小值为﹣．当2x﹣=时，f（x）取得最大值为．故得函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值为，最小值为．16．（13分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店；5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取4名，求至多有一名倾向于选择实体店的女性购物者的概率；（Ⅱ）若分别从男性购物者和女性购物者中各随机抽取2名，设X表示抽到倾向于选择网购的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设“至多有1名倾向于选择实体店的女性购物者”为事件A，则P（A）=+=；（Ⅱ）根据题意，X的取值为0，1，2，3，4；则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==；∴随机变量X的分布列为：数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=2．17．（13分）如图，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABE，∠EAB=∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=AD=AE，P为线段BE的中点．（Ⅰ）求证：CP∥平面DAE；（Ⅱ）求平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在一点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：取AE的中点F，连接DF、PF，∵P为BE中点，∴PF∥AB，且PF=，又直角梯形ABCD中，∠DAB=60°，AB=AD，可得DC∥AB，且DC=，∴PF∥DC，且PF=DC，则四边形DCPF为平行四边形，可得PC∥DF．而DF⊂平面EAD，PC⊄平面EAD，∴CP∥平面DAE；（II）解：∵∠BAE=90°，平面ABCD平面ABE，在平面ABCD内过A作Az⊥AB．∴以点A为原点，直线AE为x轴，直线AB为y轴，Az为z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设AB=AD=AE=2，由已知，得E（2，0，0），C（0，2，），D（0，1，）．∴，，设平面ECD的法向量为=（x，y，z），则，取z=2，得平面ECD的一个法向量为=（，0，2）．又∵平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）．∴cosθ=|cos＜＞|=，即平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值为；（Ⅲ）解：线段EC上存在点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为，此时=或=．设Q（x，y，z），且，则（x﹣2，y，z）=（﹣2），∴，即Q（2﹣2λ，2λ，），P（1，1，0），则．∵直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为，∴|cos＜＞|=||=．解得：或．∴=或=．18．（13分）已知正项数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，﹣b n=．且b n+1（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n，并证明≤T n＜对一切n∈N*都成立．﹣b n=．∴，，【解答】解：（Ⅰ）∵b n+1解得a1=1 （负值舍去）即数列{a n}是公差为2，首项为1的等差数列，∴a n=2n﹣1b n+1﹣b n==．，，…由累加法得：，∴（Ⅱ）∵（2﹣b n）2=∴c n==，T n=…①T n=++…+++…②①﹣②得﹣==∴T n=．令f（n）=，∵f（n+1）﹣f（n）=∴令f（n）=，当n∈N+时递减，则T n=递增．∴，即≤T n＜对一切n∈N*都成立．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）离心率为，它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，一条直线l与椭圆交于M、N两点，直线OM、ON的斜率之积为﹣，求△MON的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在x轴上，抛物线x2=4y的准线，y=﹣1，由椭圆的顶点在抛物线的准线上，则b=1，椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y，得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，∴|MN|==，点O到直线y=kx+m的距离d=，S△MON=×丨MN丨×d=2，∵k 1k2=﹣，∴k1k2=====﹣，∴4k2=2m2﹣1，=2=2=1．∴S△MON∴△MON的面积1．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2，g（x）=+x，且直线y=﹣是曲线y=f （x）的一条切线．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围；（Ⅲ）已知方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），若b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，求证：m＜0．【解答】（I）解：f（x）=lnx+ax2，（x＞0），f′（x）=+2ax．设切点为，则f′（x0）=+2ax0=0，lnx0+=﹣，解得x0=1，a=﹣．（II）解：对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），⇔函数f（x）的值域A是函数g（x）的值域B的子集，即A⊆B．（i）由（I）可得：f（x）=lnx﹣x2，x∈[1，]，f′（x）=﹣x=．可知：函数f（x）在x∈[1，]单调递减，∴f（x）=f（1）=﹣，f（x）min=f（）=．max∴A=．（ii）g′（x）=1﹣=．b≤1时，g′（x）≥0，函数g（x）在x∈[1，4]单调递增，g（1）=b+1，g（4）=4+．∴B=．∵A⊆B．∴，解得，满足条件．b＞1时，g（x）=x+＞0，不满足A⊆B，舍去．综上可得：实数b的取值范围是．（III）证明：方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），∴lnx1﹣=cx1，lnx2﹣=cx2，∴lnx2﹣lnx1+﹣=cx2﹣cx1，∴2c=﹣（x2+x1）．（*）b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，∴+（x2+x1）+m+2c=0，把（*）代入上式可得：++m=0，即﹣m=+，证明m＜0⇔+＞0，∵x 1＜x 2，∴x 2﹣x 1＞0，ln＞ln1=0，∴+＞0，因此m ＜0．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

天津市滨海新区六所重点学校2017-2018学年高三联考数学试卷(理科) Word版含解析

天津市滨海新区六所重点学校2017-2018学年高三联考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（理科）一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i是虚数单位，复数=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．下列说法错误的是（）A．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．对于p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“e m＜e n”的充分不必要条件D．若p∧q为假，则p、q均为假5．在的二项展开式中，含x2的系数为（）A．B．C．D．6．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B． C．6 D．98．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取________名．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是________．11．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ．曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为________．12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为________．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=________．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R 恒成立}，则A∩（∁U B）=________．三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．16．A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．18．已知等比数列{a n}的公比q≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n；（Ⅲ）若，P n为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k．19．已知椭圆C：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q 两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．已知函数（m∈R），（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣5=0垂直，求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx2+（m﹣1）x﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=1，m∈R设F（x）=f（x）+x．且正实数x1，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2≥﹣1．2016年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i是虚数单位，复数=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：D．2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A4．下列说法错误的是（）A．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．对于p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“e m＜e n”的充分不必要条件D．若p∧q为假，则p、q均为假【考点】的真假判断与应用．【分析】A利用逆否的定义判断即可；B存在，应把存在改为任意，再否定结论；C根据充分不必要条件的定义判断即可；D根据且的真假判断依据判断即可．【解答】解：对于A，逆否把的条件和结论互换，再同时否定，故“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故正确；对于B，对于存在，应把存在改为任意，再否定结论，故p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故正确；对于C，若m，n∈R，“lnm＜lnn”，则0＜m＜n，可得“e m＜e n”，但由“e m＜e n”，m，n也可能为负值，不一定得出lnm＜lnn”，故应是充分不必要条件，故正确；对于D，且为假，p和q不能都是真，但也不一定都是假，故错误．故选：D．5．在的二项展开式中，含x2的系数为（）A．B．C．D．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：二项展开式的通项公式为：T r+1=••=（﹣1）r•••，令12﹣=2，解得r=4；所以展开式中含x2项的系数为：（﹣1）4C62（）2=．故选：B．6．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线y2=8x上的点P满足|PF|=5，可得P（3，±2），代入双曲线方程算出m的值，即可得到双曲线的a、b之值，从而得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵点P在抛物线y2=8x上，|PF|=5，∴P（x0，y0）满足x0+=5，得x0=5﹣=5﹣2=3因此y02=8x0=24，得y0=±2∴点P（3，±2）在双曲线上可得9﹣=1，解之得m=3∴双曲线标准方程为，得a=1，b=，渐近线方程为y=±，即y=±x故选：C7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B． C．6 D．9【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用．【分析】先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．【解答】解：：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD 及其内部区域．因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选D．8．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【考点】函数的零点．【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取15名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．【解答】解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴高一应抽取的学生数为300×=15．故答案为：15．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3侧面△ACD中，AC==5∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC∴AE⊥平面BCD，结合CD⊂平面BCD，得AE⊥CD∵BC⊥CD，AE∩BC=E∴CD⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得CD⊥AC因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6∴三棱锥的表面积是S表故答案为：30+611．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ．曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：x﹣y+6=0．曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．求出圆心到直线的距离d，即可得出曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=d﹣r．【解答】解：直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：x﹣y+6=0．曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=﹣2x+2y，配方化为：（x+1）2+（y﹣1）2=2，可得圆心C2（﹣1，1），半径r=．圆心到直线的距离d==2曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=2﹣=．故答案为：．12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为．【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出平面区域A、B的面积，根据几何概型的概率公式求出对应的概率．【解答】解：如图所示，由不等式组确定的平面区域A的面积为S=3×3=9，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域B的面积为S′=×3×3﹣×1×1﹣∫13dx=4﹣ln3；根据几何概型的概率公式知，该点落在区域B内的概率为P=．故答案为：．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，可得∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°，利用直角三角形中的边角关系求得TB、BM、MP的值，由切割线定理求得MC，求得PC=MP﹣MC的值，据PQ•PB=PC2求出结果．【解答】解：由题意可得，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，∵∠BTC=120°，则∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°．TB=TC=OBtan30°=，∴BM==2．由切割线定理可得MC2=MB•MA=2（2+4）=12，∴MC=2．∵cos∠BMT====，∴MP=3，∴PC=MP﹣MC=3﹣2=，由切割线定理可得PQ•PB=PC2=3，故答案为3．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立}，则A∩（∁U B）=．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】据基本不等式求以及不等式恒成立求出集合A，B的等价条件，然后根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，∴a＞0，且对称轴﹣=，则判别式△=4﹣4ab=0，即ab=1，则==a﹣b+，∵a＞b，∴a﹣b＞0，则t=a﹣b+≥2=2，即A=[2，+∞），∵|x+1|﹣|x﹣3|≤|3﹣（﹣1）|=4，∴若|x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立，则m2﹣3m≥4，即m2﹣3m﹣4≥0，即m≥4或m≤﹣1，即B={m|m≥4或m≤﹣1}，则∁U B═{m|﹣1＜m＜4}，则A∩（∁U B）={m|2≤m＜4}，故答案为：三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用和差公式、倍角公式可得：f（x）=，再利用三角函数的图象与性质即可得出．（Ⅱ），由于0＜C＜π，可得：＜2C﹣，可得C．因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+2×（sinx﹣cosx）×（sinx+cosx）=cos2x+sin2x﹣cos2x=，∵，4分∴对称轴方程为：，∵x ∈[﹣，]，∴∈，f （x ）在区间[﹣，]上单调递增，在区间上单调递减，所以，当x=时，f （x ）取最大值 1又=﹣＜=，当x=﹣时，f （x ）取最小值﹣．（Ⅱ），∵0＜C ＜π，0＜2C ＜2π，∴＜2C ﹣，∴=，C=，因为sinB=2sinA ，所以由正弦定理得b=2a ，由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcos，即c 2=a 2+b 2﹣ab=3解得：a=1，b=2．16．A 、B 两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A 袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B 袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A 袋中取球，乙从B 袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）设事件A 为“两人中所取的球颜色不同”，由此利用对立事件概率计算公式能求出两人中所取的球颜色不同的概率．（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设事件A 为“两人中所取的球颜色不同”，则P （A ）=1﹣=．（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2．甲所取的两球颜色相同的概率为=，乙所取的两球颜色相同的概率为=，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）==，P（X=2）==，XEX==．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明EF⊥平面PAD；（Ⅱ）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）求出向量坐标，利用直线和平面所成角的定义和关系进行求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD∴AB⊥平面PAD，又∵EF∥AB∴EF⊥平面PAD，（Ⅱ）取AD中点O，连结PO∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：∴O（0，0，0）A（0，﹣2，0）B（4，﹣2，0）C（4，2，0），D（0，2，0），G（4，0，0），，E（0，﹣1，），设平面EFG的法向量为，，∴，又平面ABCD的法向量为，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ∴，∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为．（Ⅲ）设，，∴，，∴=，即2λ2﹣3λ+2=0，无解，∴不存在这样的M．18．已知等比数列{a n}的公比q≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n；（Ⅲ）若，P n为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由题意知3q2﹣4q+1=0，从而求出公比，进而求通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而利用错位相减法求其前n项和T n；（Ⅲ）化简为c n=2n﹣1，从而利用裂项求和法及拆项求和法求其前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵成等差数列，∴4a2=a1+3a3，∴3q2﹣4q+1=0，∵q≠1，∴，∴a n=•=；（Ⅱ）由（Ⅰ），∴①，②，①﹣②得，，∴．（Ⅲ）由，得c n=2n﹣1，，=，∴不超过P2016的最大的整数k是2016．19．已知椭圆C：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q 两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得b=1，由离心率公式和a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k，再由直线的斜率不存在，不成立．即可得到所求直线的方程；（Ⅲ）以MN为直径的圆过定点（±1，0）．求得M，N的坐标，由直径式的圆的方程可得MN为直径的圆的方程，整理得一般式方程，令y=0，即可得到所求定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由短轴长为2，得b=1，由，得a2=4，b2=1．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）（1）当直线的斜率存在时，设直线方程：，E（x1，y1），F（x2，y2），由可得，∴，∴，∴；（2）当直线的斜率不存在时，|EF|=1不符合．∴直线方程为和．（Ⅲ）以MN为直径的圆过定点（±1，0）．证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，或通过求得圆心，得到圆的方程．即，∵，∴，令y=0，则x2﹣1=0，解得x=±1．∴以MN为直径的圆过定点（±1，0）．20．已知函数（m∈R），（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣5=0垂直，求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx2+（m﹣1）x﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=1，m∈R设F（x）=f（x）+x．且正实数x1，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2≥﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m的方程，解出即可；（Ⅱ）构造函数，求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性，从而求出m的最小值即可；（Ⅲ）求出F（x）的表达式，得F（x1）+F（x2）=0，令t=x1•x2＞0，得到ϕ（t）=t﹣lnt，根据函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）切线的斜率k=f'（1）=1+m，∴1+m=2，∴m=（Ⅱ）由题意，，设①当m≤0时，因为x＞0，所以G'（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立．②当m＞0时，．令G'（x）=0，因为x＞0，得，所以当时，G'（x）＞0；当时，G'（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．故函数G（x）的最大值为．令，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为，，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．（Ⅲ）m=1时，，由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即，整理得，令t=x1•x2＞0，则由ϕ（t）=t﹣lnt得，，可知ϕ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以ϕ（t）≥ϕ（1）=1，所以，解得，因为x1，x2为正数，所以成立．2016年9月7日。

2017届八校二联理科数学参考答案

2017届八校二联理科数学参考答案
2 e
2
2 a 1 2 a 1 2 2 2 2 2 b 2 c 3 2 1 1 2 b 2 1 c 3 1 a b c 6 2 2
Q f x x a x b c b a c b a c ,
由 h( x )
=0 得， x=e ，当 0<x<e 时， h ( x )
h 1 0,
>0 ；当 x>e 时， h ( x )

当且仅当 x b
时等号成立，又
2 故 h(x)max=h(e)= e ，
2 ③若 0 ln a e
时，当 x>0 时， f(x) 有 2 个零点，故 x ∈ R 时， f(x) 有 3 个零点 . （ 9
1 8 2 2 2 a 1 b 2 c 3 , 4 3
（ 7 分） 即a
11 8 11 时等号成立 。（ 10 分） ,b ,c 3 3 3
2017 届 八 校 二 联 理 数 参 考 答 案
一、 选择题 CDABD CADBB AC
故 PB ∥平面 ACM ；（ 4 分） （ 2 ）取 DO 的中点 N ，连结 MN ， AN ，则 MN ∥ PO ，∵ PO ⊥平面 ABCD ，∴ MN ⊥平面 ABCD ， 故∠ MAN= α为所求的直线 AM 与平面 ABCD 所成的角 .
28 3
20. 解 ：（ 1 ）由题知 c 2 a 2 (8 a 2 ) 2a 2 8 ，由 e
（ 2 ）∵ S bc sin A
3 7 bc 3 ， 4 3
，（ 7 分）

天津市2017届高三毕业班联考一数学理试题Word版含答案

天津市2017届高三毕业班联考一数学理试题Word版含答案

2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+•柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1.已知集合{}24M x x =|>,{}3N x x =|1<<，则R NC M = （ ）A. {}1x x |-2≤<B.{}2x x |-2≤≤C. {}2x x |1<≤D.{}2x x |<2.设变量,x y 满足线性约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．2-C ．4D ．63.阅读右边程序框图，当输入x 的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（ ）A ．5B ．11C ．23D ． 47 4.下列命题中真命题的个数是（ ） ①若q p ∧是假命题，则,p q 都是假命题； ②命题“01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”；③若,11:,1:<≤xq x p 则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．35. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足1590a a +=.若(1)mx -展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．106.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若sin 2sinB A =，4,3c C π==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．83B ．163C ．1633D ．8337.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，()()22log 22f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[2,)+∞8．已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩ 其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ． ()1,0-C ．()()2,11,0---D ． ()2,1--第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．i 为虚数单位，则复数243ii--的模为 . 10. 向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为 . 11. 已知直线l 的参数方程为4x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为22sin()4πρθ=+ ，则圆上的点到直线l 的最大距离为 .12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .13. 设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足C,D .若2AF BF =，且三角形CDF ，则p 的值为 .14.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥,CD AB AD ⊥，222AB CD AD ===.在等腰直角三角形CDE 中，090C ∠=，点,N M 分别为线段,BC CE 上的动点，若52AM AN ⋅=，则MD DN ⋅的取值范围是 .三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13 （Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[]0π-，上的最值.16．（本小题满分13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为12．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品． （Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列及数学期望EX .17．（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 与直角梯正视图ACBDEPD EC形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE AF ∥ ，AB AF ⊥，122AB BE AF ===，3CBA π∠=，P 为DF 的中点.（Ⅰ）求证：PE ∥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D EF A －－的余弦值；（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点，AG AD λ=， 若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值AG 的长.18．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且2031=+a a ，82=a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a n b =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n 不等式a nS n n n ⋅->++)1(21恒成立，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221x y a b+=的焦点在x 轴上，椭圆E 的左顶点为A ，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于,A B 两点，点C 在椭圆E 上，AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D ．（Ⅰ）当点B 为椭圆的上顶点，ABD ∆的面积为2ab 时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b AB AC ==时，求k 的取值范围．20．（本小题满分14分）设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x .(1)求满足条件的最小正整数a 的值；(2)2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题:每小题5分，共30分.10.18；11.12.1；；14.512⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）………2分………4分由()42xk k Zππ≠+∈得()f x的定义域为(){}|24x x k k Zππ≠+∈………6分（k Z∈占1分）故()f x的最小正周期为2412Tππ==……7分（Ⅱ）0xπ-≤≤23266xπππ∴-≤-≤-……8分2,,()26326xx f xπππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈--∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即，单调递减……9分0,()26266xx f xππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，-,即，单调递增……10分min()()6f x fπ∴=-=……11分而3(0)()2f fπ∴=-=-……12分max()(0)f x f∴==……13分（注：结果正确，但没写单调区间扣2分）16．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)3343101239(A)1()2240C P C =-⋅=所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为239240. ……5分 （Ⅱ）由题可知X 可能取值为0,1,2,3. ……6分30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===,12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ……10分则随机变量X 的分布列为……11分1311901233010265EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ……13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取AD 的中点Q ，连接PQ BQ ，，则PQ ∥AF ∥BE ,且12PQ AF BE ＝＝，所以四边形BEPQ 为平行四边形 ……2分所以PE ∥BQ ，又BQ ⊂平面ABCD ，PE ⊄ 平面ABCD ， 则PE ∥平面ABCD . ……3分（Ⅱ）取AB 中点O ，连接CO ，则CO AB ⊥， 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，交线为AB ，则CO ⊥平面ABEF……4分作OM ∥AF ，分别以,,OB OM OC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则((1,4,0),E(1,2,0)D F -- ……5分于是(1,4,3),(2,2,0)DF EF =-=- ，设平面DEF 的法向量(,,)m x yz = ，则{4022x y x +=-+令1x =，则1,y z == ……6分平面AEF 的法向量(0,0,1)n = ……7分所以3cos ,3131m n == ……8分又因为二面角D EF A －－. ……9分 （Ⅲ）(1,0,0),(1,0,3),(),A AD AG λ-=-=-则()G λ-- ，(,)FG λ=-- ，而平面ABEF 的法向量为(0,0,1)m =，设直线FG与平面ABEF 所成角为θ，于是sinθ==……11分于是λ=AG = . ……13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则⎩⎨⎧==+820)1(121q a q a ，……1分 ∴02522=+-q q …2分∵1q >，∴⎩⎨⎧==241q a ，∴数列{}n a 的通项公式为12+=n n a ．……5分（Ⅱ）解：12+=n n n b∴14322232221+++++=n n nS=n S 2121432212221+++-+++n n n n ∴2143222121212121++-+++=n n n nS ……7分 ∴1321221212121+-+++=n n n nS =1112212212121++++-=--n n n n n ……9分∴n n a 211)1(-<⋅-对任意正整数n 恒成立，设n n f 211)(-=，易知)(n f 单调递增． ……10分n 为奇数时，)(n f 的最小值为21，∴21<-a 得21->a ， ……11分n 为偶数时，)(n f 的最小值为43，∴43<a ， ……12分综上，4321<<-a ，即实数a 的取值范围是)43,21(-． ……13分19．（本小题满分14分） 解：直线AB 的方程为by x b a=+ 直线AC 的方程为()ay x a b =-+，令0x =，2a y b =- ……2分21()22ABDa Sb a ab b∆=⋅+⋅= ……3分 于是2224a b b +=，223,e c a b a === ……5分（Ⅱ）直线AB 的方程为()y k x a =+，联立()22213x y a y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222324223230a k x a k x a k a +++-= 解得x a =-或322233a k a x a k -=-+， ……7分2263a AB a a k==+所以 ……8分263aAC a k k=+同理 ……9分 因为2AB AC =22266233a aa a kk k=++所以，整理得，223632k k a k -=-． ……11分因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以23a >，即236332k kk ->-，……13分整理得()()231202kk k +-<-2k <<．……14分20．（本小题满分14分）解：……1分当0a ≤时， ()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞， 此时()f x 无单调减区间． ……2分 当0a >时，由()'0f x >，()'0f x <，得所以函数()f x……3分（Ⅱ）（1因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. ……4分所以()F x 的最小值244ln 02a a a a -+-<. ……5分 因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=.…6分当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. ……7分又当3a =时，()()()332ln30,F 10F =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3. ……8分（2）证明 ：不妨设120x x <<，于是()()22111222-2ln -2ln ,x a x a x x a x a x --=-- 即()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =. ……10分0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()F'0x >，2a 即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， ……11分即证()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，也就是证11221222ln－＋x x x x x x <. ……12分 设()1201x t t x =<<．因为0t >，所以()0m t '≥， ……13分文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11word 版本可编辑.欢迎下载支持. 当且仅当1t =时，()0m t '=， 所以()m t 在()0,+∞上是增函数． 又()10m =，所以当()()0,1,m 0m t ∈<总成立,所以原题得证． ……14分。

2017年高考理数真题天津卷(试题及详细答案解析)

2017年高考理数真题天津卷(试题及详细答案解析)

2
2
2
5
又
x2
x 2
3
x
1 4
2
47 16
47 16
（当
x
1 4
时等号成立），
x2
3 2
x
3
x
3 4
2
39 16
39 16
（当
x
3 4
时等号成立），
∴ 47 a 39 ，
16
16
当 x 1 时，①式可化为 x 2 x a x 2 ，∴ 3x 2 a x 2 ，
x2
1 3
,
24
D.
1 3
,
24
8.已知函数
f
(x)
x
2
x
x
2 x
,
x
3, x 1, 1.
设
aR
，若关于
x
的不等式
f
(x)
|
x 2
a
|
在
R
上恒成立，
则 a 的取值范围是（ ）
A. [ 47 , 2] 16
B. [ 47 , 39] 16 16
C. [2 3, 2]
D. [2 3, 39] 16
b
13
∴ b 13 , sin A 3 13 . 13
（Ⅱ）由（Ⅰ）及 a c 得 cos A 2 13 ， 13
∴ sin 2 A 2sin Acos A 12 ， cos 2 A 1 2sin 2 A 5 ，
13
13
∴
sin
2
A
4
sin
2 Acos
E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求证：MN∥平面 BDE； （Ⅱ）求二面角 C-EM-N 的正弦值；

天津市滨海新区2017届高三12月八校联考数学理试卷 含答案 精品

天津市滨海新区2017届高三12月八校联考数学理试卷 含答案 精品

2016年12月高三年级八校联考数学试卷（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii=+（ ） A ．1i - B ．1i -- C ．1i + D ．1i -+ 2.命题“x R ∀∈，223x x ≠”的否定是（ ）A ．x R ∀∉，223x x ≠ B ．x R ∀∈，223x x ≠ C ．x R ∃∉，223x x ≠ D ．x R ∃∈，223x x ≠ 3.函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0A >，0ω>，2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）A ．()sin()3f x x π=+B ．()sin(4)3f x x π=+C ．()sin()6f x x π=+D ．()sin(4)6f x x π=+ 4.若,x y R ∈，且0123x y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪-≥-⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A ．6B ．2 C.1 D ．不存在5.已知直线,l m ，平面α，m α⊂，那么“//l α”是“//l m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.已知在ABC ∆中，cos()410A π-=，则sin 2A =（ ） A ．2425-B ．2425 C. 725D ．725- 7.设集合{125}S x x x =-++>，{4}T x x a =-≤，S T R =，则a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤ C. 21a -<< D ．2a <-或1a > 8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有211212()()0x f x x f x x x -<-，记0.20.2(4.1)4.1f a =， 2.12.1(0.4)0.4f b =，0.20.2(log 4.1)log 4.1f c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C. c b a << D ．b c a <<二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.121(1)x dx --=⎰．10.如图所示，某几何体的正视图是一个平行四边形，俯视图和侧视图都是长方形，那么该几体的体积为 ．11.在等比数列{}n a 中，32a ，52a ，13a 成等差数列，则2596a a a a +=+ ． 12.在平行四边形ABCD 中，已知6AB =，060BAD ∠=，点E 是BC 的中点，AE 与BD相交于点P ，若15AP PC ∙=，则BC = ．13.已知0a b >>，且1ab =，那么22a b a b+-取最小值时，b = ．14.已知函数123,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-+≤<⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-的零点个数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，AB =3AC =，sin 2sin A C =. （1）求BC 的长； （2）求cos(2)3C π-的值.16.设函数(sin )cos()2()tan x x x f x xπ∙-=.（1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间(0,)2π上的单调性.17. 设函数2()xf x x e =.（1）求在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当[2,2]x ∈-时，使得不等式()21f x a ≤+能成立的实数a 的取值范围.18. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，PA PB =，::AB AD CD =.（1）证明BD PC ⊥；（2）求二面角A PC D --的余弦值；（3）设点Q 为线段PD 上一点，且直线AQ 平面PAC，求PQ PD 的值.19. 已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =，22n n S a =-，21(1)n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明{}nb n为等差数列； （3）若数列{}n c 的通项公式为,24n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T .20. 已知函数21()ln 2f x x bx x =++. （1）若函数()f x 在定义域单调递增，求实数b 的取值范围；（2）令21()()2a g x f x bx x +=--，a R ∈，讨论函数()g x 的单调区间； （3）如果在（1）的条件下，221()312f x x x x≤+-+在(0,1]x ∈内恒成立，求实数b 的取值范围.试卷答案一、选择题1-4: CDAB 5-8：DABA二、填空题9. 43-10. 200 11. 19 12. 3 13.14. 6 三、解答题15.（1）在ABC ∆中，∵sin 2sin A C =，∴2BC AB ==（2）∵222cos 2AC BC AB C AC BC +-==∙sin C =∴4sin 22sin cos 5C C C ==，223cos 2cos sin 5C C C =-=cos(2)cos 2cos sin 2sin 333C C C πππ-=+=16.（1）2()(sin )cos sin cos f x x x x x x x =∙=12sin 2sin(2)232x x T πππ==++⇒== （2）令222232k x k πππππ-+<+<+，解得51212k x k ππππ-+<<+（k Z ∈） ∵(0,)2x π∈，∴()f x 在区间(0,)12π上单调递增，在区间(,)122ππ上单调递减.17.（1）∵'2()2xxf x x e xe =+，∴'(1)3k f e ==，切线方程为320ex y e --=.（2）令'()0f x >，即(2)0x x x e +>，得()f x 在区间(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在区间(2,0)-上单调递减. （3）由（2）知，()f x 在区间(2,0)-上单调递减，在区间(0,2)上单调递增，min ()(0)0f x f ==.当[2,2]x ∈-时，不等式()21f x a ≤+能成立， 须min 21()a f x +≥，即210a +≥，故12a ≥-18.以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系(2,0,0)B，D ，(0,0,2)P，(1C （1）(BD =-，(12)PC =-， ∵0BD PC ∙=∴BD PC ⊥（2）(1AC =，(0,0,2)AP =，平面PAC 的法向量为(2,1,0)m =-(0,DP =，(1,0,0)AP =，平面DPC 的法向量为(0,2,1)n =--.2cos ,3m n m n m n∙==∙，二面角B PC D --的余弦值为3. （3）∵AQ APPQ AP tPD =+=+，[]0,1t ∈ ∴(0,0,2)2),22)AQ t t =+-=- 设θ为直线AQ 与平面PAC 所成的角2sin cos ,3AQ m AQ m AQ mθ∙===∙ 223684t t t =⇒=-+，解得2t =（舍）或23.所以，23PQ PD =即为所求. 19.（1）当1n >时，11112222222n n n n n n n n n S a aa a a S a a ----=-⎧⇒=-⇒=⎨-⎩ 当1n =时，111222S a a =-⇒=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2n n a = （2）∵214a b =，∴11b =，∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上，{}nb n是公差为1，首项为1的等差数列，211n n b n b n n =+-⇒=.（3）令212n n n p c c -=+22122221(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n ----∙∙=-+=-∙=-∙0122123123474114(41)443474114(45)4(41)4nn n n n T n T n n +⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩ ①② ①-②，得01212334444444(41)4n n n T n --=∙+∙+∙++∙--∙2164433(41)414nn n T n -∙-=+--∙-27127499n n n T -=+∙ 20.（1）'1()f x x b x=++，因为()f x 在定义域单调递增，所以'()0f x ≥恒成立即110()x b b x x x++≥⇒≥-+而12x x +≥=（当且仅当1x x =时等号成立），故2b ≥-即为所求. （2）2()ln 2a g x x x =-，'1()g x ax x=- ①若0a ≤，'()0g x ≥，则()g x 在(0,)+∞单调递增②若0a >，令'()0g x >，210ax -<，21x a<， 则()g x在单调递增，在)+∞单调递减 （3）由题意，须22113ln 1022x bx x x x--+++-≤对任意(0,1]x ∈恒成立， 设2211()3ln 122h x x bx x x x =--+++-，'331111()3()(3)h x x b x b x x x x=-++++=-+++∵2b ≥-，01x <≤，∴10x x -≥，31b +≥，310x> ∴'()0h x >即()h x 在(0,1]x ∈上单调递增，max ()(1)1h x h b ==+ 若2211()3ln 1022h x x bx x x x=--+++-≤对任意(0,1]x ∈恒成立， 则应令max ()01h x b ≤⇒≤- 综上所述，21b -≤≤-即为所求.。

2017年高考理科数学天津卷(含答案解析)

2017年高考理科数学天津卷(含答案解析)

数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷参考公式：·如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ·球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =A ．{}2B ．{124}，，C ．16}2{4，，， D ．{}1|5x R x ∈-≤≤2．设变量x ，y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为A ．23B ．1C ．32D ．33．阅读右边所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的 A ．0B ．1C ．2D ．34．设θ∈R ，则“ππ121||2θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144y x -= B ．22188y x -= C ．22148y x -= D ．22184y x -=6．已知奇函数f x （）在R 上是增函数，g x xf x =（）（）．若25.1a g log =-（），0.82b g =（），3c g =（），则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．设函数2sin f x x ωϕ=+（）（），x ∈R ，其中0ω>，πϕ<．若5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f x （）的最小正周期大于2π，则 A ．2π,312ωϕ== B ．211π,312ωϕ==-C ．111π,324ωϕ==-D ．17π,324ωϕ==8．已知函数()23,1,2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()2f x a x ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）A ．47,216⎡⎤⎢⎥⎣⎦-B ．4739,1616-⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2-⎡⎤⎣⎦D．3916-⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 10．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．11．在极坐标系中，直线π4cos 106ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 ．12．若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．13．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值； （2）求π24sin A +（）的值． 16．（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长．数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）18．（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*n S n ∈Ν（），{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和*n ∈N （）．19．（本小题满分14分）设椭圆222210x y a ba b +=>>（）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线()220y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程．20．（本小题满分14分）设a Z ∈，已知定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()12，内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （1）求()g x 的单调区间；（2）设0012[]m x x ∈，）（，，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且00[]12qx x p∈，）（，，满足041p x q Aq -≥．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析1．【答案】B 【解析】{}(){}1,2,4,6,1,2,4AB A BC ==，选项B 符合．【提示】解题时应根据集合的运算法则，以及集合元素的三大特征，借助数轴或图示求解．【考点】集合的运算 2．【答案】D【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z x y =+得y x z =-+，作出直线y x =-，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在()03B，处取得，故max 033z =+=，选项D 符合．【提示】常常需画出约束条件所表示的可行域，画图时一定要注意边界是实线还是虚线，求解时要注意z 的几何意义。

2017天津高考真题数学理(含解析)

2017天津高考真题数学理(含解析)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. （1）已知全集，集合，集合，则集合（A）（B）（C）（D）（2）设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）（B）（C）（D）（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（A）（B）（C）（D）（4）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆中，、是弦的三等分点，弦、分别经过点、.若，，，则线段的长为（A）（B）（C）（D）（6）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则、、的大小关系为（A）（B）（C）（D）（8）已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）第II卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.（9）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.（11）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.（12）在的展开式中，的系数为.（13）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知的面积为，，则的值为.（14）在等腰梯形中,已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共80分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名.从这名运动员中随机选择人参加比赛.(I)设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率；(II)设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.(I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长18.（本小题满分13分）已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设（），求数列的前项和.19.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，.(I)求直线的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数（），其中，.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程（为实数）有两个正实根、，求证：．2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I卷一、选择题（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B A A D C D二、填空题（满分30分）9．10．11．12．13．14．三、解答题（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知所以．（Ⅱ）因为，所以，，所以的最小值为，最大值为．16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”．由题意可知，．（Ⅱ）由题意，的可能取值为，，，．由题意可知，，，，．所以的分布列为：所以．17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在,且与交于点，由题意可知四棱柱中，所以，又因为为的中点，所以，,又因为为的中点，所以，．所以四边形是平行四边形．所以．平面因为平面，所以平面．（Ⅱ）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，,平面的法向量为,为，，，令得，．设平面的法向量为，、为，，，令得，．所以，因为二面角为锐角，所以二面角的正弦值为．（Ⅲ）设，，，．所以．平面的法向量为,由已知得，，解得，所以，线段的长为.18.（本小题满分13分）解：(I)依题意，，．因为，，成等差数列，所以，所以，或者（舍）当时，；当时，。

(精品word版)2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理

(精品word版)2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理

2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|-1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=( )A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，5}D.{x∈R|-1≤x≤5}解析：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|-1≤x≤5}，∴(A∪B)∩C={1，2，4}.答案：B2.设变量x，y满足约束条件202203x yx yxy+≥+-≥≤≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，，，则目标函数z=x+y的最大值为( )A.23 B.1C.3 2D.3解析：变量x，y满足约束条件202203x yx yxy+≥+-≥≤≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，，，的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由30y x =⎧⎨=⎩，可得A(0，3)，目标函数z=x+y 的最大值为：3.答案：D3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为( )A.0B.1C.2D.3解析：第一次N=24，能被3整除，N=243=8≤3不成立， 第二次N=8，8不能被3整除，N=8-1=7，N=7≤3不成立， 第三次N=7，不能被3整除，N=7-1=6，N=63=2≤3成立， 输出N=2， 答案：C4.设θ∈R ，则“|θ-12π|＜12π”是“sin θ＜12”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：01212121212|6|ππππππθθθ-⇔--⇔＜＜＜＜＜，sin θ1722266k k πππθπ⇔-++＜＜＜，k ∈Z ，则()[7022666]k k πππππ⊂-++，，，k ∈Z ， 可得“12||12ππθ-＜”是“sin θ＜12”的充分不必要条件. 答案：A5.已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为2.若经过F 和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.22144x y -= B.22188x y -= C.22148x y -= D.22194x y -=解析：设双曲线的左焦点F(-c ，0)，离心率e=ca=，， 则双曲线为等轴双曲线，即a=b ， 双曲线的渐近线方程为by x x a=±=±， 则经过F 和P(0，4)两点的直线的斜率4040k c c-==+，则4c =1，c=4，则22188x y -=. 答案：B6.已知奇函数f(x)在R 上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(-log 25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜b ＜a C.b ＜a ＜c D.b ＜c ＜a解析：奇函数f(x)在R 上是增函数，当x ＞0，f(x)＞f(0)=0，且f ′(x)＞0， ∴g(x)=xf(x)，则g ′(x)=f(x)+xf ′(x)＞0，∴g(x)在(0，+∞)单调递增，且g(x)=xf(x)偶函数，∴a=g(-log 25.1)=g(log 25.1)，则2＜-log 25.1＜3，1＜20.8＜2，由g(x)在(0，+∞)单调递增，则g(20.8)＜g(log 25.1)＜g(3)，∴b ＜a ＜c. 答案：C7.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜x.若f(58π)=2，f(118π)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )A.2312πωϕ==， B.211312πωϕ==-，C.111324πωϕ==-，D.17324πωϕ==，解析：由f(x)的最小正周期大于2π，得42T π＞， 又f(58π)=2，f(118π)=0，得11534884T πππ=-=，∴T=3π，则2πω=3π，即ω=23.∴f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin(23x+φ)，由f(58π)=2sin(2538π⨯+φ)=2，得sin(φ+512π)=1.∴φ+5122ππ=+2k π，k ∈Z.取k=0，得φ=12π＜π.∴2312πωϕ==，. 答案：A8.已知函数f(x)=23121x x x x xx ⎧-+≤⎪⎨+⎪⎩，，，＞，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|2x +a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.[4716-，2] B.[47391616-，]2] D.[3916-，]解析：当x ≤1时，关于x 的不等式f(x)≥|2x+a|在R 上恒成立， 即为-x 2+x-3≤2x +a ≤x 2-x+3，即有-x 2+12x-3≤a ≤x 2-32x+3， 由y=-x 2+12x-3的对称轴为x=14＜1，可得x=14处取得最大值4716-；由y=x 2-32x+3的对称轴为x=34＜1，可得x=34处取得最小值3916，则47391616a -≤≤①， 当x ＞1时，关于x 的不等式f(x)≥|2x+a|在R 上恒成立，即为222x x a x x x ⎛⎫ ⎪-≤+≤⎭+⎝+，即有32222x x a x x ⎛⎫-≤⎭≤ ⎪+⎝+，由322y x x ⎛⎫⎪=-+⎝-=-⎭≤当且仅当＞1)取得最大值由1222y x x =+≥= (当且仅当x=2＞1)取得最小值2.则a ≤2②，由①②可得，-4716≤a ≤2. 答案：A二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若2a ii-+为实数，则a 的值为 . 解析：a ∈R ，i 为虚数单位，()()()()()22122122224155a i i a a i a i a ai i i i ----+--+===-++-+， 由2a ii-+为实数，可得-2+a5=0，解得a=-2. 答案：-210.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 解析：设正方体的棱长为a ，∵这个正方体的表面积为18，∴6a 2=18，则a 2=3，即∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，，即R=32，则球的体积V=3439322ππ⎛⎫ ⎪=⎝⎭⋅.答案：92π11.在极坐标系中，直线4ρcos(θ-6π)+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为 .解析：直线4ρcos(θ-π6)+1=0展开为：4ρ(1sin 2θθ+)+1=0，化为：2x+2y+1=0.圆ρ=2sin θ即ρ2=2ρsin θ，化为直角坐标方程：x 2+y 2=2y ，配方为：x 2+(y-1)2=1. ∴圆心C(0，1)到直线的距离314d ==＜=R. ∴直线4ρcos(θ-6π)+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为2. 答案：212.若a ，b ∈R ，ab ＞0，则4441a b ab++的最小值为 .解析：a，b∈R，ab＞，∴4444224124141144a b a b a b ab ab ab ab ab ++⋅++≥==+≥=，当且仅当44414a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即2222214a b a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即4. 答案：413.在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2.若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且AD AE ⋅=-4，则λ的值为 .解析：如图所示，△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2，2BD DC =， ∴()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 又AE AC AB λ=- (λ∈R)， ∴()22121212333333AD AE AB AC AC AB AB AC AB AC λλλ⋅=+⋅-=-⋅-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121232cos603243333λλ=-⨯⨯⨯⎛︒-⨯+⨯⎫ ⎝⎭=-⎪，∴1113λ=，解得λ=311. 答案：31114.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个. 解析：根据题意，分2种情况讨论：①四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有45A =120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有3154·C C =40种取法， 将取出的4个数字全排列，有44A =24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个. 答案：1080三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a ＞b ，a=5，c=6，sinB=35. (Ⅰ)求b 和sinA 的值；(Ⅱ)求sin(2A+4π)的值. 解析：(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB ，再由余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sinA ；(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cosA ，再由倍角公式求得sin2A ，cos2A ，展开两角和的正弦得答案.答案：(Ⅰ)在△ABC 中，∵a ＞b ， 故由sinB=35，可得cosB=45.由已知及余弦定理，有b 2=a 2+c 2-2accosB=25+36-2×5×6×45=13，∴.由正弦定理sin sin a b A B =，得sinA=sin a B b =.∴；(Ⅱ)由(Ⅰ)及a ＜c ，得，∴sin2A=2sinAcosA=1213，225cos 12sin 13A A =-=-.故125sin 2sin 2coscos 2sin44413213226()A A A πππ+=+=⨯-⨯=.16.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14. (Ⅰ)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解析：(Ⅰ)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值， 写出它的分布列，计算数学期望值；(Ⅱ)利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值. 答案：(Ⅰ)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3； 则()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-⨯--=， ()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⨯=⎭⎝⎭， ()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭==-⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭-⨯+⨯⨯-=，()1111323424P X ==⨯⨯=； 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X的数学期望为()1111113 012342442412E X=⨯+⨯+⨯+⨯=；(Ⅱ)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0，Z=1)+P(Y=1，Z=0)=P(Y=0)·P(Z=1)+P(Y=1)·P(Z=0)=11111111 42424448⨯+⨯=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为11 48.17.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC 的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.(Ⅰ)求证：MN∥平面BDE；(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值；(Ⅲ)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE，求线段AH的长.解析：(Ⅰ)取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；(Ⅱ)由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°.可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，进一步求得正弦值；(Ⅲ)设AH=t，则H(0，0，t)，求出NH、BE的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余AH的长.答案：(Ⅰ)取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE.∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE. ∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE.又MF∩NF=F.∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；(Ⅱ)∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°.∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵PA=AC=4，AB=2，∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，M(0，0，1)，N(1，2，0)，E(0，2，2)，则MN=(1，2，-1)，ME=(0，2，1)，设平面MEN的一个法向量为m=(x，y，z)，由m MNm ME⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，得2020x y zy z+-=⎧⎨+=⎩，，取z=2，得m=(4，-1，2).由图可得平面CME的一个法向量为n=(1，0，0).∴cos21m n m n m n=⋅==＜，＞.∴二面角C-EM-N的余弦值为；(Ⅲ)解：设AH=t，则H(0，0，t)，NH=(-1，-2，t)，BE=(-2，2，2).∵直线NH与直线BE，∴cos||5NH BENH BENH BE⋅===＜，＞t=4.∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为21，此时线段AH的长为4.18.已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N*)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4-2a 1，S 11=11b 4.(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N+).解析：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.通过b 2+b 3=12，求出q ，得到b n =2n .然后求出公差d ，推出a n =3n-2.(Ⅱ)化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可.答案：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12，得b 1(q+q 2)=12，而b 1=2，所以q 2+q-6=0.又因为q ＞0，解得q=2.所以，b n =2n .由b 3=a 4-2a 1，可得3d-a 1=8.由S 11=11b 4，可得a 1+5d=16，联立①②，解得a 1=1，d=3，由此可得a n =3n-2.所以，{a n }的通项公式为a n =3n-2，{b n }的通项公式为b n =2n .(II)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ，由a 2n =6n-2，b 2n-1=12×4n ，有a 2n b 2n-1=(3n-1)4n ， 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)4n ，4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-1)4n+1，上述两式相减，得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n -(3n-1)4n+1=()121414n ⨯---4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8， 得T n =1328433n n +-⨯+. 所以，数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为1328433n n +-⨯+.19.设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. (I)求椭圆的方程和抛物线的方程；(II)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B(B 异于A)，直线BQ 与x 轴相交于点D.若△APDAP 的方程. 解析：(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a ，b ，p 即可得出方程；(II)设AP 方程为x=my+1，联立方程组得出B ，P ，Q 三点坐标，从而得出直线BQ 的方程，解出D 点坐标，根据三角形的面积列方程解出m 即可得出答案.答案：(Ⅰ)设F 的坐标为(-c ，0).依题意可得12212c a p a a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，，，解得a=1，c=12，p=2，于是b 2=a 2-c 2=34. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为y 2=4x. (Ⅱ)直线l 的方程为x=-1，设直线AP 的方程为x=my+1(m ≠0)，联立方程组11x x my =-⎧⎨=+⎩，，解得点P(-1，-2m )，故Q(-1，2m ). 联立方程组x=my+1，x 2+4y 23=1，消去x ，整理得(3m 2+4)y 2+6my=0，解得y=0，或y=2634m m -+. ∴B(223434m m -++，2634m m -+). ∴直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+⎛⎫-+-+-= ⎪++⎝⎭， 令y=0，解得222332m x m -=+，故D(222332m m -+，0).∴|AD|=1-22222363232m m m m -=++. 又∵△APD∴22162232m m m ⨯⨯=+，整理得3m 2|m|+2=0，解得|m|=m=∴直线AP 的方程为，或20.设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a 在区间(1，2)内有一个零点x 0，g(x)为f(x)的导函数.(Ⅰ)求g(x)的单调区间；(Ⅱ)设m ∈[1，x 0)∪(x 0，2]，函数h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m)，求证：h(m)h(x 0)＜0； (Ⅲ)求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且p q∈[1，x 0)∪(x 0，2]，满足041p x q Aq-≥.解析：(Ⅰ)求出函数的导函数g(x)=f ′(x)=8x 3+9x 2-6x-6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可.(Ⅱ)由h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m)，推出h(m)=g(m)(m-x 0)-f(m)，令函数H1(x)=g(x)(x-x 0)-f(x)，求出导函数H ′1(x)利用(Ⅰ)知，推出h(m)h(x 0)＜0. (Ⅲ)对于任意的正整数p ，q ，且p q ∈[1，x0)∪(x0，2]，令m=p q，函数h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m). 由(Ⅱ)知，当m ∈[1，x 0)时，当m ∈(x 0，2]时，通过h(x)的零点.转化推出 ()()()432234041233622p p f f p p q p q pq aq q q p x q g x g g q +--+-=≥=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.推出|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|≥1.然后推出结果.答案：(Ⅰ)由f(x)=2x 4+3x3-3x 2-6x+a ，可得g(x)=f ′(x)=8x 3+9x 2-6x-6，进而可得g ′(x)=24x 2+18x-6.令g ′(x)=0，解得x=-1，或x=14. 当x 变化时，g ′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以，g(x)的单调递增区间是(-∞，-1)，(14，+∞)，单调递减区间是(-1，14). (Ⅱ)由h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m)，得h(m)=g(m)(m-x 0)-f(m)，h(x 0)=g(x 0)(m-x 0)-f(m). 令函数H 1(x)=g(x)(x-x 0)-f(x)，则H ′1(x)=g ′(x)(x-x 0).由(Ⅰ)知，当x ∈[1，2]时，g ′(x)＞0，故当x ∈[1，x 0)时，H ′1(x)＜0，H 1(x)单调递减；当x ∈(x 0，2]时，H ′1(x)＞0，H 1(x)单调递增.因此，当x ∈[1，x 0)∪(x 0，2]时，H1(x)＞H 1(x 0)=-f(x 0)=0，可得H 1(m)＞0即h(m)＞0， 令函数H 2(x)=g(x 0)(x-x 0)-f(x)，则H ′2(x)=g ′(x 0)-g(x).由(Ⅰ)知，g(x)在[1，2]上单调递增，故当x ∈[1，x 0)时，H ′2(x)＞0，H 2(x)单调递增；当x ∈(x 0，2]时，H ′2(x)＜0，H 2(x)单调递减.因此，当x ∈[1，x 0)∪(x 0，2]时，H 2(x)＞H 2(x 0)=0，可得得H 2(m)＜0即h(x 0)＜0，所以，h(m)h(x 0)＜0.(Ⅲ)对于任意的正整数p ，q ，且p q∈[1，x 0)∪(x 0，2]， 令m=p q，函数h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m). 由(Ⅱ)知，当m ∈[1，x 0)时，h(x)在区间(m ，x 0)内有零点；当m ∈(x 0，2]时，h(x)在区间(x 0，m)内有零点.所以h(x)在(1，2)内至少有一个零点，不妨设为x 1，则h(x 1)=g(x 1)(p q -x 0)-f(p q )=0. 由(Ⅰ)知g(x)在[1，2]上单调递增，故0＜g(1)＜g(x 1)＜g(2)， 于是()()()432234041233622p p f f p p q p q pq aq q q p x q g x g g q +--+-=≥=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为当x ∈[1，2]时，g(x)＞0，故f(x)在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[1，2]上除x 0外没有其他的零点，而pq ≠x 0，故f(pq )≠0.又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|是正整数，从而|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|≥1. 所以()0412p x q g q -≥.所以，只要取A=g(2)，就有041px q Aq -≥.。

天津市部分区2017届高三质量调查理科数学试题(一)含答案(1)

天津市部分区2017届高三质量调查理科数学试题(一)含答案(1)
2017 届山西省三区（县）八校联合高考模拟
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求 .
1. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 则“ a b ”是“ sin A sin B ”的
.
17. （本题满分 12 分）
已知函数 f x
3 sin 2x
cos2 x
1 ,x
R.
2
2
（ 1 ）求函数 f x 的最小值和最小正周期； （ 2 ）设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足 c 3, f C 0,sin B 2sin A ，求 a,b 的值 .
18. （本题满分 12 分） 山西某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（本科学历）的
直线 y
5 上找到一点 P, 在椭圆 C 上找到一点 Q, 满足 PM
NQ ？若存在，求出直线 l 的
3
方程；若不存在，说明理由 .
21. （本题满分 12 分）
已知函数 f x ln x ax2 bx （其中 a, b 为常数，且 a 0）在 x 1 处取得极值 . （ 1 ）当 a 1时，求 f x 的单调区间； （ 2 ）若 f x 在 0,e 上的最大值为 1，求 a 的值 .
5 的概率为 ，求 x, y 的值 .
39
19. （本题满分 12 分） 如图，已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， EA
1 且 FD EA 1.
2
（ 1 ）求多面体 EABCDF 的体积； （ 2 ）求直线 EB 与平面 ECF 所成角的正弦值； （ 3 ）记线段 BC 的中点为 K, 在平面 ABCD 内过点 K 作一 条直线与平面 ECF 平行，要求保留作图的痕迹， 但不要求证明 .

(完整版)2017年天津市高考数学试卷(理科)详细解析版

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2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=16．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2] D．[﹣2，]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A． B．1 C．D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．3．（5分）阅读上面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，输出N=2，故选C 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k==，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x ﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2．【解答】解：===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080个．（用数字作答）【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：① 、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．三.解答题：本大题共6小题，共80分．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE 所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E （0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|﹣x0|=≥=．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．【解】（Ⅰ）由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，+∞）g′（x）+﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），所以h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．。

天津市滨海新区2017届高三一模考试数学(理)试题Word版含解析

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天津市滨海新区2017届高三一模考试数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．已知集合A={x||x﹣a|＜1}，B={x|1＜x＜4}，则A∪B=B，则实数a的取值范围是（）A．2，3] B．（2，3） C．0，5] D．（0，5）2．设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．B．5 C．D．123．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的S值是（）A．B．C．D．4．已知a，b，c∈R，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“∀x∈R，都有ax2+bx+c≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，圆O的直径AB与弦CD交于点E，且E为OA的中点，若OA=2，∠BCD=30°，则线段CE的长为（）A．1 B．C．D．6．己知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则ab的值为（）A．B．C．D．7．若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0的一个根在区间（2，3）内，则实数k的取值范围是（）A． C．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=x﹣a，其中a∈R，若函数y=f（x）﹣g （x）恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（1，）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．复数z满足条件：z﹣3i=，其中i是虚数单位，则z= ．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．11．曲线y=cosx（﹣≤x≤）与x轴所围成的封闭图形的面积等于．12．已知（﹣）8的展开式中x项的系数为﹣14，则a的值为．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，A=，B=，则c的值为．14．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边BC上，点F在边CD上，若=λ， =λ2，则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知f （x ）=sin （2x ﹣）．（Ⅰ）求f （x ）的单调递减区间；（Ⅱ）若α∈（，π），f （+）=cos （α+）cos2α，求sin α﹣cos α的值．16．盒子中共有8个球，其中4个红球，3个绿球，1个黄球，这些球除颜色外其他完全相同． （Ⅰ）从盒子中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；（Ⅱ）从盒子中一次随机抽取3个球，每取得1个红球记1分，取得1个绿球记2分，取得1个黄球记3分，设X 为取出3个球所得的分数之和，求X 的分布列和数学期望．17．如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，SC ⊥平面ABC ，SC=3，AC ⊥BC ，CE=2EB=2，AC=，CD=ED ．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面SCD ；（Ⅱ）求二面角A ﹣SD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）求点A 到平面SCD 的距离．18．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1﹣a n =2n ﹣1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1=3，b n+1﹣b n =2n+3，且c n =，求数列{c n }的通项公及前n 项和T n ．19．已知函数f（x）=（x2+mx）e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当m=﹣2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间1，3]上单调递减，求m的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m，使得f（x）为R上的单调函数？请说明理由．20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l 的倾斜角为，|AF|=2|FB|．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若|AF|=，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，D为椭圆C上一点，当△ABD面积取得最大值时，求D点的坐标．天津市滨海新区2017届高三一模考试数学（理）试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．已知集合A={x||x﹣a|＜1}，B={x|1＜x＜4}，则A∪B=B，则实数a的取值范围是（）A．2，3] B．（2，3） C．0，5] D．（0，5）【分析】解不等式求出集合A，结合A∪B=B，可得A⊆B，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x||x﹣a|＜1}=（a﹣1，a+1），B={x|1＜x＜4}=（1，4），若A∪B=B，则A⊆B，则a﹣1≥1，且a+1≤4，解得：a∈2，3]，故选：A．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，绝对值不等式的解法，难度中档．2．设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．B．5 C．D．12【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象得到直线过A时z的值最大，代入求出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（，），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线过A时z的值最大，z的最大值是z=2×+=，故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的S值是（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后：S=1，不满足退出循环的条件，c=2，a=1，b=2，第二次执行循环体后：S=，不满足退出循环的条件，c=3，a=2，b=3，第三次执行循环体后：S=，不满足退出循环的条件，c=5，a=3，b=5，第四次执行循环体后：S=，不满足退出循环的条件，c=8，a=5，b=8，第五次执行循环体后：S=，满足退出循环的条件，故输出的S值为：，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．已知a，b，c∈R，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“∀x∈R，都有ax2+bx+c≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据一元二次不等式解法及充要条件的定义【解答】解：“a＞0且b2﹣4ac＜0”能推出“∀x∈R，都有ax2+bx+c≥0”，但是“∀x∈R，都有ax2+bx+c≥0”，则a＞0，b2﹣4ac≤0，故“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“∀x∈R，都有ax2+bx+c≥0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题通过△与一元二次不等式ax2+bx+c≥0情况考查充分条件、必要条件的含义．5．如图，圆O的直径AB与弦CD交于点E，且E为OA的中点，若OA=2，∠BCD=30°，则线段CE的长为（）A．1 B．C．D．【分析】由正弦定理可得，CE=6sinB，AC=4sinB，△ACE中，由余弦定理求出sinB，即可求出线段CE的长．【解答】解：连接AC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BCD=30°，∴∠ACE=60°．由正弦定理可得，∴CE=6sinB，∵AC=4sinB，∴△ACE中，由余弦定理可得1=（4sinB）2+（6sinB）2﹣2×4sinB×6sinB×，∴sinB=，∴CE=6sinB=．故选：D．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确求出sinB是解题的关键所在．6．己知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则ab的值为（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（1，0），从而得出双曲线的右焦点为F（1，0），利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴2p=4，得抛物线的焦点为（1，0）．∵双曲线的一个焦点与抛物y2=4x的焦点重合，∴双曲线的右焦点为F（1，0）∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）离心率为2，∴a=，∴b=，∴ab=．故选：D．【点评】本题给出抛物线的焦点为双曲线右焦点，求双曲线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．7．若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0的一个根在区间（2，3）内，则实数k的取值范围是（）A． C．【分析】若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0有两相等的实根，则x=﹣2，不在区间（2，3）内，令f（x）=x2+（1﹣k）x﹣2（k+1），若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0有两不相等的实根，且一个根在区间（2，3）内，则f（2）f（3）＜0，进而得到答案．【解答】解：若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0有两相等的实根，则△=（1﹣k）2+8（k+1）=0，解得：k=﹣3，此时x=﹣2，不在区间（2，3）内，令f（x）=x2+（1﹣k）x﹣2（k+1），若方程x2+（1﹣k）x﹣2（k+1）=0有两不相等的实根，且一个根在区间（2，3）内，则f（2）f（3）＜0，即（4﹣4k）（10﹣5k）＜0，解得：k∈（1，2），故选：D．【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系，函数的零点与对应方程根的关系，难度中档．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=x﹣a，其中a∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（1，）【分析】由y=f（x）﹣g（x）=0得f（x）=g（x），作出两个函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由y=f（x）﹣g（x）=0得f（x）=g（x），作出两个函数f（x）和g（x）的图象，则A（1，），当g（x）经过点A时，f（x）与g（x）有2个交点，此时g（1）=﹣a=，此时a=1，当g（x）与f（x）在x＞1相切时，此时f（x）与g（x）有2个交点由﹣x2+4x﹣=x﹣a，即x2﹣x+﹣a=0，由判别式△=0得（）2﹣4（﹣a）=0，得a=，要使f（x）与g（x）有3个交点，则g（x）位于这两条线之间，则a满足a∈（，1），故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点问题，利用数形结合作出两个函数的图象是解决本题的关键．综合性较强．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．复数z满足条件：z﹣3i=，其中i是虚数单位，则z= 2+2i ．【分析】根据复数的定义与运算法则，进行化简、计算即可．【解答】解：∵复数z满足条件：z﹣3i=，i是虚数单位，则z=3i+=3i+=3i+（2﹣i）=2+2i．故答案为：2+2i．【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．【分析】该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆台，下面是一个圆柱．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆台，下面是一个圆柱．∴该几何体的体积=π×22×2+×（22+2×1+12）×2=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了三视图的有关计算、圆柱与圆台的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．曲线y=cosx（﹣≤x≤）与x轴所围成的封闭图形的面积等于 2 ．【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解．积分的上下限分别为区间的两个端点，cosx即为被积函数．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为：S=cosxdx=sinx=1﹣（﹣1）=2，所以围成的封闭图形的面积是2．故答案为：2．【点评】本小题主要考查定积分的简单应用、导数的应用、定积等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．12．已知（﹣）8的展开式中x项的系数为﹣14，则a的值为 2 ．==（﹣a）r x4﹣r，令【分析】（﹣）8的展开式的通项公式Tr+14﹣r=1，解得r=3．可得T=x，利用已知即可得出．4==（﹣a）r x4﹣【解答】解：（﹣）8的展开式的通项公式Tr+1r，令4﹣r=1，解得r=3．∴T=x4∵（﹣）8的展开式中x项的系数为﹣14，∴=﹣14，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，A=，B=，则c的值为．【分析】根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，A=，B=，a=2∴由正弦定理得，即c===2cos+2×=2×+2×=，故答案为：【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．14．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边BC上，点F在边CD上，若=λ， =λ2，则的最大值为．【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），设E（，n），F（m，2），运用向量共线的坐标表示，解得m，n，再由向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值的求法，即可得到最大值．【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），设E（，n），F（m，2），由=λ，可得m=λ，即F（λ，2），由=λ2，可得n=2﹣2λ2，即E（，2﹣2λ2），则=（λ，2）（﹣λ，﹣2λ2）=2λ（1﹣λ）﹣4λ2=﹣6λ2+2λ=﹣6（λ﹣）2+，当λ=时，则取得最大值．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的最值的求法，注意运用坐标法，考查二次函数的最值的求法，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知f（x）=sin（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若α∈（，π），f （+）=cos （α+）cos2α，求sin α﹣cos α的值．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦函数的单调性，求得f （x ）的单调递减区间．（Ⅱ）由题意可得sin α+cos α=0 或（cos α﹣sin α）2=，再根据α∈（，π），可得α=或cos α﹣sin α=﹣，由此求得sin α﹣cos α的值．【解答】解：（Ⅰ）对于f （x ）=sin （2x ﹣），令2k π+≤2x ﹣≤2k π+，求得k π+≤x ≤k π+，可得f （x ）的单调递减区间为k π+，k π+]，k ∈Z ．（Ⅱ）若α∈（，π），f （+）=cos （α+）cos2α，则sin （α+）=cos （α+）cos2α，即（sin α+cos α）=（cos α﹣sin α）（cos 2α﹣sin 2α），∴sin α+cos α=0 或（cos α﹣sin α）2=．∵α∈（，π），∴α=或cos α﹣sin α=﹣，∴sin α﹣cos α= 或sin α﹣cos α=．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，两角和差的三角公式，属于基础题．16．盒子中共有8个球，其中4个红球，3个绿球，1个黄球，这些球除颜色外其他完全相同． （Ⅰ）从盒子中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；（Ⅱ）从盒子中一次随机抽取3个球，每取得1个红球记1分，取得1个绿球记2分，取得1个黄球记3分，设X 为取出3个球所得的分数之和，求X 的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）设A 表示事件事件“从盒子中一次随机取出2个球的颜色相同”，利用互斥事件加法公式能求出从盒子中一次随机取出2个球，取出的2个球颜色相同的概率．（Ⅱ）依题意，X 的所有可能取值为3，4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A 表示事件事件“从盒子中一次随机取出2个球的颜色相同”，则P （A ）==，∴从盒子中一次随机取出2个球，取出的2个球颜色相同的概率为．（Ⅱ）依题意，X 的所有可能取值为3，4，5，6，7，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==，P（X=7）==，∴X的分布列为：EX=+=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，SC=3，AC⊥BC，CE=2EB=2，AC=，CD=ED．（Ⅰ）求证：DE⊥平面SCD；（Ⅱ）求二面角A﹣SD﹣C的余弦值；（Ⅲ）求点A到平面SCD的距离．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量的坐标，得到DE⊥CD，DE⊥CS，求出线面垂直即可；（Ⅱ）设平面SAD的法向量为=（x，y，z），求出一个法向量，代入余弦公式即可求出余弦值；（Ⅲ）作AH⊥平面SCD，垂足为H，求出的坐标，从而求出点A到平面SCD的距离．【解答】解：如图示：，以C为原点建立空间直角坐标系，由题意得：A（，0，0），C（0，0，0），D（1，1，0），E（0，2，0），S（0，0，3），（Ⅰ）证明：∵ =（﹣1，1，0），=（1，1，0），=（0，0，3），∴=﹣1+1+0=0，=0+0+0=0，即DE⊥CD，DE⊥CS，∵CD∩CS=C，∴DE⊥平面SCD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=（﹣1，1，0）为平面SCD的一个法向量，设平面SAD的法向量为=（x，y，z），而=（﹣，1，0），=（﹣，0，3），则，即，不妨设x=2，可得=（2，1，1），易知二面角A﹣SD﹣C为锐角，因此有|cos＜，＞|==，即二面角A﹣SD﹣C的余弦值是；（Ⅲ）解： =（﹣，0，0），=（﹣，1，0），=（﹣，0，3），作AH⊥平面SCD，垂足为H，设=x+y+z=（﹣x﹣y﹣z，y，3z），且x+y+z=1，由⊥，⊥，得：，解得，∴=（﹣，，0），||=，即点A 到平面SCD 的距离是．【点评】本题考查了线面垂直，考查平面的法向量，点到平面的距离，是一道中档题．18．若数列{a n }满足a 1=1，a n+1﹣a n =2n ﹣1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1=3，b n+1﹣b n =2n+3，且c n =，求数列{c n }的通项公及前n 项和T n ．【分析】（1）采用累加法求得，求得{a n }的通项公式，（2）采用累加法求得数列{b n }的通项公式，整理写出数列{c n }的通项公式，c n =（n+2）2n ﹣1，数列{c n }是由等差数列和等比数列乘积的形式，采用乘以公比错位相减法，求得T n ．【解答】解：（Ⅰ），a 2﹣a 1=1， a 3﹣a 2=2， a 4﹣a 3=4， …，以上各式相加，得：，∴，∵a 1=1，∴．（Ⅱ）∵b n+1﹣b n =2n+3， b 2﹣b 1=5，b 3﹣b2=7，b 4﹣b3=9，…b n ﹣bn﹣1=2n+1，以上各式相加得：b n ﹣b1=5+7+9+…+2n+1，=n2+2n﹣3，b1=3，∴，cn==，cn=（n+2）2n﹣1，Tn=3×20+4×21+5×22+…+（n+2）2n﹣1，2Tn=3×21+4×22+5×23+…+（n+1）2n﹣1+（n+2）2n，两式相减，得：﹣Tn=3×20+（21+22+…+2n﹣1）﹣（n+2）2n，=3+（2n﹣2）﹣（n+2）2n=﹣（n+1）2n+1，∴Tn=（n+1）2n﹣1．【点评】本题考查采用累加法求数列的通项公式及采用错位相减法求数列的前n项和，过程复杂，属于中档题．19．已知函数f（x）=（x2+mx）e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当m=﹣2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间1，3]上单调递减，求m的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m，使得f（x）为R上的单调函数？请说明理由．【分析】（Ⅰ）将m=﹣2代入f（x）的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，得到g（x）=﹣（x+1）+，求出函数g（x）的导数，从而求出m的范围即可；（Ⅲ）假设f（x）单调，求出f（x）的导数，结合二次函数的性质判断即可．【解答】解：（Ⅰ）当m=﹣2时，f（x）=（x2﹣2x）e x，f′（x）=（x2﹣2）e x，令f′（x）≥0，解得：x≥或x≤﹣，∴f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）递增；（Ⅱ）∵f′（x）=x2+（m+2）x+m]e x，由题意得f′（x）≤0对于x∈1，3]恒成立，∴x2+（m+2）x+m≤0，即m≤﹣=﹣（x+1）+，令g（x）=﹣（x+1）+，则g′（x）=﹣1﹣＜0恒成立，=g（1）=﹣，∴g（x）在区间1，3]递减，g（x）max∴m的范围是（﹣∞，﹣]；（Ⅲ）假设f（x）为R上的单调函数，①若f（x）在R递增，则f′（x）≥0对x∈R恒成立，即x2+（m+2）x+m]e x≥0对x∈R恒成立，∵e x＞0，∴x2+（m+2）x+m≥0对x∈R恒成立，而△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，不满足x2+（m+2）x+m≥0对x∈R恒成立，∴f（x）不是R上的单调递增函数；②若f（x）在R递减，则f′（x）≤0对x∈R恒成立，即x2+（m+2）x+m]e x≤0对x∈R恒成立，∵e x＞0，∴x2+（m+2）x+m≤0对x∈R恒成立，而函数h（x）=x2+（m+2）x+m的图象是开口向上的抛物线，故x2+（m+2）x+m≤0不可能恒成立，∴f（x）不是R上的单调递减函数，综上，不存在实数m，使得f（x）为R上的单调函数．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．20．设椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，过F 点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为，|AF|=2|FB|．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若|AF|=，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，D 为椭圆C 上一点，当△ABD 面积取得最大值时，求D 点的坐标．【分析】（I ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1＜0，y 2＞0，由|AF|=2|FB|，可得：﹣y 1=2y 2．设直线l 的方程为：y=（x ﹣c ），其中c=．直线方程与椭圆方程联立化为：（3a 2+b 2）y 2+2b 2cy ﹣3b 4=0，分别解得y 1，y 2，即可得出．（II ）由|AF|=，|AF|=2|FB|．可得|AB|=|AF|+|FB|=，y 2﹣y 1=|AB|=，又，b 2=a 2﹣c 2，解得a ，b ，c ，即可得出椭圆C 的方程．（III ）当D 点在平行于直线l 的椭圆的切线上的切点处时，△ABD 的面积最大，设切线方程为y=x+t ，可得32x 2+18tx+9（t 2﹣5）=0，令△=0，解得t ，即可得出x ．【解答】解：（I ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1＜0，y 2＞0，∵|AF|=2|FB|．﹣y 1=2y 2．设直线l 的方程为：y=（x ﹣c ），其中c=．联立，化为：（3a 2+b 2）y 2+2b 2cy ﹣3b 4=0，解得y==，y 1=，y 2=，∴﹣=2×，∴=．（II ）∵|AF|=，|AF|=2|FB|．∴|AB|=|AF|+|FB|==，y 2﹣y 1=|AB|=×==，又，b 2=a 2﹣c 2，解得a=3，b=，c=2．∴椭圆C 的方程为=1．（III ）当D 点在平行于直线l 的椭圆的切线上的切点处时，△ABD 的面积最大，由，可得32x 2+18tx+9（t 2﹣5）=0，令△=﹣4×32×9（t 2﹣5）=0，解得t=4．解得x=，y=，∴D ． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、直线与椭圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

天津市滨海新区七所重点学校2017-2018学年高三毕业班联考数学(理)试题

天津市滨海新区七所重点学校2017-2018学年高三毕业班联考数学(理)试题

天津市滨海新区七所重点学校2020-2021学年高三毕业班联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z 满足(1)3i z i -=-+，则z 在平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若实数x ，y 满足1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z2x 3y 的最小值是（ ） A ．1 B ．12- C ．3- D ．03．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知集合{|145}A x x x =-+-<，集合()22{|log 2}B x y x x ==-，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若ln 2a =，125b -=，01sin 4c xdx π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>6．在ABC 中，3sin()sin 2A B C -+=，BC =，则B =（ ） A ．3π B ．6π C ．6π或3π D ．2π 7．已知双曲线2213x y -=的右焦点恰好是抛物线22y px =（0p >）的焦点F ，且M 为抛物线的准线与x 轴的交点，N为抛物线上的一点，且满足NF =，则点F 到直线MN 的距离为（ ）A ．12B ．1 CD ．28．已知函数21(0)()21(0)x x x f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，若函数(())1y f f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(11)(23]e ，，+⋃ B ．11(11)(23]3e e ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， C ．11(11)[23)3e e ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， D ．2(11)(23]e+⋃，，二、填空题 9．在二项式251()x x -的展开式中，含7x 的项的系数是______10．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，则AB =________11．某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是____12．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，若F 是线段BC 上一动点，则AF FE ⋅的取值范围是________13．若正实数x ，y ，满足25x y +=，则223211x y x y--++的最大值是__________． 14．3个男生和3个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学都不相邻，则不同的排法共有__________种（用数字作答）．三、解答题15．已知函数21()cos()sin ()262f x x x x ππ=-+--. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若[0]4x π∈，，()f x =，求cos2x 的值. 16．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片，2张印 有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖200元， 抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A 表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求()P A 的值；（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片.①%2记B 表示“小王参加抽奖活动中奖”，求()P B 的值；②设X 表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X 的分布列和数学期望.17．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB DC ，AB AD ⊥，1DC AD ==，2AB =，45PAD ∠=︒，E 是PA 的中点，F 在线段AB 上，且满足0B C D F ⋅=.（1）求证：DE 平面PBC ；（2）求二面角F PC B --的余弦值；（3）在线段PA 上是否存在点Q ，使得FQ 与平面PFC ，若存在，求出AQ 的长；若不存在，请说明理由.18．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且11()2n n S a n N *+=∈.数列{}n b 是公差d 不等于0的等差数列，且满足：1132b a =，2b ，5b ，14b 成等比数列. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆的焦距为6，离心率为e .（1）若2e =，求椭圆的方程； （2）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段2AF ，2BF 的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22e <≤，求实数k 的取值范围. 20．已知函数()ln f x x =，21()2g x ax bx =+，0a ≠ （1）若1a =，且()()()h x f x g x =+在其定义域上存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（2）设函数()()()()x xf x m x f m x ϕ=+--，0x m <<，若2()2x m m ϕ≥-恒成立，求实数m 的取值范围；（3）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点M 、N ，证明：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.参考答案1．C【解析】分析：根据复数的运算法则，求得复数z ，从而确定出实部和虚部的符号，最后求得结果. 详解：根据题意3(3)(1)422122i i i i z i i -+-++--====---，所以z 在平面内对应的点的坐标是(2,1)--，所以在第三象限，故选C.点睛：该题考查了复数的除法运算以及在复平面内对应的点的问题，属于简单题目. 2．C【解析】分析：该题属于线性规划的问题，首先根据题中所给的约束条件，画出可行域，再判断目标函数在哪个点处取得最小值，代入求得结果.详解：根据题意，能够判断出约束条件所对应的可行域就是三条直线所围成的三角形区域，能够判断出目标函数在(0,1)点处取得最小值，代入求得最小值为033z =-=-，故选C. 点睛：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可得结果. 3．A【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果.【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.4．B【分析】根据题意求出集合，然后应用集合的关系判断充分必要性即可．【详解】利用绝对值不等式的求法求得{}|05A x x =<<，利用对数式有意义，真数大于零求得{}|02B x x =<<，因为B 是A 的真子集，故“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．【点睛】该题属于绝对值不等式、函数的定义域、集合间关系以及充要条件判断的综合题．若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件．5．B【分析】先求得c ， 再根据c 的值，利用指数与根式的关系和对数函数单调性转化b ，a ，再比较大小.【详解】 因为()()001111sin cos |cos cos04442c xdx x πππ==-=--=⎰，121552b -==<， 121ln 2ln 2a e =>=， 所以a c b >>.故选：B【点睛】本题主要考查实数比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6．B【分析】 利用两角和的正弦公式以及3sin()sin 2A B C -+=可得3sin cos 4A B =①，再由BC =得到sin 3sin AB ②，联立①②解方程组即可. 【详解】因为3sin()sin 2A B C -+=，所以3sin()sin()2A B A B -++=，化简得 32sin cos 2A B =，即3sin cos 4A B =①，又BC =及正弦定理可得sin 3sin A B 3cos 4B B =，即sin 22B =，又(0,)B π∈，所以6B π=或3π，注意到sin 1A B =≤，所以sin B ≤， 所以6B π=.故选：B【点睛】本题考查正弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式，本题容易错选C ，要注意题中隐含的信息，是一道中档题.7．D【解析】分析：求出双曲线的右焦点，即为抛物线的焦点，可得4p =，求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义，结合三角形的有关知识求得结果.详解：双曲线2213x y -=的右焦点为(2,0)，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p ，则22p =，解得4p =，则抛物线方程为28y x =，准线方程为2x =-，由点N 向抛物线的准线作垂线，垂足为R ，则由抛物线的定义，可得NR NF ==，从而可以得到60NMR ∠=︒，从而得到30NMF ∠=︒，所以有点F 到直线MN 的距离为4sin302d =︒=，故选D.点睛：解决该题的关键是要把握抛物线的定义，将相关量放到一个三角形中去解决即可. 8．B【详解】该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图象的走向，找出函数的极值，从而结合图象完成任务.详解：(())10f f x a --=，即(())1f f x a -=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =-或0x =，从而得到()2f x a -=-和()0f x a -=一共有三个根，即(),()2f x a f x a ==-共有三个根，当0x ≥时，()11xx f x e =+>，21'()x x x x e xe x f x e e--==，从而可以确定函数()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，且1(1)0,(1)1f f e-==+，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20111a a e -<⎧⎪⎨<<+⎪⎩或2011a a e -=⎧⎪⎨=+⎪⎩或2001a a -=⎧⎨<≤⎩或02111a a e <-≤⎧⎪⎨>+⎪⎩或12111a e a e ⎧-=+⎪⎪⎨⎪>+⎪⎩，解得111a e <<+或23a <≤或13a e =+，所以所求a 的范围是11(1,1)(2,3]3e e ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭，故选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图象的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.9．-5【解析】分析：先求得二项展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于7，求得r 的值，即可求得含7x 项的系数值.详解：二项式251()x x -的展开式的通项公式为251031551()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1037r -=，解得1r =，可得展开式中含7x 项的系数是155C -=-，故答案是-5.点睛：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x 的指数为7求得r ，再代入系数求出结果，所以解决该题的关键就是通项公式. 10【解析】分析：该题属于直线被圆截得的弦长问题，先将极坐标方程化为直角坐标方程，将参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，之后应用圆中的特殊三角形勾股定理求得结果. 详解：由题意可知曲线C 的直角坐标方程是2240x y x +-=，曲线是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，直线l 的普通方程是10x y --=，所以圆心到直线的距离2d ==，所以AB ==. 点睛：该题也可以将直线的参数方程代入曲线方程中，整理，求得两根，利用直线参数方程中参数的几何意义，求得两根差的绝对值，即为结果.11．103π 【解析】分析：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥，下面是半个圆柱，并求出底面圆的半径以及几何体的高，由椎体、柱体的体积公式求出此几何体的体积.详解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，且圆锥的底面圆的半径2r、高是2，圆柱的底面圆的半径2r 、高是1，所以此几何体的体积是1111042412323V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=，故答案是103π. 点睛：该题属于已知几何体的三视图，还原几何体，求其体积的问题，在解题的过程中，还原几何体以及找出对应的量是最关键的，之后应用体积公式求解即可. 12．5[1]2，-- 【解析】分析：设(01)BF BC λλ=≤≤，用,AB AD 表示出题中所涉及的向量，得出AF FE ⋅关于λ的函数，根据λ的范围，结合二次函数的性质求得结果.详解：根据题意，设(01)BF BC λλ=≤≤，则()()AF FE AB BF FC CE ⋅=+⋅+1()[(1)]2AB AD AD AB λλ=+⋅--2211(1)(1)22AB AD AD AB AB ADλλλλ=-⋅+---⋅2212122λλλλλλ=-+---=---213()24λ=-+-，结合二次函数的性质，可知当1λ=时取得最小值52-，当0λ=时取得最大值1-，故答案是5[,1]2--.点睛：该题是有关向量的数量积的范围问题，在解题的过程中，需要提炼题的条件，将其转化为已知向量的数量积的问题，之后应用公式，求得关于λ的函数关系，之后转化为二次函数在某个闭区间上的值域问题来求解. 13．83【详解】分析：将题中的式子进行整理，将1x +当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题的求解方法，即可求得结果.详解：222321(1)2(1)21211x y x x y x y x y --+-+-+=+-++21122()1x y x y =+-+-++12121()(12)61x y x y x y =+--++++14114(22)4(4616y x x y +=-+++≤-++83=，当且仅当213y x =+=等号成立，故答案是83. 点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-------相乘，即可得结果. 14．288 【解析】分析：根据题意，需要分清一共有多少种情况，对于男生甲可以和乙相邻，可以和丙相邻，这里边对于甲与乙和丙同时相邻的就算了两次，所以该题用间接法来求，在进行减法运算时，注意将多减的需要再加上即可.详解：将6名同学排成一列，不同的排法种数由有66720A =种，不妨称另外两名男同学为乙和丙，若男同学甲与男同学乙相邻，不同的排法种数是2525240A A =种，同理可知男同学甲与男同学丙相邻，不同的排法种数是2525240A A =种，若男同学甲与乙和丙都相邻，不同的排法种数是242448A A =种，所以满足条件的不同的排法种数是72024024048288--+=种，故答案是288.点睛：该题属于排列的综合问题，关于相邻问题捆绑法，不邻问题插空法，该题也可以从不相邻入手用加法运算做，即方法是不唯一的，但是都需要将情况讨论全.15．（1）[]63k k ππππ-+，，k Z ∈；（2）26-【解析】分析：第一问需要应用诱导公式、倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，之后结合正弦函数的单调区间求解即可，第二问利用题中的条件，求得sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据题中所给的自变量的取值范围，求得整体角26x π-的范围，利用平方关系，结合角的范围，求得cos 26x π⎛⎫-=⎪⎝⎭之后将角进行配凑，利用和角公式求得结果.详解：（1）()21cos sin 262f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 213cos 22x x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-1cos 223x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭11cos222x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1cos24x x =- 1sin 226x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令222262k x k πππππ-≤-≤+，222233k x k ππππ-≤≤+， 63k x k ππππ-≤≤+所以，()f x 的单调递增区间为63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈.（2）()1sin 226f x x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵04x ，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴2663x πππ-≤-≤∴cos 263x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴cos2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1cos 2sin 26262x x ππ⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12=-2=-. 点睛：该题属于三角函数的问题，在解题的过程中，需要利用诱导公式、倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用正弦型函数的解决思路解题，在第二问求cos2x 值的时候需要结合题中的条件，对角进行配凑，利用和角公式求解. 16．（1）320；（2）见解析 【解析】分析：第一问可以看做是前三次中有一次是无奖金的，第四次肯定是有奖金的排序问题，而总体结果是随意排的，从而应用排列数求得对应的概率，第二问将问题用反面思维，求出不中奖的概率，用减法运算求得结果，后边问题分析出X 的所有可能的取值，并求得相应的概率值，列出分布列，利用公式求得期望.详解：（1）()11333346320C C A P A A ⋅⋅== （2）①()2326415C P B C =-=②由题意可知X 可取的值为0，100，200，300，则()2326105C P X C ===；()11232621005C C P X C ===()212326420015C C P X C +===；()1226230015C P X C === 因此X 的分布列为X 的数学期望是()124240001002003005515153E X =⨯+⨯+⨯+⨯=点睛：解决该题的关键是 第一问可以应用排列数来解决，分析出对应的满足条件的排列，从而求得结果，第二问注意反面思维的运用，以及分布列的求法，最后应用离散型随机变量的期望公式求得结果. 17．（1）见解析；（2）3；（3）10【详解】分析：该题是立体几何的有关问题，第一问在证明线面平行时，可以利用常规方法，用线面平行的判定定理来证明，也可以应用空间向量来证明，用直线的方向向量与平面的法向量是垂直的即可，第二问求二面角的余弦值，用两个平面的法向量所成角的余弦值来求得，第三问假设其存在，设出点的坐标，建立等量关系式从而求得结果，做好取舍即可. 详解：（1）证明：取PB 的中点M ，AB 的中点N ，连接EM 和CM ，∴CDAB 且12CD AB =， ∴E ，M 分别为PA ，PB 的中点.EM AB ∥且12EM AB =∴EM CD ∥且EM CD =，四边形CDEM 为平行四边形， ∴DE CM ∥，CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ， ∴DE 平面BPC .（1）由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如果，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别是x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()100A ，，，()120B ，，，()010C ，，，()001P ，，，11022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设平面PBC 的法向量为()m x y z =，， ()110BC =--，，，()011CP =-，，00m BC x y m CP y z ⎧⋅=--=⎨⋅=-+=⎩∴x yy z=-⎧⎨=⎩，令1y =∴()111m =-，， 又11022DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，∴0m DE ⋅=，∴DE m ⊥ DE ⊄平面PBC∴DE 平面PBC（2）设点F 坐标为()10t ，，则()110CF t =-，，，()120DB =，，， 由0B C D F ⋅=得12t =，∴1102F ⎛⎫⎪⎝⎭，，设平面FPC 的法向量为()n x y z =，，，1102CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，， 由00n PC n FC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0102y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩即2y z y x =⎧⎨=⎩令1x =∴()122n =，， 1223m n ⋅=-++=则cos 33n m n m n m ⋅===⋅，又由图可知，该二面角为锐角 故二面角F PC D --（3）设()0AQ AP λλλ==-，，，[]01，λ∈，∴FQ FA AQ =+ 12，，λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴1n FQ λ⋅=-∴cos FQ n==，∵FQ 与平面PFC∴其正弦值为3=220810λλ+-=，解得：110λ=，12λ=-（舍）∴存在满足条件的点Q ，1101010AQ ⎛⎫=-⎪⎝⎭，，，且10AQ =点睛：在解决立体几何问题时，尤其空间关系的时候，可以有两种方法，一是常规法，二是空间向量法，在应用面的法向量所成角来求二面角的时候，一定需要分清楚是其补角还是其本身，在涉及到是否存在类问题时，都是先假设存在，最后求出来就是有，推出矛盾就是没有.18．（1）12()3nn a =；（2）2223nn +- 【解析】分析：第一问利用题中的条件，类比着写出1111(2)2n n S a n --+=≥，两式相减求得相邻两项的关系，从而确定出数列{}n a 是等比数列，再令1n =求得首项，利用等比数列的通项公式求得结果，对于{}n b ，利用题中条件求得首项，建立关于公差的等量关系式，从而求得结果，第二问涉及到等差数列和等比数列对应项积构成新数列的求和方法--------错位相减法. 详解：（1）1n =时，11112a a +=，123a = 2n ≥时，11112112n n n n S a S a--⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()1112n n n n S S a a ---=-，∴113n n a a -=（2n ≥） {}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列，12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11b =又25214b b b =得：()()()2141113d d d +=++，220d d -=，因为0d ≠解得2d =，21n b n =-（2）423n nn c -=232610423333n n n T -=++++2341126104642333333n n n n n T +--=+++++23122111424333333n nn n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 11112242934133313n n n n T ++--=+⨯-- 1242423333n n n n T +-=-- 2223n n n T +=-点睛：该题考查的是有关数列的通项公式以及求和问题，在求解的过程中，要明确递推公式的利用，要铭记等差数列和等比数列的通项公式的求法，第二问应用错位相减法求和，在求和的过程中，一定要明确整理之后的括号里的只有1n -项.19．（1）221123x y +=；（2）2,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）椭圆的焦距为6，得到c ，再根据离心率为c a =a 即可.(Ⅱ）由22221x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()2222220b a k x a b +-=，根据原点O 在以MN 为直径的圆上，得到OM ON ⊥，则12123302222x x y y OM ON ++⋅=⋅+⋅=，将韦达定理代入上式，可整理得到4222424218818111818a a k a a a a -+==---+-，再由2e <≤，得到a的范围，用二次函数的性质求解. 【详解】（1）由题意得3c =，c a =a =又因为222abc =+，∴23b =.所以椭圆的方程为221123x y +=.(Ⅱ）由22221x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()2222220b a k x a b +-=.设()11,A x y ，()22,B x y .所以120x x +=，2212222a b x x b a k-=+， 依题意，OM ON ⊥，113,22x y OM +⎛⎫= ⎪⎝⎭，223,22x y ON +⎛⎫= ⎪⎝⎭，12123302222x x y y OM ON ++⋅=⋅+⋅=， ∴()()()()212121212331390x x y y k x xx x ++=+++++=.即()()()22222291909a a k a k a --++=+-，所以4222424218818111818a a k a a a a -+==---+-.e <≤，所以a ≤<21218a ≤<. 所以218k ≥，∴,44k ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．（1）2b <-；（2）2m ≥；（3）见解析 【解析】分析：第一问将1a =代入，求得()h x 的解析式，函数在定义域上存在单调递减区间，等价于导数'()0h x <有正解，结合二次函数图像求得结果，第二问恒成立转化为求函数最值来处理，第三问假设存在，最后推出矛盾，从而得结果. 详解：（1）1a =，()21ln 2h x x x bx =++ 则()211x bx h x x b x x++=++='因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有正解.法1：因21y x bx =++为开口向上的抛物线且过点()01，∴20240b x b ⎧=->⎪⎨⎪∆=->⎩，∴204b b <⎧⎨>⎩，∴2b <- 法2：()10h x x b x =++<'有正解，∴min12b x x ⎛⎫->+= ⎪⎝⎭，∴2b <- （2）()()()ln ln x x x m x m x ϕ=+--∴()()()''(ln )[ln ]x x x m x m x ϕ=+-- ()ln ln x m x =--.令()0x ϕ=，2m x =，于是02m ϕ⎛⎫= ⎪⎭'⎝当02m x <<时，()0x ϕ'<，()x ϕ在区间02m ，⎛⎫⎪⎝⎭是减函数， 当2m x m <<时，()0x ϕ'>，()x ϕ在区间2m m ⎛⎫⎪⎝⎭，是增函数. 所以()x ϕ在2m x =时取得最小值，ln 22m m m ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()22x m m ϕ≥-恒成立，所以2ln 22mm m m ≥-， 因0m >，∴ln 22m m ≥-，∴ln 202mm +-≥， 令()ln22mF m m =+-，易知()F m 关于m 在()0+∞，上单调递增，又()0F m ≥ ()2F =，∴2m ≥.（3）证法一.设点P 、Q 的坐标分别是()11x y ，，()22x y ，，不妨设120x x <<.则点M 、N 的横坐标为122x x x +=， 1C 在点M 处的切线斜率为12112212x x x k x x x +===+ 2C 在点N 处的切线斜率为()1212222x x x a x x k ax b b +=+=+=+. 假设1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线平行，则12k k =. 即()121222a x xb x x +=++，则 ()()()212221211222x x a x x b x x x x -=-+-+ 22221122a a x bx x bx ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2121ln ln y y x x =-=- 所以21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+.设21x t x =，则()21ln 1t t t -=+，1t >.① 令()()21ln 1t r t t t -=-+，1t >.则()()()()22211411t r t t t t t -=-=+'+. 因为1t >时，()0r t '>，所以()r t 在()1+∞，上单调递增，故()()10r t r >=. 则()21ln 1t t t ->+.这与①矛盾，假设不成立.故1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.证法二：同证法一得()()()212121ln ln 2x x x x x x +-=-.因为10x >，所以2221111ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令21x t x =，得()()1ln 21t t t +=-，1t >.② 令()()()1ln 21r t t t t =+--，1t >，则()1ln 1r t t t+'=-.因为'221111(ln )t t t t t t -+=-=，所以1t >时，'1(ln )0t t+>. 故1ln y t t =+在()1+∞，上单调递增，从而1ln 10t t +->，即()0r t '>. 于是()r t 在()1+∞，上单调递增. 故()()10r t r >=，即()()1ln 21t t t +>-.这与②矛盾，假设不成立.故点1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.点睛：该题是导数的综合题，利用导数研究函数图像的走向，确定函数的单调性、函数的最值等等，有关恒成立问题注意向最值转化，还有解决问题的思路是不唯一的，所以要求学生对题的条件有效挖掘.。

天津市滨海新区2017届高三下学期质量调查数学(理)试题 Word版含答案

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天津市滨海新区2017届高三下学期质量调查数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{|03,},{|A x x x N B x y =<≤∈==，则()R A C B =A ．{}1,2B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2D ．(0,1)2、若变量,x y 满足约束条件23030230x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≤⎩，则z x y =-的最大值为A ．-1B ．0C ．1D ．23、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．104、在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,6,sin 2sin 03B b AC π==-=，则a =A ．3 B．．．125、已知()221:430,:x p x x q f x x+-+≤=存在最大值和最小值，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6、已知抛物线220y x =的焦点F 恰好为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，且点F 到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为A ．2214116x y -= B ．221214x y -= C ．22134x y -= D ．221916x y -= 7、在ABC ∆中，022,120,AC AB BAC O ==∠=是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO = ，则MB MC ⋅的值是A ．56-B ．76-C ．73-D ．53-8、已知函数()22,(,0]21,(0,)x x f x x ax x ⎧∈-∞⎪=⎨++∈+∞⎪⎩，若函数()()2g x f x x a =+-有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(,3)-∞-D ．(3,0)-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、已知,,a b R i ∈是虚数单位，若复数21biai i+=-，则a b += 10、72)x的展开式中，1x -的系数是 （用数字填写答案）11、某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12、直线4y x =与曲线24y x =在第一象限围成的封闭图形 的图形的面积为13、在直线坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(1x tt y at=+⎧⎨=+⎩为参数，a R ∈），曲线C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，当弦长AB 最短时，直线l 的普通方程为 14、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞ 上单调递增，若实数x 满足12(l o g 1)(1)f x f +<-，则x 的取值是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分12分） 已知函数()sin()cos 16f x x x π=-+.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当[,]122x ππ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值.16、（本小题满分13分）某校高三年级准备矩形一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如下表所示：（1）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（2）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X 为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17、（本小题满分13分）如图，五面体PABCD 中，CD ⊥平面,PAD ABCD 为直角梯形，1,,22BCD PD BC CD AD AP PD π∠====⊥ . （1）若E 为AP 的中点，求证：//BE 平面PCD ； （2）求二面角P AB C --的余弦值；（3）若点Q 在线段PA 上，且BQ 与平面ABCD 所成的角为6π，求CQ 的长.18、（本小题满分13分）已知正项数列{}n a 满足211111142(2,)n n nn n n n a a a n n N a a a a ++--++-+=-≥∈，且611a =，前9项和为81.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}lg n b 的前n 项和为lg(21)n +，记12n nn n a b c +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .21、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为3b .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若点M 在椭圆C 上，不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，与直线OM 相较于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB ∆面积的最大值.20、（本小题满分14分） 已知函数()21ln ()2f x x ax x a R =-+-∈ . （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，求证：124()2()13ln 2f x f x -≤+.天津市滨海新区2017届高三下学期质量调查数学（理）试题一、选择题：（1）-（4）ABCC （5）-（8）ADDC 二、填空题：（9）4 （10）280- （11）2 （12）1 （13）4=0+-x y （14）)1,21()23,3(--- 三、解答题:（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()sin()cos 1=(sin coscos sin )cos 1666=-+-+f x x x x x x πππ，..............2分2113cos cos 2cos 2244=-+-+x x x x x ， 1313=(cos sin 2sin cos 2)=sin(2)2664264-+-+x x x πππ....................4分 所以周期22T ππ==. ........................................6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知13()sin(2)264=-+f x x π，因为]2,12[ππ∈x ，所以52[0,]66-∈x ππ，............................................8分 所以sin(2)[0,1]6-∈x π，...........................................10分故当3π=x 时，函数()f x 的最大值为45；当12π=x 时，函数()f x 的最小值为43. ........13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为210C ，选出2人中不属于同一班级的方法数为111143332C C C C ⋅+⋅ …………………4分 设2名学生不属于同一班级的事件为A所以111143332102C C C C 11()C 15P A ⋅+⋅==. …………………6分 （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,337310C 7657(0)C 109824P X ⨯⨯====⨯⨯； 2173310C C 676321(1)C 2109840P X ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯；1273310C C 6737(2)C 109840P X ⨯⨯====⨯⨯； 33310C 61(3)C 1098120P X ====⨯⨯. ………………………………10分 所以X 的分布列为所以721719()012324404012010=⨯+⨯+⨯+⨯=E X ……………………………………13分 (17)（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点F ，连接CF EF , ∵F E ,分别是PA ，PD 的中点， ∴AD EF //且AD EF 21=；…………………………1分 ∵AD BC 21=，AD BC //， ∴BC EF //且BC EF =；∴CF BE //． …………………………3分 又⊄BE 平面PCD ，⊂CF 平面PCD ， ∴//BE 平面PCD ．…………………………4分（Ⅱ）（方法一） 以P 为坐标原点，PA PD ,所在直线分别为x 轴和y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC =，则(0,0,0),(1,0,0) P A D,1(1,0,1),(,22 C B1(,(1,2PA AB AD===.……………………………6分设平面PAB的一个法向量为(,,)x y zn=，则0,0,PAAB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn从而0,10.2x y z⎧=⎪⎨-+=⎪⎩令2x=，得(2,0,1)-n=. …………………………7分同理可求平面ABD的一个法向量为m=. …………………………8分cos,5⋅===n mn mn m平面ABD和平面ABC为同一个平面，所以二面角CABP--的余弦值为5．…………………………10分（方法二）以D为坐标原点，DCDA,所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC=，则1((2,0,0),(0,0,0)2P A D,(0,0,1),(1,0,1),C B3(,(1,0,1),2PA AB==-……………………6分设平面PAB的一个法向量为(,,)x y zn=，则PAAB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn，322x yx z⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，令y=，得1x z ==，即(1n =. …………………………7分易求平面ABC 的一个法向量为(0,1,0)m =. …………………………8分cos ,⋅===n m n m n m . 所以二面角C AB P --…………………………10分 （Ⅲ）（方法一）建系同(II)（方法一），设(0,,0),Q x 由(II)知平面ABCD的一个法向量为m =，1(,1)2BQ x =-- ；…………………………11分若BQ 与平面ABCD 所成的角为6π，则sin 6BQ BQ π⋅==mm解得33=x，所以Q (1),CQ =--3CQ =.…………………13分 （方法二）建系同(II)（方法二），设3(,0)2AQ AP λλ==- ,则3(1,1),2BQ BA AQ λ=+=--3(2,1),2CQ CA AQ λ=+=-- 由(II)知平面ABCD 的一个法向量为(0,1,0)m =.…………………………11分若BQ 与平面ABCD 所成的角为6π，则sin 6BQ BQ π⋅==m m.解得23λ=，则1)CQ =-，从而||3CQ == ………13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由241121111-=+-++--+n n nn n n n a a a a a a a ，得112212124-+-+-=+n n n n n a a a a a ，整理得n n n a a a 211=+-+，所以{}n a 为等差数列，…………… 2分 由116=a ，前9项和为81，得12-=n a n ；…………… 4分 当1=n 时，3lg lg 1=b ，即31=b ；当2≥n 时，)12lg(lg lg lg 21+=+++n b b b n …………………………………①，)12lg(lg lg lg 121-=+++-n b b b n …………………………………②①-②，得21lg lg(21)lg(21)lg 21n n b n n n +=+--=-， 所以1212-+=n n b n （n ≥2） 31=b 满足n b ，所以1212-+=n n b n …………… 7分 （Ⅱ）112122+++=⋅=n n n n n n b a c …………… 8分2341357212222n n n T ++=++++ ，又1233572122222n nn T +=++++ ， …………… 9分 以上两式作差，得23132222122222n n n n T ++=++++- . 所以21111131112132122()1222222212n n n n n n n T -++-++=++++-=+-- ,因此，152522n n n T ++=-.……………………………… 13分 （19）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意,得b c a 33=-，…………………………………1分 则221()3a cb -=，结合222b ac =-，得2221()()3a c a c -=-，即22230c ac a -+=，……………………………………………………2分 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =. 所以椭圆C 的离心率为12.………………………………………………4分（Ⅱ）由(Ⅰ)得2a c =，则223b c =.将2M 代入椭圆方程2222+143x y c c =，解得1c =.所以椭圆方程为22+143x y =.………………………………………………6分 易得直线OM 的方程为12y x =. 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上，故直线l 的斜率存在. 设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，与22+143x y =联立消y 得 222(34)84120k x kmx m +++-=,所以222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->.设1122(,),(,)A x y B x y ,则122834km x x k +=-+,212241234m x x k-=+.……………………8分 由121226()234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243(,)3434km mN k k -++, 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =-. ……………10分所以248(12)0m ∆=->，得m 且0m ≠，12AB x =-==又原点O 到直线l 的距离d =………………………………12分所以12ABO S ==△22122m m -+≤=.当且仅当2212,m m m -==m <<,且0m ≠.所以B OA △………………………………14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a =时，21()ln 2f x x x x =-+-，1()1f x x x'=-+-， 则1(1)2f =，(1)1f '=-， 所以所求切线方程为1(1)2y x -=--，即2230x y +-=. （Ⅱ）由21()ln 2f x x ax x =-+-，得211()x ax f x x a x x -+'=-+-=-.令2()1g x x ax =-+，则()()g x f x x'=-. ①当240a ∆=-<，即22a -<<时，()0g x >恒成立，则()()0g x f x x'=-<， 所以()f x 在(0,)+∞上是减函数.②当240a ∆=-=，即2a =±时，22()21(1)0g x x x x =±+=±≥，则()()0g x f x x'=-≤， 所以()f x 在(0,)+∞上是减函数. ③当240a ∆=->，即2a <-或2a >.(i)当2a <-时，2()1g x x ax =-+是开口向上且过点()0,1的抛物线，对称轴方程为(1)22a ax =<-，则()0g x >恒成立，从而()()0g x f x x'=-<， 所以()f x 在(0,)+∞上是减函数.(ii)当2a >时，2()1g x x ax =-+是开口向上且过点()0,1的抛物线，对称轴方程为(1)22a ax =>，则函数()g x 有两个零点1212)x x x x ==<显然，列表如下：综上，当2a ≤时，()f x 的减区间是(0,)+∞；当2a >时，()f x的增区间是，减区间是)+∞. （Ⅲ）根据（Ⅱ），当2a >时,()f x 有两个极值点1212,()x x x x <， 则12,x x 是方程2()10g x x ax =-+=的两个根，从而2211221,1ax x ax x =+=+.由韦达定理，得12121,x x x x a =+=. 又20a ->，所以1201x x <<<.2212111222114()2()4(ln )2(ln )22f x f x x ax x x ax x -=-+---+-22111222244ln 22ln x ax x x ax x =-+-+-+222211122224(1)4ln 2(1)2ln x x x x x x =-++-+-++ 222122122ln 2x x x x =-++ 22222223ln 2x x x =-++. 令22(1)t x t =>，2()3ln 2(1)h t t t t t=-++>， 则2223(1)(2)()1t t h t t t t --'=--+=-. 当12t <<时，()0h t '>；当2t >时，()0h t '<， 则()h t 在(1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数， 从而max ()(2)3ln 21h t h ==+， 于是124()2()13ln 2f x f x -≤+.。

2017 年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考理科数学试卷含答案

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二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 30 分.
8 3 （1）▲考查集合运算的基础知识，是基础题.
C R A x x(1 x) 0 x x( x 1) 0 x 0 x 1 ， (C R A) B 0,1 ，所以选择（A）.
2 b 2 4 ，所以选择（A）.
（7）▲考查函数性质的基础知识，是基础题.
f ( x) e
x
( x) 2 e ( x) 2 f ( x) ，函数 f ( x) 关于 y 轴轴对称；
当 x 0 时， f ( x) e x 2 x 0 ，函数在正区间单调递增；
（Ⅰ）求数列 an ， bn 的通项公式； （Ⅱ）设 cn an bn ，数列 cn 的前 n 项和为 Tn ： （ⅰ）求 Tn ； （ⅱ）求满足不等式
Tn 9 的所有的序号 n 的值. 1 Sn
（20） （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ln x mx ， x (0,) ， m R . （Ⅰ）讨论 f ( x) 的单调性； （Ⅱ）若对于 x [1,) ， f ( x)
x
（B）
（C）
（D）
（7）已知函数 f ( x) e x 2 ，若实数 a 满足 f (log 2 a ) f (1) ，则 a 的取值范围是 （A） (0,1]
1 （B） [ ,2] 2
（C） (0,2]
（D） [2,)
（ 8 ） 定 义 在 (1,1] 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x) 1
x2 y2 1 （ a 0 ， b 0 ）的渐近线与圆 ( x 3) 2 y 2 4 相切，且双曲线以该圆 a2 b2 x2 y2 1 4 5 x2 y2 1 16 25 x2 y2 1 25 16

天津市高考数学联考试卷试题(理)附答案

天津市高考数学联考试卷试题(理)附答案

天津市滨海新区联考试卷数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．一、选择题（每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.若a (i b i )i 2-=-，其中a 、R b ∈，i 是虚数单位，则a b3i 等于（ ）AA ．1B ．2C ．52D ．52. 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ）AA ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线3.右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，判断其中框内应填入 的条件是（ ）BA. 10i <B. 10i >C. 20i >D. 20i <4. 设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于（ ）B A ．285 B ．4 C ． 125D ．25．若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是 （ ）Ｄ A ．3()2f x x =-B ．2()(2)f x x =- C ．()1x f x e =- D ．3()ln()4f x x =+6．给定下列四个命题： ①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件； ②若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真；③命题2",0"x x ∀∈≥R 的否定是2",0"x x ∃∈≤R ；④线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；其中为真命题的是 （ ）B A ．① ② B ． ① ④ C ． ③ ④ D ． ② ③7.设)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，0,0>>b a ,O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是（ ）Ｄ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8８．不等式2334a a x bx -≤++-（其中[]0,1b ∈）对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）B A ． (,1][4,)-∞-+∞UB ．[]1,4-C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞U二、填空题（每小题5分，共30分）9．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm. 16510．已知()0sin cos xa x x dx=+⎰ ，则二项式6a x x ⎛- ⎪⎝⎭ 展开式中含 2x 项的系数是 . －192１１．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积等于 .４１2．若在区间（-1，1）内任取实数a ，在区间（0，1）内任取实数b ，则直线0=-by ax 与圆1)2()1(22=-+-y x 相交的概率为 .165１3．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率1 2 3 4 5 6 789第14题为 . 314.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1Λ的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 _____ 种108 三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤） 15． 设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+21cos .（1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围. 解：（1）由b c C a =+21cos 得1sin cos sin sin 2A C CB += …………2' 又()sin sin sin cos cos sin B AC A C A C =+=+ …………4'1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C Θ，21cos =∴A ， 又0A π<<Q 3π=∴A …………6'（2）由正弦定理得：B A B a b sin 32sin sin ==,C c sin 32=)())1sin sin 1sin sin l a b c B C B A B =++=+=++………8'112cos 22B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin 21πB …………10' ,3A π=Q 20,,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+∴65,66πππB1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故ABC ∆的周长l 的取值范围为(]2,3.…………13'（2）另解：周长l 1a b c b c =++=++ 由（1）及余弦定理2222cos a b c bc A =+- 221b c bc ∴+=+ …………8' 22()1313()2b c b c bc +∴+=+≤+ 2b c +≤ …………10' 又12b c a l a b c +>=∴=++>即ABC ∆的周长l 的取值范围为(]2,3.………… 13'16．某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．（Ⅰ）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． （Ⅰ）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 124236C C 1(2)C 5P ξ===． ∴ξ的分布列为ξ 0 1 2P5153 51∴ 10121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………（7分）（Ⅱ）解：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()2536C 1C 2P A ==，()1436C 1C 5P AB ==， ∴()()()25P AB P B A P A ==．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25…………………………（13分） 17． 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的余弦值； （Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .∴BC ⊥平面PAC . …………4'（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴12DE BC =， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴2AD AB =，∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒∠=，∴12BC AB =. ∴在Rt △ADE中，sin 2DE BC DAE AD AD ∠===，cos 4DAE ∴∠=∴AD 与平面PAC所成的角的余弦值为4.…………9' （Ⅲ）∵AE//BC ，又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角，∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴90PAC ︒∠=.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时90AEP ︒∠=， 故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角. …………13' 【解法2】如图，以A 为原煤点建立空间直角坐标系A xyz -， 设PA a =，由已知可得 ()()10,0,0,,0,,0,0,0,2A B a C P a ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）∵()10,0,,,0,02AP a BC a ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，∴0BC AP ⋅=u u u r u u u r，∴BC ⊥AP .又∵90BCA ︒∠=，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC . …………4' （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点，∴111,,0,,44242D a a a E a ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵111,,,0,,44242AD a a a AE a a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，∴cos 4AD AE DAE AD AE⋅∠==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .∴AD 与平面PAC 所成的角的余弦值为144.………9' （Ⅲ）同解法1.18．设函数2()ln f x x m x =-,2()h x x x a =-+.（Ⅰ）当0a =时，()()f x h x ≥在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围;（Ⅱ）当2m =时，若函数()()()k x f x h x =-在[]1,3上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围;（Ⅲ）是否存在实数m ，使函数()f x 和函数()h x 在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由。

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2016年12月高三年级八校联考数学试卷（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii=+（ ） A ．1i - B ．1i -- C ．1i + D ．1i -+ 2.命题“x R ∀∈，223x x ≠”的否定是（ ）A ．x R ∀∉，223x x ≠ B ．x R ∀∈，223x x ≠ C ．x R ∃∉，223x x ≠ D ．x R ∃∈，223x x ≠ 3.函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0A >，0ω>，2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）A ．()sin()3f x x π=+B ．()sin(4)3f x x π=+C ．()sin()6f x x π=+D ．()sin(4)6f x x π=+ 4.若,x y R ∈，且0123x y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪-≥-⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A ．6B ．2 C.1 D ．不存在5.已知直线,l m ，平面α，m α⊂，那么“//l α”是“//l m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.已知在ABC ∆中，cos()410A π-=，则sin 2A =（ ） A ．2425-B ．2425 C. 725D ．725- 7.设集合{125}S x x x =-++>，{4}T x x a =-≤，S T R = ，则a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤ C. 21a -<< D ．2a <-或1a > 8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有211212()()0x f x x f x x x -<-，记0.20.2(4.1)4.1f a =， 2.12.1(0.4)0.4f b =，0.20.2(log 4.1)log 4.1f c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C. c b a << D ．b c a <<二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.121(1)x dx --=⎰．10.如图所示，某几何体的正视图是一个平行四边形，俯视图和侧视图都是长方形，那么该几体的体积为 ．11.在等比数列{}n a 中，32a ，52a ，13a 成等差数列，则2596a a a a +=+ ． 12.在平行四边形ABCD 中，已知6AB =，060BAD ∠=，点E 是BC 的中点，AE 与BD相交于点P ，若15AP PC ∙=，则BC = ．13.已知0a b >>，且1ab =，那么22a b a b+-取最小值时，b = ．14.已知函数123,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-+≤<⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-的零点个数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，AB =3AC =，sin 2sin A C =. （1）求BC 的长； （2）求cos(2)3C π-的值.16.设函数(sin )cos()2()tan x x x f x xπ∙-=.（1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间(0,)2π上的单调性.17. 设函数2()xf x x e =.（1）求在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当[2,2]x ∈-时，使得不等式()21f x a ≤+能成立的实数a 的取值范围.18. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，PA PB =，::AB AD CD =.（1）证明BD PC ⊥；（2）求二面角A PC D --的余弦值；（3）设点Q 为线段PD 上一点，且直线AQ 平面PAC，求PQ PD 的值.19. 已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =，22n n S a =-，21(1)n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明{}nb n为等差数列； （3）若数列{}n c 的通项公式为,24n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T .20. 已知函数21()ln 2f x x bx x =++. （1）若函数()f x 在定义域单调递增，求实数b 的取值范围；（2）令21()()2a g x f x bx x +=--，a R ∈，讨论函数()g x 的单调区间； （3）如果在（1）的条件下，221()312f x x x x≤+-+在(0,1]x ∈内恒成立，求实数b 的取值范围.试卷答案一、选择题1-4: CDAB 5-8：DABA二、填空题9. 43-10. 200 11. 19 12. 3 13. 14. 6 三、解答题15.（1）在ABC ∆中，∵sin 2sin A C =，∴2BC AB ==（2）∵222cos 2AC BC AB C AC BC +-==∙sin C =∴4sin 22sin cos 5C C C ==，223cos 2cos sin 5C C C =-=cos(2)cos 2cos sin 2sin 333C C C πππ-=+=16.（1）2()(sin )cos sin cos f x x x x x x x =∙=12sin 2sin(2)232x x T πππ==++⇒== （2）令222232k x k πππππ-+<+<+，解得51212k x k ππππ-+<<+（k Z ∈） ∵(0,)2x π∈，∴()f x 在区间(0,)12π上单调递增，在区间(,)122ππ上单调递减.17.（1）∵'2()2xxf x x e xe =+，∴'(1)3k f e ==，切线方程为320ex y e --=.（2）令'()0f x >，即(2)0x x x e +>，得()f x 在区间(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在区间(2,0)-上单调递减. （3）由（2）知，()f x 在区间(2,0)-上单调递减，在区间(0,2)上单调递增，min ()(0)0f x f ==.当[2,2]x ∈-时，不等式()21f x a ≤+能成立， 须min 21()a f x +≥，即210a +≥，故12a ≥-18.以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系(2,0,0)B，D ，(0,0,2)P，C（1）(BD =-，(12)PC =-， ∵0BD PC ∙=∴BD PC ⊥（2）(1AC = ，(0,0,2)AP = ，平面PAC的法向量为1,0)m =-(0,DP = ，(1,0,0)AP = ，平面DPC的法向量为(0,1)n =-.cos ,3m n m n m n ∙==∙，二面角B PC D --的余弦值为3. （3）∵AQ AP PQ AP tPD =+=+，[]0,1t ∈∴(0,0,2)2),22)AQ t t =+-=-设θ为直线AQ 与平面PAC 所成的角sin cos ,3AQ m AQ m AQ mθ∙===∙223684t t t =⇒=-+，解得2t =（舍）或23.所以，23PQ PD =即为所求. 19.（1）当1n >时，11112222222n n n n n n n n n S a aa a a S a a ----=-⎧⇒=-⇒=⎨-⎩当1n =时，111222S a a =-⇒=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2n n a = （2）∵214a b =，∴11b =，∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上，{}nb n是公差为1，首项为1的等差数列，211n n b n b n n =+-⇒=.（3）令212n n n p c c -=+22122221(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n ----∙∙=-+=-∙=-∙0122123123474114(41)443474114(45)4(41)4nn n n n T n T n n +⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩ ①② ①-②，得01212334444444(41)4n n n T n --=∙+∙+∙++∙--∙2164433(41)414nn n T n -∙-=+--∙-27127499n n n T -=+∙ 20.（1）'1()f x x b x=++，因为()f x 在定义域单调递增，所以'()0f x ≥恒成立即110()x b b x x x++≥⇒≥-+而12x x +≥=（当且仅当1x x =时等号成立），故2b ≥-即为所求. （2）2()ln 2a g x x x =-，'1()g x ax x=- ①若0a ≤，'()0g x ≥，则()g x 在(0,)+∞单调递增②若0a >，令'()0g x >，210ax -<，21x a<， 则()g x在单调递增，在)+∞单调递减 （3）由题意，须22113ln 1022x bx x x x --+++-≤对任意(0,1]x ∈恒成立， 设2211()3ln 122h x x bx x x x =--+++-，'331111()3()(3)h x x b x b x x x x=-++++=-+++∵2b ≥-，01x <≤，∴10x x -≥，31b +≥，310x> ∴'()0h x >即()h x 在(0,1]x ∈上单调递增，max ()(1)1h x h b ==+ 若2211()3ln 1022h x x bx x x x=--+++-≤对任意(0,1]x ∈恒成立， 则应令max ()01h x b ≤⇒≤- 综上所述，21b -≤≤-即为所求.。

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