天津市滨海新区2017届高三12月八校联考数学(理)试卷Word版含答案

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天津市十二区县重点中学2017高三毕业班联考(数学理)(含答案)word版

• 锥体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高.π π 22017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页.考试结束后，将 II 卷和答题卡一并交回.第 I 卷（选择题，共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上.参考公式：·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P ( AB ) = P ( A ) + P (B )•柱体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.13一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1. 已知复数 z = 1 - i ，则z 2 z - 1=A. 2B. －2C. 2iD. －2i2．命题“函数 y = f ( x ) ( x ∈ M ) 是偶函数”的否定是A ． ∀x ∈ M ， f (- x ) ≠ f ( x )B. ∃x ∈ M ,C. ∀x ∈ M ， f (- x ) = f ( x )D. ∃x ∈ M ,f (- x ) ≠ f ( x )f (- x ) = f ( x )3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A ． 3 3 32 + π2 25 32 32 128B ． 3 3 +C ． 9 3 +D ． 9 3 +25 25 25π1.621.5正视图俯视图4. 如果执行右面的程序框图，输入 n = 6, m = 4 ，那么输出的 p 等于A ．720 B. 360 C. 180 D. 60邻交点的距离等于πA.(ππ8．已知g(x )=mx+2，f(x)=x2-，若对任意的x∈[-1,2]，总存在x∈[1,3]，x25．已知函数f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)的图象与x轴的两个相π，若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位26得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间为ππππ,) B.(-,) C.(0,) D.(-,0)434433⎧2,x>16.已知函数f(x)=⎨，则不等式f(1-x2)>f(2x)的解集是⎩(x-1)2+2,x≤1A．{x|-1<x<-1+2}B．{x|x<-1,或x>-1+2}C．{x|-1-2<x<1}D．{x|x<-1-2,或x>2-1}1 17．在平行四边形ABCD中，AE=AB,AF=AD,CE与BF相交于G点.若34AB=a,AD=b,则AG=2 1 23 3 14 2A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b777777773x2-412使得g(x)>f(x)，则m的取值范围是12A．{0}B．(-1121,1)C．(-,)D．(,1) 23322017年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）第Ⅱ卷(非选择题，共110分)(t 为参数）与曲线： ⎨y = 3sin θ ( ) ( )( )2 ( ,注意事项：1．第Ⅱ卷共 6 页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中． 2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．题号二三15 16 17 18 1920总分分数得分评卷人二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为．⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ ⎩ （θ 为参数）相交于 A , B 两点,则 | AB |= ．3 511．已知离心率为的双曲线 C :5 x 2 y 2 - a 2 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物线 y 2 = 2mx 的焦点重合，则实数 m = _________．112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23f (3) + f ( - ) 的值等于．213. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为 1 3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为．1 2 3 4 5 6k -1 k14. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是．（用数字作答）三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos 2 ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．16．（本小题满分 13 分）得分评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 (490,495]，(495,500]，. . . ， (510,515].由此得到样本的频率分布直方图，如图所示ξ 得分评卷人17. （本小题满分 13 分）= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 2（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设ξ 为重量超过505 克的产品数量，求的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取 5 件产品，估计其中恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.如图，在三棱柱 ABC - A B C 中， AB ⊥ AC ，顶点 A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ， 1 1 11且 AB = AC = A B = 2 ．1（Ⅰ）证明：平面 A AC ⊥ 平面 AB B ；1 1（Ⅱ）求棱 AA 与 BC 所成的角的大小；1（Ⅲ）若点 P 为 B C 的中点，并求出二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值．1 1 1C 1A 1B 1CAB得分评卷人18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；e 0 n +1=⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为，求 DE 的直线方程．7得分评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足0 f ' ( x ) 20 = (t - 1)2 ,并确定这样的 x 的个数. x 320．（本小题满分 14 分）得分评卷人已知数列{a n}满足： a 1= 3 ， a3a - 2 nan， n ∈ N * ．⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；nnn +1nnnn n+1的最大值．（Ⅲ）设c=n2(a-2)，求c cn n2 ( ) ( ) ( )已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．( ,2017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）答案一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） ABCB ADCB二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为．答案： 4π⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ (t 为参数）与曲线： ⎨⎩ y = 3sin θ（θ 为参数）相交于 A , B 两点,则 | AB |= ．答案： 43 511．已知离心率为的双曲线 C : 5 x 2 y 2 - a 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物线y 2 = 2 的焦点重合，则实数 m = _________．答案： -6112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23 1f (3) + f ( - ) 的值等于．答案： -2 413. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为．1 2 3 4 5 6 k -1 k2答案： (2k - 1)314. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是．（用数字作答）答案：540三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x2 4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．x x x解：（I ） f ( x ) = m ⋅ n = 3 sin cos + cos 24 4 4----------------1 分 = 3 x 1 x 1sin + cos +2 2 2 2 2 ----------------3 分x π 1= sin( + ) + ----------------4 分2 6 2x π 1 π x π 1∵ f ( x ) = 1 ∴ sin( + ) = ∴ cos( x + ) = 1 - 2sin 2 ( + ) = -------6 分2 6 23 2 6 2（II ）∵ (2a - c )cos B = b cos C ，由正弦定理得 (2sin A - sin C )cos B = sin B cos C -----------------8 分 ∴ 2sin AcosB - sin C cos B = sin B cos C ∴ 2sin A c os B = sin( B + C ) - ----------------9 分 ∵ A + B + C = π ∴ sin( B + C ) = sin A ，且 sin A ≠ 0,∵0<B<π∴B=----------------10分262ξ得分评卷人17.（本小题满分13分）∴cos B=1π23 2π∴0<A<----------------11分3πAππ1Aπ∴<+<,<sin(+)<1----------------12分6262226Aπ13Aπ13∴1<sin(+)+<∴f(A)=sin(+)+∈(1,)---13分2622216．（本小题满分13分）得分评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，...，(510,515].由此得到样本率分布直方图，如图所示（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率.解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是40⨯(0.05⨯5+0.01⨯5)=12件-------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2（只有当下述没做或都做错时，此步写对给1分）情况，它们的频P(ξ=0)=C228=C24063C1C156C211,P(ξ=1)=1228=,P(ξ=2)=12=,130C2130C21304040（以上（Ⅱ）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1分）ξ的分布列为ξ012P 635611130130130------9分（每个2分，表1分）（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为0.3，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则ξ~B(5,0.3)，------11分故所求的概率为p(ξ=2)=C2(0.3)2(0.7)3=0.3087------13分5如图，在三棱柱ABC-A B C中，AB⊥AC，顶点A在底面ABC上的射影恰为点B，1111且AB=AC=A B=2．1（Ⅰ）证明：平面A AC⊥平面AB B；11（Ⅱ）求棱AA与BC所成的角的大小；1（Ⅲ）若点P为B C的中点，并求出二面角P-AB-A的平面角的余弦值．111证明：（Ⅰ）∵A B⊥面ABC∴A B⊥AC,------1分11又AB⊥AC，AB A B=B1∴AC⊥面AB B，------3分1∵AC⊂面A AC，∴平面A AC⊥平面AB B；------4分111（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，11 1 AA ⋅ BC8 ⋅ 8 2则 ⎨ ,由 ⎨ 得 ⎨A 12 y = 0 ⎪⎩n AB = 0 ⎪⎩ AB = (0,2,0) ⎩而平面 ABA 的法向量 n =(1,0,0)，21xAn n 2 2 55 5 n n0 0 2 0 2 2 4 2 2 2 - 0 1 3 2⎪ ⎪ 1 1 2 B5= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 21则 C (2，， )，B (0，， )，A (0，， )，B (0，， ) ，C (2,2,2) 1 1 AA = (0，， ) ， BC = B C = (2， 2， )------6 分 1 AA ⋅ BC -4 1cos 〈 AA ，BC 〉 = = =- ，1 1故 AA 与棱 BC 所成的角是 π． ------8 分 1 3（Ⅲ）因为 P 为棱 B C 的中点，故易求得 P (1，， )． ------9 分1 1设平面 PAB 的法向量为 n = (x , y , z ) ，1z⎧n AP = 0 ⎧ AP = (1,3,2) ⎧ x + 3 y + 2 z = 0 C 11B 1令 z = 1 ，则 n = (-2，0， )------11 分 1C则 cos n , n = = -=- ------12 分1 2 y12由图可知二面角 P - AB - A 为锐角1故二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值是 2 51 ------13 分得分评卷人 18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2 b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为，求 DE 的直线方程．7解：（Ⅰ）由题意，| FF |= 2c = 2,∴ A (a 2 ,0) -------1 分2AF = 2 A F ∴ F 为 AF 的中点------------2 分1 221∴ a 2 = 3, b 2 = 2即：椭圆方程为x 2 y 2+ = 1. ------------3 分 3 2（Ⅱ）当直线 DE 与 x 轴垂直时， | DE |= 2 b 2 4 =a 3，此时 | MN |= 2a = 2 3 ，四边形 DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉；------------4 分同理当 MN 与 x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉； ------------5 分当直线 DE ， MN 均与 x 轴不垂直时，设 DE : y = k ( x + 1) ，代入消去 y 得： (2 + 3k 2 ) x 2 + 6k 2 x + (3k 2 - 6) = 0. ------------6 分⎪⎪ 1 2 + 3k 2 设 D ( x , y ), E ( x , y ), 则⎨ ------------7 分⎪x x = 3k 2 - 6 , 3k 2 + 2 2 + 3k 2 ⎩ = . | DE | ⋅ | MN | 1 4 3(k 2 + 1) k k= ⋅ ⋅ =e 03e x 0e33⎧ - 6k 2 x + x = ,21 12 2⎪ 1 22 + 3k 24 3 ⋅ k 2 + 1所以 | x - x |= ( x + x ) 2 - 4x x = ，------------8 分 1 2 1 2 1 24 3(k 2 + 1)所以 | DE |= k 2 + 1 | x - x |= ，------------9 分1 2 同理 | MN |= 1 1 4 3[(- )2 + 1] 4 3( + 1) k k 2 1 32 + 3(- )2 2 +k k 2------------11 分所以四边形的面积 S =由 S = 27 7⇒ k 2= 2 ⇒ k = ± 2 ， ------------12 分所以直线 lDE: 2x - y + 2 = 0 或 l DE: 2x + y + 2 = 0或 l: 2x - 2 y + 2 = 0 或 l : 2x + 2 y + 2 = 0---------13 分DEDE得分评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足的个数.f ' ( x ) 2= (t - 1)2 ,并确定这样的 xx解：（Ⅰ）因为 f '( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x + (2 x - 3) ⋅ e x = x ( x -1)⋅ e x--------------1 分由 f '( x ) > 0 ⇒ x > 1或x < 0 ；由 f '( x ) < 0 ⇒ 0 < x < 1,所以 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减 --------------3 分要使 f ( x ) 在 [- 2, t ]上为单调函数,则 -2 < t ≤ 0-------------4 分（Ⅱ）因为 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减， ∴ f ( x ) 在 x = 1 处有极小值 e-------------5 分又 f (-2) = 13 e 2< e ，∴ f ( x ) 在 [ -2, +∞) 上的最小值为 f (-2) -------------7 分从而当 t > -2 时, f (-2) < f (t ) ，即 m < n-------------8 分（Ⅲ）证：∵f ' ( x ) f ' ( x ) 20 = x 2 - x ，又∵ 0 = (t - 1)2 ， 0 0x2 ∴ x 2 - x = (t - 1)2 , 0②当 1 < t < 4 时, g (-2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = - (t - 1)2 < 0 , (t - 1)2 = - 3 n +1 = ⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； n n +1 的最大值． 3a - 2 - 2 n +1 n = =n n = 2 ≠ 0 ，∴ ⎨ n ⎬ 等比数列，且公比为 2 ，----------3 分 a - 2 ⎩ a - 2 ⎭ a - 2 2n - 1令 g ( x ) = x 2- x - 2 2 (t - 1)2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x ) = x 2 - x - (t - 1)2 =0 在 (-2, t ) 上有 3 3 解,并讨论解的个数 -------------9 分 ∵ g (-2) = 6 - 2 2 (t + 2)(t - 4) , 3 3 2 1 g (t ) = t (t - 1) - (t - 1)2 = (t + 2)(t - 1) , ---------------- 10 分 3 3① 当 t > 4或 - 2 < t < 1 时, g (-2) ⋅ g (t ) < 0 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且只有一解 ---------------- 11 分2 3所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且有两解 ------------------- 12 分③当 t = 1 时, g ( x ) = x 2 - x = 0 ⇒ x = 0或x = 1 ,故 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有且只有一解；当 t = 4 时, g ( x ) = x 2 - x - 6 = 0 ⇒ x = -2或x = 3 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, 4) 上也有且只有一解 ------------------- 13 分综上所述, 对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ,满足 0 f ' ( x ) 2 0 = (t - 1)2 , e x 0 3且当 t ≥ 4或 - 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x 适合题意； 0 当1 < t < 4 时,有两个 x 适合题意. --------------14 分0 2 （说明:第（3）题也可以令ϕ ( x ) = x 2 - x , x ∈ (-2, t ) ,然后分情况证明 (t - 1)2 在其值域内,并讨论直 3 2 线 y = (t - 1)2 与函数ϕ ( x ) 的图象的交点个数即可得到相应的 x 的个数） 020．（本小题满分 14 分）得分评卷人已知数列{a n }满足： a 1 = 3 ， a 3a - 2 n a n ， n ∈ N * ． ⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n ⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；n n n +1 n n n （Ⅲ）设 c = n 2 (a - 2) ，求 c c n n 3a - 2 n - 1 a - 1 a 2(a - 1) 证明：（Ⅰ）∵ n +1 ， ------------2 分 a - 2 a - 2 n an又∴ a -1 2n +1 - 1 n = 2n ，解得 a = nn ； ------------4 分（Ⅱ） b = a (a n nn +1 - 2) = 2n +1 - 1 2n +2 - 1 1 ( - 2) = 2n - 1 2n +1 - 1 2n - 1 ，------------5 分2 22 2n -1 [1- ( )n -1] = 1 + 2 2 1 2 n n +1 = 7∴当 n ≥ 2 时， b = n 1 1 1 = < ------------6 分 2n - 1 2n -1 + 2n -1 - 1 2n -11 1 1 S = b + b + b + + b < 1 + + + + n 123 n 1 1 1 = 2 - ( )n -1 < 2 ------------8 分 1 - 2 （Ⅲ） c = n 2 (a - 2) = n n n 2 n 2 (n + 1)2 ⇒ c c 2n - 1 (2n - 1)(2n +1 - 1) ----------9 分令 c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ > 1 ------------10 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n ⇒ [(n + 2)2 - 4n 2 ]2n > (n + 2)2 - n 2 ------------11 分⇒ (3n + 2)(2 - n )2n > 4n + 4 ⇒ n = 1c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ < 1 ⇒ n ≥ 2 ------------12 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n 所以： c c < c c > c c > 1 2 2 3 3 4 12 故 (c c ) = c c = ． ------------14 分 n n +1 max 2 3。

[精品]2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷及解析答案word版(理科)

2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N=|x∈Z|＜2x+1＜4}，则M∩N=（）A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．∅2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．B．﹣3 C．D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（）A．5 B．4 C．3 D．24．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若cosA=，bcosC+ccosB=2，则△ABC外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π6．（5分）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x．若f（log 3x）+f（log x）≤2f（1），则x的取值范围（）A．（﹣∞]∪[3，+∞）B．[，3]C．[，1]D．[1，3]8．（5分）定义在R上的函数y=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知i是虚数单位，若复数z=（m∈R）是纯虚数，则m=．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）设a=cosxdx，则（a+）6展开式中的常数项为．12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．则直线l与圆C相交所得弦长为．13．（5分）已知抛物线（t为参数），过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），|AF|=3|FB|，过AB的中点且垂于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为．14．（5分）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=，=，则+的最小值为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值和最小值．16．（13分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店；5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取4名，求至多有一名倾向于选择实体店的女性购物者的概率；（Ⅱ）若分别从男性购物者和女性购物者中各随机抽取2名，设X表示抽到倾向于选择网购的人数，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABE，∠EAB=∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=AD=AE，P为线段BE的中点．（Ⅰ）求证：CP∥平面DAE；（Ⅱ）求平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在一点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知正项数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，且b n﹣b n=．+1（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n，并证明≤T n＜对一切n∈N*都成立．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）离心率为，它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，一条直线l与椭圆交于M、N两点，直线OM、ON的斜率之积为﹣，求△MON的面积．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2，g（x）=+x，且直线y=﹣是曲线y=f （x）的一条切线．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围；（Ⅲ）已知方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），若b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，求证：m＜0．2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N=|x∈Z|＜2x+1＜4}，则M∩N=（）A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．∅【解答】解：集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，则M∩N={﹣1，0}故选：B2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．B．﹣3 C．D．1【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由解得A（0，1）化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A（0，1）时，目标函数有最大值，为z=1+0=1．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：根据题意，得a=2017，i=1，b=﹣，i=2，a=﹣，b=，i=3，a=，b=2017，不满足b≠x，退出循环，输出i的值为3．故选：C．4．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”⇔△=a2﹣4＜0，⇔“|a|＜2”．∴“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若cosA=，bcosC+ccosB=2，则△ABC外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π【解答】解：由题意，cosA=，∴sinA=．由正弦定理：，可得：2RsinBcosC+2RsinCcosB=2．即R（sinBcosC+sinCcosB）=1．RsinA=1．∴R=3．圆的面积为：πR2=9π．故选：C．6．（5分）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，取顶点，一条渐近线为mx﹣3y=0，∵故选D．7．（5分）已知函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x．若f（log 3x）+f（log x）≤2f（1），则x的取值范围（）A．（﹣∞]∪[3，+∞）B．[，3]C．[，1]D．[1，3]【解答】解：函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x，x∈R，∴f（﹣x）=（e﹣x﹣e x）•（﹣x）=（e x﹣e﹣x）x=f（x），∴f（x）是定义域R上的偶函数；又f（x）=f（﹣log 3x）=f（log3x），∴不等式f（log 3x）+f（log x）≤2f（1）可化为f（log3x）≤f（1）；又f′（x）=（e x﹣e﹣x）+（e x+e﹣x）x，当x≥0时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；∴原不等式可化为﹣1≤log3x≤1，解得≤x≤3；∴x的取值范围是[，3]．故选：B．8．（5分）定义在R上的函数y=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），当n=2时，x∈[2，6]，此时﹣1∈[0，2]，则f（x）=f（﹣1）=×4（1﹣|﹣1﹣1|）=2（1﹣|﹣2|），当n=3时，x∈[6，14]，此时﹣1∈[2，6]，则f（x）=f（﹣1）=×2（1﹣|﹣|）=1﹣|﹣|，由g（x）=f（x）﹣log a x=0，得f（x）=log a x，分别作出函数f（x）和y=log a x的图象，若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B 时，两个函数有4个交点，则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），即满足，即，解得，即2＜a＜10，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知i是虚数单位，若复数z=（m∈R）是纯虚数，则m=﹣2．【解答】解：复数z===+i是纯虚数，则=0，≠0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图可知：该几何体左边是半圆柱，右边是四棱锥．∴该几何体的体积V=+=．故答案为：．11．（5分）设a=cosxdx，则（a+）6展开式中的常数项为240．【解答】解：a=cosxdx==2，则的展开式中通项公式：T r==26﹣r，+1令3﹣=0，解得r=2．∴常数项==240．故答案为：240．12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．则直线l与圆C相交所得弦长为．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，展开可得：ρsinθ+=1，化为直角坐标方程：x+y﹣2=0．圆C的参数方程为（θ为参数），化为普通方程：=4，可得圆心，半径r=2．圆心C到直线l的距离d==．∴直线l与圆C相交所得弦长=2=2=．故答案为：．13．（5分）已知抛物线（t为参数），过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），|AF|=3|FB|，过AB的中点且垂于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为．【解答】解：抛物线（t为参数），消去参数化为：y2=4x．设直线l的方程为：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：k2x2﹣（4+2k2）x+k2=0，△＞0，∴x1+x2=，x1x2=1，（*）可得线段AB的中点M．∵|AF|=3|FB|，∴=3，∴1﹣x1=3（x2﹣1），与（*）联立可得：k2=3，取k=．∴M，∴过AB的中点且垂于l的直线方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0，可得G，∴点G到直线l的距离d==．|AB|===．∴△ABG的面积S=•d•|AB|=×=．故答案为：．14．（5分）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=，=，则+的最小值为3．【解答】解：由向量共线定理可得：=m+（1﹣m）=+（1﹣m）×．==+．∴，（1﹣m）×=．化为：a﹣1=．∴+=b﹣2+≥2，当且仅当b=a=3时取等号．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．根据正切函数的性质可得x+≠，k∈Z，可得：x≠，k∈Z，函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠，k∈Z}．将函数f（x）化简可得：f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+．=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣=sin2x﹣cso2x=sin（2x﹣）∴函数f（x）的最小正周期T=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=sin（2x﹣）当x∈[﹣，0]上时，可得：2x﹣∈[，]．当2x﹣=时，f（x）取得最小值为﹣．当2x﹣=时，f（x）取得最大值为．故得函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值为，最小值为．16．（13分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店；5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取4名，求至多有一名倾向于选择实体店的女性购物者的概率；（Ⅱ）若分别从男性购物者和女性购物者中各随机抽取2名，设X表示抽到倾向于选择网购的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设“至多有1名倾向于选择实体店的女性购物者”为事件A，则P（A）=+=；（Ⅱ）根据题意，X的取值为0，1，2，3，4；则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==；∴随机变量X的分布列为：数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=2．17．（13分）如图，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABE，∠EAB=∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=AD=AE，P为线段BE的中点．（Ⅰ）求证：CP∥平面DAE；（Ⅱ）求平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在一点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：取AE的中点F，连接DF、PF，∵P为BE中点，∴PF∥AB，且PF=，又直角梯形ABCD中，∠DAB=60°，AB=AD，可得DC∥AB，且DC=，∴PF∥DC，且PF=DC，则四边形DCPF为平行四边形，可得PC∥DF．而DF⊂平面EAD，PC⊄平面EAD，∴CP∥平面DAE；（II）解：∵∠BAE=90°，平面ABCD平面ABE，在平面ABCD内过A作Az⊥AB．∴以点A为原点，直线AE为x轴，直线AB为y轴，Az为z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设AB=AD=AE=2，由已知，得E（2，0，0），C（0，2，），D（0，1，）．∴，，设平面ECD的法向量为=（x，y，z），则，取z=2，得平面ECD的一个法向量为=（，0，2）．又∵平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）．∴cosθ=|cos＜＞|=，即平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值为；（Ⅲ）解：线段EC上存在点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为，此时=或=．设Q（x，y，z），且，则（x﹣2，y，z）=（﹣2），∴，即Q（2﹣2λ，2λ，），P（1，1，0），则．∵直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为，∴|cos＜＞|=||=．解得：或．∴=或=．18．（13分）已知正项数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，﹣b n=．且b n+1（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n，并证明≤T n＜对一切n∈N*都成立．﹣b n=．∴，，【解答】解：（Ⅰ）∵b n+1解得a1=1 （负值舍去）即数列{a n}是公差为2，首项为1的等差数列，∴a n=2n﹣1b n+1﹣b n==．，，…由累加法得：，∴（Ⅱ）∵（2﹣b n）2=∴c n==，T n=…①T n=++…+++…②①﹣②得﹣==∴T n=．令f（n）=，∵f（n+1）﹣f（n）=∴令f（n）=，当n∈N+时递减，则T n=递增．∴，即≤T n＜对一切n∈N*都成立．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）离心率为，它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，一条直线l与椭圆交于M、N两点，直线OM、ON的斜率之积为﹣，求△MON的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在x轴上，抛物线x2=4y的准线，y=﹣1，由椭圆的顶点在抛物线的准线上，则b=1，椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y，得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，∴|MN|==，点O到直线y=kx+m的距离d=，S△MON=×丨MN丨×d=2，∵k 1k2=﹣，∴k1k2=====﹣，∴4k2=2m2﹣1，=2=2=1．∴S△MON∴△MON的面积1．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2，g（x）=+x，且直线y=﹣是曲线y=f （x）的一条切线．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围；（Ⅲ）已知方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），若b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，求证：m＜0．【解答】（I）解：f（x）=lnx+ax2，（x＞0），f′（x）=+2ax．设切点为，则f′（x0）=+2ax0=0，lnx0+=﹣，解得x0=1，a=﹣．（II）解：对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），⇔函数f（x）的值域A是函数g（x）的值域B的子集，即A⊆B．（i）由（I）可得：f（x）=lnx﹣x2，x∈[1，]，f′（x）=﹣x=．可知：函数f（x）在x∈[1，]单调递减，∴f（x）=f（1）=﹣，f（x）min=f（）=．max∴A=．（ii）g′（x）=1﹣=．b≤1时，g′（x）≥0，函数g（x）在x∈[1，4]单调递增，g（1）=b+1，g（4）=4+．∴B=．∵A⊆B．∴，解得，满足条件．b＞1时，g（x）=x+＞0，不满足A⊆B，舍去．综上可得：实数b的取值范围是．（III）证明：方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），∴lnx1﹣=cx1，lnx2﹣=cx2，∴lnx2﹣lnx1+﹣=cx2﹣cx1，∴2c=﹣（x2+x1）．（*）b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，∴+（x2+x1）+m+2c=0，把（*）代入上式可得：++m=0，即﹣m=+，证明m＜0⇔+＞0，∵x 1＜x 2，∴x 2﹣x 1＞0，ln＞ln1=0，∴+＞0，因此m ＜0．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

天津市滨海新区六所重点学校2017-2018学年高三联考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（理科）一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i是虚数单位，复数=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．下列说法错误的是（）A．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．对于p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“e m＜e n”的充分不必要条件D．若p∧q为假，则p、q均为假5．在的二项展开式中，含x2的系数为（）A．B．C．D．6．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B． C．6 D．98．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取________名．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是________．11．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ．曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为________．12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为________．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=________．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R 恒成立}，则A∩（∁U B）=________．三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．16．A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．18．已知等比数列{a n}的公比q≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n；（Ⅲ）若，P n为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k．19．已知椭圆C：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q 两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．已知函数（m∈R），（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣5=0垂直，求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx2+（m﹣1）x﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=1，m∈R设F（x）=f（x）+x．且正实数x1，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2≥﹣1．2016年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i是虚数单位，复数=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：D．2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A4．下列说法错误的是（）A．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．对于p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“e m＜e n”的充分不必要条件D．若p∧q为假，则p、q均为假【考点】的真假判断与应用．【分析】A利用逆否的定义判断即可；B存在，应把存在改为任意，再否定结论；C根据充分不必要条件的定义判断即可；D根据且的真假判断依据判断即可．【解答】解：对于A，逆否把的条件和结论互换，再同时否定，故“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故正确；对于B，对于存在，应把存在改为任意，再否定结论，故p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故正确；对于C，若m，n∈R，“lnm＜lnn”，则0＜m＜n，可得“e m＜e n”，但由“e m＜e n”，m，n也可能为负值，不一定得出lnm＜lnn”，故应是充分不必要条件，故正确；对于D，且为假，p和q不能都是真，但也不一定都是假，故错误．故选：D．5．在的二项展开式中，含x2的系数为（）A．B．C．D．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：二项展开式的通项公式为：T r+1=••=（﹣1）r•••，令12﹣=2，解得r=4；所以展开式中含x2项的系数为：（﹣1）4C62（）2=．故选：B．6．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线y2=8x上的点P满足|PF|=5，可得P（3，±2），代入双曲线方程算出m的值，即可得到双曲线的a、b之值，从而得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵点P在抛物线y2=8x上，|PF|=5，∴P（x0，y0）满足x0+=5，得x0=5﹣=5﹣2=3因此y02=8x0=24，得y0=±2∴点P（3，±2）在双曲线上可得9﹣=1，解之得m=3∴双曲线标准方程为，得a=1，b=，渐近线方程为y=±，即y=±x故选：C7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B． C．6 D．9【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用．【分析】先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．【解答】解：：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD 及其内部区域．因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选D．8．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【考点】函数的零点．【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取15名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．【解答】解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴高一应抽取的学生数为300×=15．故答案为：15．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3侧面△ACD中，AC==5∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC∴AE⊥平面BCD，结合CD⊂平面BCD，得AE⊥CD∵BC⊥CD，AE∩BC=E∴CD⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得CD⊥AC因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6∴三棱锥的表面积是S表故答案为：30+611．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ．曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：x﹣y+6=0．曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．求出圆心到直线的距离d，即可得出曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=d﹣r．【解答】解：直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：x﹣y+6=0．曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=﹣2x+2y，配方化为：（x+1）2+（y﹣1）2=2，可得圆心C2（﹣1，1），半径r=．圆心到直线的距离d==2曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=2﹣=．故答案为：．12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为．【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出平面区域A、B的面积，根据几何概型的概率公式求出对应的概率．【解答】解：如图所示，由不等式组确定的平面区域A的面积为S=3×3=9，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域B的面积为S′=×3×3﹣×1×1﹣∫13dx=4﹣ln3；根据几何概型的概率公式知，该点落在区域B内的概率为P=．故答案为：．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，可得∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°，利用直角三角形中的边角关系求得TB、BM、MP的值，由切割线定理求得MC，求得PC=MP﹣MC的值，据PQ•PB=PC2求出结果．【解答】解：由题意可得，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，∵∠BTC=120°，则∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°．TB=TC=OBtan30°=，∴BM==2．由切割线定理可得MC2=MB•MA=2（2+4）=12，∴MC=2．∵cos∠BMT====，∴MP=3，∴PC=MP﹣MC=3﹣2=，由切割线定理可得PQ•PB=PC2=3，故答案为3．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立}，则A∩（∁U B）=．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】据基本不等式求以及不等式恒成立求出集合A，B的等价条件，然后根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，∴a＞0，且对称轴﹣=，则判别式△=4﹣4ab=0，即ab=1，则==a﹣b+，∵a＞b，∴a﹣b＞0，则t=a﹣b+≥2=2，即A=[2，+∞），∵|x+1|﹣|x﹣3|≤|3﹣（﹣1）|=4，∴若|x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立，则m2﹣3m≥4，即m2﹣3m﹣4≥0，即m≥4或m≤﹣1，即B={m|m≥4或m≤﹣1}，则∁U B═{m|﹣1＜m＜4}，则A∩（∁U B）={m|2≤m＜4}，故答案为：三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用和差公式、倍角公式可得：f（x）=，再利用三角函数的图象与性质即可得出．（Ⅱ），由于0＜C＜π，可得：＜2C﹣，可得C．因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+2×（sinx﹣cosx）×（sinx+cosx）=cos2x+sin2x﹣cos2x=，∵，4分∴对称轴方程为：，∵x ∈[﹣，]，∴∈，f （x ）在区间[﹣，]上单调递增，在区间上单调递减，所以，当x=时，f （x ）取最大值 1又=﹣＜=，当x=﹣时，f （x ）取最小值﹣．（Ⅱ），∵0＜C ＜π，0＜2C ＜2π，∴＜2C ﹣，∴=，C=，因为sinB=2sinA ，所以由正弦定理得b=2a ，由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcos，即c 2=a 2+b 2﹣ab=3解得：a=1，b=2．16．A 、B 两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A 袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B 袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A 袋中取球，乙从B 袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A 为“两人中所取的球颜色不同”，由此利用对立事件概率计算公式能求出两人中所取的球颜色不同的概率．（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A 为“两人中所取的球颜色不同”，则P （A ）=1﹣=．（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2．甲所取的两球颜色相同的概率为=，乙所取的两球颜色相同的概率为=，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）==，P（X=2）==，XEX==．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明EF⊥平面PAD；（Ⅱ）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）求出向量坐标，利用直线和平面所成角的定义和关系进行求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD∴AB⊥平面PAD，又∵EF∥AB∴EF⊥平面PAD，（Ⅱ）取AD中点O，连结PO∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：∴O（0，0，0）A（0，﹣2，0）B（4，﹣2，0）C（4，2，0），D（0，2，0），G（4，0，0），，E（0，﹣1，），设平面EFG的法向量为，，∴，又平面ABCD的法向量为，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ∴，∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为．（Ⅲ）设，，∴，，∴=，即2λ2﹣3λ+2=0，无解，∴不存在这样的M．18．已知等比数列{a n}的公比q≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n；（Ⅲ）若，P n为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由题意知3q2﹣4q+1=0，从而求出公比，进而求通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而利用错位相减法求其前n项和T n；（Ⅲ）化简为c n=2n﹣1，从而利用裂项求和法及拆项求和法求其前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵成等差数列，∴4a2=a1+3a3，∴3q2﹣4q+1=0，∵q≠1，∴，∴a n=•=；（Ⅱ）由（Ⅰ），∴①，②，①﹣②得，，∴．（Ⅲ）由，得c n=2n﹣1，，=，∴不超过P2016的最大的整数k是2016．19．已知椭圆C：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q 两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得b=1，由离心率公式和a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k，再由直线的斜率不存在，不成立．即可得到所求直线的方程；（Ⅲ）以MN为直径的圆过定点（±1，0）．求得M，N的坐标，由直径式的圆的方程可得MN为直径的圆的方程，整理得一般式方程，令y=0，即可得到所求定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由短轴长为2，得b=1，由，得a2=4，b2=1．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）（1）当直线的斜率存在时，设直线方程：，E（x1，y1），F（x2，y2），由可得，∴，∴，∴；（2）当直线的斜率不存在时，|EF|=1不符合．∴直线方程为和．（Ⅲ）以MN为直径的圆过定点（±1，0）．证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，或通过求得圆心，得到圆的方程．即，∵，∴，令y=0，则x2﹣1=0，解得x=±1．∴以MN为直径的圆过定点（±1，0）．20．已知函数（m∈R），（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣5=0垂直，求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx2+（m﹣1）x﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=1，m∈R设F（x）=f（x）+x．且正实数x1，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2≥﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m的方程，解出即可；（Ⅱ）构造函数，求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性，从而求出m的最小值即可；（Ⅲ）求出F（x）的表达式，得F（x1）+F（x2）=0，令t=x1•x2＞0，得到ϕ（t）=t﹣lnt，根据函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）切线的斜率k=f'（1）=1+m，∴1+m=2，∴m=（Ⅱ）由题意，，设①当m≤0时，因为x＞0，所以G'（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立．②当m＞0时，．令G'（x）=0，因为x＞0，得，所以当时，G'（x）＞0；当时，G'（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．故函数G（x）的最大值为．令，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为，，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．（Ⅲ）m=1时，，由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即，整理得，令t=x1•x2＞0，则由ϕ（t）=t﹣lnt得，，可知ϕ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以ϕ（t）≥ϕ（1）=1，所以，解得，因为x1，x2为正数，所以成立．2016年9月7日。

2017届八校二联理科数学参考答案

2 e
2
2 a 1 2 a 1 2 2 2 2 2 b 2 c 3 2 1 1 2 b 2 1 c 3 1 a b c 6 2 2
Q f x x a x b c b a c b a c ,
由 h( x )
=0 得， x=e ，当 0<x<e 时， h ( x )
h 1 0,
>0 ；当 x>e 时， h ( x )

当且仅当 x b
时等号成立，又
2 故 h(x)max=h(e)= e ，
2 ③若 0 ln a e
时，当 x>0 时， f(x) 有 2 个零点，故 x ∈ R 时， f(x) 有 3 个零点 . （ 9
1 8 2 2 2 a 1 b 2 c 3 , 4 3
（ 7 分）即a
11 8 11 时等号成立。（ 10 分） ,b ,c 3 3 3
2017 届八校二联理数参考答案
一、选择题 CDABD CADBB AC
故 PB ∥平面 ACM ；（ 4 分）（ 2 ）取 DO 的中点 N ，连结 MN ， AN ，则 MN ∥ PO ，∵ PO ⊥平面 ABCD ，∴ MN ⊥平面 ABCD ，故∠ MAN= α为所求的直线 AM 与平面 ABCD 所成的角 .
28 3
20. 解：（ 1 ）由题知 c 2 a 2 (8 a 2 ) 2a 2 8 ，由 e
（ 2 ）∵ S bc sin A
3 7 bc 3 ， 4 3
，（ 7 分）

天津市2017届高三毕业班联考一数学理试题Word版含答案

2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+•柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1.已知集合{}24M x x =|>,{}3N x x =|1<<，则R NC M = （）A. {}1x x |-2≤<B.{}2x x |-2≤≤C. {}2x x |1<≤D.{}2x x |<2.设变量,x y 满足线性约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数24z x y =+的最小值是（）A ．6-B ．2-C ．4D ．63.阅读右边程序框图，当输入x 的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（）A ．5B ．11C ．23D ． 47 4.下列命题中真命题的个数是（） ①若q p ∧是假命题，则,p q 都是假命题； ②命题“01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”；③若,11:,1:<≤xq x p 则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．35. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足1590a a +=.若(1)mx -展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（）A ．6B ．8C ．9D ．106.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若sin 2sinB A =，4,3c C π==，则ABC ∆的面积为（）A ．83B ．163C ．1633D ．8337.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，()()22log 22f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[2,)+∞8．已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩ 其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．()0,1B ． ()1,0-C ．()()2,11,0---D ． ()2,1--第Ⅱ卷非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．i 为虚数单位，则复数243ii--的模为 . 10. 向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为 . 11. 已知直线l 的参数方程为4x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为22sin()4πρθ=+ ，则圆上的点到直线l 的最大距离为 .12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .13. 设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足C,D .若2AF BF =，且三角形CDF ，则p 的值为 .14.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥,CD AB AD ⊥，222AB CD AD ===.在等腰直角三角形CDE 中，090C ∠=，点,N M 分别为线段,BC CE 上的动点，若52AM AN ⋅=，则MD DN ⋅的取值范围是 .三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13 （Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[]0π-，上的最值.16．（本小题满分13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为12．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．（Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A ，求事件A 的概率；（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列及数学期望EX .17．（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 与直角梯正视图ACBDEPD EC形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE AF ∥ ，AB AF ⊥，122AB BE AF ===，3CBA π∠=，P 为DF 的中点.（Ⅰ）求证：PE ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角D EF A －－的余弦值；（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点，AG AD λ=，若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值AG 的长.18．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且2031=+a a ，82=a ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n a n b =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n 不等式a nS n n n ⋅->++)1(21恒成立，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221x y a b+=的焦点在x 轴上，椭圆E 的左顶点为A ，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于,A B 两点，点C 在椭圆E 上，AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D ．（Ⅰ）当点B 为椭圆的上顶点，ABD ∆的面积为2ab 时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b AB AC ==时，求k 的取值范围．20．（本小题满分14分）设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x .(1)求满足条件的最小正整数a 的值；(2)2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题:每小题5分，共30分.10.18；11.12.1；；14.512⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）………2分………4分由()42xk k Zππ≠+∈得()f x的定义域为(){}|24x x k k Zππ≠+∈………6分（k Z∈占1分）故()f x的最小正周期为2412Tππ==……7分（Ⅱ）0xπ-≤≤23266xπππ∴-≤-≤-……8分2,,()26326xx f xπππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈--∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即，单调递减……9分0,()26266xx f xππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，-,即，单调递增……10分min()()6f x fπ∴=-=……11分而3(0)()2f fπ∴=-=-……12分max()(0)f x f∴==……13分（注：结果正确，但没写单调区间扣2分）16．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)3343101239(A)1()2240C P C =-⋅=所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为239240. ……5分（Ⅱ）由题可知X 可能取值为0,1,2,3. ……6分30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===,12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ……10分则随机变量X 的分布列为……11分1311901233010265EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ……13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取AD 的中点Q ，连接PQ BQ ，，则PQ ∥AF ∥BE ,且12PQ AF BE ＝＝，所以四边形BEPQ 为平行四边形 ……2分所以PE ∥BQ ，又BQ ⊂平面ABCD ，PE ⊄ 平面ABCD ，则PE ∥平面ABCD . ……3分（Ⅱ）取AB 中点O ，连接CO ，则CO AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，交线为AB ，则CO ⊥平面ABEF……4分作OM ∥AF ，分别以,,OB OM OC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则((1,4,0),E(1,2,0)D F -- ……5分于是(1,4,3),(2,2,0)DF EF =-=- ，设平面DEF 的法向量(,,)m x yz = ，则{4022x y x +=-+令1x =，则1,y z == ……6分平面AEF 的法向量(0,0,1)n = ……7分所以3cos ,3131m n == ……8分又因为二面角D EF A －－. ……9分（Ⅲ）(1,0,0),(1,0,3),(),A AD AG λ-=-=-则()G λ-- ，(,)FG λ=-- ，而平面ABEF 的法向量为(0,0,1)m =，设直线FG与平面ABEF 所成角为θ，于是sinθ==……11分于是λ=AG = . ……13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则⎩⎨⎧==+820)1(121q a q a ，……1分 ∴02522=+-q q …2分∵1q >，∴⎩⎨⎧==241q a ，∴数列{}n a 的通项公式为12+=n n a ．……5分（Ⅱ）解：12+=n n n b∴14322232221+++++=n n nS=n S 2121432212221+++-+++n n n n ∴2143222121212121++-+++=n n n nS ……7分 ∴1321221212121+-+++=n n n nS =1112212212121++++-=--n n n n n ……9分∴n n a 211)1(-<⋅-对任意正整数n 恒成立，设n n f 211)(-=，易知)(n f 单调递增． ……10分n 为奇数时，)(n f 的最小值为21，∴21<-a 得21->a ， ……11分n 为偶数时，)(n f 的最小值为43，∴43<a ， ……12分综上，4321<<-a ，即实数a 的取值范围是)43,21(-． ……13分19．（本小题满分14分）解：直线AB 的方程为by x b a=+ 直线AC 的方程为()ay x a b =-+，令0x =，2a y b =- ……2分21()22ABDa Sb a ab b∆=⋅+⋅= ……3分于是2224a b b +=，223,e c a b a === ……5分（Ⅱ）直线AB 的方程为()y k x a =+，联立()22213x y a y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222324223230a k x a k x a k a +++-= 解得x a =-或322233a k a x a k -=-+， ……7分2263a AB a a k==+所以 ……8分263aAC a k k=+同理 ……9分因为2AB AC =22266233a aa a kk k=++所以，整理得，223632k k a k -=-． ……11分因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以23a >，即236332k kk ->-，……13分整理得()()231202kk k +-<-2k <<．……14分20．（本小题满分14分）解：……1分当0a ≤时， ()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞，此时()f x 无单调减区间． ……2分当0a >时，由()'0f x >，()'0f x <，得所以函数()f x……3分（Ⅱ）（1因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. ……4分所以()F x 的最小值244ln 02a a a a -+-<. ……5分因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=.…6分当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. ……7分又当3a =时，()()()332ln30,F 10F =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3. ……8分（2）证明：不妨设120x x <<，于是()()22111222-2ln -2ln ,x a x a x x a x a x --=-- 即()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =. ……10分0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()F'0x >，2a 即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， ……11分即证()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，也就是证11221222ln－＋x x x x x x <. ……12分设()1201x t t x =<<．因为0t >，所以()0m t '≥， ……13分文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11word 版本可编辑.欢迎下载支持. 当且仅当1t =时，()0m t '=，所以()m t 在()0,+∞上是增函数．又()10m =，所以当()()0,1,m 0m t ∈<总成立,所以原题得证． ……14分。

2017年高考理数真题天津卷(试题及详细答案解析)

2
2
2
5
又
x2
x 2
3
x
1 4
2
47 16
47 16
（当
x
1 4
时等号成立），
x2
3 2
x
3
x
3 4
2
39 16
39 16
（当
x
3 4
时等号成立），
∴ 47 a 39 ，
16
16
当 x 1 时，①式可化为 x 2 x a x 2 ，∴ 3x 2 a x 2 ，
x2
1 3
,
24
D.
1 3
,
24
8.已知函数
f
(x)
x
2
x
x
2 x
,
x
3, x 1, 1.
设
aR
，若关于
x
的不等式
f
(x)
|
x 2
a
|
在
R
上恒成立，
则 a 的取值范围是（）
A. [ 47 , 2] 16
B. [ 47 , 39] 16 16
C. [2 3, 2]
D. [2 3, 39] 16
b
13
∴ b 13 , sin A 3 13 . 13
（Ⅱ）由（Ⅰ）及 a c 得 cos A 2 13 ， 13
∴ sin 2 A 2sin Acos A 12 ， cos 2 A 1 2sin 2 A 5 ，
13
13
∴
sin
2
A
4
sin
2 Acos
E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求证：MN∥平面 BDE；（Ⅱ）求二面角 C-EM-N 的正弦值；

天津市滨海新区2017届高三12月八校联考数学理试卷含答案精品

2016年12月高三年级八校联考数学试卷（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii=+（） A ．1i - B ．1i -- C ．1i + D ．1i -+ 2.命题“x R ∀∈，223x x ≠”的否定是（）A ．x R ∀∉，223x x ≠ B ．x R ∀∈，223x x ≠ C ．x R ∃∉，223x x ≠ D ．x R ∃∈，223x x ≠ 3.函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0A >，0ω>，2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（）A ．()sin()3f x x π=+B ．()sin(4)3f x x π=+C ．()sin()6f x x π=+D ．()sin(4)6f x x π=+ 4.若,x y R ∈，且0123x y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪-≥-⎩，则3z x y =-的最小值为（）A ．6B ．2 C.1 D ．不存在5.已知直线,l m ，平面α，m α⊂，那么“//l α”是“//l m ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.已知在ABC ∆中，cos()410A π-=，则sin 2A =（） A ．2425-B ．2425 C. 725D ．725- 7.设集合{125}S x x x =-++>，{4}T x x a =-≤，S T R =，则a 的取值范围为（）A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤ C. 21a -<< D ．2a <-或1a > 8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有211212()()0x f x x f x x x -<-，记0.20.2(4.1)4.1f a =， 2.12.1(0.4)0.4f b =，0.20.2(log 4.1)log 4.1f c =，则（） A ．a c b << B ．a b c << C. c b a << D ．b c a <<二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.121(1)x dx --=⎰．10.如图所示，某几何体的正视图是一个平行四边形，俯视图和侧视图都是长方形，那么该几体的体积为．11.在等比数列{}n a 中，32a ，52a ，13a 成等差数列，则2596a a a a +=+ ． 12.在平行四边形ABCD 中，已知6AB =，060BAD ∠=，点E 是BC 的中点，AE 与BD相交于点P ，若15AP PC ∙=，则BC = ．13.已知0a b >>，且1ab =，那么22a b a b+-取最小值时，b = ．14.已知函数123,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-+≤<⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-的零点个数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，AB =3AC =，sin 2sin A C =. （1）求BC 的长；（2）求cos(2)3C π-的值.16.设函数(sin )cos()2()tan x x x f x xπ∙-=.（1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间(0,)2π上的单调性.17. 设函数2()xf x x e =.（1）求在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当[2,2]x ∈-时，使得不等式()21f x a ≤+能成立的实数a 的取值范围.18. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，PA PB =，::AB AD CD =.（1）证明BD PC ⊥；（2）求二面角A PC D --的余弦值；（3）设点Q 为线段PD 上一点，且直线AQ 平面PAC，求PQ PD 的值.19. 已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =，22n n S a =-，21(1)n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明{}nb n为等差数列；（3）若数列{}n c 的通项公式为,24n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T .20. 已知函数21()ln 2f x x bx x =++. （1）若函数()f x 在定义域单调递增，求实数b 的取值范围；（2）令21()()2a g x f x bx x +=--，a R ∈，讨论函数()g x 的单调区间；（3）如果在（1）的条件下，221()312f x x x x≤+-+在(0,1]x ∈内恒成立，求实数b 的取值范围.试卷答案一、选择题1-4: CDAB 5-8：DABA二、填空题9. 43-10. 200 11. 19 12. 3 13.14. 6 三、解答题15.（1）在ABC ∆中，∵sin 2sin A C =，∴2BC AB ==（2）∵222cos 2AC BC AB C AC BC +-==∙sin C =∴4sin 22sin cos 5C C C ==，223cos 2cos sin 5C C C =-=cos(2)cos 2cos sin 2sin 333C C C πππ-=+=16.（1）2()(sin )cos sin cos f x x x x x x x =∙=12sin 2sin(2)232x x T πππ==++⇒== （2）令222232k x k πππππ-+<+<+，解得51212k x k ππππ-+<<+（k Z ∈） ∵(0,)2x π∈，∴()f x 在区间(0,)12π上单调递增，在区间(,)122ππ上单调递减.17.（1）∵'2()2xxf x x e xe =+，∴'(1)3k f e ==，切线方程为320ex y e --=.（2）令'()0f x >，即(2)0x x x e +>，得()f x 在区间(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在区间(2,0)-上单调递减. （3）由（2）知，()f x 在区间(2,0)-上单调递减，在区间(0,2)上单调递增，min ()(0)0f x f ==.当[2,2]x ∈-时，不等式()21f x a ≤+能成立，须min 21()a f x +≥，即210a +≥，故12a ≥-18.以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系(2,0,0)B，D ，(0,0,2)P，(1C （1）(BD =-，(12)PC =-， ∵0BD PC ∙=∴BD PC ⊥（2）(1AC =，(0,0,2)AP =，平面PAC 的法向量为(2,1,0)m =-(0,DP =，(1,0,0)AP =，平面DPC 的法向量为(0,2,1)n =--.2cos ,3m n m n m n∙==∙，二面角B PC D --的余弦值为3. （3）∵AQ APPQ AP tPD =+=+，[]0,1t ∈ ∴(0,0,2)2),22)AQ t t =+-=- 设θ为直线AQ 与平面PAC 所成的角2sin cos ,3AQ m AQ m AQ mθ∙===∙ 223684t t t =⇒=-+，解得2t =（舍）或23.所以，23PQ PD =即为所求. 19.（1）当1n >时，11112222222n n n n n n n n n S a aa a a S a a ----=-⎧⇒=-⇒=⎨-⎩ 当1n =时，111222S a a =-⇒=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2n n a = （2）∵214a b =，∴11b =，∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上，{}nb n是公差为1，首项为1的等差数列，211n n b n b n n =+-⇒=.（3）令212n n n p c c -=+22122221(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n ----∙∙=-+=-∙=-∙0122123123474114(41)443474114(45)4(41)4nn n n n T n T n n +⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩ ①② ①-②，得01212334444444(41)4n n n T n --=∙+∙+∙++∙--∙2164433(41)414nn n T n -∙-=+--∙-27127499n n n T -=+∙ 20.（1）'1()f x x b x=++，因为()f x 在定义域单调递增，所以'()0f x ≥恒成立即110()x b b x x x++≥⇒≥-+而12x x +≥=（当且仅当1x x =时等号成立），故2b ≥-即为所求. （2）2()ln 2a g x x x =-，'1()g x ax x=- ①若0a ≤，'()0g x ≥，则()g x 在(0,)+∞单调递增②若0a >，令'()0g x >，210ax -<，21x a<，则()g x在单调递增，在)+∞单调递减（3）由题意，须22113ln 1022x bx x x x--+++-≤对任意(0,1]x ∈恒成立，设2211()3ln 122h x x bx x x x =--+++-，'331111()3()(3)h x x b x b x x x x=-++++=-+++∵2b ≥-，01x <≤，∴10x x -≥，31b +≥，310x> ∴'()0h x >即()h x 在(0,1]x ∈上单调递增，max ()(1)1h x h b ==+ 若2211()3ln 1022h x x bx x x x=--+++-≤对任意(0,1]x ∈恒成立，则应令max ()01h x b ≤⇒≤- 综上所述，21b -≤≤-即为所求.。

2017年高考理科数学天津卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共20页）数学试卷第2页（共20页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷参考公式：·如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ·球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =A ．{}2B ．{124}，，C ．16}2{4，，， D ．{}1|5x R x ∈-≤≤2．设变量x ，y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为A ．23B ．1C ．32D ．33．阅读右边所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的 A ．0B ．1C ．2D ．34．设θ∈R ，则“ππ121||2θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144y x -= B ．22188y x -= C ．22148y x -= D ．22184y x -=6．已知奇函数f x （）在R 上是增函数，g x xf x =（）（）．若25.1a g log =-（），0.82b g =（），3c g =（），则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．设函数2sin f x x ωϕ=+（）（），x ∈R ，其中0ω>，πϕ<．若5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f x （）的最小正周期大于2π，则 A ．2π,312ωϕ== B ．211π,312ωϕ==-C ．111π,324ωϕ==-D ．17π,324ωϕ==8．已知函数()23,1,2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()2f x a x ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共20页）数学试卷第4页（共20页）A ．47,216⎡⎤⎢⎥⎣⎦-B ．4739,1616-⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2-⎡⎤⎣⎦D．3916-⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为． 10．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．在极坐标系中，直线π4cos 106ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为．12．若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为．13．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为．14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求π24sin A +（）的值． 16．（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：MN ∥平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长．数学试卷第5页（共20页）数学试卷第6页（共20页）18．（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*n S n ∈Ν（），{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和*n ∈N （）．19．（本小题满分14分）设椭圆222210x y a ba b +=>>（）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线()220y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程．20．（本小题满分14分）设a Z ∈，已知定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()12，内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数．（1）求()g x 的单调区间；（2）设0012[]m x x ∈，）（，，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且00[]12qx x p∈，）（，，满足041p x q Aq -≥．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷第7页（共20页）数学试卷第8页（共20页）2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析1．【答案】B 【解析】{}(){}1,2,4,6,1,2,4AB A BC ==，选项B 符合．【提示】解题时应根据集合的运算法则，以及集合元素的三大特征，借助数轴或图示求解．【考点】集合的运算 2．【答案】D【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z x y =+得y x z =-+，作出直线y x =-，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在()03B，处取得，故max 033z =+=，选项D 符合．【提示】常常需画出约束条件所表示的可行域，画图时一定要注意边界是实线还是虚线，求解时要注意z 的几何意义。

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2016年12月高三年级八校联考数学试卷（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii=+（） A ．1i - B ．1i -- C ．1i + D ．1i -+ 2.命题“x R ∀∈，223x x ≠”的否定是（）A ．x R ∀∉，223x x ≠ B ．x R ∀∈，223x x ≠ C ．x R ∃∉，223x x ≠ D ．x R ∃∈，223x x ≠ 3.函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0A >，0ω>，2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（）A ．()sin()3f x x π=+B ．()sin(4)3f x x π=+C ．()sin()6f x x π=+D ．()sin(4)6f x x π=+ 4.若,x y R ∈，且0123x y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪-≥-⎩，则3z x y =-的最小值为（）A ．6B ．2 C.1 D ．不存在5.已知直线,l m ，平面α，m α⊂，那么“//l α”是“//l m ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.已知在ABC ∆中，cos()410A π-=，则sin 2A =（） A ．2425-B ．2425 C. 725D ．725- 7.设集合{125}S x x x =-++>，{4}T x x a =-≤，S T R = ，则a 的取值范围为（）A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤ C. 21a -<< D ．2a <-或1a > 8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有211212()()0x f x x f x x x -<-，记0.20.2(4.1)4.1f a =， 2.12.1(0.4)0.4f b =，0.20.2(log 4.1)log 4.1f c =，则（） A ．a c b << B ．a b c << C. c b a << D ．b c a <<二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.121(1)x dx --=⎰．10.如图所示，某几何体的正视图是一个平行四边形，俯视图和侧视图都是长方形，那么该几体的体积为．11.在等比数列{}n a 中，32a ，52a ，13a 成等差数列，则2596a a a a +=+ ． 12.在平行四边形ABCD 中，已知6AB =，060BAD ∠=，点E 是BC 的中点，AE 与BD相交于点P ，若15AP PC ∙=，则BC = ．13.已知0a b >>，且1ab =，那么22a b a b+-取最小值时，b = ．14.已知函数123,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-+≤<⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-的零点个数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，AB =3AC =，sin 2sin A C =. （1）求BC 的长；（2）求cos(2)3C π-的值.16.设函数(sin )cos()2()tan x x x f x xπ∙-=.（1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间(0,)2π上的单调性.17. 设函数2()xf x x e =.（1）求在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当[2,2]x ∈-时，使得不等式()21f x a ≤+能成立的实数a 的取值范围.18. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，PA PB =，::AB AD CD =.（1）证明BD PC ⊥；（2）求二面角A PC D --的余弦值；（3）设点Q 为线段PD 上一点，且直线AQ 平面PAC，求PQ PD 的值.19. 已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =，22n n S a =-，21(1)n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明{}nb n为等差数列；（3）若数列{}n c 的通项公式为,24n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T .20. 已知函数21()ln 2f x x bx x =++. （1）若函数()f x 在定义域单调递增，求实数b 的取值范围；（2）令21()()2a g x f x bx x +=--，a R ∈，讨论函数()g x 的单调区间；（3）如果在（1）的条件下，221()312f x x x x≤+-+在(0,1]x ∈内恒成立，求实数b 的取值范围.试卷答案一、选择题1-4: CDAB 5-8：DABA二、填空题9. 43-10. 200 11. 19 12. 3 13. 14. 6 三、解答题15.（1）在ABC ∆中，∵sin 2sin A C =，∴2BC AB ==（2）∵222cos 2AC BC AB C AC BC +-==∙sin C =∴4sin 22sin cos 5C C C ==，223cos 2cos sin 5C C C =-=cos(2)cos 2cos sin 2sin 333C C C πππ-=+=16.（1）2()(sin )cos sin cos f x x x x x x x =∙=12sin 2sin(2)232x x T πππ==++⇒== （2）令222232k x k πππππ-+<+<+，解得51212k x k ππππ-+<<+（k Z ∈） ∵(0,)2x π∈，∴()f x 在区间(0,)12π上单调递增，在区间(,)122ππ上单调递减.17.（1）∵'2()2xxf x x e xe =+，∴'(1)3k f e ==，切线方程为320ex y e --=.（2）令'()0f x >，即(2)0x x x e +>，得()f x 在区间(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在区间(2,0)-上单调递减. （3）由（2）知，()f x 在区间(2,0)-上单调递减，在区间(0,2)上单调递增，min ()(0)0f x f ==.当[2,2]x ∈-时，不等式()21f x a ≤+能成立，须min 21()a f x +≥，即210a +≥，故12a ≥-18.以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系(2,0,0)B，D ，(0,0,2)P，C（1）(BD =-，(12)PC =-， ∵0BD PC ∙=∴BD PC ⊥（2）(1AC = ，(0,0,2)AP = ，平面PAC的法向量为1,0)m =-(0,DP = ，(1,0,0)AP = ，平面DPC的法向量为(0,1)n =-.cos ,3m n m n m n ∙==∙，二面角B PC D --的余弦值为3. （3）∵AQ AP PQ AP tPD =+=+，[]0,1t ∈∴(0,0,2)2),22)AQ t t =+-=-设θ为直线AQ 与平面PAC 所成的角sin cos ,3AQ m AQ m AQ mθ∙===∙223684t t t =⇒=-+，解得2t =（舍）或23.所以，23PQ PD =即为所求. 19.（1）当1n >时，11112222222n n n n n n n n n S a aa a a S a a ----=-⎧⇒=-⇒=⎨-⎩当1n =时，111222S a a =-⇒=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2n n a = （2）∵214a b =，∴11b =，∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上，{}nb n是公差为1，首项为1的等差数列，211n n b n b n n =+-⇒=.（3）令212n n n p c c -=+22122221(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n ----∙∙=-+=-∙=-∙0122123123474114(41)443474114(45)4(41)4nn n n n T n T n n +⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩ ①② ①-②，得01212334444444(41)4n n n T n --=∙+∙+∙++∙--∙2164433(41)414nn n T n -∙-=+--∙-27127499n n n T -=+∙ 20.（1）'1()f x x b x=++，因为()f x 在定义域单调递增，所以'()0f x ≥恒成立即110()x b b x x x++≥⇒≥-+而12x x +≥=（当且仅当1x x =时等号成立），故2b ≥-即为所求. （2）2()ln 2a g x x x =-，'1()g x ax x=- ①若0a ≤，'()0g x ≥，则()g x 在(0,)+∞单调递增②若0a >，令'()0g x >，210ax -<，21x a<，则()g x在单调递增，在)+∞单调递减（3）由题意，须22113ln 1022x bx x x x --+++-≤对任意(0,1]x ∈恒成立，设2211()3ln 122h x x bx x x x =--+++-，'331111()3()(3)h x x b x b x x x x=-++++=-+++∵2b ≥-，01x <≤，∴10x x -≥，31b +≥，310x> ∴'()0h x >即()h x 在(0,1]x ∈上单调递增，max ()(1)1h x h b ==+ 若2211()3ln 1022h x x bx x x x=--+++-≤对任意(0,1]x ∈恒成立，则应令max ()01h x b ≤⇒≤- 综上所述，21b -≤≤-即为所求.。